Součásti dokumentu MAN1priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{MAN1priklady}
\setcounter{section}{8}
\section{Devátý týden}
%(verze \today)
% limita funkce, spojitost funkce
\subsection{Hromadný bod množiny}
\begin{pr}
Pomocí kvantifikátorů zapište definice hromadného a izolovaného bodu množiny $A\subset\R$. Za jakých dodatečných předpokladů platí, že bod je izolovaný právě tehdy, není-li hromadný?
\tagged{teach}{
\begin{res}
\begin{itemize}
\item $a\in \overline{\R}$ je hromadným bodem $A \subset \R$ pokud $(\forall H_a)(H_a \cap A \setminus \{a\} \neq \emptyset)$,
\item $a \in A$ je izolovaný bod množina $A$ pokud $(\exists H_a)(H_a \cap A = \{a\})$,
\item pokud $a \in A$, pak $a$ je izolovaný právě tehdy pokud není hromadný.
\end{itemize}
\end{res}
}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\item $a\in \overline{\R}$ je hromadným bodem $A \subset \R$ pokud $(\forall H_a)(H_a \cap A \setminus \{a\} \neq \emptyset)$
\item $a \in A$ je izolovaný bod množina $A$ pokud $(\exists H_a)(H_a \cap A = \{a\})$
\item Pokud $a \in A$. Pak $a$ je izolovaný právě tehdy pokud není hromadný
\end{itemize}
% JV: Podle mě má být v první i druhé odrážce $a \in \overline{\R}$.
% \\
% TS: v první určitě - opraveno, ve druhé nevidím... kde? Odrážka 2 je nyní přesně definice 4.2.3. ze skript \\
% JV: Do skript jsem nekoukala, ale izolovaný bod podle mě obecně nemusí být bod přímo z té množiny (i dle googlu). Druhou odrážku bych proto spíš napsala jako čistě negaci té první, tj. $a\in \overline{\R}$ je izolovaný bod množiny $A$, pokud $(\exists H_a)(H_a \cap A \setminus \{a\} = \emptyset)$, ta by měla dávat smysl pro jakékoliv $a$. Proto by pak dávala též smysl ta otázka na dodatečný předpoklad... Ještě když se podívám do Poštovy ofiko prezentace - tak co je tedy definice a co věta (ještě i v porovnání se skripty)? Chápe tu někdo, prosím, s čím mám problém? :)
% TS: citace z přednášek: "Body z A, které nepatří mezi hromadné body A, se nazývají
% izolované." Věty jsou v té prezentaci v rámečku myslím, definice nikoliv... viz http://km.fjfi.cvut.cz/ma1/data/uploads/funkce.pdf \\
% JV: To jsem si myslela, Každopádně Pelantová ve skriptech a Pošta v prezentaci se liší definicí hromadného bodu, což je prvopočátek mého zmatení. Jasně že všechna ta tvrzení jsou ekvivalentní, jak tam Pelantová dokazuje, ale co je tedy ta definice, ze které máme vyjít? Ta otázka na dodatečný předpoklad podle těch jejich definic mi prostě nedává smysl, jak dodatečný, když je v definici?
% TS: pravda ta definice hromadného bodu je jiná. Ten dodatečný předpoklad chápu tak, že např. pro $A = (0,1)$ a $a = 2$ bod $a$ není hromadný, ale dle naší definice není ani izolovaný bod množiny $A$. Takže ta ekvivalence prostě neplatí. Ale celé to stojí na té definici, že pro $a\notin A$ nedifinujeme pojem izolovaný.
% JK: Vstupuji do diskuse. Popravdě jedná se o "drobnost" - obecně, pokud se vyskytne nějaká nuance mezi prezentacemi a skripty (kromě věcí, na které Pošta sám osobně upozorní - např. M-surjektivita) držel bych se skript jakožto "stabilnějšího" materiálu. Případně ho pak můžeme upozornit, že se rozchází se skripty. Ať už to definujeme tak či onak, nemyslím, že bychom způsobili studentům problémy např. u zkoušky - že by Pošta trval na své definici a nebral tu co je ve skriptech.
% JV: Ano, stojí to na tom, že bod $a$ musí být z $A$, aby mohl být izolovaný. Takže proč to přidávat jako dodatečný předpoklad, když je to přeci jasné. Pro mě to je prostě definice, takže žádná dodatečnost čehokoliv mi tam nedává smysl. Ano, asi tím nezpůsobíme nikomu problémy, ale mně vadí to, jak se to rozchází bez upozornění, jako student prvního ročníku bych z toho byla jelen, o to mi jde, o nic jiného. :) Můžeme to Poštovi, Tome, nějak sdělit v rámci vylepšení příkladů?
