Matematika1:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Funkce} \subsection{Definice} \begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce} \textbf{Funkce} $f$ s \...)
 
 
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{Matematika1}
 
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Funkce}
+
\section[Funkce]{\fbox{Funkce}}
  \subsection{Definice}
+
\subsection{Definice}
  \begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce}  
+
\begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce}  
    \textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis,
+
\textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis,
    který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$.  
+
který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$.  
    Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$.
+
Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$.
  \end{define}
+
\end{define}
  
  
 +
\begin{define}[Graf funkce]
 +
\textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$.
 +
\end{define}
  
\begin{define}[Graf funkce]
+
% \begin{remark}  
  \textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$.
+
% Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$.
\end{define}
+
% \end{remark}
  
\begin{remark}  
+
\begin{theorem}
  Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$.
+
Množina $\mathcal{F}$ je funkcí ve smyslu definice  \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí:
\end{remark}
+
$$ \big( (x,y) \in \mathcal{F} \wedge (x,z) \in \mathcal{F} \big) \Rightarrow y=z. $$
 +
\end{theorem}
  
\begin{theorem}
 
  Množina $F$ je funkcí ve smyslu definice  \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí:
 
$$ \big( (x,y) \in F \wedge (x,z) \in F \big) \Rightarrow y=z. $$
 
\end{theorem}
 
  
 +
\subsection{Základní funkce}
 +
\begin{define}[Polynom]
 +
\textbf{Polynom} $p$  je funkce definovaná jako
 +
$$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} +  a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^k,$$
 +
kde $a_k$ jsou komplexní čísla pro všechny indexy $k= 0,1,\dots,n$.
 +
Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\C$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$.
 +
\end{define}
  
  \subsection{Základní funkce}
+
\begin{remark}
 +
My budeme uvažovat výhradně polynomy reálné, tj. $a_k\in\R$ pro $\forall k=0,1,\dots,n$, a s $D_p = \R$.
 +
\end{remark}
  
\begin{define}[Polynom] \textbf{Polynom} $p$  je funkce definovaná jako
 
$$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} +  a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}(a_{k}x^k).$$
 
Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\R$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$.
 
\end{define}
 
  
\begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou:
+
\begin{remark}~
\begin{itemize}
+
\begin{itemize}
  \item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $,  $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $
+
\item Nulový polynom: $p(x)=0$.
  \item Racionální funkce  $ \frac{1}{x}$,  $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $, $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $  
+
\item Polynom 0. stupně: $p(x)=K$, kde $K\neq 0$.
\end{itemize}
+
\item Polynom 1. stupně se nazývá \textit{lineární} polynom.
\end{remark}
+
\item Polynom 2. stupně se nazývá \textit{kvadratický} polynom.
 +
\item Polynom 3. stupně se nazývá \textit{kubický} polynom.
 +
\item Polynom 4. stupně se nazývá \textit{bikvadratický} polynom.
 +
\end{itemize}
 +
\end{remark}
 +
 +
\begin{define}[Kořen polynomu]
 +
Bod $x_0\in\R$ takový, že $p(x_0)=0$, nazýváme kořenem (též nulovým bodem) polynomu $p$.
 +
\end{define}
  
\subsection{Algebraické kombinace funkcí}
+
\begin{theorem}[Základní věta algebry]
\pzp Součet, rozdíl, součin, podíl dvou funkcí, násobení funkce číslem. Skládání funkcí $f \circ g$, $f \circ g \circ h$
+
Každý polynom stupně alespoň prvního má v $\C$ alespoň jeden kořen.
  apod. Skládání funkcí není komutativní $f \circ g \neq g \circ f$ !!!
+
\end{theorem}
  
\begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~
+
\begin{theorem}
Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť
+
Každý polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ kořenů.
\textbf{ $D_{f}= D_{g} $}. Pak: \\
+
\end{theorem}
\begin{itemize}
+
\item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$
+
\item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$
+
\item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
+
\item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $
+
  
