Součásti dokumentu MAN1priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{MAN1priklady}
\setcounter{section}{12}
\section{Třináctý týden}
%(verze \today)
\tagged{review}{
\textbf{Revize:}
\begin{itemize}
\item podal: TS
\item datum:
\item zkontroloval:
\item poznámky:
\end{itemize}
}
%průbehy funkcí, slovní úlohy, další úlohy
% Průběhy funkcí
%==============================
%Další úlohy
%\subsection{Rolleova a Lagrangeova věta}
%\begin{pr}\label{pr:rolle}
% Na příkladu funkce $f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}$ na intervalu $\langle -1,1\rangle$ demonstrujte, že požadavek konečné derivace na celém otevřeném intervalu nelze v Rolleově větě obecně vypustit.
% \tagged{teach}{
%\begin{figure}[t]\caption{Graf funkce z příkladu \ref{pr:rolle}.}
% \begin{center}
% \includegraphics[width=8cm]{sbirkaMatej/pic/tyden13_7.png}
% \end{center}
%\end{figure}
%}
%\end{pr}
%\begin{pr}
% Dokažte, že jsou-li všechny kořeny polynomu $p_n$ stupně $n$ s reálnými koeficienty reálné, potom jsou reálné i všechny kořeny polynomů $p_n',p_n'',\ldots, p_n^{(n-1)}$.
% \tagged{teach}{\begin{res}Tvrzení zřejmě stačí ukázat pro první derivaci. Z rozkladu na kořenové činitele i slepý vidí, že $k$--násobný kořen $p_n$ je $(k-1)$--násobným kořenem $p_n'$. Vedle těchto kořenů má dle Rolleovy věty $p_n'$ ještě alespoň jeden kořen mezi libovolnými dvěma kořeny $p_n$. Jelikož celkový počet kořenů $p_n'$ (počítaje jejich násobnosti) je roven $(n-1)$, jsou tyto kořeny jednoduché a žádné další neexistují.\end{res}}
%\end{pr}
%\begin{pr}
% Dokažte, že všechny kořeny \textbf{Legendreova polynomu}
% $$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d x^n}\left((x^2-1)^n\right)$$
% jsou reálné a leží v intervalu $(-1,1)$. \tagged{teach}{\begin{res} Polynom $(x^2-1)^n$ má právě dva $n$--násobné kořeny $\pm 1$. Dále stačí použít řešení předchozí úlohy.\end{res}}
%\end{pr}
%\begin{pr}[!]
% Dokažte, že Rolleova věta platí i za slabších předpokladů. Jmenovitě, nechť $f$ má konečnou derivaci v každém bodě omezeného či neomezeného intervalu $(a,b)$ a $\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to b-}f(x)$. Potom existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f'(c)=0$.
% \tagged{teach}{\begin{res} Pokud je $(a,b)$ omezený a jednostranné limity v krajních bodech jsou konečné, potom stačí aplikovat standardní Rolleovu větu na spojité rozšíření funkce $f$. V ostatních případech zavedeme funkci $g$ předpisem $g(\arctg{x})=\arctg{(f(x))}$. $D_g=\arctg{(a,b)}$ je omezený interval a $g'(x)=0\Leftrightarrow f'(\tan{x})=0$. Takto problém převedeme na první případ.\end{res}}
%\end{pr}
%\begin{pr}
% Dokažte, že všechny kořeny \textbf{Hermiteova polynomu}
% $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{d x^n}\left(e^{-x^2}\right)$$
% jsou reálné. \tagged{teach}{\begin{res} Snadno ověříme, že $H_n$ je skutečně polynom stupně $n$. Dále $(H_n(x)=0\Leftrightarrow (e^{-x^2})^{(n)}=0)$ a $\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=0$. Dle Rolleovy věty tedy existuje $c\in\R$ tak, že $H_1(c)=0$. Kořeny $H_2$ získáme aplikací Rolleovy věty na intervalech $(-\infty,c)$ a $(c,\infty)$, adt.\end{res}}
%\end{pr}
%======================================================
\subsection{Konkávnost a konvexnost}
\begin{pr}
Dokažte, že následující definice konvexnosti funkce $f$ na intervalu $I$ jsou ekvivalentní.
