Matematika1:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 31. 7. 2010, 23:52, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Transcendentní funkce} \subsection{Oč jde} \pzp Dělení na algebraická a transcendentní čísla, resp. funkce. \subsection{Loga...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202009:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202010:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202012:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceFucikrad 20. 2. 202111:29 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202109:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Transcendentní funkce}
\subsection{Oč jde}
\pzp
Dělení na algebraická a transcendentní čísla, resp. funkce.  
 
\subsection{Logaritmus}
\begin{define}[Logaritmická funkce]~\\
Logaritmická funkce je nekonstantní diferencovatelná funkce $f$ definovaná na $\R^+$, která pro všechny $x>0$ a $y>0$ splňuje
\be
  f(xy) = f(x)+f(y).
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti logaritmické funkce]\label{Vvlf}~\\
Buď $f$ logaritmická funkce. Potom
  \begin{enumerate}
    \item $f(1)=0$
    \item $f\left(\frac1x\right)=-f(x)$
    \item $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$
    \item $f^\prime(x)=\frac{1}{x}f^\prime(1)$, kde $f^\prime(1)$ odpovídá bázi logaritmu.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\begin{define}[Přirozený logaritmus]~\\
  Přirozený logaritmus $\ln$ je definován jako 
  \be\label{dln}
     \ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t}.
  \ee
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti $\ln x$]~\\
  Funkce $\ln x$ definovaná vztahem (\ref{dln}) má následující vlastnosti:
  \begin{itemize}
    \item $D_{\ln} = \R^+ = (0,+\infty)$
    \item $H_{\ln} = \R = (-\infty,+\infty)$
    \item $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$
    \item $\int \frac{1}{x}~\ud x = \ln |x| + C$
  \end{itemize}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\pzp
Intuitivní definice logaritmu, pojem báze (základu) logaritmu a základní vlastnosti. Ověření, že definice
přirozeného logaritmu (\ref{dln}) splňuje vlastnosti logaritmická funkce (tj. větu \ref{Vvlf}). Definice
Eulerova čísla $e$.
 
\subsection{Exponenciální funkce}
\begin{define}[Exponenciální funkce]~\\
  Funkce $f(x) = e^x$ pro všechna $x\in\R$ se nazývá exponenciální funkce.
\end{define}
\begin{theorem}[Vztah $e^x$ a $\ln x$]~\\
  Funkce $e^x$ je inverzní funkcí k $\ln x$, tj. $e^{\ln x} = \ln e^x = x$.
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\pzp
Definice čísla $e^z$ pro $z\in \R-\Q$.  Vlastnosti exponenciály: $e^{x+y} = e^xe^y$, $(e^x)^\prime = e^x$, integrace, průběh funkce ...
 
\subsection{Obecná mocnina}
\begin{define}[Obecná mocnina]~\\
  \be x^z = e^{z \ln x}. \ee
\end{define}
\pzp
Základní vlastnosti obecné mocniny, derivace a integrace.
 
\subsection{Obecná báze mocninné funkce}
\begin{define}[Obecná báze mocninné funkce]~\\
  \be p^x = e^{x \ln p}. \ee
\end{define}
\pzp
Základní vlastnosti, derivace a integrace.
 
\subsection{Obecná báze logaritmu}
\begin{define}[Obecná báze logaritmu]~\\
  \be\label{dlog}
       \log_p x = \frac{\ln x}{\ln p}. 
  \ee
\end{define}
\pzp
Základní vlastnosti $\log_p p^x = x$, derivace $(\log_p x)^\prime = \frac{1}{x\ln p}$ a integrace.
Ověření, že (\ref{dlog}) je logaritmická funkce. 
 
