MAN2priklady:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 9. 9. 2022, 17:17, kterou vytvořil Korenjak (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{MAN2priklady} \section{Určitý integrál a jeho aplikace} \subsection{Základní příklady} Řešený příklad: $ \int\displaylimits_{0}^…“)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu MAN2priklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu MAN2prikladyKorenjak 18. 9. 202216:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKorenjak 9. 9. 202217:14
Header editovatHlavičkový souborKorenjak 9. 9. 202217:16 header.tex
Kapitola1 editovatPrimitivní funkceKorenjak 9. 9. 202217:16 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatUrčitý integrál a jeho aplikaceKorenjak 9. 9. 202217:17 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKonvergence řadKorenjak 9. 9. 202217:17 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatTaylorův polynom a mocninné řadyKorenjak 9. 9. 202217:17 kapitola4.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{MAN2priklady}
\section{Určitý integrál a jeho aplikace}
\subsection{Základní příklady}
Řešený příklad: $
\int\displaylimits_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\cos(x)} \, \mathrm{d} x
$
\medskip
\newline
Z přednášky víme, že na tento typ integrálu zabere substituce $y=\text{tg} \left( \frac{x}{2} \right),$ tato substituce lze použít na intervalech $(-\pi + k\pi, \pi + k\pi),$ integrál si tedy rozdělíme na intervaly, kde lze tato substituce použít. Již víme, že při této substituci platí vztahy $\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}$ a $\mathrm{d} x=\frac{2}{y^2+1}\mathrm{d} y.$ 
 
\begin{align*}
&\int\displaylimits_{0}^{2\pi} \frac{1}{2+\cos(x)} \, \mathrm{d} x=\int\displaylimits_{0}^{\pi} \frac{1}{2+\cos(x)} \, \mathrm{d} x + \int\displaylimits_{\pi}^{2\pi} \frac{1}{2+\cos(x)} \, \mathrm{d} x = \vars{y=\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right), \text{tg}\left(\frac{2\pi}{2}\right)=\text{tg}(0)=0, \lim_{x \to \pi^{-}} \text{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = +\infty,  \lim_{x \to \pi^{+}} \text{tg}\left(\frac{x}{2}\right) = -\infty }=\\
&2\int\displaylimits_{0}^{+\infty} \frac{1}{3+y^2} \, \mathrm{d} y + 2\int\displaylimits_{-\infty}^{0} \frac{1}{3+y^2} \, \mathrm{d} y=\frac{2}{3}\int\displaylimits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+\left( \frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2} \, \mathrm{d} y =\vars{\frac{y}{\sqrt{3}}=z,  \mathrm{d} y=\sqrt{3}\mathrm{d} z}=\\&
\frac{2}{\sqrt{3}}\int\displaylimits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+z^2} \, \mathrm{d} z=\frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \text{arctg}(z)\right]_{-\infty}^{+\infty}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}- \left(-\frac{\pi}{2} \right) \right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\pi
\end{align*}
\medskip
\newline
Řešený příklad:$
\int\displaylimits_{1}^{3} \frac{x}{\lfloor x \rfloor} \, \mathrm{d} x
$
\medskip
\newline
Problematickým prvkem je v tomto příkladu dolní celá část, s tímto problémem se vypořádáme vyjádřením této funkce na dílčích intervalech.
 
\begin{align*}
\int\displaylimits_{1}^{3} \frac{x}{\lfloor x \rfloor} \, \mathrm{d} x=\int\displaylimits_{1}^{2} \frac{x}{\lfloor x \rfloor} \, \mathrm{d} x + \int\displaylimits_{2}^{3} \frac{x}{\lfloor x \rfloor} \, \mathrm{d} x=\int\displaylimits_{1}^{2} x\, \mathrm{d} x + \int\displaylimits_{2}^{3} \frac{x}{2} \, \mathrm{d} x=\left[\frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}+\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3}=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}
\end{align*}
 
\begin{enumerate}
\item $
\int\displaylimits_{-1}^{8} \sqrt[3]{x} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\pi} \sin(x) \, \mathrm{d} x
$
 
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin(x)} \, \mathrm{d} x
$
 
 
\item $
\int\displaylimits_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d} x
$
 
 
\item $
\int\displaylimits_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{4} |2-x| \, \mathrm{d} x
$
 
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\ln2} xe^{-x} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\pi} x\sin(x) \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{2\pi} x^2\cos(x) \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{1} \text{arccos}(x) \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\sqrt{3}} x\text{arctg}(x) \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{e^{-1}}^{e} |\ln(x)| \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{-1}^{1} \frac{x}{\sqrt{5-4x}} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{\ln2} \sqrt{e^x-1} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{1}  \frac{\text{arcsin}\left( \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x(1-x)}}\, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{1} x(2-x^2)^{12} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{-1}^{1} \frac{x}{x^2+x+1} \, \mathrm{d} x
$
 