\begin{enumerate}
\item $(\forall x_1, x_2, x_3 \in I, x_1 < x_2 < x_3) ( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1} )$
\item $(\forall \lambda \in \left\langle 0, 1 \right\rangle ) (\forall x, y \in I) ( f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y) )$
\item $(\forall x_1, \ldots , x_n \in I) (\forall \lambda_1 , \ldots \lambda_n \in \left\langle 0, 1 \right\rangle, \sum_{k=1}^n \lambda_k = 1 ) ( f \left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \lambda_k f ( x_k ) )$
\end{enumerate}
Obdobné ekvivalence lze dokázat i pro konkávnost.
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Dokážeme sérii implikací:
\begin{itemize}
\item $ii \Leftrightarrow i$:
Položme
\begin{align*}
x_1 &= x \\
x_2 &= \lambda x + (1-\lambda)y \\
x_3 &= y
\end{align*}
Tedy $\lambda = \frac{x_2 - x_3}{x_1-x_3}$ a $1-\lambda = \frac{x_1-x_2}{x_1-x_3}$. Pak platí serie ekvivalencí:
\begin{align*}
ii. &\Leftrightarrow f(x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_3) \\
&\Leftrightarrow
f(x_2) \leq \frac{x_2 - x_3}{x_1-x_3} f(x_1) + \frac{x_1-x_2}{x_1-x_3}f(x_3) \\
&\Leftrightarrow
(x_3-x_1)f(x_2) \leq (x_3 - x_2) f(x_1 + (x_2 - x_1)f(x_3) \\
&\Leftrightarrow
(x_3-x_1)f(x_2) \leq (x_3 \textcolor{red}{-x_1+x_1}- x_2) f(x_1 + (x_2 - x_1)f(x_3) \\
&\Leftrightarrow
(x_3 -x_1)f(x_2) - (x_3-x_1)f(x_1) \leq (x_1-x_2)f(x_1) + (x_2-x_1)f(x_3) \\
&\Leftrightarrow
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \leq \frac{f(x_3)-f(x_1) }{x_3-x_1} \\
&\Leftrightarrow
i.
\end{align*}
\item $iii. \implies ii.$ : zřejmě, pouze stačí vzít $n = 2$.
\item $ii. \implies iii.$ : dokážeme indukcí na $n$. Pro $n = 1,2$ implikace jistě platí jistě platí. Pak
\begin{align*}
f\left( \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \right)
&= f\left(\lambda_{n+1}x_{n+1} + (1-\lambda_{n+1})\sum_{k=1}^{n} \frac{\lambda_k x_k}{1-\lambda_{n+1}} \right) \\
&\overset{ii.}{\leq} \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) + (1-\lambda_{n+1})f\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{\lambda_k x_k}{1-\lambda_{n+1}} \right) \\
&\overset{IP}{\leq} \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) + (1-\lambda_{n+1})\sum_{k=1}^{n} \frac{\lambda_k}{1-\lambda_{n+1}}f\left(x_k \right) \\
&= \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k f\left(x_k \right),
\end{align*}
kde v první nerovnost jsme využili $ii.$ a v druhé nerovnosti indukční předpoklad.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
S využitím konvexnosti nebo konkávnosti dokažte, že pro všechna kladná čísla $x_1, \ldots , x_n$, kde $n \in \N$, platí
$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \leq \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k^2}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Využije funkci $f(x) = x^2$. Tato funkce je jistě konvexní na $\R$ a platí pro ni tedy $iii.$ vlastnost z minulého příkladu. Pokud definujeme $\lambda_k = \frac{1}{n}$ pro $k\in \widehat{n}$ dostáváme
\begin{align*}
\left(\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k\right)^2
= \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} x_k \right)^2
\overset{iii.}{\leq} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} x_k^2
= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k^2.