% TS: Podle mě to je důležité - je to obdoba toho, že máš ekvivalenci: $f$ spojítá v $a$ právě tehdy když $\lim_a f(x) = f(a)$, která opět platí jen pro nějaká $a$ ($a \in D_f^\prime$). Je to prostě nuance toho, že nemáme definované určité pojmy pro určitě body a je důležité si to uvědomit. Nebo mi ted zase uniká něco mně? Je už docela pozdě večer takže mi to možná nemyslí + u toho dělám spouustu dalších věcí...
% můžu se mu zmínit ale nevím jak to formulovat? zeptat se ho na to jak opravdu definuje hromadný bod? nebo upravit tento příklad?
% JV: To je dobrý příklad, už chápu, jak to myslíš. Ale je to pro mě prostě divné, když se ptají, kdy funguje definice. Definice je definice. To s tou spojitostí a limitou - to je věta, ten pojem je ekvivalentní jen za určitých podmínek, které nejsou v definici, takže je dodatečný předpoklad nutný. To s tím izolovaným bodem je pro mě definice, což způsobuje můj problém. Pardon, už mě bolí mozek, nedokážu to problémové místo vysvětlit lépe... Zeptala bych se ho, jak opravdu definuje ten hromadný bod a v té souvislosti bych zmínila, že jsme vedli diskuze u tohoto příkladu a uvidíš, jak odpoví. Třeba jen napíše, že je jedno, jak ho definujeme, ale hlavně když to bude správně, tak bych to od něj i čekala. :)
% TS: podle mě se neptají kdy funguje definice. Já to chápu takto: 1. máme definici hromadný bod 2. máme definici izolovaný bod 3. ptáme se kdy platí věta: bod $a$ je izolovaný právě tehdy když není hromadný. takže je to opět věta která jako v případě spojitosti platí pouze za nějakých předpokladů
% JV: Chápu, jenže to, co je pro tebe věta, pro mě je definice a už jsme v kruhu. Každopádně děkuji za plodnou diskuzi. :)
% TS: taky díky, je dobré si to vyjasnit :)
\end{postup}
}
\end{pr}
\tagged{complete}{
\begin{pozn}
Hromadný bod se v množině $\C$ nezaváděl
\end{pozn}
}
\begin{pr}
Rozhodněte, je-li $a$ hromadný bod množiny $A$ pro
\begin{enumerate}
\item $a=1,\, A=(0,2)$
\item $a=1,\, A=(0,1)$
\item $a=\pi,\, A=\Z$
\item $a=3,\, A=\Z$
\end{enumerate}
\tagged{teach}{\begin{res}ano, ano, ne, ne\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{enumerate}
\item Nechť $H_1 = (1 - \varepsilon,1+\varepsilon)$. Pak
$$
(0,2) \cap H_1 \setminus \{1\} = \begin{cases}
(1 - \varepsilon,1+\varepsilon)\setminus \{1\}, \hspace{5pt} \varepsilon < 1 \\
(0,2)\setminus \{1\}, \hspace{5pt} \varepsilon \geq 1
\end{cases}
$$
V obou případech je průnik neprázdný. V prvém případě například bod $x = 1 + \frac{\varepsilon}{2}$ leží v průniku. Bod $a=1$ je hromadným bodem množiny $A=(0,2)$.
\item Nechť $H_1 = (1 - \varepsilon,1+\varepsilon)$. Pak
$$
(0,1) \cap H_1 \setminus \{1\} = \begin{cases}
(1 - \varepsilon,1), \hspace{5pt} \varepsilon < 1 \\
(0,1), \hspace{5pt} \varepsilon \geq 1
\end{cases}
$$
V obou případech je průnik neprázdný. V prvém případě například bod $x = 1 - \frac{\varepsilon}{2}$ leží v průniku. Bod $a=1$ je hromadným bodem množiny $A=(0,1)$.
\item Dokážeme, že $\pi$ \textbf{není} hromadným bodem množiny $A = \Z$. Vezměme okolí $H_\pi = \left( \pi - \frac{1}{100}, \pi+\frac{1}{100}\right)$. Pak $\Z \cap H_\pi \setminus \{\pi\} = \emptyset$ a tedy bod $\pi$ není hromadným bodem množiny $\Z$.
\item Dokážeme, že $3$ \textbf{není} hromadným bodem množiny $A = \Z$. Vezměme okolí $H_3 = \left( 3 - \frac{1}{100}, 3+\frac{1}{100}\right)$. Pak $\Z \cap H_3 \setminus \{3\} = \emptyset$ a tedy bod $3$ není hromadným bodem množiny $\Z$.