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{1} \ln(x) \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^3} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{+\infty} \frac{\text{arctg(x)}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
\int\displaylimits_{0}^{3} \text{sgn}(x-x^3) \, \mathrm{d} x
$
 
\item $
I_n=\int\displaylimits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x) \, \mathrm{d} x
$
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Výpočet obsahu rovinných ploch}
Vypočtěte obsahy následujících rovinných ploch vymezených následujícími křivkami
 
\begin{enumerate}[resume]
\item $y=2x-x^2, \ x+y=0$
\item $y=|\log(x)|, \ y=0, \ x=10, \ x=0,1$
\item $y=2^x, \ y=2, \ x=0$
\item $y=\frac{1}{x}, \ y=\frac{1}{x^2}, \ x=2$
\item $y^2=2x+1, \ x-y-1=0$
\item $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$
\item $y^2=x^2(1-x^2)$
\item $y=\frac{1}{1+x^2}, \ y=0$
\item $y=x, \ y=x+\sin^2(x) \ \  (0\leq x \leq \pi)$
\item $y^2=\frac{x^3}{2-x} \ (0 \leq x \leq 2) \ \ \ $ (Náhrada za původní $y=e^{-x}|\sin(x)|, \ y=0 \  \ (x\geq 0)$ - moc těžké)
\end{enumerate}
 
\subsection{Integrál jako limita posloupnosti}
Řešený příklad:
$
\lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + \ldots +\frac{1}{n+n}\right).
$
\medskip
\newline
V prvním kroku součet zapíšeme pomocí sumy.
\begin{align*}
\lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + \ldots +\frac{1}{n+n}\right)=&\lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\left( 1+\frac{k}{n}\right)}=\\
&\lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{ 1+\frac{k}{n}}\frac{1}{n}=\lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta_k
\end{align*}
\medskip
\newline
Při posloupnosti rozdělení $\sigma_n=\lbrace \frac{0}{n}, \frac{1}{n}, \ldots, \frac{n}{n} \rbrace$ a volbě $\xi_k=x_k=\frac{k}{n}$ se jedná o integrální součet funkce $f(x)=\frac{1}{1+x}.$ Limitním přechodem dostáváme integrál 
 
\begin{align*}
\lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + \ldots +\frac{1}{n+n}\right)=\int\displaylimits_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, \mathrm{d} x=\left[ \ln(1+x)\right]_{0}^2=\ln(2).
\end{align*}  
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2} + \ldots +\frac{n}{n^2+n^2}\right)
$
 
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1}{n}\left( \sqrt{\frac{n+1}{n}}+\sqrt{\frac{n+2}{n}}+\ldots + \sqrt{\frac{n+n}{n}}\right)
$
 
 
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1^p+2^p+ \ldots + n^p}{n^{p+1}} \ \ \ (p>0)
$ 
 
 
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4} +\frac{3^3}{n^4} +\ldots +\frac{(4n)^3}{n^4}\right) \ \ \ \left(\text{modifikace:} \lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4} +\frac{3^3}{n^4} +\ldots +\frac{(4n-1)^3}{n^4}\right) \right)
$
 
 
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{1}{n}\left( \sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\ldots + \sin\frac{(n-1)\pi}{n}\right)
$
 
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\ldots (2n)}}{n}
$ 
 
 
\item $
\lim\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+ \ldots +\frac{2^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right) \ \ \ (\text{nápověda: limita sevřené posloupnosti})
$
 
 
\end{enumerate}
 
\subsection{Integrál jako funkce horní meze}
Nechť $f$ je integrovatelná na intervalu $\left\langle a,b\right\rangle.$ Funkce $F:\left\langle a,b\right\rangle \rightarrow \mathbb{R}$ definovaná předpisem $F(x)=\int_{a}^{x}f$ je spojitá na $\left\langle a,b\right\rangle.$ Je-li funkce $f$ spojitá v bodě $x_0 \in \left\langle a,b\right\rangle,$ je funkce $F$ diferencovatelná v bodě $x_0$ a platí $F'(x_0)=f(x_0).$
\medskip
\newline
Příklad:
$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}F(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{0}^{x} \sin(t)\, \mathrm{d} t=\sin(x)
$
\medskip
\newline
Modifikujme nyní příklad do podoby $
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{0}^{x^2} \sin(t)\, \mathrm{d} t=?
$
\medskip
\newline
Výraz  $\int\displaylimits_{0}^{x^2} \sin(t)\, \mathrm{d} t$ odpovídá výrazu $F(x^2).$ Obecně (pokud existuje derivace $g$):
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}F(g(x))=(F(g(x)))'=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x),
$$
v našem případě tedy
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{0}^{x^2} \sin(t)\, \mathrm{d} t=\sin(x^2)2x.
$$
 
\begin{enumerate}[resume]
 
