Součásti dokumentu MAN1priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{MAN1priklady}
\setcounter{section}{13}
\section{Teorie potřebná ke cvičením}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opakování středoškolské matematiky}
\subsubsection{Kvadratická rovnice}
\textbf{Kvadratická rovnice} je rovnice ve tvaru $ax^2 + bx + c = 0$, kde $a, b, c \in \R$, resp. $\C$ a $a \not= 0$. Definujeme \textbf{diskriminant} $D := b^2 - 4ac$, díky čemuž můžeme pro její kořeny psát, že
$$
x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
$$
Dle hodnoty diskriminantu mohou nastat následující tři případy.
\begin{enumerate}
\item $D = 0$ $\Leftrightarrow$ $a \left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$ $\Leftrightarrow$ $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$, tedy rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
\item $D > 0$ $\Leftrightarrow$ $a (x-x_1)(x-x_2) = 0$ $\Leftrightarrow$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, tedy rovnice má dva různé kořeny.
\item $D < 0$:
\begin{enumerate}
\item V $\R$ řešení nemá.
\item V $\C$ dostáváme dva komplexně sdružené kořeny $x_{1, 2} = \frac{b \pm i \sqrt{-D}}{2a}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsubsection{Exponenciála, logaritmus}
\textbf{Exponenciála} je funkce ve tvaru $y(x) = a^x$, kde $a \in \R^+$. Pro $a \in (0, 1)$ je funkcí klesající, pro $a \in (1, +\infty)$ je rostoucí. Číslo $a$ nazýváme \textbf{základ}, číslo $x$ \textbf{exponent}.
\textbf{Logaritmus} je inverzní funkce k exponenciále $y(x) = \log_a (x)$ kde $a\in \R^+-\{1\}$ a $x \in \R^+$, $\Leftrightarrow$ $a^y = x$. Číslo $a$ nazýváme \textbf{základ logaritmu (báze)}, číslo $x$ \textbf{argument}, celkem mluvíme o logaritmu čísla $x$ o základu $a$. Pro $a \in (0, 1)$ je funkcí klesající, pro $a \in (1, +\infty)$ je rostoucí. Vše na Obrázku \ref{fig:ExpLog_2}.
Držíme následující konvence.
\begin{itemize}
\item Pro $a = 10$ mluvíme o desítkovém (dekadickém) logaritmu, píšeme $\log(x) := \log_{10}(x)$.
\item Pro $a = e$ mluvíme o přirozeném logaritmu, $e \approx 2.71828$ nazýváme Eulerovým číslem, píšeme $\ln(x) := \log_e(x)$.
\item Pro $a = 2$ mluvíme o binárním logaritmu, píšeme $\log_2(x)$.
\end{itemize}
Vlastnosti (pro $a \in \R^+$, $x, y \in \R$, resp. $a, b \in \R^+-\{1\}$, $x, y \in \R^+$, $t \in \R$):
\begin{itemize}
\item $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$,
\item $\left( a^x \right)^y = a^{x\,y}$,
\item $\log_a (x\,y) = \log_a x + \log_b y$,
\item $\log_a \left( \frac{a}{b} \right) = \log_a x - \log_b y$,
\item $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$,
\item $a^{\log_a x} = x$,
\item $\log_a \left( x^t \right) = t \, \log_a x$.
\end{itemize}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\subfloat[Exponenciála]{\includegraphics[width = 2.5in]{exp.png}} \qquad
\subfloat[Logaritmus]{\includegraphics[width = 2.5in]{log.png}}
\caption{Exponenciála a logaritmus}
\label{fig:ExpLog_2}
\end{center}
\end{figure}
\subsubsection{Goniometrické funkce}
\textbf{Definice z pravoúhlého trojúhelníku} ABC, kde $a, b$ jsou odvěsny, $c$ přepona a $\alpha$ úhel u vrcholu A:
$$
\sin \alpha := \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha := \frac{b}{c},
$$
kde $D_f = \R$ a $H_f = \langle -1, 1 \rangle$.
\textbf{Definice z jednotkové kružnice}, kde na ose $x$ vystupuje $\cos$, na ose $y$ zase $\sin$. Rychle můžeme vykoukat, že $\sin \beta = \sin (\pi - \beta)$ nebo $\cos(\pi - \beta) = -\cos \beta$.
Potom
$$
\tg x := \frac{\sin x}{\cos x}, \quad D_f = \R - \left\{ \frac{\pi}{2} + k \, \pi | k \in \Z \right\}, H_f = \R,
$$
a
$$
\cotg x := \frac{\cos x}{\sin x}, \quad D_f = \R - \left\{ k \, \pi | k \in \Z \right\}, H_f = \R.
$$
Goniometrické funkce jsou periodické s periodou $2\,\pi$, resp. $\pi$, tj. existuje $p$ takové, že $f(x+p) = f(x)$ pro $\forall x \in D_f$.
\textbf{Důležité hodnoty k zapamatování}, lze je odvodit z rovnostranného (hodnoty pro $\pi/3$ a $\pi/6$ pomocí výšky délky $\sqrt{3}/2$) a rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku (hodnoty pro $\pi/4$).
\begin{center}
\begin{tabular}{c||cccccccc}
- & $0$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $\frac{3}{2} \pi$ & $2\pi$ \\ \hline \hline
$\sin x$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\ \hline
$\cos x$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\ \hline
$\tan x$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & - & $0$ & - & $0$ \\ \hline
$\cot x$ & - & $\sqrt{3}$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $0$ & - & $0$ & - \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\textbf{Důležité vzorce:}
\begin{eqnarray*}
\sin(x \pm y) &=& \sin x \cos y \pm \sin y \cos x \\
\cos(x \pm y) &=& \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \\
\sin(2x) &=& 2 \sin x \cos x \\
\cos(2x) &=& \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 \\
\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) &=& \frac{1-\cos x}{2} \\
\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) &=& \frac{1+\cos x}{2} \\
\sin x + \sin y &=& 2 \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\sin x - \sin y &=& 2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\cos x + \cos y &=& 2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\cos x - \cos y &=& -2 \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) \\
\sin x &=& \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \\
\cos x &=& \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \\
\sin x &=& \sin (\pi - x) \\
\cos x &=& - \cos(\pi - x) \\
\sin(-x) &=& -\sin x \dots \textup{lichá funkce}\\
\cos(-x) &=& \cos x \dots \textup{sudá funkce}
\end{eqnarray*}
\subsection{Komplexní čísla}
Komplexní čísla $\C = \left\{ a + i b | a, b \in \R \wedge i^2 = -1 \right\}$, kde $i$ je \textbf{imaginární jednotka}, $a$ je reálná část (Re), $b$ imaginární část (Im). Pokud $a = 0$, číslo je \textbf{ryze imaginární}, pokud $b = 0$, jedná se o \textbf{reálné} číslo ($\R \subset \C$).
Označme $z = a + b i$, pak $\overline{z} := a - b i$ nazýváme číslo \textbf{komplexně sdružené} k $z$. \textbf{Absolutní hodnotu} pak definujeme jako $|z| := \sqrt{z \overline{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Tvar $a + b i$ nazýváme \textbf{algebraický}, komplexní číslo $z$ se dá ale vyjádřit ještě ve tvaru \textbf{goniometrickém} $z = |z| (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, kde $\varphi \in \langle 0, 2\pi \rangle$.
\begin{veta}[Moivreova]
Pro $z \in \C$ s $\varphi \in \langle 0, 2\pi \rangle$ a $n \in \Z$ platí
$$
z^n = |z|^n (\cos (\varphi n) + i \sin (\varphi n) ).
$$
\end{veta}
Odtud můžeme vyjádřit odmocninu komplexního čísla
$$
z^{1/n} = \left\{ |z|^{1/n} (\cos ((\varphi+2k\pi)/n) + i \sin ((\varphi+2k\pi)/n) ), k \in \underline{\widehat{n-1}} \right\}.
$$
Pro mocniny imaginární jednotky, kde $n, k \in \N$, platí
$$
i^n = \left\{ \begin{array}{rcl}
1 & \dots & n = 4k, \\
i & \dots & n = 4k + 1, \\
-1 & \dots & n = 4k + 2, \\
-i & \dots & n = 4k + 3.
