Matematika1:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Aplikace integrálu} \subsection{Výpočet plochy} \begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]\label{vvpmz}~\\ Nechť jsou $f$ a...)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{Matematika1}
 
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Aplikace integrálu}
+
\section[Aplikace integrálu]{\fbox{Aplikace integrálu}}
 
\subsection{Výpočet plochy}
 
\subsection{Výpočet plochy}
\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]\label{vvpmz}~\\
+
\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]
  Nechť jsou  $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
+
Nechť jsou  $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
  Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
+
Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
  \be
+
$$
    A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
+
A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
  \ee
+
$$
\end{theorem}
+
\end{theorem}
  \begin{proof}
+
 
  %% dodelat
+
\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]
  \end{proof}
+
Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
 +
Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
 +
$$
 +
A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
 +
$$
 +
\end{corollary}
 +
 
 +
 
 +
\subsection{Výpočet polohy těžiště}
 +
\begin{theorem}[Poloha těžiště plochy pod grafem funkce]
 +
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$. Potom pro těžiště  $T=[\bar{x},\bar{y}]$ plochy pod grafem funkce $f$ platí
 +
$$
 +
\bar{x}=\frac{\int\limits_a^bxf(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}, \quad
 +
\bar{y}=\frac12\frac{\int\limits_a^bf^2(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}.
 +
$$
 +
\end{theorem}
  
\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]~\\
 
Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
 
Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
 
  \be
 
    A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
 
  \ee
 
\end{corollary}
 
\pzp
 
Další možné důsledky Věty \ref{vvpmz}.
 
  
 
\subsection{Délka grafu funkce}
 
\subsection{Délka grafu funkce}
\begin{define}[Délka grafu funkce]\label{Vdgf}~\\
+
\begin{theorem}[Délka grafu funkce]
  Délka grafu spojitě diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a, b]$ je číslo $L_f$, které pro
+
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce  $L_f$ je  
  každé rozdělení $\sigma$ intervalu $[a, b]$ splňuje
+
$$
  \be
+
L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
    s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}} \leq L_f \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}.
+
$$
  \ee
+
\begin{proof}
\end{define}
+
Nechť $\varsigma$ je rozdělení intervalu $[a,b]$. S využitím Pythagorovy věty můžeme délku grafu funkce aproximovat úsečkou délky $d_k$ na každém dílčím intevalu $[x_{k-1},x_k]$ takto:
\begin{theorem}[Délka grafu funkce]~\\
+
$$
  Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce $L_f$ je
+
d_k = \sqrt{(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2 + (x_k-x_{k-1})^2} = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}.
  \be
+
$$
    L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
+
Na intervalu $[x_{k-1},x_k]$ použijeme Lagrangeovu větu~\ref{thm:lagrange} o přírůstku funkce: $\exists c_k\in(x_{k-1},x_k)$ tak, že
  \ee
+
$$
\end{theorem}
+
d_k = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(f^\prime(c_k)\right)^2}.
  \begin{proof}
+
$$
  %% dodelat
+
Označíme-li
  \end{proof}
+
\begin{align*}
 +
m_k &= \min \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \\
 +
M_k &= \max \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\},
 +
\end{align*}
 +
dostáváme nerovnost
 +
$$
 +
(x_k-x_{k-1})m_k \leq d_k \leq (x_k-x_{k-1})M_k
 +
$$
 +
pro všechna $k$. Sečteme-li tuto nerovnost přes všechna $k=1,2,\dots,n$, máme
 +
$$
 +
s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma) \leq L_f(\varsigma) \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma).
 +
$$
 +
Odtud již plyne tvrzení věty.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
  
\pzp
 
Odvození vzorce pro délku grafu funkce (tj. důkaz Věty \ref{Vdgf}).
 
