Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Integrální počet}
\subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál}
\begin{define}[Primitivní funkce]~\\
Funkci $F$ nazveme primitivní k funkce $f$ na intervalu $[a,b]$, pokud $F$ je spojitá na intervalu
$[a,b]$ a platí $F^\prime(x) = f(x)$ pro všechna $x \in (a,b)$.
\end{define}
\begin{theorem}[O jednoznačnosti primitivní funkce]~\\
Buď funkce $F$ primitivní k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. Potom funkce $G$ je primitivní k funkci $f$
právě když $(\exists C\in\R)(\forall x\in(a,b)~)(F(x)=G(x)+C).$
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{define}[Neurčitý integrál]~\\
Nechť pro funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na $(a,b)$. {Množinu} všech primitivních
funkcí k funkci $f$ nazveme neurčitým integrálem funkce $f$ v intervalu $(a,b)$ a značíme symbolem
\be
\int f(x)~\ud x, \quad \hbox{nebo krátce} \quad \int f.
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Per partes]~\\
Nechť $f$, $g$ mají na $(a,b)$ konečné derivace a funkce $h=fg^\prime$ má v $(a,b)$ primitivní
funkci $H$. Potom funkce $f^\prime g$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $fg-H$. \\
Neboli
\be
\int fg^\prime = fg-\int f^\prime g.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Substituce]~\\
Nechť $f$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $F$, $\varphi$ má v $(\alpha,\beta)$ konečnou derivaci
$\varphi^\prime$ a $\varphi(\alpha,\beta)~\subset~(a,b)$. Potom funkce $F \circ \varphi$ je primitivní
funkce $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$ v intervalu $(\alpha,\beta)$.
Neboli
\be
\int f(z)~\ud z = \int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x)~\ud t = F(\varphi(x)) + C.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Věta o linearitě primitivní funkce. Základní primitivní funkce.
\subsection{Určitý integrál}
\begin{define}[Neurčitý integrál]~\\
Buď $s_f(\varsigma)$, resp. $S_f(\varsigma)$ dolní, resp. horní součet při rozdělení $\varsigma$
intervalu $[a,b]$. Potom jednoznačně určené číslo $I$, které pro všechna možná rozdělení $\varsigma$ splňuje
\be
s_f(\varsigma) \leq I \leq S_f(\varsigma)
\ee
se nazývá určitý integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ (přes interval $(a,b)$) a značí se
\be
I = \int\limits_a^b f(x)~\ud x = \int\limits_a^b f.
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Newton. Vztah neurčitého a určitého integrálu]~\\
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a $F$ její primitivní funkce. Potom
\be
\int\limits_a^b f(x)~\ud x = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F(a).
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Per partes]~\\
Nechť funkce $f$, $g$ mají na $[a,b]$ spojité derivace. Potom
\be
\int\limits_a^b f(x)g^\prime(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int\limits_a^b f^\prime(x)g(x)~\ud x.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Substituce]~\\
Buď $\varphi^\prime$ spojitá na intervalu $[\alpha,\beta]$. Nechť funkce $f$ je spojitá na $H_\varphi$.
Potom
\be
\int\limits_a^b f(\varphi(t))\varphi^\prime(t) ~\ud t= \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)~\ud u.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definice rozdělení $\varsigma$ intervalu $[a, b]$, dolní součet $s_f(\varsigma)$ a horní součet $S_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ intervalu $[a, b]$.
\subsection{Vlastnosti určitého integrálu}
\begin{theorem}[Věta o střední hodnotě integrálu]~\\
Buď $f$, $g$ spojité na intervalu $[a,b]$ a navíc funkce $g$ nezáporná na $[a,b]$. Potom $\exists c\in [a,b]$ tak, že
\be
\int\limits_a^b f(x)g(x)~\ud x = f(c)\int\limits_a^b g(x)~\ud x.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Integrál z kladné nebo nezáporné funkce. Nerovnost mezi integrály, analogie trojúhelníkové nerovnosti.