\end{itemize}
 
\end{define}
 
  
 +
 +
\begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou:
 +
\begin{itemize}
 +
\item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $,  $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $
 +
\item Racionální funkce  $ \frac{1}{x}$,  $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $,  $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $
 +
\item Absolutní hodnota  $|x|$,  $ D_{|x|}= \R $,  $H_{|x|}= \R_0^+ $
 +
\item Funkce signum  $\ds \sign{x} = \left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
1 & \hbox{pro~} x > 0 \\
 +
0 & \hbox{pro~}x = 0 \\
 +
-1 & \hbox{pro~}x <0                                        
 +
\end{array}
 +
\right.$
 +
\end{itemize}
 +
\end{remark}
 +
 +
 +
\subsection{Algebraické kombinace funkcí}
 +
 +
\begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~
 +
Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť $D_{f}= D_{g} $. Pak lze definovat následující nové funkce:
 +
\begin{itemize}
 +
\item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$
 +
\item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$
 +
\item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
 +
\item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $
 +
\end{itemize}
 +
\end{define}
 +
 +
 +
\begin{define}[Skládání funkcí]~
 +
Nechť $(\forall x\in D_g)(g(x)\in D_f)$, pak $(f\circ g)(x) = f(g(x))$.
 +
\end{define}
 +
\begin{remark}
 +
Skládání funkcí není komutativní, tj. obecně $f\circ g \neq g\circ f$.
 +
\end{remark}
 +
 +
  
 
\subsection{Prostá a inverzní funkce}
 
\subsection{Prostá a inverzní funkce}
  \begin{define}[Prostá funkce]
+
\begin{define}[Prostá funkce]
  Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých
+
Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých
  by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$.
+
by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$.
  \end{define}
+
\end{define}
 
+
  \begin{theorem}[O inverzní funkci]
+
 
    Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem  
+
\begin{theorem}[O existenci a jednoznačnosti inverzní funkce]\label{thm:inverze}
    $D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$.  
+
Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem  
  \end{theorem}     
+
$D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$.  
  \begin{proof}
+
\end{theorem}     
  %% dodelat
+
\begin{proof}
  \end{proof}
+
Pro dané $y\in H_f$ existuje díky prostotě $f$ právě jedno $x \in D_f$ tak, že $y=f(x)$. Toto $x$ označíme $g(y):=x$ a dostaneme jednoznačný předpis $g: y \mapsto x$, který vyhovuje definici funkce.
 +
\end{proof}
 +
 
 +
\begin{define}[Inverzní funkce]
 +
Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$.
 +
\end{define}
 +
 +
 
 +
\begin{theorem}\label{thm:inverze_id}
 +
Funkce $f^{-1}$ je inverzní k $f$ právě tehdy, když $f^{-1}\circ f=\id$ a $f\circ f^{-1}=\id$.
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
 
 +
\begin{theorem}[Inverze složené funkce]\oprava
 +
$$(f\circ g)^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1}.$$
 +
\begin{proof}
 +
$f(g(x))=y$, odkud $g(x) = f^{-1}(y)$ odkud $x = g^{-1}(f^{-1}(y))$.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
 
 +
\subsection{Parita}
 +
\begin{define}[Parita funkce]
 +
Nechť funkce $f$ má definiční obor symetrický dle $0$. Pak říkáme, že funkce $f$ je
 +
\begin{itemize}
 +
\item \textbf{sudá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = f(x))$.
 +
\item \textbf{lichá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = -f(x))$.
 +
\end{itemize}
 +
\end{define}
  
  \begin{define}[Inverzní funkce]~~\\
 
  Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$.
 
  \end{define}
 
  
\pzp Čemu a na jakém definičním oboru je rovno složení $f \circ f^{-1}$, resp. $f^{-1} \circ f$ ?
+
\subsection{Obraz, vzor}
 +
\begin{define}[Obraz množiny]
 +
Obraz množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina
 +
$$f(M) = \{y : (\exists x\in M)(f(x)=y) \}.$$
 +
\end{define}
  
\subsection{Parita, obraz, vzor}
+
\begin{define}[Vzor množiny]
\pzp Sudá a lichá funkce. Pojem obrazu a vzoru množiny při zobrazení $f$.
+
Vzor množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina
 +
$$f^{-1}(M) = \{x : (\exists y\in M)(f(x)=y) \}.$$
 +
\end{define}

Aktuální verze z 6. 8. 2014, 10:45

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201511:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201108:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201410:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201410:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202010:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201619:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202011:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202013:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201715:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceFucikrad 20. 2. 202112:29 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202110:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Funkce]{\fbox{Funkce}}
\subsection{Definice}
	\begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce} 
		\textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis,
		který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$. 
		Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$.
	\end{define}
 
 
	\begin{define}[Graf funkce] 
		\textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$.
	\end{define}
 
