MAN1priklady:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{MAN1priklady} \setcounter{section}{1} \section{Druhý týden} \subsection{Výroková a predikátová logika} \begin{pr} Znegujte výr…“) |
|||
Řádka 389: | Řádka 389: | ||
\begin{figure}[H]\caption{Geometrický význam třetího výroku v příkladu 11. Z obrázku je patrné, že lze volit $\varepsilon \in (0,2)$, neboť pro taková zůstane bod $ x = 3-\varepsilon$ napravo od $1$.} \label{fig:tyden2.11} | \begin{figure}[H]\caption{Geometrický význam třetího výroku v příkladu 11. Z obrázku je patrné, že lze volit $\varepsilon \in (0,2)$, neboť pro taková zůstane bod $ x = 3-\varepsilon$ napravo od $1$.} \label{fig:tyden2.11} | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics[scale = 0.7]{ | + | \includegraphics[scale = 0.7]{tyden2_11.png} |
\end{center} | \end{center} | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
Řádka 854: | Řádka 854: | ||
\begin{figure}[h]\caption{Grafy funkcí $f(x)=x^2$, $f(x)=\log x$, $f(x) = x+\lfloor 2x\rfloor$, $f(n)=(-1)^n n$. Pozor, graf funkce $f(n)=(-1)^n n$ jsou pouze diskrétní body a nikoliv po částech lineární funkce, která je vyzobrazena! Podobně je to s vertikálními čárami ve funkci $f(x) = x+\lfloor 2x\rfloor$, které nepatří do oboru hodnot této funkce (tyto křivky ani nelze popsat žádnou funkcí).} \label{fig:tyden2.1} | \begin{figure}[h]\caption{Grafy funkcí $f(x)=x^2$, $f(x)=\log x$, $f(x) = x+\lfloor 2x\rfloor$, $f(n)=(-1)^n n$. Pozor, graf funkce $f(n)=(-1)^n n$ jsou pouze diskrétní body a nikoliv po částech lineární funkce, která je vyzobrazena! Podobně je to s vertikálními čárami ve funkci $f(x) = x+\lfloor 2x\rfloor$, které nepatří do oboru hodnot této funkce (tyto křivky ani nelze popsat žádnou funkcí).} \label{fig:tyden2.1} | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics[width=12cm]{ | + | \includegraphics[width=12cm]{grafy_funkci_MA1.png} |
\end{center} | \end{center} | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
Řádka 913: | Řádka 913: | ||
\begin{figure}[h] | \begin{figure}[h] | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics[width=12cm]{ | + | \includegraphics[width=12cm]{tyden2.png} |
\end{center} | \end{center} | ||
\caption{Grafy funkcí $f(x)=(x+1)/(x^2+x+1)$ vlevo a $f(x)=(x+1)/(x^2+3x+1)$ vpravo.} \label{fig:tyden2} | \caption{Grafy funkcí $f(x)=(x+1)/(x^2+x+1)$ vlevo a $f(x)=(x+1)/(x^2+3x+1)$ vpravo.} \label{fig:tyden2} |
Aktuální verze z 9. 9. 2022, 20:18
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu MAN1priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu MAN1priklady | Korenjak | 18. 9. 2022 | 16:30 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Korenjak | 9. 9. 2022 | 20:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:32 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | První týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 20:18 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Druhý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 20:18 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Třetí týden | Korenjak | 19. 10. 2023 | 19:20 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Čtvrtý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:35 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Pátý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Šestý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:36 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Sedmý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:36 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Osmý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:37 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Devátý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:37 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Desátý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:38 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Jedenáctý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 19:38 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Dvanáctý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 20:13 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Třináctý týden | Korenjak | 9. 9. 2022 | 20:07 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Teorie | Korenjak | 17. 9. 2023 | 21:01 | kapitola14.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:13-10.png | 13-10.png |
Image:13-11.png | 13-11.png |
Image:13-12.png | 13-12.png |
Image:13-13.png | 13-13.png |
Image:13-14.png | 13-14.png |
Image:13-15.png | 13-15.png |
Image:13-16.png | 13-16.png |
Image:13-17.png | 13-17.png |
Image:13-18.png | 13-18.png |
Image:13-19.png | 13-19.png |
Image:13-20.png | 13-20.png |
Image:13-21.png | 13-21.png |
Image:13-22.png | 13-22.png |
Image:13-23.png | 13-23.png |
Image:13-24.png | 13-24.png |
Image:13-25.png | 13-25.png |
Image:13-26.png | 13-26.png |
Image:13-27.png | 13-27.png |
Image:13-28.png | 13-28.png |
Image:13-29.png | 13-29.png |
Image:13-30.png | 13-30.png |
Image:12-27.png | 12-27.png |
Image:12-30.png | 12-30.png |
Image:every.png | every.png |
Image:exp.png | exp.png |
Image:log.png | log.png |
Image:tyden2.png | tyden2.png |
Image:tyden2_11.png | tyden2_11.png |
Image:tyden1_29.png | tyden1_29.png |
