Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Spojitost funkce]{\fbox{Spojitost funkce}}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$]
Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$
je spojitá v bodě $a$, právě když $$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a).$$
\end{define}
\begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$ zleva a zprava]
Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, a]$, resp. $[a,a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$
je \textbf{spojitá} v bodě $a$ zleva, resp. zprava, právě když
$$
\lim\limits_{x\to a-} f(x) = f(a), \quad \hbox{resp.~~}
\lim\limits_{x\to a+} f(x) = f(a).
$$
\end{define}
\begin{define}[Spojitost na uzavřeném intervalu]
Řekneme, že funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$, právě když je spojitá v každém bodě \mbox{$x\in(a,b)$}, spojitá zprava v bodě $a$ a zleva v bodě $b$.
\end{define}
\begin{define}[Odstranitelná nespojitost]
Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{odstranitelnou nespojitost} $\ekv$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existuje, ale $\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)$
\end{define}
\begin{define}[Skoková nespojitost]
Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{skokovou nespojitost} $\ekv$ existují obě konečné jednostranné limity, ale nerovnají se.
\end{define}
\begin{define}[Podstatná nespojitost]
Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{podstatnou nespojitost} $\ekv$ alespoň jedna jednostranná limita je nekonečná nebo neexistuje.
\end{define}
\begin{theorem}
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ $\ekv$ Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva i zprava.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť jsou funkce $f$ a $g$ spojitá v bodě $a$ a buď $\alpha\in\R$. Potom funkce $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\alpha~f$ i $\frac{f}{g}$ pro $g(a)\neq0$ jsou spojité v $a$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť je funkce $g$ spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ spojitá v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je spojitá v $a$.
\end{theorem}
\subsection{Vlastnosti spojitých funkcí}
\begin{theorem}[Bolzano -- o existenci nulového bodu spojité funkce]\label{thm:sp}
Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$ a $f(a)f(b)<0$. Potom existuje $c\in(a, b)$ tak, že $f(c)=0$.
\begin{proof}~
Obrázkový -- graf spojité funkce nutně musí protnout osu $x$, pokud $f(a)$ a $f(b)$ mají opačná znamení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Darboux -- o existenci řešení $f(c)=d$ pro spojitou funkci $f$]
Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom pro každé číslo $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b))$ existuje $c \in (a, b)$, že $f(c)=d$.
\begin{proof}
Je-li $f$ spojitá funkce, je i $f-d$ je spojitá a pro $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b)$ platí, že \mbox{$(f(a)-d)(f(b)-d) \leq 0$}.
Proto podle Věty \ref{thm:sp} aplikované na funkci $f-d$ existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f(c)-d=0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}[Maximum a minumum funkce]
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$ \textbf{maximum}, resp. \textbf{minimum} právě tehdy, když $f(a) \geq f(x)$, resp. $f(a) \leq f(x)$ pro všechny $x\in D_f$.
\end{define}
\begin{define}[Omezená funkce]
Řekneme, že funkce $f$ je omezená na množině $M\subset D_f$ $\ekv$ $(\exists K > 0)(\forall x \in M)( |f(x)| \leq K)$.
\end{define}
\begin{theorem}[Weierstrass -- extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu]\label{thm:weierstrass}
Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom funkce $f$ je omezená a nabývá na $[a, b]$ svého minima i maxima, tj. $\exists c \in [a, b]$ a $\exists d \in [a, b]$ tak, že funkce $f$ nabývá v bodě
$c$ svého maxima a v bodě $d$ svého minima.
\end{theorem}