\end{array} \right.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Matematická logika}
\begin{itemize}
\item cíl: formulace myšlenek jednoduše a přesně, umět najít pravdu
\item výroková logika: \textbf{výrok} = tvrzení, o jehož pravdivosti lze rozhodnout (1 pravda, 0 nepravda); \textbf{složené výroky} = z výroků vznikají pomocí výrokových spojek
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccl}
$\neg$ & \textbf{negace} & není pravda, že \dots \\
$\wedge$ & \textbf{konjunkce} & a zároveň \\
$\vee$ & \textbf{disjunkce} & nebo \\
$\Rightarrow$ & \textbf{implikace} & jestliže \dots, potom \dots \\
$\Leftrightarrow$ & \textbf{ekvivalence} & právě tehdy, když
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item pravdivost výroků A, B vyhodnocujeme pomocí \textbf{pravdivostní tabulky} definující význam logických spojek
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
A & B & $\neg$ A & A $\wedge$ B & A $\vee$ B & A $\Rightarrow$ B & A $\Leftrightarrow$ B \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item \textbf{tautologie} = výsledný výrok je vždy pravdivý (nezávisí na pravdivosti výroků, které obsahuje)
\item \textbf{kontradikce} = výsledný výrok je vždy nepravdivý
\item označme $V(x)$ výrokovou funkci na množině $M$
\begin{itemize}
\item \textbf{obecný kvantifikátor} $\forall$: $V(x)$ je pravdivý pro $\forall x \in M$, pokud $V(a) = 1$ pro každé $a \in M$ (negace: $\exists$),
\item \textbf{existenční kvantifikátor} $\exists$: $\exists x \in M$, pro které je $V(x)$ pravdivý, pokud $V(a) = 1$ pro alespoň jedno $a \in M$ (negace: $\forall$),
\item \textbf{existence a jednoznačnost} $\exists!, \exists_1$: negace: neexistence nebo nejednoznačnost
\end{itemize}
\item důležité vztahy, které dokážeme:
\begin{itemize}
\item distributivní zákon: $(A \vee (B \wedge C)) \Leftrightarrow ((A \vee B) \wedge (A \vee C))$, \\ $(A \wedge (B \vee C)) \Leftrightarrow ((A \wedge B) \vee (A \wedge C))$
\item De Morganova pravidla: $\neg (A \wedge B) \Leftrightarrow (\neg A \vee \neg B)$, \\ $\neg (A \vee B) \Leftrightarrow (\neg A \wedge \neg B)$
\item obměna implikace: $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$
\item negace implikace: $\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \wedge \neg B)$
\item přepis implikace: $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A \vee B)$
\item negace ekvivalence: $\neg (A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \neg ((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)) \Leftrightarrow (\neg (A \Rightarrow B) \vee \neg(B \Rightarrow A)) \Leftrightarrow ((A \wedge \neg B) \vee (B \wedge \neg A))$
\end{itemize}
\item typy důkazů:
\begin{itemize}
\item \textbf{spor}: vyjdeme z negace, ukážeme blbost, pak tedy platí původní výrok
\item \textbf{přímý:} vyjdeme z předpokladů a (např. trikem) ukážeme požadovanou vlastnost
\item \textbf{nepřímý:} dokazujeme obměnu implikace
\item \textbf{matematická indukce:} předpokládáme, že \\
1. nějaké tvrzení platí pro $n_0 \in \N$, \\
2. platí-li tvrzení pro $n \in \N, n \geq n_0$, pak platí také pro $n+1$; \\
pak dané tvrzení platí pro $\forall n \in \N, n \geq n_0$
\end{itemize}
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Zobrazení, vzor a obraz množiny}
\begin{itemize}
\item \textbf{kartézský součin} dvou množin $A \times B = \{ (a, b) | a \in A, b \in B \}$
\item \textbf{zobrazení} (funkce) $f \subset A \times B:$ $(\forall x, y, z) (((x, y) \in f \wedge (x, z) \in f) \Rightarrow (y = z))$, zkráceně $(\forall x, y, z)((x, y) \in f \Leftrightarrow f(x) = y)$
\item \textbf{definiční obor} $D_f = \{ x | (\exists y) (y = f(x))\}$
\item \textbf{obor hodnot} $H_f = \{ y | (\exists x) (f(x) = y) \}$
\item zobrazení množiny $A$ do množiny $B$: $D_f = A \wedge H_f \subset B \Rightarrow f: A \to B$
\item zobrazení z množiny $A$ do množiny $B$: $D_f \subset A \wedge H_f \subset B \Rightarrow f: (A) \to B$
\item \textbf{obraz} množiny $M$: $f(M) = \{ y | (\exists x \in M)(y = f(x))\} = \{ f(x) | x \in M\}$
\item \textbf{vzor} množiny $M$: $f^{-1}(M) = \{ x | (\exists y \in M)(f(x) = y) \}$
\item \textbf{složené zobrazení} $(f \circ g)(x) := f(g(x))$, kde $f: A \to B$ a $g: C \to D$, $x \in D_{f \circ g} = g^{-1}(D_f) = g^{-1}(A)$
\item vlastnosti zobrazení $f: A \to B$, kde $M$ je libovolná množina:
\begin{itemize}
\item \textbf{injektivní} (prosté): $(\forall x, y \in D_f)(x \not= y \Rightarrow f(x) \not= f(y))$
\item $M$-\textbf{surjektivní} (na $M$): pokud $M \subset H_f$
\item $M$-\textbf{bijektivní} ($M$ vzájemně jednoznačné): současně injektivní a $M$-surjektivní
\end{itemize}
\item \textbf{inverzní} zobrazení $f^{-1} = \{(y, x)| (x, y) \in f \}$, pokud $f$ je prosté zobrazení
\end{itemize}
\subsubsection{Cyklometrické funkce}
\textbf{Cyklometrické funkce} jsou inverzní funkce ke goniometrickým, které ale nejsou prosté na celém svém definičním oboru. Proto nejprve provádíme restrikci (zúžení) na intervaly, kde již prosté jsou.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
funkce & $D_f$ & $H_f$ \\ \hline
$\arcsin$ & $\langle -1, 1 \rangle$ & $\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle$ \\ \hline
$\arccos$ & $\langle -1, 1 \rangle$ & $\langle 0, \pi \rangle$ \\ \hline
$\arctan$ & $\R$ & $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ \\ \hline
$\textup{arccotg}$ & $\R$ & $\left( 0, \pi \right)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{Hyperbolické a hyperbolometrické funkce}
\textbf{Hyperbolické funkce} jsou definované jako
$$
\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
$$
a
$$
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}, \quad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}.
$$
\textbf{Hyperbolometrické funkce} jsou inverzní k hyperbolickým funkcím, ale opět bylo potřeba u některých při jejich definici provést příslušnou restrikci.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c||c|c|c}
funkce & $D_f$ & $H_f$ & inverzní funkce & $D_{f^{-1}}$ & $H_{f^{-1}}$ \\ \hline
$\sinh x$ & $\R$ & $\R$ & $\textup{argsinh} x$ & $\R$ & $\R$ \\ \hline
$\cosh x$ & $\R$ & $\langle 0, +\infty)$ & $\textup{argcosh} x$ & $\langle 1, +\infty)$ & $\langle 0, +\infty)$ \\ \hline
$\tanh x$ & $\R$ & $(-1, 1)$ & $\textup{argtanh} x$ & $(-1, 1)$ & $\R$ \\ \hline
$\textup{cotgh} x$ & $\R-\{0\}$ & $\R-\langle -1, 1 \rangle$ & $\textup{argcotgh} x$ & $\R-\langle -1, 1 \rangle$ & $\R-\{0\}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Množiny}
\begin{itemize}
\item \textbf{Ekvivalence množin}: množina $A$ je ekvivalentní s množinou $B$ (neboli má stejnou mohutnost), pokud existuje bijekce $f: A \to B$ množiny $A$ na množinu $B$, zn. $A \sim B$. Má následující vlastnosti:
\begin{itemize}
\item \emph{reflexivita:} $A \sim A$,
\item \emph{symetrie:} $A \sim B \Rightarrow B \sim A$,
\item \emph{tranzitivita:} $A \sim B \wedge B \sim C \Rightarrow A \sim C$.
