Matematika1:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 31. 7. 2010, 23:52, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Užití derivace k vyšetřování funkce} \subsection{Věty o přírůstku funkce} \begin{lemma}~\\ Pokud $f^\prime(x_0)>0$ (nebo ...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202009:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202010:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202012:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceFucikrad 20. 2. 202111:29 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202109:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Užití derivace k vyšetřování funkce}
\subsection{Věty o přírůstku funkce}
 \begin{lemma}~\\
   Pokud $f^\prime(x_0)>0$ (nebo též $f^\prime(x_0)=+\infty$), pak existuje $\epsilon > 0$ tak, že pro všechna $h \in (0,\epsilon)$ platí
\be
  f(x_0-h) < f(x_0) < f(x_0+h),
\ee
 tj. $f$ je rostoucí funkce v bodě $x_0$ (viz přednáška v odstavci \ref{section:monotonie}). \\
   Pokud $f^\prime(x_0)<0$ (nebo též $f^\prime(x_0)=-\infty$), pak existuje $\epsilon > 0$ tak, že pro všechna $h \in (0,\epsilon)$ platí
\be
   f(x_0-h) > f(x_0) > f(x_0+h),
\ee
 tj. $f$ je klesající funkce v bodě $x_0$ (viz přednáška v odstavci \ref{section:monotonie}).
 \end{lemma}
\begin{theorem}[Rolle]~\\
  Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a diferencovatelná na $(a,b)$ (tj. $f$ má konečnou 
  derivaci na $(a,b)$) a nechť navíc $f(a)=f(b)$. Potom $\exists c\in(a,b)$ tak, že $f^\prime(c)=0$.
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\begin{theorem}[Lagrange]~\\
 Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a diferencovatelná na $(a,b)$. Potom $\exists c\in(a,b)$ tak, že
\be
  f^\prime(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}.
\ee
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\begin{corollary}~\\
  Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a nechť $f^\prime (x)=0 \quad \forall x \in (a,b)$. Potom $f$ je konstanta,
 tj. $f(x)=K \quad \forall\in (a,b)$.
\end{corollary}
\begin{theorem}~\\
  Nechť funkce $f$ a $g$ jsou spojité na intervalu $[a,b]$ a nechť $f^\prime(x)=g^\prime(x)$ na intervalu $(a,b)$.
  Potom $\exists C\in \R$ tak, že $f(x) = g(x) + C \quad \forall x\in[a,b]$.
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
 
\subsection{Monotonie}\label{section:monotonie}
\begin{theorem}[Vztah derivace a monotonie]~\\
  Nechť funkce $f$ je diferencovatelná na intervalu $J$. Potom platí
\begin{itemize}
  \item $f^\prime(x)>0 \quad \forall x\in J  \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je ostře rostoucí na $J$.
  \item $f^\prime(x)\geq 0 \quad \forall x\in J  \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je rostoucí (neklesající) na $J$.
  \item $f^\prime(x)<0 \quad \forall x\in J  \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je ostře klesající na $J$.
  \item $f^\prime(x)\leq 0 \quad \forall x\in J  \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je klesající (nerostoucí) na $J$.
\end{itemize}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\pzp
Definice rostoucí, ostře rostoucí, klesající a ostře klesající funkce.
 
\subsection{Extrémy}
\begin{theorem}[Nutná podmínka existence extrému]~\\
  Má-li funkce $f$ v bodě $a \in D_f$ lokální extrém, pak $f^\prime(a)=0$ nebo $f^\prime(a)$ neexistuje.
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\pzp
Definice lokálního a globálního minima nebo maxima.
 
\subsection{Test extrému dle 1. derivace}
\begin{theorem}[Test extrému funkce dle $f^\prime$]~\\
  Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $c \in D_f$ a nechť bod $c$ je stacionárním bodem funkce~$f$.
  Pokud existuje $\delta>0$ tak, že 
  \begin{itemize}
     \item $f^\prime > 0 \hbox{~na~} (c-\delta,c)$ a  
           $f^\prime < 0 \hbox{~na~} (c,c+\delta)$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální maximum.
     \item $f^\prime < 0 \hbox{~na~} (c-\delta,c)$ a  
           $f^\prime > 0 \hbox{~na~} (c,c+\delta)$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální minimum.
     \item $f^\prime$ má stejné znamení v $(c-\delta,c) \cup (c,c+\delta)$, potom $f$ nemá v bodě $c$ lokální extrém.
  \end{itemize}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
 
\pzp
Definice stacionárního bodu $c$ : $f^\prime(c) = 0$ nebo $f^\prime(c)$ neexistuje.
 
\subsection{Test extrému dle 2. derivace}
\begin{theorem}[Test extrému funkce dle $f^{\prime\prime}$]~\\
  Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $c \in D_f$ a nechť $f^\prime(c)=0$.
  \begin{itemize}
     \item Pokud  $f^{\prime\prime}(c) > 0$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální maximum,
     \item Pokud  $f^{\prime\prime}(c) < 0$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální minimum.
  \end{itemize}
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
 
\subsection{Globální extrémy}
\pzp
Postup vyšetřování funkcí.
 
\subsection{Konvexita, konkavita, inflexe}
\begin{theorem}
  Buď $c$ inflexní bod. Potom $f^{\prime\prime}(c)=0$ nebo $f^{\prime\prime}(c)$ neexistuje.
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
\pzp
Definice konvexní a konkávní funkce. Definice  a význam inflexe.
 
\subsection{Asymptota funkce}
\begin{define}[Asymptota]~\\
  Přímku $y=kx+q$ nazveme asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, resp. $-\infty$, platí-li, že
\be
  \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - kx -q = 0,
\ee
 resp.
\be
  \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) - kx -q = 0.
\ee
\end{define}
 
\begin{define}[Vertikální asymptota]~\\
  Přímku $x=a$ nazveme vertikální asymptotou funkce $f$, má-li funkce $f$ v bodě
  $a$ nekonečnou limitu zleva nebo zprava.
\end{define}
 
\begin{theorem}[Nalezení asymptoty]~\\\
  $y=kx+q$ je asymptotou funkce $f$ v $\pm\infty$ právě tehdy, když
\begin{align}
  k &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \\
  q &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)-kx.
\end{align} 
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
 
\subsection{L'Hospitalovo pravidlo}
\begin{theorem}
  Buď $a \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$. Nechť $f$ má konečnou derivaci 
  a $g^\prime(x)\neq 0$ na $(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$.
 Dále nechť platí jedna ze dvou podmínek:
 \begin{enumerate}
   \item $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0 \wedge \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
   \item $\lim\limits_{x \to a} |g(x)| = +\infty $
 \end{enumerate}
  Potom jestliže existuje limita na pravé straně následující rovnice, platí mezi limitami rovnost
  \be
    \lim\limits_{x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = 
    \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}. 
  \ee
\end{theorem}
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}