Verze z 1. 8. 2010, 00:51
Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Úvod, jazyk a značení}
V této úvodní části přednášky se seznámíte se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky. Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
\subsection{Množiny}
\begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}. Množiny
zapisujeme ve tvaru
\be
M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
\ee
\end{define}
Pro porozumění mezi lidmi (matematiky) je důležité ovládat zápis množin a vztahů mezi nimi a jejich prvky.
\begin{define}[Operace s množinami]
Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
\begin{tabular}{lp{10cm}}
$x \in A$ & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
$x \notin A$ & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
$A \subset B$ & množina $A$ je částí množiny $B$. \\
$A \cup B$ & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
$A \cap B$ & průnik množin $A$ a $B$. \\
$\emptyset$ & prázdná množina. \\
$A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V="x>0"$. \\
$A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$ & kartézský součin množin $A$ a $B$.
\end{tabular}
\end{define}
\begin{remark}
Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
\begin{itemize}
\item $A \cup \emptyset = A$
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{example}
Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
\begin{itemize}
\item $A \subset B$
\item $A \cap B = \{ \female \} = A$
\item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
\end{itemize}
\end{example}
\subsection{Výroky}
\begin{define}[Výrok]
\textbf{Výrok} je sdělení (vlastnost, stav, \dots), u kterého můžeme rozhodnout zda je platné nebo neplatné.
\end{define}
\begin{define}[Přehled operací s výroky]
Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
\begin{tabular}{lp{10cm}}
$V_{1}$ & výrok $V_{1}$ (platí).\\
$\neg V_{1}$ & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
$V_{1} \wedge V_{2}$ & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\
$V_{1} \vee V_{2}$ & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
$V_{1} \Rightarrow V_{2}$ & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
$V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
$\exists$ & existenční symbol - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
$\exists_1$ nebo $!\exists$ & existenční symbol - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
$\exists_{\infty}$ & existenční symbol - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
$\forall$ & symbol, který znamená \textbf{pro všechny} prvky \dots
\end{tabular}
\end{define}
\begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]~
V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ & $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$ \\
\hline
P & P & P & P & P & P \\
\hline
P & N & N & P & N & N \\
\hline
N & P & N & P & P & N \\
\hline
N & N & N & N & P & P \\
\hline
\end{tabular}
\end{define}
\begin{remark}
Pravidla při negování výroků:
\begin{itemize}
\item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
\item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{example}
Výrok
$V = (\forall z \in \Z)(\exists n \in \N)(n<z) $
říká, že pro každé celé číslo $z$ (viz Sekce \ref{sekce:ciselne_mnoziny}) platí, že nalezneme aspoň jedno přirozené číslo $n$ takové, že je menší než $z$. To ale zjevně není pravda, neboť např. pro číslo $z=0$ už žádné přirozené číslo, které by bylo menší, neexistuje. Platí tedy \textbf{negace} výroku $V$, tedy $\neg V = (\exists z \in \Z)(\forall n \in \N)(n\geq z).$
Sami již snadno nahlédnete, že výrok $\neg V$ je pravdivý - schválně, jaká celá čísla budou vyhovovat ?
\end{example}
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
\pzp
Přirozená čísla $\N$, celá čísla $\Z$, racionální čísla $\Q$, reálná čísla $\R$ a komplexní čísla $\C$.
\begin{define}[Značení a vlastnosti číselných množin]~ \\
\begin{tabular}{lp{10cm}}
Přirozená čísla $\N$ & $ \{ 1,2,3,4 \ldots \} $ \\
celá čísla $\Z$ & $ \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $ \\
racionální čísla $\Q$ (racio = zlomek) & $ \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $ \\
\end{tabular}
\end{define}
\begin{theorem}[O hustotě množiny reálných čísel]\label{veta:ohmrc}
Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
\end{theorem}
\begin{corollary}
Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
\end{corollary}
\begin{proof}
\textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu.
Shrňme tedy tvrzení důsledku následujícího výroku $V$ :
\textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}.
Kvantifikovaně lze výrok vyjádřit takto:
$$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
$$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení
\textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
$$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle Věty \ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky Větě \ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
\end{proof}
\subsection{Intervaly}
\begin{define}[interval otevřený, uzavřený polootevřený (polouzavřený)]~ \\
\begin{tabular}{lp{10cm}}
otevřený interval - $ (a,b) $ & $ \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
uzavřený interval - $ [a,b] $ & $ \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
polootevřený (polouzavřený) interval - $ [a,b) $ & $ \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x < b ~ \} $ \\
\end{tabular}
\end{define}
\begin{remark}
Jiné značení intervalů:
\begin{itemize}
\item otevřený ~ - ~ $ ]a,b[ $
\item uzavřený ~ - ~ $ <a,b> $
\end{itemize}
\end{remark}
\textbf{POZOR!!!}
\begin{remark}
vlastnosti $ +\infty $ a $ -\infty $ :
\begin{itemize}
\item symbol $ +\infty $ má vlastnost ~ : ~ $ \forall x \in\R ~ : ~ x < +\infty $
\item symbol $ -\infty $ má vlastnost ~ : ~ $ \forall x \in\R ~ : ~ x > -\infty $
\end{itemize}
\end{remark}
\subsection{Omezenost množin}
\begin{define}[Omezenost shora a zdola] ~ \\
\begin{tabular}{lp{10cm}}
Říkáme, že množina $M$ je omezená shora & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $ \\
Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $ \\
Říkáme, že množina $M$ je omezená & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola \\
Říkáme, že množina $M$ je neomezená & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola \\
\end{tabular}
\end{define}
\subsection{Absolutní hodnota}
\begin{define}[Absolutní hodnota]
\textbf{Absolutní hodnota} čísla $x$ je číslo definované jako $|x| = \left\{ \begin{array}{lcl}
x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
-x & \hbox{pro} & x < 0
\end{array}\right.. $
\end{define}
\begin{remark}
Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost]~~\\
\be |a+b| \leq |a| + |b|. \ee
\end{theorem}
\begin{proof}
Platí:
\begin{equation}
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leqq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
\end{equation}
tedy celkem:
\begin{equation}\label{tn:proof1}
(a+b)^2 \leqq (|a| + |b|)^2.
\end{equation}
Po odmocnění obou stran nerovnosti (\ref{tn:proof1}) dostáváme
\begin{equation}
|a+b| \leqq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
\end{equation}
\end{proof}
\begin{corollary}~~\\
\be\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.\ee
\end{corollary}
\begin{proof}
Analogický k předchozímu
\end{proof}