\end{itemize}
\item Množina je:
\begin{itemize}
\item \textbf{konečná}, pokud je prázdná nebo je ekvivalentní s $\{1, \dots, n \} =: \hat{n}$ pro nějaké $n \in \N$,
\item \textbf{spočetná}, pokud je ekvivalentní s $\N$ (např. $\N, \Q, \Z$),
\item \textbf{nejvýše spočetná}, pokud je spočetná nebo konečná,
\item \textbf{nespočetná}, pokud není spočetná ani konečná (např. $\R$).
\end{itemize}
\item Sjednocení spočetného systému je opět spočetné.
\end{itemize}
\subsubsection{Omezenost množin}
\begin{itemize}
\item Množina $A \subset \R$ je \textbf{omezená shor}a, pokud $(\exists H \in \R)(\forall x \in A)(x \leq H)$. Každé takové $H$ s uvedenou vlastností se nazývá \textbf{horní závora} množiny $A$.
\item Množina $A \subset \R$ je \textbf{omezená zdola}, pokud $(\exists D \in \R)(\forall x \in A)(x \geq D)$. Každé takové $D$ s uvedenou vlastností se nazývá \textbf{dolní závora} množiny $A$.
\item Množina $A \subset \R$ je \textbf{omezená}, pokud je současně omezená shora i zdola.
\end{itemize}
\subsubsection{Maximum, minimum množiny}
\begin{itemize}
\item Číslo $a \in A$ je \textbf{minimem} (nejmenším prvkem) množiny $A \subset \R$, pokud $(\forall x \in A)(x \geq a)$, zn. $a := \min A$.
\item Číslo $b \in A$ je \textbf{maximem} (největším prvkem) množiny $A \subset \R$, pokud $(\forall x \in A)(x \leq b)$, zn. $a := \max A$.
\item Ne každá množina má minimum či maximum, např. $\langle 1, 8 )$ má minimum, ale nemá maximum. Proto zavádíme pojmy jako supremum a infimum.
\end{itemize}
\subsubsection{Supremum, infimum}
\begin{veta}[O supremu]
Nechť $A \subset \R$. Pak $\exists_1 \beta \in \overline{\R}$ tak, že
\begin{enumerate}
\item $(\forall x \in A)(x \leq \beta)$, tj. $\beta$ je horní závora množiny $A$,
\item $(\forall \beta' \in \R, \beta' < \beta)(\exists x \in A)(x > \beta')$, tj. $\beta$ je nejmenší ze všech horních závor.
\end{enumerate}
Číslo $\beta$ nazýváme supremem množiny $A$, zn. $\beta = \sup A$.
\end{veta}
\begin{veta}[O infimu]
Nechť $A \subset \R$. Pak $\exists_1 \alpha \in \overline{\R}$ tak, že
\begin{enumerate}
\item $(\forall x \in A)(x \geq \alpha)$, tj. $\alpha$ je dolní závora množiny $A$,
\item $(\forall \alpha' \in \R, \alpha' > \alpha)(\exists x \in A)(x < \alpha')$, tj. $\alpha$ je největší ze všech dolních závor.
\end{enumerate}
Číslo $\alpha$ nazýváme infimem množiny $A$, zn. $\alpha = \inf A$.
\end{veta}
Poznámky:
\begin{itemize}
\item Pokud v bodě 1. platí rovnost, bod 2. nemusíme ověřovat - $\alpha$, resp. $\beta$ je totiž prvkem množiny $A$ a je tedy i minimem, resp. maximem, což je jistě největší dolní, resp. nejmenší horní závora této množiny.
\item Má-li $A \subset \R$ maximum, pak $\sup A = \max A$, obdobně pro minimum.
\item Výhodný přepis 2. bodu věty pro příklady:
$$
(\forall \varepsilon > 0)(\exists x \in A)(x > \beta - \varepsilon),
$$
resp.
$$
(\forall \varepsilon > 0)(\exists x \in A)(x < \alpha + \varepsilon).
$$
\item Prázdná množina: $\sup \emptyset = -\infty$ a $\inf \emptyset = + \infty$.
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Číselné posloupnosti}
Číselná posloupnost je zobrazení s definičním oborem rovným $\N$, tj. platí pro ně vše, co pro zobrazení (je to jen speciální případ).
\begin{definice}[Posloupnost]
Každé zobrazení množiny $\N$ do nějaké neprázdné množiny $M$ nazýváme posloupnost. Pokud $M=\R$, resp. $M=\C$, nazýváme ho číselná posloupnost reálná, resp. komplexní. Značíme $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$.
\end{definice}
Posloupnost je:
\begin{itemize}
\item \textbf{omezená shora}, pokud $(\exists H \in \R)(\forall n \in \N)(a_n \leq H)$, tj. obor hodnot je množina omezená shora;
\item \textbf{omezená zdola}, pokud $(\exists D \in \R)(\forall n \in \N)(a_n \geq D)$, tj. obor hodnot je množina omezená zdola;
\item \textbf{omezená}, pokud je obor hodnot omezená množina;
\item \textbf{(ostře) rostoucí}, pokud $(\forall n \in \N)(a_n \leq (<) a_{n+1})$;
\item (\textbf{ostře) klesající}, pokud $(\forall n \in \N)(a_n \geq (>) a_{n+1})$;
\item \textbf{(ryze) monotónní}, pokud je (ostře) klesající nebo (ostře) rostoucí.
\end{itemize}
\subsubsection{Okolí bodu}
Pro $\R$, kde $\varepsilon > 0, \alpha > 0$:
\begin{itemize}
\item $a \in \R$: $\varepsilon$-okolí bodu $a$ definujeme jako $H_a(\varepsilon) := (a-\varepsilon, a+\varepsilon)$, tj. $x \in H_a(\varepsilon)$ splňují $|x-a| < \varepsilon$ (obdobně pravostranné a levostranné okolí);
\item $a = +\infty$: $\alpha$-okolí bodu $+\infty$ definujeme jako $H_{+\infty}(\alpha) := (\alpha, +\infty)$;
\item $a = -\infty$: $\alpha$-okolí bodu $-\infty$ definujeme jako $H_{-\infty}(\alpha) := (-\infty, \alpha)$.
\end{itemize}
Pro $\C$, kde $\varepsilon > 0, \alpha > 0$:
\begin{itemize}
\item $a \in \C$: $\varepsilon$-okolí bodu $a$ definujeme jako $H_a(\varepsilon) := \{ z \in \C | |z-a|< \varepsilon \}$;
\item $a = \infty$: $\alpha$-okolí bodu $\infty$ definujeme jako $H_{\infty}(\alpha) := \{ z \in \C | |z|> \alpha \}$.
