Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Integrální počet]{\fbox{Integrální počet}}
\subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál}
\begin{define}[Primitivní funkce]\label{def:primitiv}
Funkci $F$ nazveme primitivní k funkci $f$ na intervalu $[a,b]$, pokud $F$ je spojitá na intervalu
$[a,b]$ a platí $F^\prime(x) = f(x)$ pro všechna $x \in (a,b)$.
\end{define}
\begin{theorem}[O jednoznačnosti primitivní funkce]
Buď funkce $F$ primitivní k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. Potom funkce $G$ je primitivní k funkci $f$
právě když $(\exists C\in\R)(\forall x\in(a,b)~)(F(x)=G(x)+C).$
\begin{proof}
Zjevně $F^\prime = G^\prime$, proto z definice~\ref{def:primitiv} plyne, že funkce $G$ je primitivní k $f$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}[Neurčitý integrál]
Nechť pro funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na $(a,b)$. Množinu všech primitivních
funkcí k funkci $f$ nazveme neurčitým integrálem funkce $f$ v intervalu $(a,b)$ a značíme symbolem
$$
\int f(x)~\ud x, \quad \hbox{nebo krátce} \quad \int f.
$$
\end{define}
\begin{remark}
$$
\int f = \int f(x) \ud x = \left\{ F : F \hbox{~je primitivní k ~} f \right\} = F(x)+C,
$$
kde $f$ \dots integrand, $x$ \dots integrační proměnná, $F$ \dots reprezentant (=nějaká primitivní funkce), $C$ \dots integrační konstanta.
\end{remark}
\begin{theorem}[Linearita integrace]
Buď $F$, resp. $G$ primitivní funkce k $f$, resp. $g$ na $(a,b)$ a $\alpha\in\R$. Pak $F+\alpha G$ je primitivní funkce k $f+\alpha g$ na $(a,b)$.
\begin{proof}
Plyne z linearity derivace a definice~\ref{def:primitiv}.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Per partes]\label{thm:perpartes}
Nechť $f$, $g$ mají na $(a,b)$ konečné derivace a funkce $h=fg^\prime$ má v $(a,b)$ primitivní
funkci $H$. Potom funkce $f^\prime g$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $fg-H$. \\
Neboli
$$
\int fg^\prime = fg-\int f^\prime g.
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Stačí ověřit, zda funkce $fg-H$ je primitivní k $f^\prime g$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a pravidla pro derivaci součinu (Věta~\ref{thm:derivovani})
$$
\left(fg-H \right)^\prime = f^\prime g + \underbrace{fg^\prime}_h - \underbrace{H^\prime}_h = f^\prime g + h - h = f^\prime g.
$$
\end{proof}
\begin{theorem}[Substituce]\label{thm:substituce}
Nechť $f$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $F$, $\varphi$ je prostá a má v $(\alpha,\beta)$ konečnou derivaci
$\varphi^\prime$ a $\varphi(\alpha,\beta)~\subset~(a,b)$. Potom funkce $F \circ \varphi$ je primitivní
funkce $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$ v intervalu $(\alpha,\beta)$.
Neboli
$$
\int f(z)~\ud z = \int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x)~\ud x = F(\varphi(x)) + C.
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Stačí ověřit, zda funkce $F\circ\varphi$ je primitivní k $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a Věty~\ref{thm:circ} (řetězové pravidlo)
$$
\Big( (F\circ\varphi)(x) \Big)^\prime = F^\prime(\varphi(x)) \varphi^\prime(x).
$$
\end{proof}
\begin{lemma}
Pro $n \neq -1$ platí
$\displaystyle
\int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C.
$
\end{lemma}
\subsection{Určitý integrál}
\begin{define}[Rozdělení intervalu $\varsigma$]
Rozdělením $\varsigma$ intervalu $[a,b]$ rozumíme množinu bodů $\varsigma = \left\{ x_k : k = 0, 1, 2, \dots, n\right\}$ takovou, že $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots x_{n-1} < x_n=b$. Intervaly $[x_{k-1}, x_k]$ nazýváme částečnými intervaly rozdělení $\varsigma$ pro $k = 1, 2, \dots, n$.
\end{define}
\begin{define}[Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$]
Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je
$$
S_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} M_k (x_{k}-x_{k-1}),
$$
kde $\displaystyle M_k = \max \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$.
\end{define}
\begin{define}[Dolní integrální součet $s_f(\varsigma)$]
Dolní integrální součet $s_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je
$$
s_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} m_k (x_{k}-x_{k-1}),
$$
kde $\displaystyle m_k = \min \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$.
\end{define}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{riemann}
\caption{{Ilustrace k Riemannově definici určitého integrálu}}\label{fig:riemann}
\end{figure}
\begin{define}[Určitý integrál]\label{def:urcity}
Buď $s_f(\varsigma)$, resp. $S_f(\varsigma)$ dolní, resp. horní integrální součet funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$
intervalu $[a,b]$. Potom jednoznačně určené číslo $I$, které pro všechna možná rozdělení $\varsigma$ splňuje
$$
s_f(\varsigma) \leq I \leq S_f(\varsigma)
$$
se nazývá určitý integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ (přes interval $(a,b)$) a značí se
$$
I = \int\limits_a^b f(x)~\ud x = \int\limits_a^b f.
$$
Funkce, která má určitý integrál se nazývá Riemannovsky integrovatelná (integrabilní).