\end{enumerate}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Rozhodněte, je-li $a$ hromadný bod množiny $A$ pro
\begin{enumerate}
\item $a=0,\, A=\left\{\frac{1}{x}|\, x\text{ prvočíselné}\right\}$
\item $a=+\infty,\, A=\{\tg{x}|\, x\in(-\pi/2,\pi/2)\}$
\item $a=-\infty, \, A=\{n(\cos{n}+\sin{n})\,|\, n\in\N\}$
\end{enumerate}
\tagged{teach}{\begin{res}ano, ano, ano\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{enumerate}
\item Ukážeme, že 0 je hromadným bodem $A$. Berme libovolné okolí $H_0= (\varepsilon,-\varepsilon)$. Aby $A \cap H_0 \setminus \{0\} \neq \emptyset$ potřebujeme nalézt prvočíslo $x$ takové, že $\frac{1}{x} < \varepsilon$. Jelikož množina prvočísel je nekonečná, takové prvočíslo nalezneme k libovolnému kladnému $\varepsilon$. Nula je tedy hromadným bodem množiny $A$.
\item Opět ukážeme, že $+\infty$ je hromadným bodem. Berme libovolné okolí $H_{+\infty} = (K,+\infty)$. Aby průnik s množinou $A$ nebyl nulový potřebujeme nalézt $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ tak, že $\tg x > K$. Jelikož funkce $\tg$ je na tomto intervalu roste do $+\infty$ jistě takové $x$ nalezneme. Například
$$
x = %\begin{cases}
\arctg (K+1).
%\end{cases}
$$
\item Opět ukážeme, že $-\infty$ je hromadným bodem. Berme libovolné okolí $H_{-\infty} = (-\infty,-K)$, $K > 0$. Aby průnik s množinou $A$ nebyl nulový potřebujeme nalézt $n \in \N$ tak, že $n(\cos n + \sin n) < -K$.
Takové $n$ jistě nalezneme. Stačí vzít $n > K$ a vynutit podmínku $\cos n + \sin n < 0$.
\end{enumerate}
\end{postup}
}
\end{pr}
\subsection{Limita funkce}
% \tagged{teach}{\begin{instr}
% \item Nechte je napsat definici limity, trochu ji rozeberte, a pak začněte počítat jednodušší limity -- nejdříve ty vycházející z limity posloupností, poté u limit racionálních funkcí zdůrazněte rozdíl v postupu oproti limitám posloupností (často vytýkají nejrychleji rostoucí člen, aniž by museli).
% \item Pokud se Vám zdají ty příklady s obecnými funkcemi (např následující dva příklady), tak jim nejdříve zadejte nějaký konkrétnější, a pak ať zkusí spočítat i obecnou verzi.
% \end{instr}}
% %% Počítání limit
\begin{pr}
Buď $p=p(x)$ polynom stupně alespoň $1$. Ukažte následující limitu funkce $|\lim_{x\pm\infty} p(x)| =+\infty$.
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Nechť $p(x) = \sum_{k=0}^m a_k x^k$, $m > 0$. Pak
$$
\lim_{x \to +\infty} p(x) = \lim_{x \to +\infty} x^m\left( a_m + \sum_{k=0}^{m-1}a_kx^{k-m}\right) = +\infty \cdot \sgn(a_m)
$$
a tedy $\lim_{x \to +\infty} |p(x)| = +\infty$. Limitu v $-\infty$ se dokáže obdobně.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte limitu funkce
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sum_{k=0}^{m}a_k x^k}{\sum_{k=0}^{n}b_k x^k},$$
kde $a_m,\, b_n\neq 0$.
\tagged{teach}{
\begin{res}0 pro $m<n$, $a_m/b_n$ pro $m=n$, $+\infty\cdot\sgn(a_m/b_n)$ pro $m>n$.\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sum_{k=0}^{m}a_k x^k}{\sum_{k=0}^{n}b_k x^k}
= \lim_{x\to+\infty}\frac{x^m \left( a_m + \sum_{k=0}^{m-1}a_{k-m} x^{k-m} \right)}{x^n \left( b_n + \sum_{k=0}^{n-1}b_k x^{k-m} \right) } =: \lim_{x \to +\infty} f(x)
$$
a tedy
\begin{itemize}
\item $m=n \implies $ $\lim_{x \to +\infty} f(x) = a_m/b_n$
\item $m<n \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
\item $m>n \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = \sgn(a_m/b_n)\cdot(+\infty)$
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte limitu funkce
$$\lim_{x\to a} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}.$$
pro $a=0,\,1,\,+\infty$.
\tagged{teach}{\begin{res}1, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Pro jednotlivé případy dostáváme
\begin{itemize}
\item $\lim_{x\to 0} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$ = 1,
\item $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}= \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x+1)} = \lim_{x\to 1} \frac{(x+1)}{2x+1} = \frac{2}{3} $,
\item $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \frac{1}{2}$.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%\begin{pr}
%Vypočtěte limitu funkce
%% \tagged{teach}{\begin{res}\end{res}}
% $$\lim_{x\to+\infty} \frac{(2x-3)^{30}(3x+2)^{20}}{(2x+1)^{50}}.$$
%\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte limitu funkce
$$\lim_{x\to a} \frac{x^4 + 2x^2 -3}{x^3 - 3x^2 + 2x}.$$
pro $a=-\infty,\, 1$.