\end{itemize}
\subsubsection{Limita posloupnosti}
\begin{definice}[Limita číselné posloupnosti]
Řekneme, že daná reálná, resp. komplexní posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ má limitu $a \in \overline{\R}$, resp. $a \in \overline{\C}$ právě tehdy, když
$$
(\forall \varepsilon>0) \, (\exists n_0 \in \R) \, (\forall n \in \N, n>n_0) \, (a_n \in H_a(\epsilon)).
$$
Značíme $a := \lim_{n \to +\infty} a_n$.
\end{definice}
\begin{pozn}
Definice říká, že v libovolném okolí $H_a$ leží všechny členy posloupnosti $(a_n)$ až na konečný počet výjimek.
\end{pozn}
Rozepsání všech případů v $\R$:
\begin{itemize}
\item vlastní limita, tj.
$$
\lim_{n \to +\infty} a_n = a \Leftrightarrow (\forall \varepsilon>0) \, (\exists n_0 \in \R) \, (\forall n \in \N, n>n_0) \, (|a_n - a| < \varepsilon);
$$
\item nevlastní limita, tj.
$$
\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow (\forall \alpha>0) \, (\exists n_0 \in \R) \, (\forall n \in \N, n>n_0) \, (a_n > \alpha),
$$
resp.
$$
\lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow (\forall \alpha>0) \, (\exists n_0 \in \R) \, (\forall n \in \N, n>n_0) \, (a_n < -\alpha).
$$
\end{itemize}
\begin{veta}[O jednoznačnosti]
Každá číselná posloupnost může mít nejvýše jednu limitu.
\end{veta}
\begin{definice}[Konvergentní posloupnost]
\begin{itemize}
\item Má-li posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ limitu $a \in \R$, resp. $a \in \C$, nazývá se \emph{konvergentní}.
\item Posloupnost, která není konvergentní, se nazývá \emph{divergentní}.
\begin{itemize}
\item Posloupnost, která má limitu $\pm \infty$ (resp. $\infty$), se nazývá \emph{podstatně divergentní}.
\item Reálná posloupnost, která nemá limitu, se nazývá \emph{oscilující}.
\end{itemize}
\item Je-li limita reálné, resp. komplexní číslo, nazývá se \emph{vlastní}, je-li rovna $\pm \infty$, resp. $\infty$, nazývá se \emph{nevlastní}.
\end{itemize}
\end{definice}
\begin{definice}[Vybraná posloupnost]
Nechť je dána posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ a nechť $(k_n)_{n=1}^{+\infty}$ je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^{+\infty}$ nazýváme podposloupností neboli posloupností vybranou z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$.
\end{definice}
\begin{definice}[Skorovybraná posloupnost]
Nechť je dána posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ a nechť $(k_n)_{n=1}^{+\infty}$ je posloupnost přirozených čísel s $\lim_{n\to +\infty} k_n = +\infty$. Pak posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^{+\infty}$ nazýváme posloupností skorovybranou z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$.
\end{definice}
\begin{veta}[O limitě vybrané posloupnosti]
Nechť má $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ za limitu číslo $a$, pak i každá z ní vybraná má za limitu číslo $a$.
\end{veta}
\begin{dusledek}
Lze-li z $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ vybrat dvě vybrané posloupnosti mající různé limity, pak $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ limitu nemá.
\end{dusledek}
\begin{veta}[O limitě skorovybrané posloupnosti]
Nechť má $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ za limitu číslo $a$, pak i každá z ní skorovybraná má za limitu číslo $a$.
\end{veta}
\begin{veta}[Existence a omezenost]
Každá konvergentní posloupnost (tj. má-li posloupnost konečnou limitu) je omezená. Každá reálná posloupnost s limitou $\pm \infty$ je omezená zdola, resp. shora a neomezená shora, resp. zdola.
\end{veta}
\begin{dusledek}
Reálná posloupnost, která není omezená ani shora, ani zdola, nemá limitu.
\end{dusledek}
\begin{pozn}
Na omezenost a limitu (tj. existenci a její hodnotu) nemá vliv mírná modifikace posloupnosti, tj. přidání, ubrání, modifikace konečně mnoha členů.
\end{pozn}
\begin{veta}[Monotonie a limita]
Každá monotónní posloupnost má limitu.
\end{veta}
\begin{pozn}
Z předchozí věty plyne, že je-li posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ rostoucí, pak $\lim_{n \to +\infty} a_n = \sup\{ a_n \}$. Obdobně pro klesající posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ je pak $\lim_{n \to +\infty} a_n = \inf \{ a_n \}$.
\end{pozn}
\begin{veta}[Limita komplexní posloupnosti]
Mějme komplexní posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, označme $a_n = \alpha_n + i \beta_n$, kde $\alpha_n,\beta_n \in \R$. Pak posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ konverguje právě tehdy, když posloupnosti $(\alpha_n)_{n=1}^{+\infty}$ a $(\beta_n)_{n=1}^{+\infty}$. Pokud je tato podmínka splněna, platí
$$
\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} \alpha_n + i \cdot \lim_{n \to \infty} \beta_n.
$$
\end{veta}
\begin{definice}[Operace v $\overline{\R}$]
Pro všechna $a,b \in \R$ definujeme následující operace
\begin{itemize}
\item $a + (+\infty) = (+\infty) + a = +\infty$ pro $a>-\infty$,
\item $a + (-\infty) = (-\infty) + a = -\infty$ pro $a<+\infty$,
\item $a \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot a =\pm \infty$ pro $a>0$,
\item $a \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot a =\mp \infty$ pro $a<0$,
\item $\frac{1}{+\infty} = \frac{1}{-\infty} = 0$,
\item $a-b = a + (-b)$ pro $\forall a,b$, pro která je definovaná pravá strana,
\item $\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}$ pro $\forall a,b$, pro která je definovaná pravá strana,
\item $|+\infty| = |-\infty| = +\infty$,
\item $\sqrt[k]{+\infty} = +\infty$ pro $k \in \N$.
\end{itemize}
\end{definice}
\begin{pozn}[Neurčité výrazy]
Nedefinujeme zejména tyto operace: $(\pm\infty)\mp(\pm\infty)$, $\pm \infty \cdot 0$, $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $\frac{\pm\infty}{0}$, $1^{\pm \infty}$, $0^0$ a $(+\infty)^0$.
\end{pozn}
\begin{veta}[Aritmetika limit]
Mějme reálně posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ a $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$. Pak platí
\begin{itemize}
\item $\lim_{n \to +\infty} \left( a_n \pm b_n \right) = \lim_{n \to +\infty} a_n \pm \lim_{n \to +\infty} b_n$,
\item $\lim_{n \to +\infty} \left( a_n \cdot b_n \right) = \lim_{n \to +\infty} a_n \cdot \lim_{n \to +\infty} b_n$,
\item $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to +\infty} a_n}{\lim_{n \to +\infty} b_n}$,
\end{itemize}
pokud mají výrazy na pravé straně smysl.
\end{veta}
\begin{veta}[Limita z odmocniny]
Buď $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ posloupnost nezáporných čísel, nechť $\lim_{n \to +\infty} a_n = a$ a $k \in \N$. Pak $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{a}$.
\end{veta}
\begin{veta}[Limita z absolutní hodnoty]
Buď $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ číselná posloupnost. Je-li $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, pak $\lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| a \right|$. Pokud je $a=0$ nebo $a=\infty$, pak platí ekvivalence.