Image:grafy_funkci_MA1.png | grafy_funkci_MA1.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{MAN1priklady} \setcounter{section}{1} \section{Druhý týden} \subsection{Výroková a predikátová logika} \begin{pr} Znegujte výroky: \uv{Pokud bude hezky a budu-li mít čas, půjdu si zaběhat.}, \uv{Existuje člověk vysoký 2 metry.}, \uv{$(\forall\varepsilon \in \R^+)(\exists n_0 \in \N)(\forall n \in N, n>n_0)(|a_n-a|<\varepsilon)$}. \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{itemize} \item Bude hezky a budu mít čas a nepůjdu si zaběhat. \item Neexistuje člověk vysoký 2 metry. \item $(\exists\varepsilon \in \R^+)(\forall n_0 \in \N)(\exists n \in N, n>n_0)(|a_n-a| \geq \varepsilon)$ \end{itemize} \end{res} } \end{pr} \begin{pr} Zapište výrok: \uv{Platí A i B nebo neplatí A ani B.} Výrok zjednodušte. \tagged{teach} (Pozn: Je důležité uzávorkování? ) \begin{res} $[(A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)] \Leftrightarrow (A\Leftrightarrow B)$. Uzávorkování důležité je. \end{res} \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Výsledek plyne z následující série úprav $$ \begin{aligned} (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B) &\Leftrightarrow [A \vee (\neg A \wedge \neg B)] \wedge [B \vee (\neg A \wedge \neg B)]\\ & \Leftrightarrow [(A \vee \neg A) \wedge (A \vee \neg B)] \wedge [(B \vee \neg A) \wedge (B \vee \neg B)] \\ &\Leftrightarrow (A \vee \neg B) \wedge (B \vee \neg A) \\ &\Leftrightarrow (B \Rightarrow A) \wedge (A \Rightarrow B) \\ &\Leftrightarrow (A\Leftrightarrow B), \end{aligned} $$ kde první dvě ekvivalence plynou z distributivního zákona, třetí je důsledek toho, že $(A \vee \neg A)$ a $(B \vee \neg B)$ je vždy pravda, čtvrtá je definice implikace a pátá definice ekvivalence. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} \label{pr: distr} Ukažte, že platí \begin{align*} (A\vee(B\wedge C)) &\Leftrightarrow ((A\vee B)\wedge (A\vee C)),\\ (A\wedge(B\vee C)) &\Leftrightarrow ((A\wedge B)\vee (A\wedge C)) \end{align*} (distributivní zákon). Zobecněte vztahy výše pro výrok složený z konečného počtu výroků. \tagged{teach}{ \begin{res} Zobecnění: $\left( \bigwedge_{ i = 1 }^n A_i \right) \vee B = \bigwedge_{i=1}^n \left( A_i \vee B \right)$, $\left( \bigvee_{ i = 1 }^n A_i \right) \wedge B = \bigvee_{i=1}^n \left( A_i \wedge B \right)$. \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Vyřešíme pomocí výrokové tabulky \ref{tab: distr}. Zobecnění vztahů pro konečnou množinu výroků $ \left\{ B , A_1, ... ,A_n \right\}$ mají tvar $$ \left( \bigwedge_{ i = 1 }^n A_i \right) \vee B = \bigwedge_{i=1}^n \left( A_i \vee B \right), \qquad \left( \bigvee_{ i = 1 }^n A_i \right) \wedge B = \bigvee_{i=1}^n \left( A_i \wedge B \right). $$ \begin{table}[H] \begin{tabular}{c | c | c || c | c | c || c | c |} A & B & C & B $\wedge$ C & A $\vee$ B & A $\vee$ C & $(A \vee (B \wedge C))$ & $(A \vee B) \wedge (A \vee C))$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{tabular} \caption{Výroková tabulka pro příklad \ref{pr: distr}.} \label{tab: distr} \end{table} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} \label{pr: morgan} Ukažte, že \begin{align*} \neg(A\wedge B) &\Leftrightarrow (\neg A\vee \neg B),\\ \neg(A\vee B) &\Leftrightarrow (\neg A \wedge \neg B) \end{align*} (De Morgan). Zobecněte vztahy výše pro výrok složený z konečného počtu výroků. \tagged{teach}{ \begin{res} Zobecnění: $\overline{ \left( \bigwedge_{i=1}^n A_i \right) } = \bigvee_{ i = 1 }^n \overline{ A_i }$, $\overline{ \left( \bigvee_{i=1}^n A_i \right) } = \bigwedge_{ i = 1 }^n \overline{ A_i }$. \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Pomocí výrokové tabulky \ref{tab: morgan}. Zobecnění vztahů pro konečnou množinu výroků $ \left\{ A_1, ... ,A_n \right\}$ mají tvar (čára nad výrazy označuje negaci) $$ \overline{ \left( \bigwedge_{i=1}^n A_i \right) } = \bigvee_{ i = 1 }^n \overline{ A_i }, \qquad \overline{ \left( \bigvee_{i=1}^n A_i \right) } = \bigwedge_{ i = 1 }^n \overline{ A_i }. $$ \begin{table}[H] \begin{tabular}{c | c || c | c | c || c | c |} A & B & $\neg A$ & $\neg B$ & $A\wedge B$ & $\neg (A\wedge B)$ & $(\neg A \vee \neg B)$ \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{tabular} \caption{Výroková tabulka pro příklad \ref{pr: morgan}.} \label{tab: morgan} \end{table} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr}\label{pr: treti} Ukažte, že $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\Rightarrow\neg A)\Leftrightarrow \neg(A\wedge \neg B)\Leftrightarrow (\neg A\vee B)$. \tagged{teach}{(Tím odvodíme i důležitou ekvivalenci $\neg (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (A\wedge \neg B)$.)} \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Vyřešíme výrokovou tabulkou \ref{tab: treti}. \begin{table}[H] \begin{tabular}{c | c || c | c | c | c || c | c | c | c |} A & B & $\neg A$ & $\neg B$ & $A\wedge \neg B$ & $\neg A\wedge B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $\neg (A \wedge \neg B)$ & $\neg A \vee B$ \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{tabular} \caption{Výroková tabulka pro příklad \ref{pr: treti}.}\label{tab: treti} \end{table} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Zjednodušte výrok $(A\wedge B)\vee \neg B$. \tagged{teach}{ \begin{res} $B\Rightarrow A$ \end{res} } \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Pomocí distributivního zákona: \begin{align*} (A \wedge B) \vee \neg B \Leftrightarrow (A \vee \neg B) \wedge (B \vee \neg B) \Leftrightarrow (A \vee \neg B) \Leftrightarrow B \Rightarrow A. \end{align*} Druhá ekvivalence plyne z faktu, že $(B \vee \neg B)$ je vždy pravda, a poslední ekvivalence je definicí implikace. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr}\label{pr: ctvrty} Rozhodněte o tranzitivitě implikace a ekvivalence. \tagged{teach}{ \begin{res} Implikace i ekvivalence jsou tranzitivní. \end{res}} \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item Vyřešíme tranzitivitu implikace, tj. $$ \left[(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C) \right] \Rightarrow (A \Rightarrow C) . $$ Negací získáme $$ \left[(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C) \right] \wedge (A \wedge \neg C). $$ Druhou negací dostaneme výrok $$ \left[ (A \wedge \neg B) \vee (B \wedge \neg C) \right] \vee (\neg A \vee C), $$ který vyjadřuje tranzitivitu implikace. Bez hranatých závorek můžeme výrok napsat ve tvaru $$ (A \wedge \neg B) \vee (B \wedge \neg C) \vee (\neg A \vee C). $$ Tento výrok je vždy pravdivý (tautologie), protože vždy jedna závorka bude pravda, viz. výroková tabulka \ref{tab: ctvrta}. \item Nyní se podíváme na tranzitivitu ekvivalence jež můžeme zapsat následovně: $$ \left[ (A \Leftrightarrow B) \wedge (B \Leftrightarrow C) \right] \Rightarrow (A \Leftrightarrow C). $$ Z definice ekvivalence dostáváme $$ [\textcolor{red}{(A \Rightarrow B)} \wedge \textcolor{blue}{(B \Rightarrow A)} \wedge \textcolor{red}{(B \Rightarrow C)} \wedge \textcolor{blue}{(C \Rightarrow B)}] \Rightarrow (A \Leftrightarrow C). $$ Na dvojice stejně barevných závorek aplikujeme transitivitu implikace a dostáváme $$ [(A \Rightarrow C) \wedge (C \Rightarrow A)] \Rightarrow (A \Leftrightarrow C), $$ což završuje důkaz. \end{itemize} \begin{table}[H] \begin{tabular}{c | c | c || c | c | c || c | c | c |} A & B & \textcolor{red}{C} & \textcolor{red}{$\neg A$} & $\neg B$ & $\neg C$ & \textcolor{red}{$A \wedge \neg B$} & \textcolor{red}{$B \wedge \neg C$} & $\neg A \lor C$\\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{tabular} \caption{Výroková tabulka pro příklad \ref{pr: ctvrty}.}\label{tab: ctvrta} \end{table} \end{postup} } \end{pr} %============ \begin{pr} Zapište pomocí kvantifikátorů následující výroky. Pozor na správné umístění závorek. Výroky posléze znegujte. \begin{enumerate} \item \uv{Pro všechna reálná čísla $x$ platí, že jejich druhá mocnina je nezáporná.} \item \uv{Existuje reálné číslo menší než jedna.} \item \uv{Existují dvě přirozená čísla $n$ a $m$ taková, že jejich součet je 10.} \item \uv{Pro každé přirozené číslo $n$ existuje právě jedno přirozené číslo $m$ takové, že jejich součet je 10.} \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{enumerate} \item $(\forall x \in \R)(x^2 \geq 0)$, $\neg: $ $(\exists x \in R)(x^2 < 0 )$ \item $(\exists x \in \R)(x < 1)$, $\neg: $ $(\forall x \in \R)(x \geq 1)$ \item $(\exists m,n \in \N)(m+n = 10)$, $\neg: $ $(\forall n,m \in \N)(m+n \neq 10)$ \item $(\forall n \in \N)(\exists_1 m \in N)(n +m = 10)$, $\neg: $ $(\exists n \in \N)(\forall m \in N)(n+m \neq 10 \vee ( (\exists s \in \N) (n+s = 10 \wedge m \neq s) ) )$ \end{enumerate} \end{res} } \end{pr} \begin{pr} Zapište pomocí kvantifikátorů následující výroky. Pozor na správné umístění závorek. Výroky posléze znegujte. \begin{enumerate} \item \uv{Pro každé přirozené číslo platí, že jeho součet i součin se sebou samým je opět přirozené číslo.} \item \uv{Pro každé racionální číslo $r$ platí, že existuje celé číslo $p$ a přirozené číslo $q$ takové, že $r$ je rovno podílu $p$ a $q$.} (Tj. racionální čísla lze psát jako zlomky.) \item \uv{Pro všechna přirozená čísla $n$ platí, že je-li liché, pak $n+1$ je sudé.} \item \uv{Když $a$ dělí $b$, pak dělí také každý násobek $b$.} \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{enumerate} \item $(\forall n \in \N)(n+n \in \N \wedge n^2 \in \N)$, $\neg: $ $(\exists n \in \N)(n+n \notin \N \vee n^2 \notin \N)$ \item $(\forall r \in \Q)(\exists p \in \Z)(\exists q \in \N)( r = \frac{p}{q})$, $\neg: $ $(\exists r \in \Q)(\forall p \in \Z)(\forall q \in \N)(r \neq \frac{p}{q})$ \item $(\forall n \in \N)( 2\not | n \implies 2|(n+1))$, $\neg: $ $(\exists n \in \N)(2\not |n \land 2 \not| (n+1))$ \item $(\forall a,b,c \in \Z)(a|b \implies a | (cb))$, $\neg: $ $(\exists a,b,c \in \Z)(a|b \wedge a \not | (cb))$ \end{enumerate} \end{res} } \end{pr} \begin{pr} Zapište pomocí kvantifikátorů následující výroky. Pozor na správné umístění závorek. Výroky posléze znegujte. \begin{enumerate} \item \uv{Je-li $a$ rovno 2 nebo 3, pak je menší než 10.} \item \uv{Číslo je dělitelné šesti právě tehdy, když je dělitelné dvěma a třemi.} \item \uv{Pro všechna $\epsilon$ kladná existuje přirozené číslo $n_0$ takové, že pro všechna přirozená čísla $n$ větší než $n_0$ je $n$-tý člen posloupnosti $(a_n)$ vzdálen od čísla $a$ méně než o $\epsilon$.} \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{enumerate} \item $(\forall a \in \R)( ((a=2) \vee (a=3)) \implies a <10)$, $\neg: $ $(\exists a \in \R)(((a=2) \vee (a=3)) \wedge a \geq 10 )$ \item $(\forall a \in \Z)(6 | a \Leftrightarrow (2|a \wedge 3|a) )$, $\neg: $ $(\exists a \in \Z)( (6 | a \wedge (2 \not | a \vee 3 \not | a) ) \vee ( (2|a \wedge 3|a) \wedge 6 \not | a ) )$ \item $(\forall \varepsilon \in \R, \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \N)(\forall n \in \N, n>n_0)(|a_n-a|<\varepsilon)$, $\neg: $ $(\exists \varepsilon \in \R, \varepsilon >0)(\forall n_0 \in \N)(\exists n \in \N,n > n_0)(|a_n - a| \geq \varepsilon)$ \end{enumerate} \end{res} } \end{pr} \begin{pr} Negujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: \begin{enumerate} \item $(\forall x, y \in \mathbb{R})(x^2 + y^2 > 0)$ \item $(\forall x \in \mathbb{R}) (\exists y \in \mathbb{N})\big( (y \leq x) \wedge (y + 1 > x)\big)$ \item $(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathbb{R}) \big((0<|x-1|<\delta)\Rightarrow(|x-3|<\epsilon)\big)$ \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{enumerate} \item $(\exists x,y \in \R)(x^2 + y^2 \leq 0)$, \item $(\exists x \in \R)(\forall y \in \N)( (y > x) \vee (y+1 \leq x) )$, \item $(\exists \varepsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x \in \R)(0 < |x-1| < \delta \wedge |x-3| \geq \varepsilon)$ \end{enumerate} Žádný z výroků neplatí \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Žádný z výroků neplatí. \begin{itemize} \item $(\exists x,y \in \R)(x^2 + y^2 \leq 0)$, platí