Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Transcendentní funkce}
\subsection{Oč jde}
\pzp
Dělení na algebraická a transcendentní čísla, resp. funkce.
\subsection{Logaritmus}
\begin{define}[Logaritmická funkce]~\\
Logaritmická funkce je nekonstantní diferencovatelná funkce $f$ definovaná na $\R^+$, která pro všechny $x>0$ a $y>0$ splňuje
\be
f(xy) = f(x)+f(y).
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti logaritmické funkce]\label{Vvlf}~\\
Buď $f$ logaritmická funkce. Potom
\begin{enumerate}
\item $f(1)=0$
\item $f\left(\frac1x\right)=-f(x)$
\item $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$
\item $f^\prime(x)=\frac{1}{x}f^\prime(1)$, kde $f^\prime(1)$ odpovídá bázi logaritmu.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{define}[Přirozený logaritmus]~\\
Přirozený logaritmus $\ln$ je definován jako
\be\label{dln}
\ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t}.
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti $\ln x$]~\\
Funkce $\ln x$ definovaná vztahem (\ref{dln}) má následující vlastnosti:
\begin{itemize}
\item $D_{\ln} = \R^+ = (0,+\infty)$
\item $H_{\ln} = \R = (-\infty,+\infty)$
\item $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$
\item $\int \frac{1}{x}~\ud x = \ln |x| + C$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Intuitivní definice logaritmu, pojem báze (základu) logaritmu a základní vlastnosti. Ověření, že definice
přirozeného logaritmu (\ref{dln}) splňuje vlastnosti logaritmická funkce (tj. větu \ref{Vvlf}). Definice
Eulerova čísla $e$.
\subsection{Exponenciální funkce}
\begin{define}[Exponenciální funkce]~\\
Funkce $f(x) = e^x$ pro všechna $x\in\R$ se nazývá exponenciální funkce.
\end{define}
\begin{theorem}[Vztah $e^x$ a $\ln x$]~\\
Funkce $e^x$ je inverzní funkcí k $\ln x$, tj. $e^{\ln x} = \ln e^x = x$.
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definice čísla $e^z$ pro $z\in \R-\Q$. Vlastnosti exponenciály: $e^{x+y} = e^xe^y$, $(e^x)^\prime = e^x$, integrace, průběh funkce ...
\subsection{Obecná mocnina}
\begin{define}[Obecná mocnina]~\\
\be x^z = e^{z \ln x}. \ee
\end{define}
\pzp
Základní vlastnosti obecné mocniny, derivace a integrace.
\subsection{Obecná báze mocninné funkce}
\begin{define}[Obecná báze mocninné funkce]~\\
\be p^x = e^{x \ln p}. \ee
\end{define}
\pzp
Základní vlastnosti, derivace a integrace.
\subsection{Obecná báze logaritmu}
\begin{define}[Obecná báze logaritmu]~\\
\be\label{dlog}
\log_p x = \frac{\ln x}{\ln p}.
\ee
\end{define}
\pzp
Základní vlastnosti $\log_p p^x = x$, derivace $(\log_p x)^\prime = \frac{1}{x\ln p}$ a integrace.
Ověření, že (\ref{dlog}) je logaritmická funkce.
\subsection{Trigonometrické funkce}
\begin{lemma}[Snížení mocniny u trigonometrických funkcí]\label{cslem}~\\
\begin{align}
\label{cs3}\cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2} \\
\label{cs4}\sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2}
\end{align}
\end{lemma}
\pzp
Primitivní funkce a rozšířené techniky integrace s využitím Lemmatu \ref{cslem}
a vzorců (\ref{cs1}) a (\ref{cs2}) následujících integrálů:
\begin{enumerate}
\item $\int\cos^m(x)\sin^n(x)~\ud x$, pro $m, n \in \Z$
\item $\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$.
\end{enumerate}
\subsection{Cyklometrické funkce}
\pzp
Integrály typu
\begin{align}
&\int\frac{\ud x}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}} \\
&\int\frac{\ud x}{a^2+(x+b)^2}
\end{align}
\subsection{Hyperbolické funkce}
\begin{define}[Hyperbolické funkce]~\\
\begin{align}
\sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \\
\cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \\
\tgh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, \\
\ctgh x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
\end{align}
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti hyperbolických funkcí]~\\
Pro druhou mocninu hyperbolických funkcí platí:
\be
\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
\ee
Součtové vzorce:
\begin{align}
\cosh(x+y) &= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y,\\
\sinh(x+y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y.
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Derivace hyperbolických funkcí]~\\
\begin{align}
(\sinh x)^\prime &= \cosh x, \\
(\cosh x)^\prime &= \sinh x, \\
(\tgh x)^\prime &= \frac{1}{\cosh^2 x}, \\
(\ctgh x)^\prime &= -\frac{1}{\sinh^2 x}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definiční obory, obory hodnot a grafy hyperbolických funkcí,.
\subsection{Inverzní hyperbolické funkce}
\begin{define}[Inverzní hyperbolické funkce]
\begin{align}
\argsinh x &= \sinh^{-1} x \quad &\hbox{argument hyperbolického sinu}, \\
\argcosh x &= \cosh^{-1} x \quad &\hbox{argument hyperbolického cosinu}, \\
\argtgh x &= \tgh^{-1} x, \\
\argctgh x &= \ctgh^{-1} x.
\end{align}
\end{define}
\begin{theorem}[Explicitní vyjádření inverzních hyperbolických funkcí]~\\
\begin{align}
\argsinh x &= \ln (x+\sqrt{x^2+1}), &\hbox{pro~~} x \in\R \\
\argcosh x &= \ln (x+\sqrt{x^2-1}), &\hbox{pro~~} x \geq 1 \\
\argtgh x &= \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}, &\hbox{pro~~} x \in (-1, 1) \\
\argctgh x &= \frac12 \ln\frac{x+1}{x-1} &\hbox{pro~~} x \in \R \setminus (-1, 1) = (-\infty, -1)\cup(1, +\infty).
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Derivace inverzních hyperbolických funkcí]~\\
\begin{align}
(\argsinh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \\
(\argcosh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \\
(\argtgh x)^\prime &= (\argctgh x)^\prime = \frac{1}{1-x^2} \quad \hbox{\textit{(pozor na různé definiční obory!)}}.
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Přehled integrace funkcí vedoucích na hyperbolické a inverzní hyperbolické funkce -
integrály typu:
\begin{align}
&\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2+a^2}}, \\
&\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2-a^2}}, \\
&\int\frac{\ud x}{(x+b)^2-a^2}.
\end{align}
\subsection{Trigonometrické funkce : pokročilé techniky integrace}
\begin{lemma}[Snížení mocniny u trigonometrických funkcí]\label{cslem}~\\
\begin{align}
\label{cs3}\cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2} \\
\label{cs4}\sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2}
\end{align}
\end{lemma}
\pzp
Primitivní funkce a rozšířené techniky integrace s využitím Lemmatu \ref{cslem}
následujících integrálů:
\begin{enumerate}
\item $\int\cos^m(x)\sin^n(x)~\ud x$, pro $m, n \in \Z$
\item $\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$.
\end{enumerate}