\tagged{teach}{\begin{res}$-\infty, -8$ %Pokud budete řešit na cvičení, přidejte i případ $a=2$, limita pak neexistuje.
\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Pro jednotlivé případy dostáváme
\begin{itemize}
\item $\lim_{x\to 1} \frac{x^4 + 2x^2 -3}{x^3 - 3x^2 + 2x} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^3+x^2+3x+3)}{(x-1)(x^2-2x)} = -8 $,
\item $\lim_{x\to -\infty} \frac{x^4 + 2x^2 -3}{x^3 - 3x^2 + 2x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{ x^4 \left( 1+ \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4} \right) }{x^3 \left( 1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \right) } = -\infty$.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 1} \frac{x^m-1}{x^n-1},$$
kde $m,\,n\in\N$.
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{m}{n}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
S využitím vzorce pro $a^n - b^n$ dostáváme
$$
\lim_{x\to 1} \frac{x^m-1}{x^n-1}
= \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\sum_{k=0}^{m-1}x^k}{(x-1)\sum_{k=0}^{n-1}x^k}
= \frac{m}{n}.
$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 1} \frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}1\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Jelikož $x=1$ je kořenem čitatele i jmenovatele, můžeme limitu upravit na
$$
\lim_{x\to 1} \frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}
= \lim_{x\to 1} \frac{ (x-1)(x^3 +x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)}
= \lim_{x\to 1} \frac{1+1+1-2}{1+1+1+1-3} = 1.
$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte limitu funkce
$$\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}1\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Vytknutím $\sqrt{x}$ z čitatele a jmenovatele dostáváme
$$
\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}
= \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}\left( 1+ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}} \right)}{\sqrt{x}\sqrt{ 1+ \frac{1}{x} }} = 1.
$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{4}{3}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Vhodným rozšířením jmenovatele a čitatele získáme
\begin{align*}
\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}
&= \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{ \sqrt{x}+2 }{\sqrt{x}+2 } \cdot \frac{ \sqrt{1+2x}+3 }{ \sqrt{1+2x}+3 } \\ &=
\lim_{x\to 4} \frac{ 2(x-4) }{ x - 4 } \cdot \frac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{1+2x}+3 } = \lim_{x\to 4} 2 \frac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{1+2x}+3 } = \frac{4}{3}.
\end{align*}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to -2} \frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{1}{144}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Použijeme vzorec $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ pro $a = \sqrt[3]{x-6}$ a $b = 2$. Pak platí
\begin{align*}
(\sqrt[3]{x-6}+2) \cdot \frac{ (x-6)^{2/3}-2((x-6))^{1/3}+2^{2} }{(x-6)^{2/3}-2((x-6))^{1/3}+2^{2} } = \frac{x+2}{(x-6)^{2/3}-2((x-6))^{1/3}+2^{2}}.
\end{align*}
Zároveň $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$. Celkově platí
\begin{align*}
\lim_{x\to -2} \frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}
&= \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{(x-6)^{2/3}-2((x-6))^{1/3}+2^{2}} \frac{1}{(x+2)(x^2-4x+4)}
\\
&= \lim_{x\to -2} \frac{1}{(x-6)^{2/3}-2((x-6))^{1/3}+2^{2}} \frac{1}{x^2-4x+4}
\\
&= \frac{1}{4 + 4 +4} \frac{1}{4 + 4 +4 } = \frac{1}{12}\frac{1}{12} = \frac{1}{144}.
\end{align*}
% $$
% \begin{aligned}
% \lim_{x\to -2} \frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8} &= \lim_{x\to -2} \frac{\sqrt[3]{x-6}+\sqrt[3]{8}}{x^3+8} = \frac{x-6+8}{\left( (x-6)^{2/3}-(8(x-6))^{1/3}+8^{2/3} \right)} \frac{1}{x^3+2^3} \\
% &= \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{-//-} \cdot \frac{1}{(x+2)(x^2-2x+4)} \\
% &= \lim_{x\to -2} \frac{(x^2-2x+4)^{-1}}{(x-6)^{2/3}-(8(x-6))^{1/3}+8^{2/3}} = \frac{1}{12 \cdot 12}
% \end{aligned}
% $$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 16} \frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{1}{4}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Jednoduchou úpravou jmenovatele získáme
$$\lim_{x\to 16} \frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}=\lim_{x\to 16} \frac{\sqrt[4]{x}-2}{(\sqrt[4]{x}-2)(\sqrt[4]{x}+2)} = \lim_{x\to 16} \frac{1}{\sqrt[4]{x}+2} = \frac{1}{4}.$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{3}{2}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Vhodně rozšíříme nejprve čitatel a pak jmenoval, abychom mohli použít vzorce $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ a $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Pak
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}&\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}
\\
&= \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}
\cdot \left( \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \right)
\\
&=
\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}} \cdot \frac{(1+x)^{2/3}+(1+x)^{1/3}(1-x)^{1/3}+(1-x)^{2/3}}{(1+x)^{2/3}+(1+x)^{1/3}(1-x)^{1/3}+(1-x)^{2/3}} \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}
\\
&= \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)-(1-x)}{(1+x)-(1-x)} \frac{(1+x)^{2/3}+(1+x)^{1/3}(1-x)^{1/3}+(1-x)^{2/3}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}
\\
&= \frac{1 + 1 +1}{1+1}
= \frac{3}{2}.