\item $
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{0}^{x} \text{arctg}(t)\, \mathrm{d} t
$
 
\item $
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{0}^{x^3} (1-t)\, \mathrm{d} t
$
 
 
\item $
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{-\sin(x)}^{0} (1+t^2)\, \mathrm{d} t
$
 
\item $
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{2}^{\text{tg}(x)} \frac{1}{1+t^2}\, \mathrm{d} t
$
 
 
\item $
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\int\displaylimits_{\sin(x)}^{\cos(x)} \cos(\pi t^2)\, \mathrm{d} t
$
 
\item $
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\int\displaylimits_{0}^{x} \cos(t^2) \, \mathrm{d} t}{x}
$ 
 
\item $
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\int\displaylimits_{0}^{x} \text{arctg}^2(t) \, \mathrm{d} t}{\sqrt{x^2+1}}
$ 
 
 
\item $
\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\int\displaylimits_{0}^{\sin(x)} \sqrt{\text{tg}(t)} \, \mathrm{d} t}{\int\displaylimits_{0}^{\text{tg}(x)} \sqrt{\sin(t)} \, \mathrm{d} t}
$ 
 
 
\end{enumerate}
\subsection{Délka grafu funkce}
Nechť funkce $f$ má spojitou derivaci na intervalu $\left\langle a,b \right\rangle,$ pak délka $L$ grafu funkce $y=f(x),$ $x \in \left\langle a,b \right\rangle,$ je rovna 
 
$$
L=\int\displaylimits_{a}^{b}  \sqrt{1+{f'}^2 (x)} \, \mathrm{d} x.
$$
Vypočtěte délku grafu následujících křivek v $\mathbb{R}^2$
\begin{enumerate}[resume]
\item $y=\sqrt{x} \ \  (0\leq x \leq 1)$
\item $y=x^2+2x+3\ \  (0\leq x \leq 1)$
\item $y=\ln(x) \ \  (\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{8})$
\item $y^2=2x \ \  (0 \leq x \leq x_0)$
\item $y=\text{cosh}(x) \ \  (0 \leq x \leq x_0)$
\item $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ (asteroida)
\item $x^2+y^2=R^2$ (kružnice s poloměrem $R$)
\end{enumerate}
\subsection{Výpočet objemu těles}
Nechť $f$ je funkce spojitá na intervalu $ \left\langle a,b \right\rangle,$ pak objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu funkce $f$ kolem osy $x,$ je 
 
$$V=\pi \int\displaylimits_{a}^{b}  f^2(x) \, \mathrm{d} x.$$
 
Vypočtěte objemy těles ohraničených plochami, které vzniknou rotací následujících křivek kolem osy $x$.
\begin{enumerate}[resume]
\item $y=\sqrt{x} \ \  (0\leq x \leq 1)$
\item $y=\frac{1}{1+x^2},  \ y=0\ \  (-1\leq x \leq 1)$
\item $y=e^{-x}, \ y=0\ \  (0\leq x \leq +\infty)$
\item $y=\cos(x), \ y=2\cos(x) \ \ \left( -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$
\item $x^2-xy+y^2=1$
\item $y=e^x-1, \ y=2,  \ x=0$
\item $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
\end{enumerate}
\subsection{Výpočet povrchu rotačních ploch}
Nechť funkce $f$ má spojitou derivace $f'$ na intervalu $ \left\langle a,b \right\rangle,$ pak plášť tělesa vzniklého rotací grafu funkce je 
$$
P=2\pi\int\displaylimits_{a}^{b}  f(x)\sqrt{1+{f'}^2 (x)} \, \mathrm{d} x.
$$
Vypočtěte povrchy ploch vzniklých rotací následujících křivek podle osy $x$.
\begin{enumerate}[resume]
\item $y=\text{tg}(x) \ \  \left(0\leq x \leq \frac{\pi}{4}\right)$
\item $y=\frac{1}{x} \ \  \left(1\leq x \leq 2\right)$
\item $y=\cos\left(\frac{\pi x}{2} \right)\ \  \left(-1\leq x \leq 1\right)$
\item $y^2=2x \ \  (0 \leq x \leq x_0)$
\item $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
\item $y=\text{cosh}(x) \  \left(-1\leq x \leq 1\right)$
\end{enumerate}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=MAN2priklady:Kapitola2&oldid=8470“