\end{define}
\begin{theorem}[Základní vlastnosti určitého integrálu]\oprava
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f = \int\limits_a^c f,$ pokud jednotlivé integrály existují.
\item $\displaystyle \int\limits_a^a f = 0$
\item $\displaystyle \int\limits_a^b f= - \int\limits_b^a f$
\end{enumerate}
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item Plyne přímo z definice~\ref{def:urcity} nebo též z grafického znázornění integrálu jako plochy pod grafem funkce $f$ pokud $a<b<c$.
\item Z prvního tvrzení je patrné, že pro volbu $a=b=c$ máme rovnost $2\int\limits_a^af = \int\limits_a^af$, kterou splňuje pouze $\int\limits_a^af = 0$.
\item Z prvního a druhého tvrzení dostaneme pro volbu $c=a$ rovnost $\int\limits_a^bf+\int\limits_b^af=0$, odkud již plyne třetí tvrzení.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}[Integrál jako funkce horní, resp. dolní meze]
Nechť funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $[a,b]$. Potom
$$
x \mapsto \int\limits_a^x f(t)\ud t
$$
nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí horní meze} a
$$
x \mapsto \int\limits_x^b f(t)\ud t
$$
nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí dolní meze}.
\end{define}
\begin{lemma}\label{lemma:newton}
Funkce $\displaystyle F(x) = \int\limits_a^x f(t)\ud t$ je primitivní funkce k funkci $f$, tj.
$$
\frac{\ud}{\ud x}\left( \int\limits_a^x f(t)\ud t \right) = f(x).
$$
\end{lemma}
\begin{theorem}[Newtonova formule]\label{thm:newton}
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a $F$ její primitivní funkce. Potom
$$
\int\limits_a^b f(x)~\ud x = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F(a).
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Dle lemmatu~\ref{lemma:newton} zkoumejme primitivní funkci $F$ k $f$ ve tvaru
$$
F(x) = \int\limits_a^x f(t) \ud t + K,
$$
kde $K\in\R$. Z hodnoty v bodě $x=a$ určíme $K$ takto:
$$
F(a) = \int\limits_a^a f(t) \ud t + K = 0 + K,
$$
odkud $K = F(a)$. Z hodnoty v bodě $x=b$ pak dostaneme tvrzení věty:
$$
F(b) = \int\limits_a^b f(t) \ud t + F(a).
$$
\end{proof}
\begin{theorem}[Per partes]
Nechť funkce $f$, $g$ mají na $[a,b]$ spojité derivace. Potom
$$
\int\limits_a^b f(x)g^\prime(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int\limits_a^b f^\prime(x)g(x)~\ud x.
$$
\begin{proof}
Plyne z vět~\ref{thm:perpartes} a \ref{thm:newton}.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Substituce]
Buď $\varphi^\prime$ spojitá a nenulová na intervalu $[\alpha,\beta]$ (tj. $\varphi$ je prostá na $\alpha, \beta$]). Nechť funkce $f$ je spojitá na $H_\varphi$.
Potom
$$
\int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^\prime(t) ~\ud t= \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)~\ud u.
$$
\begin{proof}
Plyne z vět~\ref{thm:substituce} a \ref{thm:newton}.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Vlastnosti určitého integrálu}
\begin{theorem}[Vlastnosti určitého integrálu]
Nechť $a\leq b$.
\begin{enumerate}
\item Nechť $f \geq 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f \geq 0$.
\item Nechť $f > 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f > 0$.
\item Nechť $f < g$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f < \int\limits_a^b g$.
\item $\displaystyle \Big| \int\limits_a^b f \Big| \leq \int\limits_a^b |f|$, přičemž rovnost nastává, pokud je funkce $f$ nezáporná na $(a,b)$.
\item $\displaystyle m(b-a) < \int\limits_a^b f < M(b-a)$, kde $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Věta o střední hodnotě integrálu]\label{thm:stredni}
Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $[a,b]$ a navíc funkce $g$ nezáporná na $[a,b]$. Potom $\exists c\in [a,b]$ tak, že
$$
\int\limits_a^b f(x)g(x)~\ud x = f(c)\int\limits_a^b g(x)~\ud x.
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Označme $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$, pak platí
$$
mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x).
$$
Integrací přes interval $[a,b]$ dostaneme nerovnost
$$
m\int\limits_a^bg(x)\ud x \leq \int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x \leq M\int\limits_a^bg(x)\ud x.
$$
Celou nerovnost můžeme vydělit kladným integrálem (číslem) $\int\limits_a^bg$, neboť dle předpokladů je $g>0$
$$
m \leq \underbrace{\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x}{\int\limits_a^bg(x)\ud x}}_{Y} \leq M.
$$
Tento výsledek je možné interpretovat také tak, že pro $Y$ ležící mezi $m$ (minimem $f$) a $M$ (maximem $f$) existuje ze spojitosti funkce $f$ takové $c\in[a,b]$, že $f(c) = Y$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Nechť $f$ je spojitá na $[a,b]$. Pak existuje $c\in[a,b]$ tak, že
$$
\int\limits_a^b f(x)\ud x = f(c)(b-a).
$$
\begin{proof}
Ve větě~\ref{thm:stredni} zvolme $g(x) = 1$.
\end{proof}
\end{corollary}