%	\begin{remark} 
%		Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$.
%	\end{remark}
 
	\begin{theorem}
		Množina $\mathcal{F}$ je funkcí ve smyslu definice  \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí:
		$$ \big( (x,y) \in \mathcal{F} \wedge (x,z) \in \mathcal{F} \big) \Rightarrow y=z. $$
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Základní funkce}
	\begin{define}[Polynom] 
		\textbf{Polynom} $p$  je funkce definovaná jako 
		$$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} +  a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^k,$$
		kde $a_k$ jsou komplexní čísla pro všechny indexy $k= 0,1,\dots,n$.
		Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\C$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$.
	\end{define}
 
	\begin{remark}
		My budeme uvažovat výhradně polynomy reálné, tj. $a_k\in\R$ pro $\forall k=0,1,\dots,n$, a s $D_p = \R$.
	\end{remark}
 
 
	\begin{remark}~
	\begin{itemize}
		\item Nulový polynom: $p(x)=0$.
		\item Polynom 0. stupně: $p(x)=K$, kde $K\neq 0$.
		\item Polynom 1. stupně se nazývá \textit{lineární} polynom.
		\item Polynom 2. stupně se nazývá \textit{kvadratický} polynom.
		\item Polynom 3. stupně se nazývá \textit{kubický} polynom.
		\item Polynom 4. stupně se nazývá \textit{bikvadratický} polynom.
	\end{itemize}
	\end{remark}
 
	\begin{define}[Kořen polynomu]
		Bod $x_0\in\R$ takový, že $p(x_0)=0$, nazýváme kořenem (též nulovým bodem) polynomu $p$.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Základní věta algebry]
		Každý polynom stupně alespoň prvního má v $\C$ alespoň jeden kořen.
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}
		Každý polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ kořenů.
	\end{theorem}
 
 
 
 
	\begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou:
	\begin{itemize}
		\item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $,  $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $ 
		\item Racionální funkce  $ \frac{1}{x}$,  $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $,  $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $ 
		\item Absolutní hodnota  $|x|$,  $ D_{|x|}= \R $,  $H_{|x|}= \R_0^+ $ 
		\item Funkce signum  $\ds \sign{x} = \left\{ 
			\begin{array}{rl}
			1 & \hbox{pro~} x > 0 \\
			0 & \hbox{pro~}x = 0 \\
			-1 & \hbox{pro~}x <0			                                        
			\end{array}
			\right.$
	\end{itemize}
	\end{remark}
 
 
\subsection{Algebraické kombinace funkcí}
 
	\begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~
	Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť $D_{f}= D_{g} $. Pak lze definovat následující nové funkce:
	\begin{itemize}
		\item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$ 
		\item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$ 
		\item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ 
		\item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ 
	\end{itemize}
	\end{define}
 
 
	\begin{define}[Skládání funkcí]~
	 Nechť $(\forall x\in D_g)(g(x)\in D_f)$, pak $(f\circ g)(x) = f(g(x))$.
	\end{define}
	\begin{remark}
	Skládání funkcí není komutativní, tj. obecně $f\circ g \neq g\circ f$.
	\end{remark}
 
 
 
\subsection{Prostá a inverzní funkce}
	\begin{define}[Prostá funkce]
	Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých
	by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$.
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}[O existenci a jednoznačnosti inverzní funkce]\label{thm:inverze}
	Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem 
	$D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$. 
	\end{theorem}    
	\begin{proof}
	Pro dané $y\in H_f$ existuje díky prostotě $f$ právě jedno $x \in D_f$ tak, že $y=f(x)$. Toto $x$ označíme $g(y):=x$ a dostaneme jednoznačný předpis $g: y \mapsto x$, který vyhovuje definici funkce.
	\end{proof}
 
	\begin{define}[Inverzní funkce]
	Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$.
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}\label{thm:inverze_id}
	Funkce $f^{-1}$ je inverzní k $f$ právě tehdy, když $f^{-1}\circ f=\id$ a $f\circ f^{-1}=\id$.
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Inverze složené funkce]\oprava
	$$(f\circ g)^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1}.$$
	\begin{proof}
	$f(g(x))=y$, odkud $g(x) = f^{-1}(y)$ odkud $x = g^{-1}(f^{-1}(y))$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Parita}
	\begin{define}[Parita funkce]
	Nechť funkce $f$ má definiční obor symetrický dle $0$. Pak říkáme, že funkce $f$ je
	\begin{itemize}
		\item \textbf{sudá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = f(x))$.
		\item \textbf{lichá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = -f(x))$.
	\end{itemize}
	\end{define}
 
 
\subsection{Obraz, vzor}
	\begin{define}[Obraz množiny]
	Obraz množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina 
	$$f(M) = \{y : (\exists x\in M)(f(x)=y) \}.$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Vzor množiny]
	Vzor množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina 
	$$f^{-1}(M) = \{x : (\exists y\in M)(f(x)=y) \}.$$
	\end{define}