Matematika1:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 31. 7. 2010, 23:51, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Úvod, jazyk a značení} V této úvodní části přednášky se seznámíte se základními matematickými pojmy, značením, opera...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202009:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202010:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202012:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceFucikrad 20. 2. 202111:29 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202109:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Úvod, jazyk a značení}
 
V této úvodní části přednášky se seznámíte se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky. Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
 
 
\subsection{Množiny}
  \begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
  Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}. Množiny
  zapisujeme ve tvaru 
  \be
     M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
  \ee
  \end{define}
 
    Pro porozumění mezi lidmi (matematiky) je důležité ovládat zápis množin a vztahů mezi nimi a jejich prvky.
    \begin{define}[Operace s množinami]
     Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
 
     \begin{tabular}{lp{10cm}}
     $x \in A$        & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
     $x \notin A$     & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
     $A \subset B$    & množina $A$ je částí množiny $B$. \\ 
     $A \cup B$       & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
     $A \cap B$       & průnik množin $A$ a $B$. \\
     $\emptyset$      & prázdná množina. \\
     $A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V="x>0"$. \\
     $A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$ & kartézský součin množin $A$ a $B$.
     \end{tabular}
    \end{define}
 
  \begin{remark}
     Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
     \begin{itemize}
       \item $A \cup \emptyset = A$
       \item $A \cap \emptyset = \emptyset$
     \end{itemize}
  \end{remark}
 
  \begin{example}
     Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
     \begin{itemize}
      \item $A \subset B$
      \item $A \cap B = \{ \female \} = A$
      \item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
     \end{itemize}
  \end{example}
 
\subsection{Výroky}
 \begin{define}[Výrok]
   \textbf{Výrok} je sdělení (vlastnost, stav, \dots), u kterého můžeme rozhodnout zda je platné nebo neplatné.
 \end{define}
 
 \begin{define}[Přehled operací s výroky]
     Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
 
     \begin{tabular}{lp{10cm}}
     $V_{1}$                    & výrok $V_{1}$ (platí).\\
     $\neg V_{1}$               & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
     $V_{1} \wedge V_{2}$       & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\ 
     $V_{1} \vee V_{2}$         & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
     $V_{1} \Rightarrow V_{2}$  & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
     $V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
     $\exists$                  & existenční symbol - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
     $\exists_1$ nebo $!\exists$ & existenční symbol - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
     $\exists_{\infty}$         & existenční symbol - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
     $\forall$                  & symbol, který znamená \textbf{pro všechny} prvky \dots 
     \end{tabular}
    \end{define}
 
 \begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]~
     V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\     
 
     \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
       \hline
       $V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ &     $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$  \\ 
       \hline
       P      &    P    &           P         &           P        &              P   &      P    \\
       \hline
       P      &    N    &           N         &           P        &              N   &      N    \\
       \hline
       N      &    P    &           N         &           P        &              P   &      N    \\
       \hline
       N      &    N    &           N         &           N        &              P   &      P    \\
       \hline
      \end{tabular}
      \end{define}
 
 
     \begin{remark}
        Pravidla při negování výroků:
        \begin{itemize}
          \item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
          \item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
        \end{itemize}
     \end{remark}
 
\begin{example}
 Výrok 
 $V = (\forall z \in \Z)(\exists n \in \N)(n<z) $ 
 říká, že pro každé celé číslo $z$ (viz Sekce \ref{sekce:ciselne_mnoziny}) platí, že nalezneme aspoň jedno přirozené číslo $n$ takové, že je menší než $z$. To ale zjevně není pravda, neboť např. pro číslo $z=0$ už žádné přirozené číslo, které by bylo menší, neexistuje. Platí tedy \textbf{negace} výroku $V$, tedy $\neg V = (\exists z \in \Z)(\forall n \in \N)(n\geq z).$ 
Sami již snadno nahlédnete, že výrok $\neg V$ je pravdivý - schválně, jaká celá čísla budou vyhovovat ?
   \end{example}
 
