Matematika1:Kapitola1: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Úvod, jazyk a značení} V této úvodní části přednášky se seznámíte se základními matematickými pojmy, značením, opera...)
 
 
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{Matematika1}
 
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Úvod, jazyk a značení}
+
\section[Úvod]{\fbox{Úvod}}
 +
V této úvodní kapitole se seznámíme se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky.
 +
Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
  
V této úvodní části přednášky se seznámíte se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky. Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
+
\subsection{Množiny}
 +
\begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
 +
Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}.  
 +
Množiny zapisujeme ve tvaru
 +
$$
 +
M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
 +
$$
 +
\end{define}
  
 +
\begin{define}[Operace s množinami]
 +
Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
  
\subsection{Množiny}
+
\begin{tabular}{lp{10cm}}
  \begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
+
$x \in A$        & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
  Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}. Množiny
+
$x \notin A$    & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
  zapisujeme ve tvaru
+
$A \subset B$    & množina $A$ je částí množiny $B$. \\
  \be
+
$A \cup B$      & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
     M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
+
$A \cap B$      & průnik množin $A$ a $B$. \\
  \ee
+
$\emptyset$     & prázdná množina. \\
  \end{define}
+
$A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V:x>0$.
 +
\end{tabular}
 +
\end{define}
  
    Pro porozumění mezi lidmi (matematiky) je důležité ovládat zápis množin a vztahů mezi nimi a jejich prvky.
+
\begin{remark}
    \begin{define}[Operace s množinami]
+
Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
    Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
+
\begin{itemize}
   
+
\item $A \cup \emptyset = A$
    \begin{tabular}{lp{10cm}}
+
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
    $x \in A$       & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
+
\end{itemize}
    $x \notin A$     & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
+
\end{remark}
    $A \subset B$   & množina $A$ je částí množiny $B$. \\  
+
 
    $A \cup B$       & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
+
\begin{example}
    $A \cap B$      & průnik množin $A$ a $B$. \\
+
Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
    $\emptyset$     & prázdná množina. \\
+
\begin{itemize}
    $A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V="x>0"$. \\
+
\item $A \subset B$
    $A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$ & kartézský součin množin $A$ a $B$.
+
\item $A \cap B = \{ \female \} = A$
    \end{tabular}
+
\item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
    \end{define}
+
\end{itemize}
 +
\end{example}
 +
 +
\begin{define}[Kartézský součin množin $A$ a $B$]\oprava
 +
$$A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$$
 +
\end{define}
  
  \begin{remark}
 
    Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
 
    \begin{itemize}
 
      \item $A \cup \emptyset = A$
 
      \item $A \cap \emptyset = \emptyset$
 
    \end{itemize}
 
  \end{remark}
 
  
  \begin{example}
 
    Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
 
    \begin{itemize}
 
      \item $A \subset B$
 
      \item $A \cap B = \{ \female \} = A$
 
      \item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
 
    \end{itemize}
 
  \end{example}
 
  
 
\subsection{Výroky}
 
\subsection{Výroky}
\begin{define}[Výrok]
+
\begin{define}[Výrok]
  \textbf{Výrok} je sdělení (vlastnost, stav, \dots), u kterého můžeme rozhodnout zda je platné nebo neplatné.
+
\textbf{Výrok} je tvrzení, o kterém můžeme rozhodnout zda platí nebo neplatí.
\end{define}
+
\end{define}
+
\begin{define}[Přehled operací s výroky]
+
    Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
+
  
    \begin{tabular}{lp{10cm}}
+
\begin{define}[Přehled operací s výroky]
    $V_{1}$                    & výrok $V_{1}$ (platí).\\
+
Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
    $\neg V_{1}$              & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
+
    $V_{1} \wedge V_{2}$      & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\
+
    $V_{1} \vee V_{2}$        & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
+
    $V_{1} \Rightarrow V_{2}$  & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
+
    $V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
+
    $\exists$                  & existenční symbol - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
+
    $\exists_1$ nebo $!\exists$ & existenční symbol - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
+
    $\exists_{\infty}$        & existenční symbol - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
+
    $\forall$                  & symbol, který znamená \textbf{pro všechny} prvky \dots
+
    \end{tabular}
+
    \end{define}
+
  
\begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]~
+
\begin{tabular}{lp{12cm}}
    V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\    
+
$V_{1}$                    & výrok $V_{1}$ (platí).\\
   
+
$\neg V_{1}$              & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
+
$V_{1} \wedge V_{2}$       & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\
      \hline
+
$V_{1} \vee V_{2}$         & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
      $V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ &     $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$ \\  
+
$V_{1} \Rightarrow V_{2}$ & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
      \hline
+
$V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
      P      &   P    &          P        &          P        &              P  &      P    \\
+
$\exists$                  & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
      \hline
+
$\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční kvantifikátorl  - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
      P      &    N    &           N        &          P        &              N  &      N    \\
+
$\exists_{\infty}$         & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
      \hline
+
$\forall$                  & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots
      N      &    P    &          N         &           P        &              P  &      N    \\
+
\end{tabular}
      \hline
+
\end{define}
      N      &   N    &          N        &          N        &              P  &      P    \\
+
      \hline
+
      \end{tabular}
+
      \end{define}
+
  
 +
\begin{remark}
 +
Výlučná disjunkce (exkluzivní disjunkce, non-ekvivalence):
 +
$(V_1 \vee V_2) \wedge \neg(V_1 \wedge V_2)$.
 +
\end{remark}
  
    \begin{remark}
+
\begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]\label{def:vyroky}
        Pravidla při negování výroků:
+
V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\   
        \begin{itemize}
+
          \item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
+
          \item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
+
        \end{itemize}
+
    \end{remark}
+
  
\begin{example}
+
\begin{tabular}{|c||c||c|c|c|c|}
Výrok
+
\hline
$V = (\forall z \in \Z)(\exists n \in \N)(n<z) $  
+
$V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ &    $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$
říká, že pro každé celé číslo $z$ (viz Sekce \ref{sekce:ciselne_mnoziny}) platí, že nalezneme aspoň jedno přirozené číslo $n$ takové, že je menší než $z$. To ale zjevně není pravda, neboť např. pro číslo $z=0$ už žádné přirozené číslo, které by bylo menší, neexistuje. Platí tedy \textbf{negace} výroku $V$, tedy $\neg V = (\exists z \in \Z)(\forall n \in \N)(n\geq z).$
+
Sami již snadno nahlédnete, že výrok $\neg V$ je pravdivý - schválně, jaká celá čísla budou vyhovovat ?
+
\\  
   \end{example}
+
\hline
 +
\hline
 +
P      &    P    &          P        &          P        &              P  &      P   
 +
\\
 +
\hline
 +
P      &    N   &          N        &          P        &              N  &      N   
 +
\\
 +
\hline
 +
N      &   P    &          N        &          P        &              P  &      N   
 +
\\
 +
\hline
 +
N      &    N    &          N        &          N        &              P  &      P   
 +
\\
 +
\hline
 +
\end{tabular}
 +
\end{define}
  
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
 
  
\pzp
 
    Přirozená čísla $\N$, celá čísla $\Z$, racionální čísla $\Q$, reálná čísla $\R$ a komplexní čísla $\C$.
 
 
 
\begin{define}[Značení a vlastnosti číselných množin]~ \\
 
  
\begin{tabular}{lp{10cm}}
+
\begin{lemma}\label{lemma1_7}
 +
Pravidla při negování výroků (z definice~\ref{def:vyroky}):
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $\neg(V_1\vee V_2)  = \neg V_1 \wedge \neg V_2$
 +
\item $\neg(V_1\wedge V_2)  = \neg V_1 \vee \neg V_2$
 +
\item $\neg(V_1\Rightarrow V_2) = V_1 \wedge \neg V_2$
 +
\item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
 +
\item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
 +
\end{enumerate}
 +
\end{lemma}
  
Přirozená čísla $\N$            &      $ \{ 1,2,3,4 \ldots \} $ \\
 
celá čísla $\Z$                &      $ \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $ \\
 
racionální čísla $\Q$ (racio = zlomek)  &    $ \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $  \\
 