\end{align*}
\end{postup}
}
\end{pr}
%===================================
\subsection{Spojitost funkce}
\begin{pr}
Pomocí kvantifikátorů zapište definici spojitosti (realné) funkce (reálné proměnné). Diskutujte vztah mezi limitou v konečném bodě a spojitostí. \\
\tagged{teach}{
\begin{res}
\begin{itemize}
\item $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když $(\forall H_{f(a)})(\exists U_a)(\forall x \in U_a \cap D_f)(f(x)\in H_{f(a)})$,
\item pokud $a \in D_f'\cap D_f$, pak $f$ je spojitá v bodě $a$ právě tehdy, když $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$.
\end{itemize}
\end{res}
}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\\
\noindent
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když $(\forall H_{f(a)})(\exists U_a)(\forall x \in U_a \cap D_f)(f(x)\in H_{f(a)})$. Nechť $a \in D_f \cap D'_f$, pak má smysl vyšetřovat limitu v bodě $a$. Srovnáním výše uvedené definice spojitosti a definice limity funkce v bodě $a$ pozorujeme, že platí následující věta. Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ právě tehdy, když $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Buď $a\in\R$. Nechť existuje konečná limita $\lim_{x\to a}f(x)=:c$. Ukažte, že funkce
\begin{equation*}
\tilde{f}(x)=\begin{cases}
f(x) & x\in D_f\setminus\{a\}\\
c & x=a
\end{cases}
\end{equation*}
je spojitá v $a$.
%\tagged{teach}{\color{fuchsia}(Na cvičení demonstrujte na vybraném příkladě.)}\\
\tagged{complete}{
\begin{postup}
% \\
% \textcolor{red}{DODĚLAT/PŘEDĚLAT}
% \noindent
% $$
% \begin{aligned}
% \lim_{x\to a} f(x)=:c , \quad |c|<+\infty&\Leftrightarrow (\forall H_{c})(\exists U_a)(\forall x \in U_a \cap D_f - \{a\})(f(x)\in H_{c}) \\
% &\Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in D_f , 0<|x-a|<\delta)(|f(x)-c|<\varepsilon)
% \end{aligned}
% $$
% f je spojitá v bodě a $\Leftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in D_f , |x-a|<\delta)(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)$ \\
% \noindent
% O funkci $\tilde{f}$ víme, že $(\forall \tilde{\varepsilon} >0)(\exists \tilde{\delta}>0)(\forall x \in D_f, 0<|x-a|<\tilde{\delta})(|\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)|<\tilde{\varepsilon})$ \\
% V bodě $x=a$ platí $\tilde{f}(a) = c = f(a)$ \\
% \noindent
% Napadá mě $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ ?
% \noindent
% JV: Verze výše mi připadá nějaká zašmodrchaná, já bych to zapsala následovně.
%\noindent
Nechť $\lim_{x\to a} f(x)=c \in \R$, kde $a \in \R$, tj. z definice
$$
(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in D_f, 0<|x-a|<\delta)(|f(x)-c|<\varepsilon).
$$
Chceme ukázat, že $\tilde{f}(x)$ je spojitá v bodě $a$. Bod $a$ je hromadným bodem množiny $D_f$, je tedy i hromadným bodem množiny $D_{\tilde{f}}$. Celkově $a \in D'_{\tilde{f}} \cap D_{\tilde{f}}$, lze tedy přepsat spojitost pomocí limity, tj. máme ukázat
$$
(\forall \tilde{\varepsilon} >0)(\exists \tilde{\delta}>0)(\forall x \in D_{\tilde{f}}, 0<|x-a|<\tilde{\delta})(|\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)|<\tilde{\varepsilon}).
$$
Závorka $(\forall x \in D_{\tilde{f}}, 0<|x-a|<\tilde{\delta})$ lze ekvivalentně přepsat $(\forall x \in D_{f}, 0<|x-a|<\tilde{\delta})$, pak tedy s využitím definice funkce $\tilde{f}(x)$ můžeme psát
$$
(\forall \tilde{\varepsilon} >0)(\exists \tilde{\delta}>0)(\forall x \in D_{f}, 0<|x-a|<\tilde{\delta})(|\tilde{f(x)}-c|<\tilde{\varepsilon}).
$$
Pokud tedy zvolíme $\tilde{\varepsilon} = \varepsilon$ a položíme $\tilde{\delta} = \delta$, máme hotovo.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Z definice ukažte, že funkce $f(x)=x^2+1,\, D_f=\R,$ je spojitá v libovolném $x_0\in\R$.