negace pro $x = y = 0$ \item $(\exists x \in \R)(\forall y \in \N)( (y > x) \vee (y+1 \leq x) )$, platí negace pro například $x = -1$. Nebo si stačí uvědomit, že $y$ je přirozené číslo, takže pokud zvolíme $x <1$ pak výrok $(y \leq x)$ nebude platit nikdy, a musí tedy platit jeho negace. \item $(\exists \varepsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x \in \R)(0 < |x-1| < \delta \wedge |x-3| \geq \varepsilon)$ \end{itemize} Dokázat negaci třetího výroku je obtížnější. Zkusme např. $\varepsilon = 1$. Výrok přejde na tvar $$ (\forall \delta > 0)(\exists x \in \mathbb{R})(0 < |x-1 | < \delta \wedge |x-3| \geq 1). $$ Důležité je uvědomit si geometrický význam absolutní hodnoty, viz obrázek \ref{fig:tyden2.11}. Obecně pro $a,b,c \in \mathbb{R}$ výraz $|a-b| > c$ znamená, že číslo $a$ je od $b$ zdáleno o více než o $c$. V našem případě máme $|x-3| \geq 1$, tedy číslo $x$ musí být od $3$ vzdáleno alespoň o $1$. Lze tedy psát \begin{align*} |x-3| \geq 1 \Leftrightarrow x \in (-\infty,2\rangle \cup \langle4,+\infty). \end{align*} Výrok tedy můžeme přepsat na \begin{align*} (\forall \delta > 0)(\exists x \in \mathbb{R})(0 < |x-1 | < \delta \wedge x \in (-\infty,2 \rangle \cup \langle 4,+\infty)) \end{align*} či na \begin{align*} (\forall \delta > 0)(\exists x \in (-\infty,2 \rangle \cup \langle 4,+\infty))(0 < |x-1 | < \delta ). \end{align*} Nyní již přejdeme k volbě $x$. Nepřítel předhodí libovolné $\delta >0$. V závislosti na $\delta$ volíme: \begin{align*} x = \begin{cases} 1+\frac{\delta}{2} & \text{pro } \delta \leq 2, \\ -1 & \text{pro } \delta > 2 \end{cases}. \end{align*} Nyní ověříme, zda jsme volili dobře. V první volbě máme \begin{align*} |x-1| = |1+\frac{\delta}{2} - 1| = \frac{\delta}{2}. \end{align*} A jistě platí, že $0 < \frac{\delta}{2} < \delta$. Zároveň, pro $\delta \leq 2$, také platí, že $x = 1+\frac{\delta}{2} \leq 1 + \frac{2}{2} = 2$, a tedy $x \leq 2$. Číslo $x$ je tedy v intervalu $(-\infty,2 \rangle \cup \langle 4,+\infty)$. \\ Druhý případ, kdy $\delta > 2$, je jednoduchý, jelikož $x$ již nezávisí na $\delta$. Jistě $x = -1$ leží v intervalu $(-\infty,2\rangle $, stačí tedy ověřit, že $0 < |x-1| < \delta$. Dostáváme \begin{align*} 0 < |x-1| = |-1-1| = |-2| = 2 < \delta. \end{align*} \begin{figure}[H]\caption{Geometrický význam třetího výroku v příkladu 11. Z obrázku je patrné, že lze volit $\varepsilon \in (0,2)$, neboť pro taková zůstane bod $ x = 3-\varepsilon$ napravo od $1$.} \label{fig:tyden2.11} \begin{center} \includegraphics[scale = 0.7]{tyden2_11.png} \end{center} \end{figure} \end{postup} } \end{pr} %=============== \begin{pr} Zapište pomocí kvantifikátorů následující výrok a jeho negaci; vyšetřete pravdivost obou výroků: \uv{Každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má kladné řešení.} \\ \tagged{teach}{ \begin{res} výrok: $ (\forall a,b,c \in \mathbb{R}, \, a \neq 0) (\exists x \in \mathbb{R}, \, x>0) (ax^2+bx+c = 0)$, negace: $(\exists a,b,c \in \mathbb{R}, \, a \neq 0) (\forall x \in \mathbb{R}, \, x>0) (ax^2+bx+c \neq 0)$, negace je pravdivý výrok \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{align*} (\forall a,b,c \in \mathbb{R}, \, a \neq 0) (\exists x \in \mathbb{R}, \, x>0) (ax^2+bx+c = 0),\\ (\exists a,b,c \in \mathbb{R}, \, a \neq 0) (\forall x \in \mathbb{R}, \, x>0) (ax^2+bx+c \neq 0)). \end{align*} Platí negace. Například pro $a=1$, $b=0$ a $c = 1$, což vede na komplexní kořeny. Nebo jiný příklad $(x+1)^2 = x^2 + 2x +1 =0$, který má jediný dvojnásobný kořen $x = -1 <0$. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Zapište pomocí kvantifikátorů následující výrok a jeho negaci; výrok dokažte: \uv{Pro každé celé číslo $n$ platí, že pokud $n^2$ je liché, potom $n$ je rovněž liché.} \tagged{teach}{ \begin{res} výrok: $ (\forall n \in \mathbb{Z}, \, 2 \nmid n^2 ) (2 \nmid n) $, negace: $(\exists n \in \mathbb{Z}, \, 2 \nmid n^2 ) (2 | n)).$ \end{res} } \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{align*} (\forall n \in \mathbb{Z}, \, 2 \nmid n^2 ) (2 \nmid n),\\ (\exists n \in \mathbb{Z}, \, 2 \nmid n^2 ) (2 | n)) \end{align*} Platí původní výrok. Důkaz sporem: \\ Nechť $n^2$ je liché. Číslo $n^2$ si můžeme napsat jako $n^2 = n\cdot n$. Jelikož součin dvou sudých čísel je sudý ($m=2k \Rightarrow m^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \Rightarrow m^2$ je sudé), musí být $n$ liché, aby $n\cdot n$ bylo liché, což je spor. \end{postup} } \end{pr} %============ \begin{pr} Slovně napište následující výroky zapsané pomocí kvantifikátorů a rozhodněte o jejich pravdivosti: \begin{enumerate} \item $(\forall x \in \R) (\exists y \in \R) (x>y)$ \item $(\exists x \in \R) (\forall y \in \R) (x>y)$ \item $(\forall a \in \R)(\forall b \in\R) \Big((a+b=1) \Rightarrow \big((a\ge \frac{1}{2}) \vee (b\ge \frac{1}{2})\big)\Big)$ \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{enumerate} \item Neexistuje nejmenší reálné číslo. Pravdivé. \item Existuje ostře největší reálné číslo. Nepravdivé. \item Pro každou dvojici reálných čísel, které se v součtu rovnají jedné, musí být alespoň jedno z nich větší nebo rovno jedné polovině. Pravdivé. \end{enumerate} \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Pro bod 3.: Znegujeme výrok $$ (\exists a \in \R)(\exists b \in\R) \left( (a+b=1) \wedge (a< \frac{1}{2}) \wedge( b< \frac{1}{2}) \right). $$ Máme tedy $$ a+b < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. $$ Negace neplatí. Musí tedy platit původní výrok. \end{postup} } \end{pr} %\newpage \subsection{Důkazy: přímý, sporem a indukce} \begin{pr} Dokažte, že: \begin{enumerate} \item pro $\forall n \in \mathbb{N}$ platí: je-li $n^2$ dělitelné $9$, potom $n$ je dělitelné $3$. \item pro $\forall x,y \in \mathbb{R}, x,y > 0$, platí AG nerovnost: $$ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}.