\end{tabular}
 
\end{define}
 
  
  
  \begin{theorem}[O hustotě množiny reálných čísel]\label{veta:ohmrc}
+
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
    Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
+
\begin{define}[Značení číselných množin]
  \end{theorem}
+
  
  \begin{corollary}
+
\begin{tabular}{lp{10cm}}
    Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
+
  \end{corollary}
+
  \begin{proof}
+
  \textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu.
+
  
  Shrňme tedy tvrzení důsledku následujícího výroku $V$ :
+
Přirozená čísla $\N$,   & $\N= \{ 1,2,3,4 \ldots \} $. \\
   \textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}.  
+
Celá čísla $\Z$,       & $\Z= \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $. \\
  Kvantifikovaně lze výrok vyjádřit takto:
+
Racionální čísla $\Q$,  & $\Q= \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $.  \\
    $$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
+
Reálná čísla $\R$. \\
    Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
+
Iracionální čísla $\R\setminus\Q$. \\
    $$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
+
Komplexní čísla $\C$, & $\C = \{ a+ib : a,b\in \R, i^2=-1 \}$.  
  které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení
+
\end{tabular}
  \textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
+
\end{define}
  
  Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
 
    $$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
 
  Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle Věty \ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky Větě \ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
 
  \end{proof}
 
  
\subsection{Intervaly}
+
\begin{lemma}[Vlastnosti reálných čísel]
 
+
Nechť $a$, $b$, $c$ jsou reálná čísla. Potom platí:
\begin{define}[interval otevřený, uzavřený polootevřený (polouzavřený)]~ \\
+
\begin{enumerate}
 +
\item $(a<b)\vee(a>b)\vee(a=b)$
 +
\item $(a<b)\wedge(b<c) \Rightarrow (a<c)$ transitivita
 +
\item $(a+b<a+c) \Rightarrow (b<c)$
 +
\item $(a<b) \wedge (c>0) \Rightarrow ac<cb$ \\ $(a<b) \wedge (c<0) \Rightarrow ac>cb$
 +
\end{enumerate}
 +
\end{lemma}
 +
  
\begin{tabular}{lp{10cm}}
+
\begin{theorem}[O hustotě $\R$]\label{veta:ohmrc}
otevřený interval  -  $ (a,b) $            &    $  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
+
Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
uzavřený interval  -  $ [a,b] $              &    $  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
+
\end{theorem}
polootevřený (polouzavřený) interval  -  $ [a,b) $    &    $  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq  x < b ~ \} $ \\
+
  
\end{tabular}
+
\begin{corollary}
\end{define}
+
Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
 +
\begin{proof}
 +
\textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu.
 +
Matematická věta je obvykle zapsána pomocí implikace výroků
 +
\begin{equation}
 +
\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení},
 +
\end{equation}
 +
přičemž podle pravidel negování výroku (Lemma \ref{lemma1_7}) je její negace
 +
\begin{equation}
 +
\neg(\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení}) = \hbox{Předpoklad~} \wedge \neg \hbox{Tvrzení},
 +
\end{equation}
 +
% tj. předpokládáme platnost Předpokladu a zároveň neplatnost Tvrzení.
  
\begin{remark}
+
Uvažujme následující slovní vyjádření výroku (ozn. $V$):
        Jiné značení intervalů:
+
\textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}.
        \begin{itemize}
+
Kvantifikovaně lze výrok $V$ vyjádřit takto:
          \item otevřený ~ - ~ $ ]a,b[ $
+
$$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
          \item uzavřený ~ - ~ $ <a,b> $
+
Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
        \end{itemize}
+
$$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
    \end{remark}
+
které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení
 +
\textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
  
\textbf{POZOR!!!}
+
Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
 +
$$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
 +
Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle věty~\ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky větě~\ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
 +
\end{proof}
 +
\end{corollary}
  
\begin{remark}
 
        vlastnosti $ +\infty $ a $ -\infty $ :
 
        \begin{itemize}
 
        \item symbol $ +\infty $ má vlastnost ~ : ~ $ \forall x \in\R ~ : ~ x < +\infty $
 
        \item symbol $ -\infty $ má vlastnost ~ : ~ $ \forall x \in\R ~ : ~ x > -\infty $
 
