Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Funkce}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce}
\textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis,
který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$.
Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$.
\end{define}
\begin{define}[Graf funkce]
\textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$.
\end{define}
\begin{remark}
Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Množina $F$ je funkcí ve smyslu definice \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí:
$$ \big( (x,y) \in F \wedge (x,z) \in F \big) \Rightarrow y=z. $$
\end{theorem}
\subsection{Základní funkce}
\begin{define}[Polynom] \textbf{Polynom} $p$ je funkce definovaná jako
$$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}(a_{k}x^k).$$
Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\R$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$.
\end{define}
\begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou:
\begin{itemize}
\item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $, $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $
\item Racionální funkce $ \frac{1}{x}$, $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $, $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $
\end{itemize}
\end{remark}
\subsection{Algebraické kombinace funkcí}
\pzp Součet, rozdíl, součin, podíl dvou funkcí, násobení funkce číslem. Skládání funkcí $f \circ g$, $f \circ g \circ h$
apod. Skládání funkcí není komutativní $f \circ g \neq g \circ f$ !!!
\begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~
Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť
\textbf{ $D_{f}= D_{g} $}. Pak: \\
\begin{itemize}
\item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$
\item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$
\item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
\item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $
\end{itemize}
\end{define}
\subsection{Prostá a inverzní funkce}
\begin{define}[Prostá funkce]
Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých
by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$.
\end{define}
\begin{theorem}[O inverzní funkci]
Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem
$D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$.
\end{theorem}
\begin{proof}
%% dodelat
\end{proof}
\begin{define}[Inverzní funkce]~~\\
Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$.
\end{define}
\pzp Čemu a na jakém definičním oboru je rovno složení $f \circ f^{-1}$, resp. $f^{-1} \circ f$ ?
\subsection{Parita, obraz, vzor}
\pzp Sudá a lichá funkce. Pojem obrazu a vzoru množiny při zobrazení $f$.