\end{veta}
\begin{veta}[O nerovnostech]
\begin{itemize}
\item Mějme reálné posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ a $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$ mající limity v $\overline{\R}$. Je-li $\lim_{n \to +\infty} a_n < \lim_{n \to +\infty} b_n $, pak $(\exists n_0)(\forall n \in \N) (\forall n > n_0, n \in \N) (a_n < b_n)$.
\item Nechť existují limity posloupností $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ a $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$. Pokud $(\forall n \in \N)(a_n \leq b_n)$, pak $\lim_{n \to +\infty} a_n \leq \lim_{n \to +\infty} b_n $.
\end{itemize}
\end{veta}
\begin{veta}[Limita sevřené posloupnosti]
Nechť $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$ a $(c_n)_{n=1}^{+\infty}$ jsou reálné posloupnosti a nechť $\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} b_n$. Pak platí následující
$$
(\forall n \in \N) \, (a_n \leq c_n \leq b_n) \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} c_n = \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} b_n.
$$
\end{veta}
\begin{dusledek}
Nechť $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$ jsou reálné posloupnosti, $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$ a posloupnost $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$ je omezená. Pak $\lim_{n \to +\infty} \left( a_n \cdot b_n \right) = 0$.
\end{dusledek}
\begin{pozn}[Důležité limity]
Lze ukázat, že
\begin{itemize}
\item $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = 1$,
\item $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a} = 1$ pro $a>0$,
\item $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty$,
\item $\lim_{n \to +\infty} a^n = +\infty$ pro $a>1$,
\item $\lim_{n \to +\infty} a^n = 1$ pro $a=1$,
\item $\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$ pro $|a| \in (0,1)$,
\item $\lim_{n \to +\infty} a^n$ neexistuje pro $a \leq -1$ (obdobně lze provést diskuzi v $\overline{\C}$).
\end{itemize}
\end{pozn}
\begin{veta}[O Eulerově čísle]
Označme pro všechna $n \in \N$
$$
a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n, \, b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}, \, c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}.
$$
Pak posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, $(c_n)_{n=1}^{+\infty}$ ostře rostou a $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$ ostře klesá, pro $\forall n \in \N$ platí $a_n \leq c_n \leq b_n$ a mají společnou limitu, jíž je iracionální číslo, označme ho $e$, ležící v intervalu $(2,3)$ a platí pro $\forall n \in \N$, že $e - c_n < \frac{1}{n \cdot n!}$.
\end{veta}
\begin{definice}[Eulerovo číslo]
Společná hodnota limit posloupností z předchozí věty nazýváme Eulerovým číslem, značíme $e$.
\end{definice}
\begin{dusledek}
Buď $(p_n)_{n=1}^{+\infty}$ posloupnost reálných čísel taková, že $\lim_{n \to +\infty} \left| p_n \right| = +\infty$. Pak platí, že $\lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{p_n}\right)^{p_n} = e$.
\end{dusledek}
\begin{veta}[Limita exponenciely a logaritmu]
Buď $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ reálná konvergentní posloupnost, pak $\lim_{n \to +\infty} e^{a_n} = e^{\lim_{n \to +\infty} a_n}$. Buď $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ posloupnost kladných reálných čísel s kladnou limitou, pak $\lim_{n \to +\infty} \ln a_n = \ln \lim_{n \to +\infty} a_n$. Pokud $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty$, pak $\lim_{n \to +\infty} e^{a_n} = +\infty$ a $\lim_{n \to +\infty} \ln a_n = +\infty$. Pokud $\lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty$, pak $\lim_{n \to +\infty} e^{a_n} = 0$.
\end{veta}
\begin{definice}[Obecná mocnina]
Definujeme obecnou mocninu jako
$$
a^b = e^{b \ln a}.
$$
\end{definice}
\begin{definice}[Hromadná hodnota]
Bod $a \in \overline{\R}$ nazveme hromadnou hodnotou reálné posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ právě tehdy, když existuje vybraná posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^{+\infty}$ z $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, která má limitu rovnu $a$, tj. $\lim_{n \to +\infty} a_{k_n} = a$.
\end{definice}
\begin{pozn}
Když má $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ limitu, má jen jednu hromadnou hodnotu, a to $\lim_{n \to +\infty} a_n$.
\end{pozn}
\begin{definice}[Limes superior a limes inferior]
Největší hromadnou hodnotou dané reálné posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ nazýváme limes superior posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, značíme $\limsup_{n \to +\infty} a_n$. Nejmenší hromadnou hodnotu $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ nazýváme limes inferior posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, značíme $\liminf_{n \to +\infty} a_n$.
\end{definice}
\begin{veta}[Dobrý smysl předchozí definice]
Množina všech hromadných hodnot reálné posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ má největší a nejmenší prvek, tj. maximum a minimum.
\end{veta}
\begin{veta}[Existence limity pomocí $\limsup$ a $\liminf$]
Pro každou reálnou posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ platí, že $\lim_{n \to +\infty} a_n$ existuje právě tehdy, když $\limsup_{n \to +\infty} a_n = \liminf_{n \to +\infty} a_n$. Existuje-li tedy limita, pak platí $\lim_{n \to +\infty} a_n = \limsup_{n \to +\infty} a_n = \liminf_{n \to +\infty} a_n$.
\end{veta}
\begin{veta}[Výpočet $\limsup$, $\liminf$]
Nechť vybrané posloupnosti $\left(a_{k_n}^{(1)} \right)_{n=1}^{+\infty}$, $\left(a_{k_n}^{(2)} \right)_{n=1}^{+\infty}$, \dots, $\left(a_{k_n}^{(m)} \right)_{n=1}^{+\infty}$ s limitami $a^{(1)}$, $a^{(2)}$, \dots, $a^{(m)}$ pokrývají původní reálnou posloupnost $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$, pak platí
$$
\limsup_{n \to +\infty} a_n = \max \{ a^{(1)}, \dots, a^{(m)} \}
$$
a
$$
\liminf_{n \to +\infty} a_n = \min \{ a^{(1)}, \dots, a^{(m)} \}.
$$
\end{veta}
\begin{veta}[Bolzano-Cauchyovo kritérium konvergence pro číselné posloupnosti]
Číselná posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská, tj.
$$
(\forall \varepsilon>0) \, (\exists n_0 \in \R) \, (\forall n > n_0, n \in \N) (\forall p \in \N) (\left| a_{n+p} - a_n \right| < \varepsilon).
$$
\end{veta}
\begin{veta}[Stolzův vzorec]
Mějme dvě reálné posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ a $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$. Nechť $(b_n)_{n=1}^{+\infty}$ je ostře rostoucí posloupnost kladných čísel s $\lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty$. Nechť existuje $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$, pak existuje i $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}$ a je jí rovna.
\end{veta}
\begin{veta}[Cauchyův vzorec]
Buď $(a_n)_{n=1}^{+\infty}$ posloupnost kladných čísel. Nechť existuje $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$, pak existuje i $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}$ a je jí rovna.
\end{veta}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Funkce}
\begin{itemize}
\item Pod pojmem funkce rozumíme reálnou funkci reálné proměnné, tj. zobrazení $f: (\R) \to \R$.
\item Pojmy jako supremum, infimum, maximum, minimum a omezenost funkce se vztahují k jejímu oboru hodnot.
\item Klasicky definujeme pojmy týkající se \emph{(ryzí) monotonie}, tj. (ostře) rostoucí, resp. klesající.
\item Definujeme také \emph{sudost}, tj. $f(x)=f(-x)$, \emph{lichost}, tj. $-f(x)=f(-x)$ a \emph{periodičnost} funkce, tj. $f(x+\ell) = f(x)$ pro $\forall x \in D_f, \, -x \in D_f, \, x+\ell \in D_f$. Pokud existuje minimum množiny všech čísel, s nimiž je funkce $f$ periodická, nazýváme ho \emph{základní periodou}.