        \end{itemize}
 
    \end{remark}
 
  
 +
\subsection{Důkaz matematickou indukcí}
 +
\begin{remark}
 +
Princip důkazu tvrzení $V[n]$ matematickou indukcí. Tvrzení $V[n]$ nazýváme \textbf{indukční předpoklad}.
 +
\begin{enumerate}
 +
\item \textbf{První krok.} Ověříme, že tvrzení platí pro nejnižší index, např. že $V[1]$ platí.
 +
\item \textbf{Indukční krok $n\to n+1$.} Za předpkladu, že platí $V[n]$, dokážeme platnost $V[n+1]$.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
  
\subsection{Omezenost množin}
 
  
\begin{define}[Omezenost shora a zdola] ~ \\
+
\subsection{Intervaly}
\begin{tabular}{lp{10cm}}
+
\begin{define}[Interval]
  
Říkáme, že množina $M$ je omezená shora & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $ \\
+
\begin{tabular}{l}
 +
Otevřený interval $ (a,b) = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
 +
Uzavřený interval $ [a,b] =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
 +
Polootevřený (polouzavřený) interval $ [a,b) =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x < b ~ \} $  
 +
\end{tabular}
 +
\end{define}
  
Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola  & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $ \\
 
  
Říkáme, že množina $M$ je omezená        & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola \\
+
\begin{define}[Nekonečno]
 +
Pro symbol $+\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x<+\infty)$.\\
 +
Pro symbol $-\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x>-\infty)$.
 +
\end{define}
  
Říkáme, že množina $M$ je neomezená        & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola \\
 
 
 
\end{tabular}
 
\end{define}
 
  
 +
\subsection{Omezenost množin}
 +
\begin{define}[Omezenost množiny]\label{def:omezenost}
 +
\begin{tabular}{lp{10cm}}
 +
Říkáme, že množina $M$ je omezená shora  & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $. \\
 +
Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola  & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $. \\
 +
Říkáme, že množina $M$ je omezená        & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola. \\
 +
Říkáme, že množina $M$ je neomezená        & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola. \\
 +
\end{tabular}
 +
\end{define}
  
 +
\begin{define}[Závora množiny]
 +
Číslo $h$, resp. $d$ z definice~\ref{def:omezenost} nazvýváme horní, resp. dolní závora (hranice) množiny $M$.
 +
\end{define}
  
  
 
\subsection{Absolutní hodnota}
 
\subsection{Absolutní hodnota}
 +
\begin{define}[Absolutní hodnota]
 +
\textbf{Absolutní hodnota} čísla $x\in\R$ je
 +
$$
 +
|x| = \left\{ \begin{array}{lcl}
 +
x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
 +
-x & \hbox{pro} & x < 0
 +
\end{array}\right..
 +
$$
 +
\end{define}
  
\begin{define}[Absolutní hodnota]
+
\begin{remark}
  \textbf{Absolutní hodnota} čísla $x$ je číslo definované jako $|x| = \left\{ \begin{array}{lcl}
+
Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
  x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
+
\end{remark}
  -x & \hbox{pro} & x < 0
+
\end{array}\right.. $
+
\end{define}
+
\begin{remark}
+
    Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
+
\end{remark}
+
\begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost]~~\\
+
    \be |a+b| \leq |a| + |b|. \ee
+
\end{theorem}
+
\begin{proof}
+
Platí:
+
\begin{equation} 
+
        (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leqq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
+
\end{equation}
+
 
+
tedy celkem:
+
\begin{equation}\label{tn:proof1}
+
    (a+b)^2 \leqq (|a| + |b|)^2.
+
\end{equation}
+
Po odmocnění obou stran nerovnosti (\ref{tn:proof1}) dostáváme
+
\begin{equation}
+
    |a+b| \leqq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
+
\end{equation}
+
\end{proof}
+
 
+
 
+
 
+
\begin{corollary}~~\\
+
    \be\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.\ee
+
\end{corollary}
+
 