\\
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Z definice máme ukázat, že platí výrok
$$
(\forall x_0 \in \R)(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \R , |x-x_0|<\delta)(|x^2 + 1-(x_0^2 + 1)|<\varepsilon).
$$
Jistě platí
$$|x^2 + 1-(x_0^2 + 1)|=|x^2 -x_0^2| =|x -x_0||x+x_0|. $$
Použitím trojúhelníkové nerovnosti dále získáme
$$
|x+x_0|=|x+x_0-x_0 + x_0|\leq|x-x_0| + 2|x_0| < \delta + 2|x_0|.
$$
Takže celkově máme odhad
$$
|x -x_0||x+x_0|<\delta (\delta +2|x_0|)=\delta^2 + 2|x_0|\delta \overset{!}{<} \varepsilon.
$$
Nerovnice $\delta^2 + 2|x_0|\delta-\varepsilon < 0$ má řešení $\delta \in (0, \sqrt{|x_0|^2 + \varepsilon^2}-|x_0|)$, takže hledané $\delta$ v závisloti na $x_0$ a $\varepsilon$ můžeme volit například jako $\delta = \frac{1}{2} \left( \sqrt{|x_0|^2 + \varepsilon^2}-|x_0| \right)$.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Dokažte, že libovolná funkce je spojitá v libovolném izolovaném bodě svého definičního oboru.
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\\
Nechť bod $x_0$ je izolovaný bod definičního oboru funkce $f$. Pak z definice existuje okolí $H^*_{x_0}$ splňující
$$
(\exists H^*_{x_0})(D_f \cap H^*_{x_0} = \{x_0\}).
$$
Opět z definice, funkce $f$ je spojitá v bodě $x_0$ pokud platí výrok
$$
(\forall H_{f(x_0)})(\exists H_{x_0})(\forall x \in H_{x_0} \cap D_f)(f(x)\in H_{f(x_0)}).
$$
Pokud za hledané okolí $H_{x_0}$ zvolíme okolí $H^*_{x_0}$, které máme k dispozici z definice izolovaného bodu, dostáváme
$$
H_{x_0} \cap D_f = H^*_{x_0} \cap D_f = \{x_0\}.
$$
Výše uvedený výrok o spojitosti v izolovaném bodě tedy platí, jelikož jistě $f(x_0) \in H_{f(x_0)} $.
\end{postup}
}
\end{pr}
\tagged{complete}{
\begin{pozn}
U minulého příkladu nelze využít charakterizaci spojitosti přes limitu. V izolovaném bodě není limita funkce definovaná!
\end{pozn}
}
%=============================================
\subsection{Limita složené funkce, limita sevřené funkce}
\tagged{complete}{
\begin{pozn}
Buď $a\in\bar{\R}$ hromadným bodem $f\circ g$ a
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\to a}g(x)=b\in\bar{\R}$
\item $\lim_{x\to b}f(x)=c\in\bar{\R}$
\item $((\exists H_{a}^{*})(\forall x\in H_{a}^{*}\cap D_g
)(g(x)\neq b))\vee (b\in D_f\wedge f(b)=c)$.
\end{enumerate}
Potom $\lim_{x\to a}f\circ g(x)=c$.
% \item (Na přednášce ve chvíli limity složené funkce neměli ještě spojitost, viz ofi prezentace.
% \item Můžete jim na konkrétním příkladě ukázat, že podmínku $iii.$ nelze vypustit. (Např řešení z přednášky: $g(x)=0,\, D_g=\R;\, f(x)=\sgn^2(x),\, D_f=\R$.), ale viděli to.
% \end{instr}}
\end{pozn}
\begin{pozn}
Třetí bod v minulé větě je splněna např, pokud $g$ je prostá nebo $f$ spojitá.
\end{pozn}
}
\begin{pr}
Vypočtěte limitu funkce
$$\lim_{x\to +\infty}(\sin{\sqrt{x+1}}-\sin{\sqrt{x}}).$$
Korektně odůvodněte použití věty o limitě složené funkce.
\tagged{teach}{\begin{res}0 \end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Jelikož $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$, dostáváme
\begin{align*}
\sin{\sqrt{x+1}}-\sin{\sqrt{x}}
&= 2 \sin \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1} \sqrt{x}}{2}
\\
&= 2 \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\cos\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{2}.
\end{align*}
Zároveň $|\cos\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{2}| \leq 1$ a funkci tedy můžeme sevřít
\begin{align*}
-2 \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \leq 2 \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\cos\frac{\sqrt{x+1} \sqrt{x}}{2} \leq 2 \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}.