  
 
\subsection{Objem rotačního tělesa}
 
\subsection{Objem rotačního tělesa}
\begin{define}[Objem rotačního tělesa]~\\
+
\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]
  Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu spojitě diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a, b]$ je číslo $V_f$, které pro
+
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem  
  každé rozdělení $\sigma$ intervalu $[a, b]$ splňuje
+
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je  
  \be
+
$$
    \pi s_{f^2} \leq L_f \leq \pi S_{f^2}.
+
V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
  \ee
+
$$
\end{define}
+
\end{theorem}
\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]\label{Vort}~\\
+
  Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem  
+
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je  
+
  \be
+
    V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
+
  \ee
+
\end{theorem}
+
  \begin{proof}
+
  %% dodelat
+
  \end{proof}
+
  
\pzp
 
Odvození vzorce pro objem rotačního tělesa grafu funkce (tj. důkaz Věty \ref{Vort}).
 
  
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
 
\begin{define}[Povrch rotačního tělesa]~\\
 
  Povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu spojitě diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a, b]$ je číslo $S_f$, které pro
 
  každé rozdělení $\sigma$ intervalu $[a, b]$ splňuje
 
  \be
 
    2\pi~s_{f\sqrt{1+(f^\prime)^2}} \leq L_f \leq 2\pi~S_{f\sqrt{1+(f^\prime)^2}}.
 
  \ee
 
\end{define}
 
\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]\label{Vprt}~\\
 
  Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch
 
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
 
  \be
 
    S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
 
  \ee
 
\end{theorem}
 
  \begin{proof}
 
  %% dodelat
 
  \end{proof}
 
  
\pzp
+
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
Odvození vzorce pro povrch rotačního tělesa grafu funkce (tj. důkaz Věty \ref{Vprt}).
+
\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]
 +
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch  
 +
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
 +
$$
 +
S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
 +
$$
 +
\end{theorem}

Verze z 5. 8. 2011, 16:41

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202009:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202010:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202012:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceAdmin 6. 8. 201409:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202109:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Aplikace integrálu]{\fbox{Aplikace integrálu}}
\subsection{Výpočet plochy}
	\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]
	Nechť jsou  $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
	Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
	$$
	A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]
	Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
	Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
	$$
	A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
	$$
	\end{corollary}
 
 
\subsection{Výpočet polohy těžiště}
	\begin{theorem}[Poloha těžiště plochy pod grafem funkce]
	 Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$. Potom pro těžiště  $T=[\bar{x},\bar{y}]$ plochy pod grafem funkce $f$ platí
	$$
	\bar{x}=\frac{\int\limits_a^bxf(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}, \quad
	\bar{y}=\frac12\frac{\int\limits_a^bf^2(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}.
	$$
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Délka grafu funkce}
	\begin{theorem}[Délka grafu funkce]
	Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce  $L_f$ je 
	$$
	L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
	$$
	\begin{proof}
	Nechť $\varsigma$ je rozdělení intervalu $[a,b]$. S využitím Pythagorovy věty můžeme délku grafu funkce aproximovat úsečkou délky $d_k$ na každém dílčím intevalu $[x_{k-1},x_k]$ takto:
	$$
		d_k = \sqrt{(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2 + (x_k-x_{k-1})^2} = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}.
	$$
	Na intervalu $[x_{k-1},x_k]$ použijeme Lagrangeovu větu~\ref{thm:lagrange} o přírůstku funkce: $\exists c_k\in(x_{k-1},x_k)$ tak, že 
	$$
		d_k = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(f^\prime(c_k)\right)^2}.
	$$
	Označíme-li 
	\begin{align*}
	m_k &= \min \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \\
	M_k &= \max \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\},
	\end{align*}
	dostáváme nerovnost
	$$
	(x_k-x_{k-1})m_k \leq d_k \leq  (x_k-x_{k-1})M_k
	$$
	pro všechna $k$. Sečteme-li tuto nerovnost přes všechna $k=1,2,\dots,n$, máme 
	$$
	s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma) \leq L_f(\varsigma) \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma).
	$$
	Odtud již plyne tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Objem rotačního tělesa}
	\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]
	Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem 
	rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je 
	$$
	V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
	$$
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
	\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]
	Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch 
	rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je 
	$$
	S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
	$$
	\end{theorem}