+
 
+
  \begin{proof}
+
  
  Analogický k předchozímu 
 
  
  \end{proof}
+
\begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost $\triangle\neq$]
 +
$$ |a+b| \leq |a| + |b|. $$
 +
\begin{proof}
 +
Platí:
 +
$$ 
 +
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
 +
$$
 +
kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostáváme
 +
$$
 +
|a+b| \leq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
 +
$$
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\begin{corollary}
 +
$$\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.$$
 +
\begin{proof}
 +
$$
 +
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \geq |a|^2-2|a||b|+|b|^2 = (|a|-|b|)^2,
 +
$$
 +
kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostaneme tvrzení věty.
 +
\end{proof}
 +
\end{corollary}

Aktuální verze z 6. 8. 2014, 09:43

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202009:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202010:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202012:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceFucikrad 20. 2. 202111:29 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202109:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Úvod]{\fbox{Úvod}}
V této úvodní kapitole se seznámíme se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky.
Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
 
\subsection{Množiny}
	\begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
	Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}. 
	Množiny zapisujeme ve tvaru 
	$$
	M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
	$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Operace s množinami]
	Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
 
	\begin{tabular}{lp{10cm}}
	$x \in A$        & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
	$x \notin A$     & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
	$A \subset B$    & množina $A$ je částí množiny $B$. \\ 
	$A \cup B$       & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
	$A \cap B$       & průnik množin $A$ a $B$. \\
	$\emptyset$      & prázdná množina. \\
	$A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V:x>0$.
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
	\begin{itemize}
	\item $A \cup \emptyset = A$
	\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
	\end{itemize}
	\end{remark}
 
	\begin{example}
	Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
	\begin{itemize}
	\item $A \subset B$
	\item $A \cap B = \{ \female \} = A$
	\item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
	\end{itemize}
	\end{example}
 
	\begin{define}[Kartézský součin množin $A$ a $B$]\oprava
	$$A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$$
	\end{define}
 
 
 
\subsection{Výroky}
	\begin{define}[Výrok]
	\textbf{Výrok} je tvrzení, o kterém můžeme rozhodnout zda platí nebo neplatí.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Přehled operací s výroky]
	Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
 
	\begin{tabular}{lp{12cm}}
	$V_{1}$                    & výrok $V_{1}$ (platí).\\
	$\neg V_{1}$               & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
	$V_{1} \wedge V_{2}$       & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\ 
	$V_{1} \vee V_{2}$         & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
	$V_{1} \Rightarrow V_{2}$  & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
	$V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
	$\exists$                  & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
	$\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční kvantifikátorl  - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
	$\exists_{\infty}$         & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
	$\forall$                  & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots 
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Výlučná disjunkce (exkluzivní disjunkce, non-ekvivalence):
	$(V_1 \vee V_2) \wedge \neg(V_1 \wedge V_2)$. 
	\end{remark}
 
	\begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]\label{def:vyroky}
	V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\     
 
	\begin{tabular}{|c||c||c|c|c|c|}
	\hline
	$V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ &     $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$  
 
	\\ 
	\hline
	\hline
	P      &    P    &           P         &           P        &              P   &      P    
	\\
	\hline
	P      &    N    &           N         &           P        &              N   &      N    
	\\
	\hline
	N      &    P    &           N         &           P        &              P   &      N    
	\\
	\hline
	N      &    N    &           N         &           N        &              P   &      P    
	\\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
 
	\begin{lemma}\label{lemma1_7}
	Pravidla při negování výroků (z definice~\ref{def:vyroky}):
	\begin{enumerate}
	\item $\neg(V_1\vee V_2)  = \neg V_1 \wedge \neg V_2$
	\item $\neg(V_1\wedge V_2)  = \neg V_1 \vee \neg V_2$
	\item $\neg(V_1\Rightarrow V_2) = V_1 \wedge \neg V_2$
	\item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
	\item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
	\end{enumerate}
	\end{lemma}
 
 
 