\end{align*}
Poslední krok je dokázat, že $\lim_{x\to +\infty} \sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} = 0$. Budeme chtít použít větu o limitě složené funkce. V jejím značení máme:
\begin{align*}
f(x) &= \sin x, \\
g(x) &= \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}, \\
a &= +\infty, \\
b &= 0, \\
c &= 0.
\end{align*}
Abychom větu mohli použít musí platít jeden z výroků:
\begin{align*}
(\exists H_{+\infty})(\forall x \in H_{+\infty}\cap D_g)(\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \neq 0) \text{ nebo }
(0 \in D_f \wedge \sin 0 = 0).
\end{align*}
První výrok platí pro všechna okolí $+\infty$, druhý výrok též platí. Můžeme tedy použít větu limitě o složené funkce a celkově
$$\lim_{x\to +\infty}(\sin{\sqrt{x+1}}-\sin{\sqrt{x}}) = 0.$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Pomocí věty o limitě sevřené funkce vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} x\sin{\frac{1}{x}}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}0\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Využijeme nerovnost $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$, která platí pro všehna nenulová $x$. Pak
$$
0 \leftarrow -x \leq x\sin{\frac{1}{x}} \leq x \rightarrow 0.
$$
Z věty o limitě sevřené funkce dostáváme $\lim_{x\to 0} x\sin{\frac{1}{x}} = 0$.
\end{postup}
}
\end{pr}
%\begin{pr}[Referenční limity I]
% Dokažte $\lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1$.
% \tagged{teach}{\begin{res}
% Na jednotkové kružnici se snadno demonstruje, že pro $|x|\leq \pi/2$: $|\sin{x}|\leq|x|\leq|\tg{x}|$. Odtud $|\cos{x}|\leq|\sin{x}/x|\leq 1$. Pro $|x|\leq \pi/2$ rovněž platí $|\sin{x}/x|=\sin{x}/x$.
% \end{res}}
%\end{pr}
\begin{pr}[Referenční limity]
Na přednášce bylo odvozeno pomocí Heineho věty a věty o limitě složené funkce, že
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1,\quad
\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\quad
\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e,$$
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1,\quad
\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln(a), \quad
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1.$$
Dokažte poslední ze vztahů pomocí limity sevřené funkce.
\\
(Nápověda: Pro $0\leq x\leq 1$ platí $(1+\frac{x}{n})^n\nearrow e^x$ a $(1+\frac{x}{n})^{n+1}\searrow e^x$.)
%-- důkaz je stejný jako pro posloupnosti definující $e$.)
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Z nápovědy plyne nerovnost
$$
1\leq\lim_{x\to 0+}\frac{e^x-1}{x}\leq \frac{n+1}{n}, \forall n\in\N.
$$
Vzhledem k libovolnosti $n$ musí platit (lze ukázat sporem)
$$
\lim_{x\to 0+}\frac{e^x-1}{x}=1.
$$
Levostranná limita vyjde shodně, což je patrné např. ze vztahu $\frac{e^{-x}-1}{-x}=e^{-x}\frac{e^x-1}{x}$. Celkově
$$
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,
$$
což jsme chtěli ukázat.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Na přednášce byla následující limita odvozena pomocí Heineho věty. Dokažte pomocí limity sevřené posloupnosti:
$$\lim_{n\to+\infty} n(\sqrt[n]{e}-1)=1.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Využijeme odhadů
$$
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq e \leq \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}
$$
platných pro libovolné $n \in \N \setminus \{1\}$. Pak platí
\begin{align*}
n(\sqrt[n]{e}-1) &\leq n \left( \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{\frac{n}{n}} - 1 \right) = n \frac{1}{n-1} \to 1,
\\
n(\sqrt[n]{e}-1) &\geq n\left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n}} - 1\right) = n \frac{1}{n} = 1 \to 1.
\end{align*}
Celkově z věty o limitě sevřené posloupnosti dostáváme
$$
\lim_{n\to+\infty} n(\sqrt[n]{e}-1)=1.
$$
\end{postup}}
\end{pr}
\subsection{Výpočet složitějších limit pomocí referenčních I}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{x}, \quad\quad \lim_{x\to 0} \frac{\sin(\alpha x)}{\sin(\beta x)},$$
kde $\alpha,\,\beta\in\R,\, \beta\neq 0.$ \\
\tagged{teach}{\begin{res}$5$, $\frac{\alpha}{\beta}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
S využitím referenčních limit a věty o limitě složené funkce dostáváme
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{x} &= \lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \cdot \frac{5}{5} = 5 \lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 5,
\\
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(\alpha x)}{\sin(\beta x)} &= \lim_{x\to 0} \frac{\sin(\alpha x)}{\sin(\beta x)} \cdot \frac{\alpha x}{\alpha x} \cdot \frac{\beta x}{\beta x} = \frac{\alpha}{\beta} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin(\beta x)}{\beta x} = \frac{\alpha}{\beta}.