\item Mezi \emph{elementární funkce} řadíme polynomy, racionální funkce, mocninné funkce, exponenciální funkce, logaritmy, goniometrické, cyklometrické funkce, hyperbolické a hyperbolometrické a ty, které vzniknou konečným počtem operací, složením či inverzí.
\end{itemize}
\subsubsection{Hromadný bod množiny}
\begin{definice}[Hromadný bod, derivace množiny a izolovaný bod]
Bod $a \in \overline{\R}$ se nazývá \emph{hromadným bodem} množiny $A \subset \R$ právě tehdy, když v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny $A$, tj. $(\forall H_a) \, (\exists x \in H_a \cap A-\{a\})$. Množinu všech hromadných bodů množiny $A$ značíme $A'$ a nazýváme ji též \emph{derivace množiny} $A$. Bod $a \in A$, který není jejím hromadným bodem, se nazývá \emph{izolovaný bod} množiny $A$.
\end{definice}
Příklady:
\begin{itemize}
\item $A' = \emptyset$ pro $A$ konečnou, tj. konečná množina nemá žádný hromadný bod.
\item Pro $A = \left\{ \frac{1}{n} \left| n \in \N \right. \right\}$ a $B = A \cup \{0\}$ platí $A' = B' = \{0\}$.
\item Hromadný bod množiny $A$ může, ale nemusí být prvkem $A$. Příkladem budiž $A = \left\{ (-1)^n \, \frac{n-1}{n} \left| \right. n \in \N \right\}$, pak $A' = \{-1,1\}$.
\item Pro $A=\langle0,1)$ je $A' = \langle 0,1 \rangle$.
\item $\N' = \{ +\infty \}$, $\Z' = \{ \pm \infty \}$, $\Q' = \overline{\R}$, $\R' = \overline{\R}$.
\end{itemize}
\subsubsection{Limita}
\begin{definice}[Limita funkce]
Nechť $f: (\R) \to \R$ a $a \in D_f'$, tj. $a$ je hromadný bod definičního oboru funkce $f$. Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a$ limitu $c \in \overline{\R}$ právě tehdy, když
$$
(\forall \varepsilon>0) \, (\exists \delta>0) \, (\forall x \in D_f \cap H_a(\delta)-\{a\})\, (f(x) \in H_c(\epsilon)),
$$
zkráceně
$$
(\forall H_c) \, (\exists H_a) \, (\forall x \in D_f \cap H_a-\{a\}) \, (f(x) \in H_c).
$$
Značíme $\lim_{x \to a} f(x) = c$.
\end{definice}
\begin{pozn}
Limita funkce $f$ v bodě $a$ závisí na funkčních hodnotách funkce $f$ v $H_a \cap D_f-\{a\}$, tj. nezávisí na tom, zda (a jak) je funkce definovaná v bodě $a$.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Definice lze ekvivalentně přepsat pro $a\in \R, c\in \R$ jako
$$
\lim_a f = c \Leftrightarrow (\forall \varepsilon>0) \, (\exists \delta>0) \, (\forall x \in D_f, \, 0< |x-a| < \delta): \, |f(x)-c| < \varepsilon.
$$
\end{pozn}
\begin{veta}[O jednoznačnosti]
Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu.
\end{veta}
\begin{veta}[Heineova věta]
Nechť $f$ je funkce, $a \in D_f'$ a $c \in \overline{\R}$. Pak platí $\lim_{x \to a} f(x) = c$ právě tehdy, když $\lim_{n \to +\infty} f\left( x_n \right) = c$ pro každou posloupnost $(x_n)_{n=1}^{+\infty}$, pro kterou platí pro $(\forall n \in \N) (x_n \in D_f-\{a\})$ a $\lim_{n \to +\infty} x_n = a$.
\end{veta}
\begin{definice}[Jednostranné limity]
Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu zleva, resp. zprava rovnu $c$, pokud zúžení (restrikce) $f_{(-\infty,a)}$, resp. $(f_{(a,+\infty)})$ má v bodě $a$ limitu $c$.
\end{definice}
\begin{veta}[Rovnost limit zprava a zleva]
Buď $a$ hromadným bodem $D_f \cap (-\infty,a)$ a $D_f \cap (a, +\infty)$. Pak funkce $f$ má v bodě $a$ limitu $c$ právě tehdy, když limita $f$ zprava i zleva v bodě $a$ je rovna $c$.
\end{veta}
\begin{veta}[Aritmetika limit funkcí]
Analogie jako u posloupností.
\end{veta}
\begin{veta}[Limita z odmocniny funkce]
Analogie jako u posloupností.
\end{veta}
\begin{veta}[Limita z absolutní hodnoty funkce]
Analogie jako u posloupností (ekvivalence platí pro $c=0$).
\end{veta}
\begin{veta}[O limitě složené funkce]
Nechť $a \in D_{f \circ g}'$, $b, \, c \in \overline{\R}$ a $\lim_{x \to a} g(x) = b$, $\lim_{y \to b} f(y) = c$ a platí
$$
(\exists H_a) \, (\forall x \in H_a \cap D_g-\{a\}) \, (g(b) \not=c), \qquad \text{nebo} \qquad (b \in D_f \wedge f(b)=c), \qquad \text{nebo} \qquad b \not\in D_f.
$$
Pak
$$
\lim_{x \to a} \left( f \circ g \right)(x) = c.
$$
\end{veta}
Poznámka:
\begin{itemize}
\item Pokud je funkce $g$ na okolí $H_a$ prostá nebo $b$ je nevlastní bod nebo $f$ je spojitá, pak je podmínka splněna automaticky.
\item Důležitost předpokladu předchozí věty: definujme $g(x) = 0$ pro $\forall x \in \R$, $f(y)=1$ pro $y \not= 0$, $f(0)=2$. Pak $\lim_{0} (f \circ g) = 2$, ale přitom $\lim_0 g = 0$ a $\lim_0 f = 1 \not= 2$.
\end{itemize}
\textbf{Vybrané referenční limity:}
$$
\lim {x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \ln \left( (1+x)^{1/x} \right) = \ln \left( \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} \right) = 1
$$
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{\ln (e^x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{\ln (1+e^x)-1} = 1
$$
Pro $a>0, \, a \not= 1$
$$
\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a}-1}{x \ln a} \cdot \ln a = \lim_{y \to 0} \frac{e^y-1}{y} \cdot \ln a = \ln a
$$
$$
\lim_{n \to +\infty} n \, (\sqrt[n]{e}-1) = \left| \text{Heine} \right| = \lim_{x \to +\infty} x (e^{1/x}-1) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{1/x}-1}{1/x} = 1
$$
\begin{veta}[O nerovnostech pro funkce]
Nechť $a \in \overline{\R}$ a $f$, $g$ jsou reálné funkce.
\begin{itemize}
\item Nechť existují $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Pak platí
$$
\lim_a f < \lim_a g \Rightarrow (\exists H_a) \, (\forall x \in D_f \cap D_g \cap H_a - \{a\}) \, (f(x) < g(x)).
$$
\item Nechť existují $\lim_a f$ a $\lim_a g$, existuje okolí $H_a$ tak, že $H_a \cap D_f-\{a\} = H_a \cap D_g - \{a\}$, pak platí
$$
(\forall x \in H_a \cap D_f-\{a\}) (f(x) \leq g(x) \Rightarrow \lim_a f \leq \lim_a g).
$$
\end{itemize}
\end{veta}
\begin{veta}[O limitě sevřené funkce]
Nechť $a\in \overline{\R}$ a $\lim_a f = \lim_a g = c$. Nechť $H_a \cap D_f-\{a\} = H_a \cap D_g -\{a\}$, pak platí
$$
(\forall x \in H_a \cap D_f-\{a\}) (f(x) \leq h(x) \leq g(x) \Rightarrow \lim_a h = c).
$$
\end{veta}
\subsubsection{Spojitost}
\begin{definice}[Spojitost, bod spojitosti]
Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a \in D_f$, tj. že $a$ je bod spojitosti $f$, pokud platí
$$
(\forall H_{f(a)}) \, (\exists H_a) \, (\forall x \in D_f \cap H_a) (f(x) \in H_{f(a)}).
$$
\end{definice}
\emph{Ekvivalentní formulace k definici:} $f$ je spojitá v bodě $a$ právě tehdy, když
$$
(\forall \varepsilon>0) \, (\exists \delta>0) \, (\forall x \in D_f, \, |x-a|<\delta) (f(x) \in H_{f(a)}).
$$
\begin{pozn}
Každý izolovaný bod $D_f$ je bodem spojitosti $f$. Funkce může být spojitá pouze v bodě svého definičního oboru.