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
	\begin{define}[Značení číselných množin]
 
	\begin{tabular}{lp{10cm}}
 
	Přirozená čísla $\N$,   & $\N= \{ 1,2,3,4 \ldots \} $. \\
	Celá čísla $\Z$,        & $\Z= \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $. \\
	Racionální čísla $\Q$,  & $\Q= \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $.  \\
	Reálná čísla $\R$. \\
	Iracionální čísla $\R\setminus\Q$. \\
	Komplexní čísla $\C$, & $\C = \{ a+ib : a,b\in \R, i^2=-1 \}$. 
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
	\begin{lemma}[Vlastnosti reálných čísel]
	Nechť $a$, $b$, $c$ jsou reálná čísla. Potom platí:
	\begin{enumerate}
		\item $(a<b)\vee(a>b)\vee(a=b)$
		\item $(a<b)\wedge(b<c) \Rightarrow (a<c)$ transitivita
		\item $(a+b<a+c) \Rightarrow (b<c)$
		\item $(a<b) \wedge (c>0) \Rightarrow ac<cb$ \\ $(a<b) \wedge (c<0) \Rightarrow ac>cb$
	\end{enumerate}
	\end{lemma}
 
 
	\begin{theorem}[O hustotě $\R$]\label{veta:ohmrc}
	Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}
	Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
	\begin{proof}
	\textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu. 
	Matematická věta je obvykle zapsána pomocí implikace výroků
	\begin{equation}
		\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení},
	\end{equation}
	přičemž podle pravidel negování výroku (Lemma \ref{lemma1_7}) je její negace 
	\begin{equation}
		\neg(\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení}) = \hbox{Předpoklad~} \wedge \neg \hbox{Tvrzení},
	\end{equation}
% 	tj. předpokládáme platnost Předpokladu a zároveň neplatnost Tvrzení.
 
	Uvažujme následující slovní vyjádření výroku (ozn. $V$): 
	\textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}. 
	Kvantifikovaně lze výrok $V$ vyjádřit takto:
	$$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
	Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
	$$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
	které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení 
	\textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
 
	Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
	$$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
	Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle věty~\ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky větě~\ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
	\end{proof}
	\end{corollary}
 
 
\subsection{Důkaz matematickou indukcí}
	\begin{remark}
	Princip důkazu tvrzení $V[n]$ matematickou indukcí. Tvrzení $V[n]$ nazýváme \textbf{indukční předpoklad}.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{První krok.} Ověříme, že tvrzení platí pro nejnižší index, např. že $V[1]$ platí.
		\item \textbf{Indukční krok $n\to n+1$.} Za předpkladu, že platí $V[n]$, dokážeme platnost $V[n+1]$.
	\end{enumerate}
	\end{remark}
 
 
\subsection{Intervaly}
	\begin{define}[Interval]
 
	\begin{tabular}{l}
	Otevřený interval $ (a,b) =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
	Uzavřený interval $ [a,b] =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
	Polootevřený (polouzavřený) interval $ [a,b) =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq  x < b ~ \} $ 
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
	\begin{define}[Nekonečno]
	Pro symbol $+\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x<+\infty)$.\\
	Pro symbol $-\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x>-\infty)$.
	\end{define}
 
 
\subsection{Omezenost množin}
	\begin{define}[Omezenost množiny]\label{def:omezenost}
	\begin{tabular}{lp{10cm}}
	Říkáme, že množina $M$ je omezená shora  & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $. \\
	Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola  & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $. \\
	Říkáme, že množina $M$ je omezená        & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola. \\
	Říkáme, že množina $M$ je neomezená        & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola. \\
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{define}[Závora množiny]
	Číslo $h$, resp. $d$ z definice~\ref{def:omezenost} nazvýváme horní, resp. dolní závora (hranice) množiny $M$. 
	\end{define}
 
 
\subsection{Absolutní hodnota}
	\begin{define}[Absolutní hodnota]
	\textbf{Absolutní hodnota} čísla $x\in\R$ je 
	$$
		|x| = \left\{ \begin{array}{lcl} 
							x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
							-x & \hbox{pro} & x < 0
						\end{array}\right.. 
	$$
	\end{define} 
 
	\begin{remark}
	Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
	\end{remark}
 
 
	\begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost $\triangle\neq$]
	$$ |a+b| \leq |a| + |b|. $$
	\begin{proof}
	Platí: 
	$$  
	(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
	$$
	kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostáváme
	$$
	|a+b| \leq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}
	$$\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.$$
	\begin{proof}
	$$
	(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \geq |a|^2-2|a||b|+|b|^2 = (|a|-|b|)^2,
	$$
	kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostaneme tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{corollary}