Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Funkce]{\fbox{Funkce}}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce}
\textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis,
který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$.
Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$.
\end{define}
\begin{define}[Graf funkce]
\textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$.
\end{define}
% \begin{remark}
% Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$.
% \end{remark}
\begin{theorem}
Množina $\mathcal{F}$ je funkcí ve smyslu definice \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí:
$$ \big( (x,y) \in \mathcal{F} \wedge (x,z) \in \mathcal{F} \big) \Rightarrow y=z. $$
\end{theorem}
\subsection{Základní funkce}
\begin{define}[Polynom]
\textbf{Polynom} $p$ je funkce definovaná jako
$$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^k,$$
kde $a_k$ jsou komplexní čísla pro všechny indexy $k= 0,1,\dots,n$.
Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\C$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$.
\end{define}
\begin{remark}
My budeme uvažovat výhradně polynomy reálné, tj. $a_k\in\R$ pro $\forall k=0,1,\dots,n$, a s $D_p = \R$.
\end{remark}
\begin{remark}~
\begin{itemize}
\item Nulový polynom: $p(x)=0$.
\item Polynom 0. stupně: $p(x)=K$, kde $K\neq 0$.
\item Polynom 1. stupně se nazývá \textit{lineární} polynom.
\item Polynom 2. stupně se nazývá \textit{kvadratický} polynom.
\item Polynom 3. stupně se nazývá \textit{kubický} polynom.
\item Polynom 4. stupně se nazývá \textit{bikvadratický} polynom.
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{define}[Kořen polynomu]
Bod $x_0\in\R$ takový, že $p(x_0)=0$, nazýváme kořenem (též nulovým bodem) polynomu $p$.
\end{define}
\begin{theorem}[Základní věta algebry]
Každý polynom stupně alespoň prvního má v $\C$ alespoň jeden kořen.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Každý polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ kořenů.
\end{theorem}
\begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou:
\begin{itemize}
\item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $, $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $
\item Racionální funkce $ \frac{1}{x}$, $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $, $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $
\item Absolutní hodnota $|x|$, $ D_{|x|}= \R $, $H_{|x|}= \R_0^+ $
\item Funkce signum $\ds \sign{x} = \left\{
\begin{array}{rl}
1 & \hbox{pro~} x > 0 \\
0 & \hbox{pro~}x = 0 \\
-1 & \hbox{pro~}x <0
\end{array}
\right.$
\end{itemize}
\end{remark}
\subsection{Algebraické kombinace funkcí}
\begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~
Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť $D_{f}= D_{g} $. Pak lze definovat následující nové funkce:
\begin{itemize}
\item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$
\item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$
\item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
\item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $
\end{itemize}
\end{define}
\begin{define}[Skládání funkcí]~
Nechť $(\forall x\in D_g)(g(x)\in D_f)$, pak $(f\circ g)(x) = f(g(x))$.
\end{define}
\begin{remark}
Skládání funkcí není komutativní, tj. obecně $f\circ g \neq g\circ f$.
\end{remark}
\subsection{Prostá a inverzní funkce}
\begin{define}[Prostá funkce]
Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých
by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$.
\end{define}
\begin{theorem}[O existenci a jednoznačnosti inverzní funkce]\label{thm:inverze}
Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem
$D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Pro dané $y\in H_f$ existuje díky prostotě $f$ právě jedno $x \in D_f$ tak, že $y=f(x)$. Toto $x$ označíme $g(y):=x$ a dostaneme jednoznačný předpis $g: y \mapsto x$, který vyhovuje definici funkce.
\end{proof}
\begin{define}[Inverzní funkce]
Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$.
\end{define}
\begin{theorem}\label{thm:inverze_id}
Funkce $f^{-1}$ je inverzní k $f$ právě tehdy, když $f^{-1}\circ f=\id$ a $f\circ f^{-1}=\id$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Inverze složené funkce]\oprava
$$(f\circ g)^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1}.$$
\begin{proof}
$f(g(x))=y$, odkud $g(x) = f^{-1}(y)$ odkud $x = g^{-1}(f^{-1}(y))$.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Parita}
\begin{define}[Parita funkce]
Nechť funkce $f$ má definiční obor symetrický dle $0$. Pak říkáme, že funkce $f$ je
\begin{itemize}
\item \textbf{sudá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = f(x))$.
\item \textbf{lichá} $\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D_f)(f(-x) = -f(x))$.
\end{itemize}
\end{define}
\subsection{Obraz, vzor}
\begin{define}[Obraz množiny]
Obraz množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina
$$f(M) = \{y : (\exists x\in M)(f(x)=y) \}.$$
\end{define}
\begin{define}[Vzor množiny]
Vzor množiny $M$ při zobrazení $f$ je množina
$$f^{-1}(M) = \{x : (\exists y\in M)(f(x)=y) \}.$$
\end{define}