\end{pozn}
\begin{veta}[Spojitost a limita]
Buď $a \in D_f \cap D'_f$. Pak $f$ je spojitá v bodě $a$ právě tehdy, když $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
\end{veta}
\begin{veta}
Platí následující tvrzení.
\begin{enumerate}
\item Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ právě tehdy, když je spojitá v bodě $a$ zprava i zleva.
\item Pokud funkce $f$, $g$ jsou spojité v bodě $a$, jsou spojité v bodě $a$ i funkce $|f|$, $f \pm g$, $f \cdot g$ a $\frac{f}{g}$ za předpokladu, že $g(a) \not= 0$.
\item Buď $a \in D_f$. Pak platí, že $f$ je spojitá v bodě $a$ právě tehdy, když pro každou posloupnost $(x_n)_{n=1}^{+\infty}$ prvků z $D_f$, pro niž $\lim_{n \to +\infty} x_n = a$, platí $\lim_{x \to +\infty} f(x_n) = f(a)$.
\item Nechť $\phi$ je spojitá v bodě $a$, $f$ je spojitá v bodě $\phi(a)$. Pak $f \circ \phi$ je spojitá v bodě $a$.
\item Elementární funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru.
\end{enumerate}
\end{veta}
\begin{definice}[Body nespojitosti]
Bod $a \in D_f'$, který není bodem spojitosti funkce $f$, se nazývá \emph{bod nespojitosti} funkce $f$. Rozlišujeme tři druhy.
\begin{enumerate}
\item Pokud existuje $\lim_a f \in \R$ a ($\lim_a f \not= f(a)$ nebo $a \not\in D_f$), nazýváme $a$ \textbf{bodem odstranitelné nespojitosti}.
\item Pokud existují navzájem různé konečné jednostranné limity $\lim_{a+}f$ a $\lim_{a-} f$, tj. $\lim_{a+}f \not= \lim_{a-} f$, nazýváme $a$ \textbf{bodem nespojitosti prvního druhu (skok)}.
\item Pokud nenastává první, ani druhý případ, tj. alespoň jedna z jednostranných limit není konečná, nazýváme $a$ \textbf{bodem nespojitosti druhého druhu}.
\end{enumerate}
\end{definice}
\subsubsection{Derivace a její výpočet}
\begin{definice}[Derivace funkce]
Nechť $a \in D_f \cap D_f'$. Limitu $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ nazýváme derivace funkce $f$ v bodě $a$, zn. $f'(a)$. Je-li $f'(a) \in \R$ (tj. je konečná), říkáme, že $f$ je diferencovatelná v bodě $a$ (má vlastní derivaci). Je-li $f'(a) = \pm \infty$, mluvíme o nevlastní derivaci.
\end{definice}
\begin{pozn}
Z věty o limitě složené funkce dostaneme často používaný ekvivalentní zápis pro derivaci
$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
$$
\end{pozn}
\begin{veta}[Vztah derivace a spojitosti]
Nechť je funkce $f$ diferencovatelná v bodě $a$, pak je $f$ v bodě $a$ spojitá.
\end{veta}
\begin{veta}[Aritmetika derivací]
Nechť funkce $f$, $g$ jsou diferencovatelné v bodě $a$, nechť $a \in D_\phi \cap D_\phi'$, kde $\phi = f \pm g$, resp. $f \cdot g$, resp. $\frac{f}{g}$. Pak platí
\begin{enumerate}
\item $\left( f \pm g \right)' (a) = f'(a) \pm g'(a)$,
\item $(f \cdot g)' (a) = f'(a) \, g(a) \, + \, f(a) \, g'(a)$,
\item $\left( \frac{f}{g} \right)' (a) = \frac{f'(a) \, g(a) \, - \, f(a) \, g'(a)}{g^2(a)}$.
\end{enumerate}
\end{veta}
\begin{veta}[Derivace složené funkce]
Nechť funkce $\phi$ je diferencovatelná v bodě $a$, funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$ a $a \in D_{f \circ g}'$. Pak $f \circ g$ je diferencovatelná v bodě $a$ a platí
$$
\left( f \circ g \right)' (a) = f' \left( g(a) \right) \cdot g'(a).
$$
\end{veta}
\begin{veta}[Derivace inverzní funkce]
Nechť je funkce $f$ spojitá a prostá na otevřeném intervalu $J$ a diferencovatelná v bodě $x_0 \in J$, kde $f'(x_0) \not= 0$. Pak inverzní funkce $f_J^{-1}$ je diferencovatelná v bodě $y_0 = f(x_0)$ a platí, že
$$
\left( f_J^{-1} \right)' (y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}.
$$
\end{veta}
\begin{veta}[Darbouxova]
Nechť je $f$ spojitá v bodě $a$ zprava a diferencovatelná na nějakém $H_a^+$. Pak platí, že
$$
f'_+ (a) = \lim_{x \to a^+} f'(x),
$$
pokud limita napravo existuje.
\end{veta}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c||c|l|}
\hline
Funkce & Derivace & Definiční obor \\ \hline \hline
$x^{\alpha}$ & $\alpha \, x^{\alpha-1}$ & $\forall \alpha \in \R, \, x>0$ \\
$e^x$ & $e^x$ & $\forall x \in \R$ \\
$a^x$ & $a^x \, \ln(a)$ & $\forall a>0, \, x \in \R$ \\
$\ln(x)$ & $\frac{1}{x}$ & $\forall x>0$ \\
$\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\forall x \in \R$ \\
$\cos(x)$ & $-\sin(x)$ & $\forall x \in \R$\\
$\tan(x)$ & $\frac{1}{\cos^2(x)}$ & $\forall x \in \R, \, x \not=\frac{\pi}{2} + k \, \pi, \, k \in \Z$ \\
$\cot(x)$ & $-\frac{1}{\sin^2(x)}$ & $\forall x \in \R, \, x \not= k \, \pi, \, k \in \Z$ \\
$\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ & $\forall x \in \R$ \\
$\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\forall x \in \R$ \\
$\tanh(x)$ & $\frac{1}{\cosh^2(x)}$ & $\forall x \in \R$ \\
$\coth(x)$ & $-\frac{1}{\sinh^2(x)}$ & $\forall x \in \R-\{0\}$\\
$\arcsin(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $\forall x\in (-1,1)$ \\
$\arccos(x)$ & $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $\forall x \in (-1,1)$ \\
$\arctan(x)$ & $\frac{1}{1+x^2}$ & $\forall x \in \R$ \\
$\text{\textup{arc}}\cot(x)$ & $-\frac{1}{1+x^2}$ & $\forall x \in \R$ \\
$\arg\sinh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ & $\forall x \in \R$ \\
$\arg\cosh(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $\forall x > 1$ \\
$\arg\tanh(x)$ & $\frac{1}{1-x^2}$ & $\forall x \in (-1,1)$ \\
$\arg\coth(x)$ & $\frac{1}{1-x^2}$ & $\forall x \in \R-\langle-1,1\rangle$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Tabulka derivací základních funkcí}
\end{table}
\subsubsection{Lokální extrémy}
\begin{definice}[Lokální extrém]
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a$ lokální maximum, resp. minimum právě tehdy, když $\exists H_a \subset D_f$ tak, že $\forall x \in H_a$ platí $f(x) \leq f(a)$, resp. $f(x) \geq f(a)$. Společný název pro lokální maximum a minimum je lokální extrém. Dále řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a$ ostré lokální maximum, resp. minimum právě tehdy, když $\exists H_a \subset D_f$ tak, že $\forall x \in H_a - \{ a \}$ platí $f(x) < f(a)$, resp. $f(x) > f(a)$.