$$ \end{enumerate} \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item Jelikož $n^2$ je dělitelné 9, pak je jistě dělitelné třemi. Stačí tady ukázat, že platí $3 | n^2 \Rightarrow 3 | n$. Dokážeme obměnou, tj. $3 \nmid n \Rightarrow 3 \nmid n^2$. Nechť $n\in \N$ a předpokládáme $3 \nmid n$. Pak $n$ lze napsat jedním ze dvou způsobů: $$ n=3k+1, \quad n = 3k+2. $$ Pokud $n = 3k+1$, pak $n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2+2k) +1$, a tedy jistě není dělitelné třemi. V posledním případě $n = 3k + 2$, pak $n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3 (3k^2 + 4k + 1) +1$ a opět není dělitelné 3. Důkaz je hotov. \item $0 \leq (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = x^2 +2xy + y^2 -4xy = (x+y)^2 -4xy \Rightarrow \frac{(x+y)^2}{4} \geq xy$. \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Ukažte, že množina všech prvočísel je nekonečná. \tagged{complete}{(Při té příležitosti zopakujte, co jsou prvočísla a prvočíselný rozklad.)} \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Budeme postupovat sporem. Pro spor předpokládejme, že prvočísel je konečně mnoho a označme množinu všech prvočísel \begin{align*} P = \{p_1,p_2,\dots,p_r\}, \end{align*} kde $p_i$ pro $i =1,...,r$ je prvočíslo. Definujme nyní číslo $x$ vztahem \begin{align*} \label{definiceX} x = p_1p_2p_3\dots p_r +1. \end{align*} Číslo $x$ je jistě celé kladné číslo a existuje tedy jeho prvočíselný rozklad, který je jednoznačný. Nechť $x$ má v prvočíselném rozkladu prvočíslo $y$, pak platí $y|x$. Jelikož množina P obsahuje všechna prvočísla, musí pro nějaké $j \in \hat{r}$ platit, že $y = p_j$. Triviálně $p_j | p_1p_2\dots p_r$. Celkem tedy \begin{align*} p_j | x \quad \text{a zároveň} \quad p_j |p_1p_2\dots p_r. \end{align*} Jednoduše z definic lze dokázat, že platí výrok \begin{align*} \left( a|b \wedge a|c \right) \Rightarrow a|(b-c), \end{align*} tudíž \begin{align*} p_j | (x-p_1p_2\dots p_r). \end{align*} Ale $x-p_1p_2\dots p_r = 1$. Předchozí vztah tedy říká, že $p_j | 1$ což je spor, jelikož jedničku nic nedělí. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Dokažte, že neexistuje nejmenší kladné racionální číslo. \tagged{complete}{(Při té příležitosti raději zopakujte, co je racionální číslo\ldots)} \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Budeme postupovat sporem. Nechť existuje nejmenší kladné racionální číslo $x$. Jelikož $x$ je racionální, musí existovat $p,q \in N$ nesoudělné tak, že $x = \frac{p}{q}$. Definujme číslo $y = \frac{p}{q+1}$. Číslo $y$ je jistě racionální, přičemž platí $0 < y < x $. Což je spor s předpokladem, že $x$ je nejmenší. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Dokažte, že $\sqrt{2}$ není racionální číslo (tj. nelze jej zapsat jako zlomek $\frac{p}{q}$, kde $p \in \mathbb{Z}$ a $q \in \mathbb{N}$ jsou nesoudělná). \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Budeme postupovat sporem. Nechť existují $p\in \Z$ a $q\in \N$ splňující $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$. Umocněním této rovnice dostáváme $2 = \frac{p^2}{q^2}$, tedy $p^2 = 2q^2$. Číslo $p^2$ je tedy sudé, a proto takové musí být i číslo $p$. Napíšeme ho ve tvaru $p = 2k$. Zpětným dosazením dostaneme rovnici $$ 2 = \frac{(2k)^2}{q^2}, $$ ze které vidíme $q^2 = 2k^2$. Číslo $q^2$, a tedy i $q$ je opět sudé. Což je ovšem spor s nesoudělností čísel $p,q$ (obě jsou sudá, takže jsou určitě soudělná alespoň číslem 2). \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Dokažte, že pro všechna $x \in \mathbb{R}$ platí: $$ \sin{x} + \cos x \neq 1{,}5. $$ \tagged{complete}{ \begin{postup} Sporem. Nechť existuje $x \in \R$ splňující $\sin x + \cos x = 1{,}5$. Umocněním této rovnice a použitím vzorce $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ dostáváme $$ 1 + 2\sin x \cos x = 2,25 \Leftrightarrow \sin 2x = 1{,}25. $$ Předchozí rovnost neplatí pro žádné $x\in\R$, což je spor. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Dokažte, že pro libovolné $n\in\N,\, n\geq 2$, platí nerovnost $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{n}.$$ \tagged{complete}{ \begin{postup} Dokážeme matematickou indukcí: \begin{itemize} \item $n=2 :$ Máme ukázat, že $1+ \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}$. Umocněním dostaneme $$ 1+\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} > 2 \Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt{2} > 1, $$ což zjevně platí. \item $n \to n+1$: Předpokládáme, že vztah platí pro $n$, a chceme ukázat, že platí i pro $n+1$, tj. chceme ukázat, že platí $$ \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{n+1}. $$ Začneme od levé strany. S využitím IP dostáváme: $$ \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n}(n+1) + \sqrt{n+1}}{n+1} $$ Nyní stačí ukázat $\frac{\sqrt{n}(n+1) + \sqrt{n+1}}{n+1} > \sqrt{n+1}$. Po úpravách zjistíme, že nerovnost platí: \begin{align*} \frac{\sqrt{n}(n+1) + \sqrt{n+1}}{n+1} > \sqrt{n+1} &\Leftrightarrow \sqrt{n}(n+1) + \sqrt{n+1} > (n+1)^{3/2} \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n}\sqrt{n+1} + 1 > n+1 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n}\sqrt{n+1} > n \\ &\Leftrightarrow n(n+1) > n^2 \\ &\Leftrightarrow n > 0. \end{align*} \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Dokažte, že pro libovolné $n\in\N$ platí nerovnost $$\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$$ \tagged{teach}{(Pozn.: Slabší odhad s pravou stranou $1/\sqrt{n}$ nelze pro slabost indukčního předpokladu přímo dokázat matematickou indukcí!)