\end{align*}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(mx)},$$
kde $n,\, m\in\N$. \\
\tagged{teach}{\begin{res}$(-1)^{n+m} \frac{n}{m}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
S využitím součtových vzorců pro funkci $sin$,referenčních limit a věty o limitě složené funkce dostáváme
\begin{align*}
\lim_{x\to\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(mx)}
&= \lim_{x\to\pi} \frac{\sin{(nx + n\pi - n\pi)}}{\sin{(mx + m\pi - m\pi)}} = \lim_{x\to\pi} \frac{\sin(n(x-\pi) + n\pi)}{\sin(m(x-\pi) + m\pi)}
\\
&= \lim_{x\to\pi} \frac{ \sin(n(x-\pi) \cos{(n\pi)} + \cos(n(x-\pi)) \sin{(n\pi)} }{ \sin(m(x-\pi) \cos{(m\pi)} + \cos(m(x-\pi)) \sin{(m\pi)} }
\\
&= \lim_{x\to\pi} \frac{ \sin(n(x-\pi)) }{ \sin(m(x-\pi)) } (-1)^{n-m}
= (-1)^{n-m} \lim_{x\to\pi} \frac{ \sin(n(x-\pi)) }{ \sin(m(x-\pi)) } \cdot \frac{n(x-\pi)}{n(x-\pi)} \cdot \frac{m(x-\pi)}{m(x-\pi)}
\\
&= (-1)^{n+m}\frac{n}{m}.
\end{align*}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} \frac{\tg{x}}{x}.$$ \\
\tagged{teach}{\begin{res}1\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
S využitím referenčních limit dostáváme
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\tg{x}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x\cos{x}} =\lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x} \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos{x}}= 1.$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2}.$$
Výsledek tohoto příkladu si zapamatujte. \\
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{1}{2}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Vhodným rozšířením a využitím referenční limity dostáváme
$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} \cdot \frac{1+\cos{x}}{1+\cos{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2{x}}{x^2 (1+\cos^2{x})} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2{x}}{x^2} \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\cos^2{x}} = \frac{1}{2}.$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} \frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}.$$
(Nápověda: Využijte výsledku předchozího příkladu.)\\
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{1}{2}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Jednoduchými úpravami s využitím goniometrických vzorců dostáváme
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{\cos{x}} - 1 }{\sin^2{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{1- \cos{x} }{ (1-\cos{x})(1+\cos{x}) \cos{x} } = \frac{1}{2}.$$
\textbf{Jiný postup:}
S využitím předcházejících limit dostáváme
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}
= \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{\sin^3 x} \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{\tg x}{x}
= \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{\sin^3 x} \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\lim_{x\to 0} \frac{\tg x}{x}
= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.
$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x \rightarrow 1} (1-x)\tg \left( \frac{\pi}{2} x \right).$$
\tagged{teach}{\begin{res}$\frac{2}{\pi}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
S využitím součtových vzorců pro $\cos$ a referenční limity dostáváme
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 1} (1-x)\tg \left( \frac{\pi}{2} x \right) &= \lim_{x \rightarrow 1} \sin{ \left( \frac{\pi}{2} x\right)} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)}{\cos{ \left( \frac{\pi}{2} x\right)}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)}{\cos{ \left( \frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}} \\
&= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)}{\cos{ \left( \frac{\pi}{2}( x - 1) \right) } \cos{ \frac{\pi}{2} } - \sin{ \left( \frac{\pi}{2}( x - 1) \right) } \sin{ \frac{\pi}{2} } } = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{\pi}{2}( x - 1)}{\sin{ \left( \frac{\pi}{2}( x - 1) \right) }}\frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}.
\end{aligned}
$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x^2-5x+1)}{x}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}-5\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
S využitím referenční limity dostáváme
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x^2-5x+1)}{x}&=\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x^2-5x+1)}{x} \cdot \frac{x^2-5x}{x^2 -5x} \\
&=\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x^2-5x+1)}{x^2 -5x} \cdot \lim_{x\to 0}\frac{x^2-5x}{x} = \lim_{x\to 0}(x-5)=-5.
\end{aligned}
$$
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Vypočtěte
$$\lim_{x\to 0} (1-2x)^\frac{1}{x}.$$
\tagged{teach}{\begin{res}$e^{-2}$\end{res}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Vhodnou úpravou a využitím referenční limity dostáváme
$$\lim_{x\to 0} (1-2x)^\frac{1}{x} = \lim_{x\to 0} \left( (1-2x)^\frac{1}{-2x} \right)^{\frac{-2x}{x}} = e^{-2}.$$
\end{postup}
}
\end{pr}