\end{definice}
\begin{veta}[Nutná podmínka pro lokální extrém]
Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ lokální extrém. Pak $f'(a) = 0$ nebo $f'(a)$ neexistuje.
\end{veta}
\begin{veta}[Postačující podmínka pro lokální extrém]
Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ a existuje $H_a^{\pm}$ tak, že $f$ je (ostře) rostoucí, resp. klesající v $H_a^-$ a $f$ je (ostře) klesající, resp. rostoucí v $H_a^+$. Pak $f$ má v bodě $a$ (ostré) lokální maximum, resp. minimum.
\end{veta}
\begin{veta}[O druhu extrému]
Nechť existuje $H_a$ tak, že je $f$ na $H_a$ diferencovatelná. Nechť $f'(a) = 0$ a $f''(a) > 0$, resp. $f''(a) < 0$. Pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum, resp. maximum.
\end{veta}
\begin{veta}[Vztah znaménka derivace a monotonie]
Nechť $f$ je spojitá na intervalu $I$. Nechť má $f$ derivaci v každém bodě $I^0$. Pak pro $\forall x \in I^0$
\begin{itemize}
\item $f'(x) \geq 0$ právě tehdy, když $f$ je na $I$ rostoucí,
\item $f'(x) \leq 0$ právě tehdy, když $f$ je na $I$ klesající,
\item $f'(x) = 0$ právě tehdy, když $f$ je na $I$ konstantní,
\item pokud $f'(x) > 0$, pak $f$ je na $I$ ostře rostoucí,
\item pokud $f'(x) < 0$, pak $f$ je na $I$ ostře klesající.
\end{itemize}
\end{veta}
\begin{pozn}
První tři body v předchozí větě fungují tedy jako postačující i nutná podmínka, poslední dva body představují jen postačující podmínku. Příkladem budiž $f(x) = x^3$, jejíž derivace není v bodě $0$ kladná (opravdu tedy nefunguje směr zpět).
\end{pozn}
\subsubsection{Konvexnost, konkávnost}
\begin{definice}[Konvexnost a konkávnost]
Řekneme, že funkce $f$ je na intervalu $J \subset D_f$ konvexní, resp. konkávní, pokud pro $\forall x_1, x_2, x_3 \in J$, kde $x_1 < x_2 < x_3$, platí, že
$$
f(x_2) \leq \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3-x_1} \, (x_2-x_1) + f(x_1),
$$
resp.
$$
f(x_2) \geq \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3-x_1} \, (x_2-x_1) + f(x_1).
$$
V případě ostrých nerovností mluvíme o ostré či ryzí konvexnosti, resp. konkávnosti.
\end{definice}
\begin{pozn}
Předchozí definice říká, že bod $[x_2, f(x_2)]$ musí ležet pod, resp. nad úsečkou spojující body $[x_1, f(x_1)]$ a $[x_3, f(x_3)]$ (nebo na ní v případě neostré nerovnosti).
\end{pozn}
\begin{veta}[Postačující podmínka pro konvexnost, resp. konkávnost]
Nechť $f$ je spojitá na intervalu $I$ a diferencovatelná na intervalu $I^0$. Pak je-li $f'$ (ostře) rostoucí, resp. klesající na $I^0$, je $f$ (ryze) konvexní, resp. konkávní na $I$.
\end{veta}
\begin{dusledek}
Nechť $f$ je spojitá na $I$ a pro $\forall x \in I^0$ platí, že $f''(x) \geq 0$, resp. $f''(x) \leq 0$. Pak je $f$ na $I$ konvexní, resp. konkávní. Platí-li ostré nerovnosti, mluvíme o ryzí konvexnosti či konkávnosti.
\end{dusledek}
\begin{definice}[Inflexní bod]
Říkáme, že funkce $f$ má v bodě $a$ inflexi (inflexní bod) právě tehdy, když je diferencovatelná v bodě $a$ a platí následující
$$
\left( \exists H_a \right) \left( \forall x \in H_a \right) \left( x<a \Rightarrow f(x)\lessgtr f(a) + f'(a) (x-a) \right) \wedge
$$
$$
\wedge \left( x>a \Rightarrow f(x) \gtrless f(a) + f'(a) (x-a) \right).
$$
\end{definice}
\begin{veta}[Nutná podmínka pro inflexní bod]
Nechť $f$ má inflexi v bodě $a$ a je na libovolném okolí $H_a$ diferencovatelná. Pak $f''(a) = 0$ nebo $f''(a)$ neexistuje.
\end{veta}
\begin{veta}[Postačující podmínka pro inflexní bod]
Nechť existuje $H_a$ tak, že $f''$ je konečná na $H_a$, nechť $f''(a)=0$ a $f'''(a) \not= 0$. Pak $f$ má v bodě $a$ inflexní bod.
\end{veta}
\subsubsection{Tečna}
\begin{definice}[Tečna]
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a$ tečnu
\begin{itemize}
\item o rovnici $x=a$, je-li $f$ spojitá v bodě $a$ a $f'(a) = \pm \infty$;
\item o rovnici $y=f(a) + f'(a) (x-a)$, je-li $f$ diferencovatelná v bodě $a$.
\end{itemize}
Bodu $[a, f(a)]$ říkáme bod dotyku.
\end{definice}
\subsubsection{Asymptoty}
\begin{definice}[Asymptota]
\begin{itemize}
\item Přímku o rovnici $y=kx+q$, kde $k,q \in \R$, nazveme asymptotou funkce $f$ v bodě $\pm \infty$, pokud
$$
\lim_{x \to \pm \infty} \left( f(x)-(kx+q) \right) = 0.
$$
\item Buď $a \in D'_f$. Přímku o rovnici $x = a$ nazveme svislou asymptotou funkce $f$ v bodě $a$, pokud existuje alespoň jedna z limit $\lim_{a^+} f$ nebo $\lim_{a^-} f$ a je rovna $\pm \infty$.
\end{itemize}
\end{definice}
\begin{veta}[Lineární a absolutní člen asymptoty]
Funkce $f$ má v bodě $\pm \infty$ asymptotu o rovnici $y=kx+q$ právě tehdy, když
$$
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = k \in \R
$$
a
$$
\lim_{x \to \pm \infty} \left( f(x) - kx \right) = q \in \R.
$$
\end{veta}
\subsubsection{Vyšetřování průběhu funkce}
Vyšetřit průběh funkce zejména obnáší nalézt:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor, obor hodnot,
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty (např. limity v nekonečnech),
\item případnou sudost, lichost, periodicitu,
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti,
\item existenci asymptot (svislých i těch v nekonečnech),
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy,
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body,
\item nakreslit graf funkce.
\end{itemize}