} \\ \tagged{complete}{ \begin{postup} Budeme postupovat matematickou indukcí: \begin{itemize} \item $n = 1$: Máme ukázat $ \frac{2-1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{2+1}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq \frac{3}{9} \Leftrightarrow 9\leq 12 $, což platí. \item $n\to n+1$. Vyjdeme z levé strany pro $n+1$ a budeme odhadovat: $$ \prod_{k=1}^{n+1}\frac{2k-1}{2k} = \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} = \frac{2n+1}{2n+2}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} \leq \frac{2n+1}{2n+2} \frac{1}{\sqrt{2n+1}} = \frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2}. $$ Stačí ukázat, že $\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2} \leq \frac{1}{\sqrt{2(n+1)+1}}$. Úpravami dostaneme \begin{align*} \frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2} \leq \frac{1}{\sqrt{2(n+1)+1}} &\Leftrightarrow \sqrt{2n+1} \sqrt{2n+3} \leq 2n+2 \\ &\Leftrightarrow (2n+1)(2n+3) \leq 4n^2 + 8n + 4 \\ &\Leftrightarrow 4n^2 + 8 n + 3 \leq 4n^2 + 8n + 4 \\ &\Leftrightarrow 3 \leq 4. \end{align*} \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} %\newpage \subsection{Zobrazení, funkce, definiční obor, obor hodnot, zobrazení surjektivní, injektivní a bijektivní, skládání zobrazení} \tagged{complete}{ \begin{pozn} \begin{enumerate} \item Definiční obor je braný jako ten maximální -- proto se pojem maximální ani nepoužívá. \item Zápis $f: A \rightarrow B$ znamená striktně, že definiční obor je roven $A$ a obor hodnot je podmnožinou $B$. \end{enumerate} \end{pozn} } \begin{pr} Definujme množiny $J=\{1,2\}$ a $H=\{3,4\}$. Vypište všechny podmnožiny $J\times H$, které definují zobrazení %$f\colon J\rightarrow H$. \begin{enumerate} \item $f\colon J\rightarrow H$ \item $f\colon (J)\rightarrow H$ \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{enumerate} \item $\left\{ (1,3),(2,4) \right\}$, $\left\{ (1,4),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 3),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 4),(2,4) \right\}$ \item $\left\{ (1,3),(2,4) \right\}$, $\left\{ (1,4),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 3),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 4),(2,4) \right\}$, $\left\{ (1,3) \right\}$, $\left\{ (2,4) \right\}$, $\left\{ (2,3) \right\}$, $\left\{ (1,4) \right\}$ \end{enumerate} \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Jedinou podmínkou na podmnožinu $J\times H$ je, aby dva různé obrazy neměly stejné vzory. Zároveň v prvním případě definiční obor je roven právě $J$, tedy možné podmnožiny jsou \begin{enumerate} \item $\left\{ (1,3),(2,4) \right\}$, $\left\{ (1,4),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 3),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 4),(2,4) \right\}$ \item $\left\{ (1,3),(2,4) \right\}$, $\left\{ (1,4),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 3),(2,3) \right\}$, $\left\{ (1, 4),(2,4) \right\}$, $\left\{ (1,3) \right\}$, $\left\{ (2,4) \right\}$, $\left\{ (2,3) \right\}$, $\left\{ (1,4) \right\}$ %\item $\emptyset$ \end{enumerate} \begin{pozn} Studentům vadí, že není jasné, zda se myslí zobrazení $f\colon J\rightarrow H$, což je zobrazení z celého $J$, nebo $f\colon (J)\rightarrow H$, což je zobrazení z podmnožin $J$. \end{pozn} % pozn: Pozeptat se Pošty jak je to tedy myšleno. % \newline % TS: myslím, že loni se to řešilo a Poštovo značení je dané instrukcemi na začátku sekce 2.3. Takže bych používal toto značení, potom bylo moje řešení špatné a zakomentoval jsem to tedy. \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Určete definiční obory funkcí daných předpisem $$f(x)=\ln(\sin(2x)),\quad g(x)=\log_2\log_3\log_4 x,\quad w(x)=(2x)!,\quad h(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sin(\pi x)}.$$ \tagged{teach}{ \begin{res} $D_f= \bigcup_{k \in \Z}(0+k\pi, \pi/2+k\pi)$, $D_g = (4,+\infty)$, $D_w=\{k/2, k \in \Z_0^+\}$, $D_h=\R^+\setminus\N)$ \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item Jedinou podmínkou na $D_f$ je $\sin 2x > 0$. Tato funce je $\pi$ periodická, proto ji stačí vyšetřit na intervalu $[0,\pi]$. Na tomto intervalu je $\sin 2x$ kladný pro $x\in (0,\frac{\pi}{2})$. Celkem $D_f= \bigcup_{k \in \Z}(0+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)$. \item V případě funkce $g$ požadujeme splnění podmínek \begin{align*} &x > 0, \\ &\log_4 x > 0 \Leftrightarrow x > 1, \\ &\log_3\log_4 x > 0 \Leftrightarrow \log_4 x > 1 \Leftrightarrow x > 4. \end{align*} Průnikem podmínek dostaneme $D_g = (4,+\infty)$. \item V případě funkce $w$ potřebujeme mít celá nezáporná čísla do faktoriálu. Proto $D_w=\{k/2, k \in \N_0\}$. \item Poslední funkce vyžaduje splěnění dvou podmínek: $$ x \geq 0 \wedge \sin(\pi x) \neq 0 $$ Jelikož $\sin(\pi x) = 0 \Leftrightarrow \pi x = k \pi, k \in \Z \Leftrightarrow x \in \Z$, pak $D_h=\R^+_0\setminus\Z = \R^+\setminus \N$ \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Určete obory hodnot funkcí $f,\, g$ a $w$ z předchozí úlohy, tj.: $$f(x)=\ln(\sin(2x)),\quad g(x)=\log_2\log_3\log_4 x,\quad w(x)=(2x)!.