Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Aplikace integrálu}
\subsection{Výpočet plochy}
\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]\label{vvpmz}~\\
Nechť jsou $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
\be
A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]~\\
Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
\be
A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
\ee
\end{corollary}
\pzp
Další možné důsledky Věty \ref{vvpmz}.
\subsection{Délka grafu funkce}
\begin{define}[Délka grafu funkce]\label{Vdgf}~\\
Délka grafu spojitě diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a, b]$ je číslo $L_f$, které pro
každé rozdělení $\sigma$ intervalu $[a, b]$ splňuje
\be
s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}} \leq L_f \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}.
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Délka grafu funkce]~\\
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce $L_f$ je
\be
L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Odvození vzorce pro délku grafu funkce (tj. důkaz Věty \ref{Vdgf}).
\subsection{Objem rotačního tělesa}
\begin{define}[Objem rotačního tělesa]~\\
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu spojitě diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a, b]$ je číslo $V_f$, které pro
každé rozdělení $\sigma$ intervalu $[a, b]$ splňuje
\be
\pi s_{f^2} \leq L_f \leq \pi S_{f^2}.
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]\label{Vort}~\\
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
\be
V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Odvození vzorce pro objem rotačního tělesa grafu funkce (tj. důkaz Věty \ref{Vort}).
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
\begin{define}[Povrch rotačního tělesa]~\\
Povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu spojitě diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a, b]$ je číslo $S_f$, které pro
každé rozdělení $\sigma$ intervalu $[a, b]$ splňuje
\be
2\pi~s_{f\sqrt{1+(f^\prime)^2}} \leq L_f \leq 2\pi~S_{f\sqrt{1+(f^\prime)^2}}.
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]\label{Vprt}~\\
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
\be
S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Odvození vzorce pro povrch rotačního tělesa grafu funkce (tj. důkaz Věty \ref{Vprt}).
