Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Derivace funkce}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Derivace funkce $f$ v bodě $a$]~\\
Pokud existuje limita
\be\label{deflim}
\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a},
\ee
říkáme, že funkce $f$ má v bodě $a$ derivaci, kterou značíme $f^\prime(a)$, $\frac{\ud f}{\ud x}(a)$ nebo $f^{(1)}(a)$, a je této limitě
rovna.
\end{define}
\begin{remark}
Limitu (\ref{deflim}) lze též ekvivalentně zapisovat jako
\be
f^\prime(a) = \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\ee
\end{remark}
\subsection{Příklady a pravidla pro derivování}
\begin{theorem}[Derivace funkce $x^n$]~\\
\be
f(x)=x^n, \quad n \in \R \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = nx^{n-1}.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
Důkaz matematickou indukcí pro $n\in\N$.
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Rovnice tečny ke grafu funkce]~\\
Rovnice tečny $t_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ je
\be
t_f(a): ~~f^\prime(a)(x-a) = y-f(a).
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{theorem}[Pravidla pro derivování]~\\
Nechť $\alpha \in \R$, $f$ a $g$ mají v bodě $x$ konečnou derivaci. Potom
\begin{align}
(f+g)^\prime(x) &= f^\prime(x)+g^\prime(x), \\
(\alpha f)^\prime(x) &= \alpha f^\prime(x) \\
(fg)^\prime(x) &= f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x), \\
\left(\frac{f}{g}\right)^\prime(x) &= \frac{f^\prime(x) g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}, \quad \hbox{pokud $g(x) \neq 0$}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Derivace jednoduchých funkcí pomocí definice ($\frac1x$,$\sqrt x$). Derivace trigonometrických funkcí:
\begin{align}
(\sin x)^\prime &= \cos x \\
(\cos x)^\prime &= -\sin x \\
(\tg x)^\prime &= \frac{1}{cos^2 x} \\
(\cotg x)^\prime &= -\frac{1}{sin^2 x}\\
(x^\alpha)^\prime &= \alpha x^{\alpha-1}
\end{align}
Příklady derivace
součinu a podílu funkcí.
\subsection{Derivace složené funkce}
\begin{theorem}[Řetězové pravidlo]~\\
Nechť funkce $g$ má konečnou derivaci v $x_0$ a funkce $f$ má konečnou derivaci v bodě $g(x_0)$. Potom
\be
(f \circ g)^\prime(x_0) = f(g(x_0))^\prime~g(x_0)^\prime.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{corollary}[Řetězové pravidlo pro více funkcí]~\\
\be\label{retez}
(f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \dots \circ f_n)' = f_1^\prime~f_2^\prime~f_3^\prime~\dots~f_n^\prime.
\ee
\end{corollary}
\begin{remark}
Pozor, kvůli přehlednosti jsou v (\ref{retez}) vynechány body, ve kterých jsou derivace funkcí vyčísleny !
\end{remark}
\pzp
Důležité příklady derivace inverzní funkce. Pojem diferenciálu. Derivace převrácené funkce.
\subsection{Derivace inverzní funkce}\label{dif}
\begin{theorem}[Derivace inverzní funkce]~\\
Nechť funkce $f$ je prostá a $f^{-1}$ je její inverzní funkce. Nechť funkce $f$ má konečnou derivaci
v bodě $x_0=f^{-1}(y_0)$. Potom
\be
\left( f^{-1} \right)^\prime(y_0) = \frac{1}{f^\prime(x_0)}.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pzp
Důležité příklady aplikace Věty \ref{dif}.
\subsection{Derivace vyšších řádů}
\pzp
Definice $n$-té derivace $f^{(n)}(x)$ a poznámky - Leibnitzův vzorec.
\subsection{Cyklometrické funkce}
\pzp
Definice, vlastnosti a odvození derivací funkcí $\arctg$, $\arcctg$, $\arcsin$ a $\arccos$:
\begin{itemize}
\item $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$
\item $(\arctg x)^\prime = \frac{1}{1+x^2} $
\item $(\arcctg x)^\prime = -\frac{1}{1+x^2} $ \\
\item $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$
\item $(\arcsin x)^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
\item $(\arccos x)^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
\end{itemize}
\subsection{Jednostranné derivace}
\begin{define}[Jednostranné derivace]~\\
Derivaci zleva, resp. zprava v bodě $a$ definujeme jako
\be
f^\prime_-(a) = \lim\limits_{x\to a-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}, \quad \hbox{resp.} \quad
f^\prime_+(a) = \lim\limits_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[O limitě derivace]~\\
Nechť pro funkci $f$ a bod $a \in D_f$ platí, že
\begin{enumerate}
\item $\exists\delta>0$ tak, že $f$ je diferencovatelná na $(a-\delta,a)$, resp. $(a,a+\delta)$,
\item funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, resp. zprava,
\item $\exists\lim\limits_{x\to a-} f^\prime(x)$, resp.~ $\exists\lim\limits_{x\to a+} f^\prime(x)$.
\end{enumerate}
Potom existuje $f^\prime_+(a)$, resp. $f^\prime_-(a)$ tak, že platí
\be
f^\prime_-(a) = \lim\limits_{x\to a-} f^\prime(x),
\quad \hbox{resp.} \quad
f^\prime_+(a) = \lim\limits_{x\to a+} f^\prime(x).
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