$$ \tagged{teach}{ \begin{res} $H_f = (-\infty, 0\rangle$, $H_g=\R$, %$H_w=\Z^+$ (Nemyslím si, že by $H_w = \Z^+$, například číslo $4$ do oboru hodnot nepatří. Obor hodnot by se tedy asi nejlépe zapsal jako $H_w = \{k! | k \in \N\} $) \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item jelikož pro $x \in (0,\frac{\pi}{2})$ je $\sin(2x) \in (0,1\rangle$. Pak tedy $H_f = (-\infty,0\rangle$ \item tip: $H_g = \R$. Musíme tedy ukázat, že k libovolnému $y\in \R$ existuje $x \in D_g$, tak že $y = f(x) = \log_2 \log_3 \log_4 x$. Mocněním dostaneme $x = 4^{3^{2^y}}$. Jistě platí, že $x\in D_g$. Jinak zapsáno $$ x = 4^{3^{2^y}} > 4^1 \Leftrightarrow 3^{2^y} > 1^0 = 3^0 \Leftrightarrow 2^y > 0, $$ kde poslední nerovnost platí pro všechna $y \in \mathbb{R}$. \item $H_w$ %= \mathbb{N}$ jelikož faktoriál je zobrazení $f: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}$. V našem případě $w: \{k/2, k \in \N_0\} \rightarrow \mathbb{N}$ % \\ \\ % pozn(PG): ten faktoriál zobrazuje do $\N$, ale ne na $\N$. Po rozepsání pro obecné x si lze všimnout, že zobrazuje pouze do podmnožiny sudých přiro. čísel (vždy se násobí dvojkou). Nejlepší je asi napsat $ H_{w} = \{ w(x) | x \in D_{w} \} $ ? . \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Nalezněte obory hodnot následujících funkcí: \begin{enumerate} \item $f(x)=x^2,\quad D_f=\langle -1,2)$ \item $f(x)=\log{x},\quad D_f=(10, 1000\rangle$ \item $f(x)=x+\lfloor 2x\rfloor,\quad D_f=\langle 0,1)$ \item $f(n)=n(-1)^n ,\quad n\in\N$ \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} i. $\langle0,4 )$, ii. $(1,3\rangle$, iii. $\langle 0,\frac{1}{2}) \cup \langle \frac{3}{2},2)$, iv. $\left\{ 2k | k \in \N \right\} \bigcup \left\{ -2k+1 | k \in \N \right\}$ \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{enumerate} \item Rozdělíme definiční obor na největší intervaly, na kterých můžeme invertovat vztah $f(x)=y$. Následně jej na těchto intervalech invertujeme. Platí $y=x^2 \, \Leftrightarrow \, x=-\sqrt{y}$ pro $x \in \langle -1 ,0)$ a $y=x^2 \, \Leftrightarrow \, x=\sqrt{y}$ pro $x \in \langle 0 ,2)$. Obor hodnot tedy získáme řešením soustavy nerovnic $-1 \leq -\sqrt{y} <0$, $0 \leq \sqrt{y} <2$. \item Inverzí vztahu $f(x)=y$ dostaneme $\log x = y \, \Leftrightarrow \, x = 10^y$, kde $x \in (10, 1000\rangle$. Obor hodnot tedy získáme řešením soustavy nerovnic $10 < 10^y \leq 1000$. \item Nejdříve předpis funkce zjednodušíme. Platí $f(x) = x$ pro $x \in \langle 0, 1/2)$ a $f(x) = x+1$ pro $x \in \langle 1/2, 1)$. Inverzí vztahu $f(x)=y$ dostaneme $x=y$ pro $x \in \langle 0, 1/2)$ a $x=y-1$ pro $x \in \langle 1/2, 1)$. Dále postupujeme stejně jako v předchozích případech. % \item $x^2$ je spojitá funkce, sudá a rostoucí na kladné poloose, $H_f = \langle f(0),f(2) ) = \langle0,4 )$. % \item $\log{x}$ je spojitá a rostoucí funce, proto $H_f = ( f(10),f(1000)\rangle = (1,3\rangle$. % \item Graf této funce je zobrazen na obrázku \ref{fig:tyden2.1}. Výpočet rozdělíme na dva podintervaly % \begin{itemize} % \item $ x \in \langle 0,\frac{1}{2})$, kde $f(x) = x \Rightarrow f(x) \in \langle 0,\frac{1}{2})$ % \item $ x \in \langle \frac{1}{2},1)$, kde $f(x) = x+1 \Rightarrow f(x) \in \langle \frac{3}{2},2)$. % \end{itemize} % Z toho vidíme, že $H_f = \langle 0,\frac{1}{2}) \cup \langle \frac{3}{2},2)$. \item Z předpisu funkce $f$ vidíme, že v oboru hodnot jsou záporná lichá čísla a kladná sudá čísla. To lze například zapsat $H_f = \left\{ 2k | k \in \N \right\} \bigcup \left\{ -2k+1 | k \in \N \right\}$. \end{enumerate} \begin{figure}[h]\caption{Grafy funkcí $f(x)=x^2$, $f(x)=\log x$, $f(x) = x+\lfloor 2x\rfloor$, $f(n)=(-1)^n n$. Pozor, graf funkce $f(n)=(-1)^n n$ jsou pouze diskrétní body a nikoliv po částech lineární funkce, která je vyzobrazena! Podobně je to s vertikálními čárami ve funkci $f(x) = x+\lfloor 2x\rfloor$, které nepatří do oboru hodnot této funkce (tyto křivky ani nelze popsat žádnou funkcí).} \label{fig:tyden2.1} \begin{center} \includegraphics[width=12cm]{grafy_funkci_MA1.png} \end{center} \end{figure} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Nalezněte obory hodnot následujících funkcí: \begin{enumerate} \item $f(x)=(x+1)/(x^2+x+1),\quad D_f=\R$ \item $f(x)=(x+1)/(x^2+3x+1),\quad D_f=\R\setminus\{(-3\pm\sqrt{5})/2\}$ \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} i. $H_f = \langle -\frac{1}{3}, 1 \rangle$, ii. $H_f = \mathbb{R}$ \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Z definice oboru hodnot je $H_f = \lbrace y\in \R | (\exists x \in D_f \cap \R) ( f(x) = y \rbrace)$. Hledáme tedy $y \in \R$, pro která existuje řešení $ x \in D_f \cap \R $ rovnice $ f(x) = y$. \begin{enumerate} \item V tomto případě požadujeme, aby $ x \in D_f \cap \R = \R $. Rovnice $ y = f(x) $ je ve tvaru $$ y = (x+1)/(x^2+x+1) \Leftrightarrow y x^2 + x(y-1) + y-1 = 0. $$ Pro $y = 0$ je $x=-1 \in \R $. Pro $y \neq 0$ máme kvadratickou rovnici s diskriminantem $$ D(y) = -3 y^2 + 2y + 1 = -3\left( y+ \frac{1}{3}\right)\left( y- 1\right). $$ Aby řešení $ x $ patřilo do $ \R $, musí být diskriminant nezáporný. To je pro $y \in \langle -\frac{1}{3}, 1 \rangle$. Dostáváme tak $H_f = \langle -\frac{1}{3}, 1 \rangle$. \item Zde požadujeme $ x \in \R \setminus\{ ( -3 \pm \sqrt{5} ) / 2 \} $. Rovnice $ y = f(x) $ má tvar $$ y = (x+1)/(x^2+3x+1) \Leftrightarrow y x^2 + x(3y-1) + y-1 = 0. $$ Pro $y = 0$ je $x=-1 \in D_f$. Pro $y \neq 0$ řešíme kvadratickou rovnici s diskriminantem $$ D(y) = 5 y^2 - 2y + 1. $$ Diskriminant splňuje $D(y) > 0$ pro všechna $y\in \R$. Řešení $x$ pro dané $ y \in \R $ však nemusí patřit do $D_f$. Taková $y$, pro která je $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5} }{2}$, musíme vyloučit. Řešíme tedy $$ x = x(y) = \frac{-(3y-1) \pm \sqrt{D(y)}}{2y} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow 4y^2 -2y+1 = 0. $$ Tato rovnice nemá reálné kořeny, a tudíž žádná $y$ nevyloučíme. Proto $H_f = \R $. \end{enumerate} Grafy funkcí $f$ zachycuje Obrázek \ref{fig:tyden2}. \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[width=12cm]{tyden2.png} \end{center} \caption{Grafy funkcí $f(x)=(x+1)/(x^2+x+1)$ vlevo a $f(x)=(x+1)/(x^2+3x+1)$ vpravo.} \label{fig:tyden2} \end{figure} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Určete obor hodnot funkce $f: \C \rightarrow \C$ definované vztahem $$f(z) = z + 2\bar{z} + z\bar{z} + \im z.