Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Limita funkce}
\subsection{Definice a vlastnosti}
\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$]~~\\
Nechť pro nějaké $c \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(c-p, c)\cup(c, c+p)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom~~\\
\be\nonumber
\lim\limits_{x \to c} f(x) = l \ekv
(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c-p,c)\cup(c,c+p)~)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon).
\ee
\end{define}
\begin{theorem}[Ekvivalence zápisů limity]~~\\
Následující výroky jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\lim\limits_{x \to c} f(x) = l$,
\item[(ii)] $\lim\limits_{x \to c} f(x) - l=0$,
\item[(iii)] $\lim\limits_{x \to c} |f(x) - l|=0$,
\item[(iiii)] $\lim\limits_{h \to 0} f(c+h)=l$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\subsection{Jednoznačnost limity}
\begin{theorem}[O jednoznačnosti limity funkce]~~\\
\be\nonumber \left( \lim\limits_{x \to c}f(x)=l \quad \wedge \quad \lim\limits_{x \to c}f(x)=m \right) \quad\Rightarrow\quad l=m.
\ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\pagebreak
\begin{theorem}[Vlastnosti limity funkce]~~\\
Nechť $\lim\limits_{x \to c}f(x)=l$ a $\lim\limits_{x \to c}g(x)=m$, kde $l,m\in\R$. Potom:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\lim\limits_{x \to c} (f+g)(x) = l+m$,
\item[(ii)] $\lim\limits_{x \to c} (f-g)(x) = l-m$,
\item[(iii)] $\lim\limits_{x \to c} (fg)(x) = lm$,
\item[(iiii)] pokud navíc $m\neq0$, pak $\lim\limits_{x \to c} \frac fg(x) = \frac lm$,
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{corollary}~~\\
Nechť $p$ je polynom. Potom $\forall c\in\R$
\be
\lim\limits_{x \to c} p(x) = p(c).
\ee
\end{corollary}
\subsection{Jednostranné limity}
\begin{define}[Limita funkce $f$ zleva v bodě $c$]~\\
Nechť pro nějaké $c \in \R$ a $p>0$ je interval $(c-p, c)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom~~\\
\be\nonumber\lim\limits_{x \to c-} f(x) = l \ekv
(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c-p, c)~)(c-\delta<x<c \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon).
\ee
\end{define}
\begin{define}[Limita funkce $f$ zprava v bodě $c$]~\\
Nechť pro nějaké $c \in \R$ a $p>0$ je interval $(c, c+p)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom~~\\
\be\nonumber\lim\limits_{x \to c+} f(x) = l \ekv
(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c, c+p)~)(c<x<c+\delta \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon).
\ee
\end{define}
\subsection{Nekonečné limity}
\begin{define}[Nekonečná limita funkce $f$ v bodě $c$]~\\
Nechť pro nějaké $c \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(c-p, c)\cup(c, c+p)$ částí definičního oboru $D_f$.Potom~~\\
\be\nonumber
\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty \ekv
(\forall\alpha>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c-p, c)\cup(c, c+p)~)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow f(x) > \alpha),
\ee
\be\nonumber
\lim\limits_{x \to c} f(x) = -\infty \ekv
(\forall\alpha>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c-p, c)\cup(c, c+p)~)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow f(x) < -\alpha).
\ee
\end{define}
\begin{define}[Limita funkce v nekonečnu]~\\
\be\nonumber
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l \ekv
(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x > \delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon),
\ee
\be\nonumber
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = l \ekv
(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x < -\delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon),
\ee
\end{define}
\pzp
Pravidla zacházení se symbolem $+\infty$ a $-\infty$, vlastnosti nekonečných limit.
\subsection{Věta o sevřené funkci}
\begin{theorem}[Sendvičová věta]~\\
Buď $p>0$ a nechť pro funkce $d$, $f$ a $h$ platí, že pro všechna $x$ taková, že
$0 < |x-c| < p$ je $d(x) \leq f(x) \leq h(x)$.
Potom když $\lim\limits_{x \to c} d(x) = \lim\limits_{x \to c} h(x) = l$, pak
existuje limita funkce $f$ v bodě $c$ a je rovna $l$
\be \lim\limits_{x \to c} f(x) = l. \ee
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\subsection{Trigonometrické limity}
\pzp
Základní vztahy mezi trigonometrickými funkcemi: \\
\begin{itemize}
\item $\cos^2x+\sin^2x=1$
\item součtový vzorec \be\label{cs1} \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, \ee
\item součtový vzorec \be\label{cs2} \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, \ee
\item důležitá limita \be \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1.\ee
\end{itemize}