\subsection{Trigonometrické funkce}
 
\begin{lemma}[Snížení mocniny u trigonometrických funkcí]\label{cslem}~\\
  \begin{align}
    \label{cs3}\cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2} \\
    \label{cs4}\sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2}
  \end{align}
\end{lemma}
\pzp
Primitivní funkce a rozšířené techniky integrace s využitím Lemmatu \ref{cslem} 
a vzorců (\ref{cs1}) a (\ref{cs2}) následujících integrálů:
\begin{enumerate}
\item $\int\cos^m(x)\sin^n(x)~\ud x$, pro $m, n \in \Z$
\item $\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$.
\end{enumerate}
 
\subsection{Cyklometrické funkce}
\pzp
Integrály typu
\begin{align}
  &\int\frac{\ud x}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}} \\
  &\int\frac{\ud x}{a^2+(x+b)^2}
\end{align}
 
\subsection{Hyperbolické funkce}
\begin{define}[Hyperbolické funkce]~\\
  \begin{align}
     \sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \\
     \cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \\
     \tgh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, \\
     \ctgh x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} 
  \end{align}
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti hyperbolických funkcí]~\\
  Pro druhou mocninu hyperbolických funkcí platí:
  \be
    \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
  \ee
Součtové vzorce:
\begin{align}
    \cosh(x+y) &= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y,\\
    \sinh(x+y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y.
  \end{align}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\begin{theorem}[Derivace hyperbolických funkcí]~\\
  \begin{align}
     (\sinh x)^\prime &= \cosh x, \\
     (\cosh x)^\prime &= \sinh x, \\
     (\tgh x)^\prime &= \frac{1}{\cosh^2 x},  \\
     (\ctgh x)^\prime &= -\frac{1}{\sinh^2 x}  
  \end{align}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\pzp
Definiční obory, obory hodnot a grafy hyperbolických funkcí,.
 
\subsection{Inverzní hyperbolické funkce}
\begin{define}[Inverzní hyperbolické funkce]
  \begin{align}
    \argsinh x &= \sinh^{-1} x \quad &\hbox{argument hyperbolického sinu}, \\
    \argcosh x &= \cosh^{-1} x \quad &\hbox{argument hyperbolického cosinu}, \\
    \argtgh x &= \tgh^{-1} x, \\
    \argctgh x &= \ctgh^{-1} x.
  \end{align}
\end{define}
 
\begin{theorem}[Explicitní vyjádření inverzních hyperbolických funkcí]~\\
  \begin{align}
    \argsinh x &= \ln (x+\sqrt{x^2+1}), &\hbox{pro~~} x \in\R  \\
    \argcosh x &= \ln (x+\sqrt{x^2-1}), &\hbox{pro~~} x \geq 1 \\
    \argtgh x &= \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}, &\hbox{pro~~} x \in (-1, 1)  \\
    \argctgh x &= \frac12 \ln\frac{x+1}{x-1} &\hbox{pro~~} x \in \R \setminus (-1, 1) = (-\infty, -1)\cup(1, +\infty).
  \end{align}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
 
\begin{theorem}[Derivace inverzních hyperbolických funkcí]~\\
  \begin{align}
    (\argsinh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}},  \\
    (\argcosh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},  \\
    (\argtgh x)^\prime &= (\argctgh x)^\prime = \frac{1}{1-x^2} \quad \hbox{\textit{(pozor na různé definiční obory!)}}.
  \end{align}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
 
\pzp
Přehled integrace funkcí vedoucích na hyperbolické a inverzní hyperbolické funkce - 
integrály typu:
\begin{align}
  &\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2+a^2}}, \\
  &\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2-a^2}}, \\
  &\int\frac{\ud x}{(x+b)^2-a^2}.
\end{align}
 
 
\subsection{Trigonometrické funkce : pokročilé techniky integrace}
    \begin{lemma}[Snížení mocniny u trigonometrických funkcí]\label{cslem}~\\
  \begin{align}
    \label{cs3}\cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2} \\
    \label{cs4}\sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2}
  \end{align}
\end{lemma}
\pzp
Primitivní funkce a rozšířené techniky integrace s využitím Lemmatu \ref{cslem} 
následujících integrálů:
\begin{enumerate}
\item $\int\cos^m(x)\sin^n(x)~\ud x$, pro $m, n \in \Z$
\item $\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$,
\item $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$.
\end{enumerate}