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
 
\pzp
    Přirozená čísla $\N$, celá čísla $\Z$, racionální čísla $\Q$, reálná čísla $\R$ a komplexní čísla $\C$.
 
\begin{define}[Značení a vlastnosti číselných množin]~ \\
 
\begin{tabular}{lp{10cm}}
 
Přirozená čísla $\N$            &      $ \{ 1,2,3,4 \ldots \} $ \\
celá čísla $\Z$                 &      $ \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $ \\
racionální čísla $\Q$ (racio = zlomek)   &    $ \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $  \\
\end{tabular}
\end{define}
 
 
  \begin{theorem}[O hustotě množiny reálných čísel]\label{veta:ohmrc}
     Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
  \end{theorem}
 
  \begin{corollary}
     Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
  \end{corollary}
  \begin{proof}
   \textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu. 
 
  Shrňme tedy tvrzení důsledku následujícího výroku $V$ : 
  \textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}. 
  Kvantifikovaně lze výrok vyjádřit takto:
    $$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
    Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
    $$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
  které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení 
  \textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
 
   Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
    $$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
   Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle Věty \ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky Větě \ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
  \end{proof}
 
\subsection{Intervaly}
 
\begin{define}[interval otevřený, uzavřený polootevřený (polouzavřený)]~ \\
 
\begin{tabular}{lp{10cm}}
otevřený interval  -  $ (a,b) $             &    $  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
uzavřený interval  -  $ [a,b] $              &    $  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
polootevřený (polouzavřený) interval  -  $ [a,b) $     &    $  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq  x < b ~ \} $ \\
 
\end{tabular}
\end{define}
 
\begin{remark}
        Jiné značení intervalů:
        \begin{itemize}
          \item otevřený ~ - ~ $ ]a,b[ $
          \item uzavřený ~ - ~ $ <a,b> $
        \end{itemize}
     \end{remark}
 
\textbf{POZOR!!!}
 
\begin{remark}
        vlastnosti $ +\infty $ a $ -\infty $ :
        \begin{itemize}
         \item symbol $ +\infty $ má vlastnost ~ : ~ $ \forall x \in\R ~ : ~ x < +\infty $ 
         \item symbol $ -\infty $ má vlastnost ~ : ~ $ \forall x \in\R ~ : ~ x > -\infty $ 
        \end{itemize}
     \end{remark}
 
 
\subsection{Omezenost množin}
 
\begin{define}[Omezenost shora a zdola] ~ \\
\begin{tabular}{lp{10cm}}
 
Říkáme, že množina $M$ je omezená shora  & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $ \\
 
Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola  & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $ \\
 
Říkáme, že množina $M$ je omezená        & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola \\
 
Říkáme, že množina $M$ je neomezená        & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola \\
 
 
\end{tabular}
\end{define}
 
 
 
 
\subsection{Absolutní hodnota}
 
 \begin{define}[Absolutní hodnota]
   \textbf{Absolutní hodnota} čísla $x$ je číslo definované jako $|x| = \left\{ \begin{array}{lcl} 
							   x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
							   -x & \hbox{pro} & x < 0
						 \end{array}\right.. $
 \end{define} 
 \begin{remark}
    Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
 \end{remark}
 \begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost]~~\\
     \be |a+b| \leq |a| + |b|. \ee
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 Platí: 
 \begin{equation}  
        (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leqq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
 \end{equation} 
 
 tedy celkem: 
 \begin{equation}\label{tn:proof1}
     (a+b)^2 \leqq (|a| + |b|)^2. 
 \end{equation}
 Po odmocnění obou stran nerovnosti (\ref{tn:proof1}) dostáváme
 \begin{equation} 
     |a+b| \leqq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
 \end{equation}
\end{proof}
 
 
 
 \begin{corollary}~~\\
     \be\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.\ee
 \end{corollary}
 
 
  \begin{proof}
 
   Analogický k předchozímu   
 
  \end{proof}