$$ \tagged{teach}{ \begin{res} $H_f = \lbrace a+\im b | a,b \in \mathbb{R} \wedge -b^2-4b+ 2a+1 \geq 0 \rbrace$ \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} Z definice $H_f = \lbrace w \in \C | (\exists z \in D_f \cap \C )( f(z) = w \rbrace)$. Napíšeme $z = x + \im y$ a $w=a+\im b$, kde $x,y,a,b \in \R$. Pak $ \bar{z} = x- \im y $. Po dosazení do rovnice $f(z) = w$ dostáváme $$ w = f(z) \Leftrightarrow a + \im b = x^2 + y^2 + 3x- y +\im (x-y). $$ Hledáme tedy $a,b \in \R $, pro která existují $x,y \in \R$ tak, že $ z = x+\im y \in D_f \cap \C $ a je splněna předcházející rovnice. Porovnáním reálných a imaginárních složek dostáváme nelineární soustavu dvou rovnic \begin{align*} x^2 + y^2 + 3x- y &= a, \\ x-y &= b. \end{align*} Po vyjádření $x = b + y $ z druhé rovnice a dosazení do první dostáváme $$ 2y^2 + 2y(b+1) + b^2 +3b-a = 0. $$ Diskriminant je roven $$ D = 4[(b+1)^2-2(b^2+3b-a)] = 4(-b^2-4b+ 2a+1). $$ Požadavek na řešitelnost je, aby $D \geq 0$. Obor hodnot pak můžeme zapsat $$ H_f = \lbrace a+\im b | a,b \in \mathbb{R} \wedge -b^2-4b+ 2a+1 \geq 0 \rbrace. $$ \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Buďte $f_1(x)=x^2,\, f_2(x)=2^x,\, f_3(x)=\sgn{x}$. Určete definiční obory a obory hodnot funkcí $f_i \circ f_j$, kde $i,j=1,2,3$, a napočítejte $ (f_i \circ f_j )(x)$. \tagged{teach}{ \begin{res} i. $f_1(f_1(x)) = x^4 $, $ \quad D_{f_1 \circ f_1} = \R$, $ \quad H_{f_1 \circ f_1} = \R^+_0$, ii. $f_2(f_2(x)) = 2^{2^x}$, $ \quad D_{f_2 \circ f_2} = \R$, $ \quad H_{f_2 \circ f_2} = (1,+\infty )$, iii. $f_3(f_3(x)) = \sgn x $, $ \quad D_{f_3 \circ f_3} = \R$, $ \quad H_{f_3 \circ f_3} = \lsz 0,1,-1 \psz$, iv. $f_1(f_2(x)) = 2^{(2x)}$, $ \quad D_{f_1 \circ f_2} = \R$, $ \quad H_{f_1 \circ f_2} = \R^+$, v. $f_2(f_1(x)) = 2^{x^2}$, $ \quad D_{f_2 \circ f_1} = \R$, $ \quad H_{f_2 \circ f_1} = \langle 1,+\infty)$, vi. $f_1(f_3(x)) = (\sgn(x))^2$, $ \quad D_{f_1 \circ f_3} = \R$, $ \quad H_{f_1 \circ f_3} = \lsz 0,1 \psz$, vii. $f_3(f_1(x)) = \sgn(x^2)$, $ \quad D_{f_3 \circ f_1} = \R$, $ \quad H_{f_3 \circ f_1} = \lsz 0,1 \psz$, viii. $f_2(f_3(x)) = 2^{\sgn x}$, $ \quad D_{f_2 \circ f_3} = \R$, $ \quad H_{f_2 \circ f_3} = \lsz 1, 2, \frac{1}{2} \psz$, ix. $f_3(f_2(x)) = \sgn(2^x)$, $ \quad D_{f_3 \circ f_2} = \R$, $ \quad H_{f_3 \circ f_2} = \lsz 1 \psz$. \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item $f_1(f_1(x)) = (x^2)^2 = x^4 $, $ \quad D_{f_1 \circ f_1} = \R$, $ \quad H_{f_1 \circ f_1} = \R^+_0$, \item $f_2(f_2(x)) = 2^{2^x}$, $ \quad D_{f_2 \circ f_2} = \R$, $ \quad H_{f_2 \circ f_2} = (1,+\infty )$, \item $f_3(f_3(x)) = \sgn(\sgn(x)) =\sgn x $, $ \quad D_{f_3 \circ f_3} = \R$, $ \quad H_{f_3 \circ f_3} = \lsz 0,1,-1 \psz$, \item $f_1(f_2(x)) = \left(2^x\right)^2 = 2^{(2x)}$, $ \quad D_{f_1 \circ f_2} = \R$, $ \quad H_{f_1 \circ f_2} = \R^+$, \item $f_2(f_1(x)) = 2^{x^2}$, $ \quad D_{f_2 \circ f_1} = \R$, $ \quad H_{f_2 \circ f_1} = \langle 1,+\infty)$, \item $f_1(f_3(x)) = (\sgn(x))^2$, $ \quad D_{f_1 \circ f_3} = \R$, $ \quad H_{f_1 \circ f_3} = \lsz 0,1 \psz$, \item $f_3(f_1(x)) = \sgn(x^2)$, $ \quad D_{f_3 \circ f_1} = \R$, $ \quad H_{f_3 \circ f_1} = \lsz 0,1 \psz$, \item $f_2(f_3(x)) = 2^{\sgn x}$, $ \quad D_{f_2 \circ f_3} = \R$, $ \quad H_{f_2 \circ f_3} = \lsz 1, 2, \frac{1}{2} \psz$, \item $f_3(f_2(x)) = \sgn(2^x)$, $ \quad D_{f_3 \circ f_2} = \R$, $ \quad H_{f_3 \circ f_2} = \lsz 1 \psz$, \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Zapište pomocí kvantifikátorů, že zobrazení $h$ je injektivní, resp. M-surjektivní, resp. bijektivní. \tagged{teach}{ \begin{res} \begin{itemize} \item injektivita: $(\forall x,y \in D_h)(h(x) = h(y) \Rightarrow x = y)$, \item M-surjektivita: $(\forall y \in M)(\exists x \in D_h)(h(x) = y)$, \item bijektivita: $(\forall y \in M)(\exists_1 x \in D_h)(h(x) = y)$. \end{itemize} \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item injektivita: $(\forall x,y \in D_h)(h(x) = h(y) \Rightarrow x = y)$, \item M-surjektivita: $(\forall y \in M)(\exists x \in D_h)(h(x) = y)$, \item bijektivita: $(\forall y \in M)(\exists_1 x \in D_h)(h(x) = y)$. \end{itemize} \end{postup} } \end{pr} \begin{pr} Nechť zobrazení $f: (\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ je definováno vztahem $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Určete \begin{enumerate} \item $D_f$ a $H_f$, \item $f^{-1}(M)$ pro $M= (2,3)$ \item $f(N)$ pro $N=\left\langle 3,4 \right\rangle$. \end{enumerate} \tagged{teach}{ \begin{res} $D_f = \mathbb{R}\setminus{\{1\}}$, $H_f = \mathbb{R}\setminus{\{1\}}$, $f^{-1}(M) = M$, $f(N) = \langle \frac{5}{3}, 2 \rangle$ \end{res} } \tagged{complete}{ \begin{postup} \begin{itemize} \item $D_f = \mathbb{R}\setminus{\{1\}}.$ Obor hodnot: budeme hledat, pro jaká $y$ má rovnice $\frac{x+1}{x-1} = y$ řešení. Jednoduchou úpravou získáme rovnici $$ x(1-y) = -1-y. $$ Tato rovnice má řešení pro všechna $y \in \R \setminus \{1\}$, a tedy $H_f = \R \setminus \{1\}$. \item Z definice vzoru $f^{-1}(M) = \lbrace x \in D_f | 2 < \frac{x+1}{x-1} < 3 \rbrace$ musíme vyřešit dvě nerovnice: \begin{align*} 2 < \frac{x+1}{x-1}, \quad \frac{x+1}{x-1} < 3. \end{align*} V závislosti na tom, zda $x-1>0$ nebo $x-1<0$ se jedná se o průnik intervalů $(1,3)$ a $(-\infty, 1)\cup (2, \infty)$, tj. $(2,3)$. Vzor je proto $f^{-1}(M) = (2,3) = M$. \item V definici obrazu $ f(N) = \lbrace y \in \mathbb{R} |(\exists x \in N)( f(x) = y) \rbrace$ si ze vztahu $\frac{x+1}{x-1} = y$ vyjádříme $x$ a dostaneme $\frac{y+1}{y-1} = x$. Má platit, že $ x \in N = \left\langle 3,4 \right\rangle$, což opět vede na soustavu dvou nerovnic: \begin{align*} 3 \leq \frac{y+1}{y-1}, \quad \frac{y+1}{y-1} \leq 4. \end{align*} Výsledkem je interval $\left\langle \frac{5}{3}, 2 \right\rangle$ a tedy $ f(N) =\left\langle \frac{5}{3}, 2 \right\rangle $. \end{itemize} \end{postup} } \end{pr}