Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Užití derivace k vyšetřování funkce}
\subsection{Věty o přírůstku funkce}
\begin{lemma}~\\
Pokud $f^\prime(x_0)>0$ (nebo též $f^\prime(x_0)=+\infty$), pak existuje $\epsilon > 0$ tak, že pro všechna $h \in (0,\epsilon)$ platí
\be
f(x_0-h) < f(x_0) < f(x_0+h),
\ee
tj. $f$ je rostoucí funkce v bodě $x_0$ (viz přednáška v odstavci \ref{section:monotonie}). \\
Pokud $f^\prime(x_0)<0$ (nebo též $f^\prime(x_0)=-\infty$), pak existuje $\epsilon > 0$ tak, že pro všechna $h \in (0,\epsilon)$ platí
\be
f(x_0-h) > f(x_0) > f(x_0+h),
\ee
tj. $f$ je klesající funkce v bodě $x_0$ (viz přednáška v odstavci \ref{section:monotonie}).
\end{lemma}
\begin{theorem}[Rolle]~\\
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a diferencovatelná na $(a,b)$ (tj. $f$ má konečnou
derivaci na $(a,b)$) a nechť navíc $f(a)=f(b)$. Potom $\exists c\in(a,b)$ tak, že $f^\prime(c)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Lagrange]~\\
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a diferencovatelná na $(a,b)$. Potom $\exists c\in(a,b)$ tak, že
\be
f^\prime(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{corollary}~\\
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a nechť $f^\prime (x)=0 \quad \forall x \in (a,b)$. Potom $f$ je konstanta,
tj. $f(x)=K \quad \forall\in (a,b)$.
\end{corollary}
\begin{theorem}~\\
Nechť funkce $f$ a $g$ jsou spojité na intervalu $[a,b]$ a nechť $f^\prime(x)=g^\prime(x)$ na intervalu $(a,b)$.
Potom $\exists C\in \R$ tak, že $f(x) = g(x) + C \quad \forall x\in[a,b]$.
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\subsection{Monotonie}\label{section:monotonie}
\begin{theorem}[Vztah derivace a monotonie]~\\
Nechť funkce $f$ je diferencovatelná na intervalu $J$. Potom platí
\begin{itemize}
\item $f^\prime(x)>0 \quad \forall x\in J \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je ostře rostoucí na $J$.
\item $f^\prime(x)\geq 0 \quad \forall x\in J \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je rostoucí (neklesající) na $J$.
\item $f^\prime(x)<0 \quad \forall x\in J \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je ostře klesající na $J$.
\item $f^\prime(x)\leq 0 \quad \forall x\in J \quad\Rightarrow\quad $ $f$ je klesající (nerostoucí) na $J$.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definice rostoucí, ostře rostoucí, klesající a ostře klesající funkce.
\subsection{Extrémy}
\begin{theorem}[Nutná podmínka existence extrému]~\\
Má-li funkce $f$ v bodě $a \in D_f$ lokální extrém, pak $f^\prime(a)=0$ nebo $f^\prime(a)$ neexistuje.
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definice lokálního a globálního minima nebo maxima.
\subsection{Test extrému dle 1. derivace}
\begin{theorem}[Test extrému funkce dle $f^\prime$]~\\
Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $c \in D_f$ a nechť bod $c$ je stacionárním bodem funkce~$f$.
Pokud existuje $\delta>0$ tak, že
\begin{itemize}
\item $f^\prime > 0 \hbox{~na~} (c-\delta,c)$ a
$f^\prime < 0 \hbox{~na~} (c,c+\delta)$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální maximum.
\item $f^\prime < 0 \hbox{~na~} (c-\delta,c)$ a
$f^\prime > 0 \hbox{~na~} (c,c+\delta)$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální minimum.
\item $f^\prime$ má stejné znamení v $(c-\delta,c) \cup (c,c+\delta)$, potom $f$ nemá v bodě $c$ lokální extrém.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definice stacionárního bodu $c$ : $f^\prime(c) = 0$ nebo $f^\prime(c)$ neexistuje.
\subsection{Test extrému dle 2. derivace}
\begin{theorem}[Test extrému funkce dle $f^{\prime\prime}$]~\\
Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $c \in D_f$ a nechť $f^\prime(c)=0$.
\begin{itemize}
\item Pokud $f^{\prime\prime}(c) > 0$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální maximum,
\item Pokud $f^{\prime\prime}(c) < 0$, potom $f$ má v bodě $c$ lokální minimum.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\subsection{Globální extrémy}
\pzp
Postup vyšetřování funkcí.
\subsection{Konvexita, konkavita, inflexe}
\begin{theorem}
Buď $c$ inflexní bod. Potom $f^{\prime\prime}(c)=0$ nebo $f^{\prime\prime}(c)$ neexistuje.
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Definice konvexní a konkávní funkce. Definice a význam inflexe.
\subsection{Asymptota funkce}
\begin{define}[Asymptota]~\\
Přímku $y=kx+q$ nazveme asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, resp. $-\infty$, platí-li, že
\be
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - kx -q = 0,
\ee
resp.
\be
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) - kx -q = 0.
\ee
\end{define}
\begin{define}[Vertikální asymptota]~\\
Přímku $x=a$ nazveme vertikální asymptotou funkce $f$, má-li funkce $f$ v bodě
$a$ nekonečnou limitu zleva nebo zprava.
\end{define}
\begin{theorem}[Nalezení asymptoty]~\\\
$y=kx+q$ je asymptotou funkce $f$ v $\pm\infty$ právě tehdy, když
\begin{align}
k &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \\
q &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)-kx.
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\subsection{L'Hospitalovo pravidlo}
\begin{theorem}
Buď $a \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$. Nechť $f$ má konečnou derivaci
a $g^\prime(x)\neq 0$ na $(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$.
Dále nechť platí jedna ze dvou podmínek:
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0 \wedge \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
\item $\lim\limits_{x \to a} |g(x)| = +\infty $
\end{enumerate}
Potom jestliže existuje limita na pravé straně následující rovnice, platí mezi limitami rovnost
\be
\lim\limits_{x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =
\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