\end{align*}
Odmocněním již získáváme hledanou nerovnost.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
S využitím konvexnosti nebo konkávnosti dokažte, že pro všechna kladná čísla $x_1, \ldots , x_n$, kde $n \in \N$, platí
$$\sqrt[n]{x_1 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{1}{n} (x_1 + \ldots + x_n).$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Využijeme funkci $f(x) = \ln x$. Tato funkce je konkávní na $(0,+\infty)$ a platí pro ti tedy nerovnost
$$
\ln\left(\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \geq \sum_{k=1}^n \lambda_k \ln(x_k),
$$
kde $\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1$. Opět definujeme $\lambda_k = \frac{1}{n}$ pro $k\in \widehat{n}$. Pak s využitím vlastností logaritmů dostáváme
$$
\ln\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\ x_k \right) \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \ln x_k
= \sum_{k=1}^n \ln x_k^\frac{1}{n} = \ln \left( \prod_{k=1}^n x_k^\frac{1}{n} \right).
$$
Jelikož logaritmus je rostoucí funkce, je předcházející nerovnost ekvivalentní s
$$
\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\ x_k \geq \prod_{k=1}^n x_k^\frac{1}{n},
$$
což je již hledaná nerovnost.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Nalezněte maximální intervaly, na kterých je následující funkce (ryze) konvexní/konkávní:
$$f(x) = e^{-x^2}.$$
\tagged{teach}{
\begin{res}
ryze konvexní na $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$ a na $\langle\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$, ryze konkávní na $\langle-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$
\end{res}
}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Definiční obor funkce je $D_f = \R$. Pro $x\in D_f$ platí
\begin{align*}
f^\prime (x) &= -2x e^{-x^2}, \\
f^{\prime\prime}(x) &= 2e^{-x^2}\left( 2x^2 -1 \right) = 2e^{-x^2}\left(\sqrt{2}x-1 \right)\left(\sqrt{2}x-1\right).
\end{align*}
Pozorujeme, že máme dva inflexní body: $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ a $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Jelikož $f^{\prime\prime}(x) >0$ pro $x \in (-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$ je funkce na ryze konvexní na $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$ a na $\langle\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$. Na intervalu $\langle -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$ je funkce ryze konkávní.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Nalezněte maximální intervaly, na kterých je následující funkce (ryze) konvexní/konkávní:
$$f(x) = x\sin (\ln x).$$
\tagged{teach}{
\begin{res}
ryze konvexní na $\langle e^{\frac{-3\pi}{4}+2k\pi},
e^{\frac{-\pi}{4}+2k\pi}\rangle$, ryze konkávní na $\langle e^{\frac{-\pi}{4}+2k\pi},
e^{\frac{5\pi}{4}+2k\pi} \rangle$
pro $k\in \Z$
\end{res}
}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Definiční obor funkce je $D_f = \R^+$. Pro $x\in D_f$ platí
\begin{align*}
f^\prime (x) &= \sin (\ln x) + \cos(\ln x), \\
f^{\prime\prime}(x) &= \frac{\cos(\ln x) - \sin(\ln x)}{x} = \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{\cos\left( \ln x + \frac{\pi}{4} \right) }{x}.
\end{align*}
Jmenovatel je vždy kladný, o znaménku druhé derivace tedy rozhodne čitatel. Funkce bude ryze konvexní pokud
\begin{align*}
\ln x + \frac{\pi}{4} \in \langle -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rangle
\end{align*}
tedy pro $x \in \langle e^{\frac{-3\pi}{4}+2k\pi},
e^{\frac{-\pi}{4}+2k\pi}\rangle$, $k\in \Z$. Na intervalech $\langle e^{\frac{-\pi}{4}+2k\pi},
e^{\frac{5\pi}{4}+2k\pi} \rangle$ je funkce ryze konkávní.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Nalezněte maximální intervaly, na kterých je následující funkce (ryze) konvexní/konkávní:
$$f(x) = \arcsin |x|.$$
\tagged{teach}{
\begin{res}
ryze konvexní na $\langle -1,1\rangle$
\end{res}
}
\tagged{complete}{
Definiční obor funkce je roven $D_f = \langle-1,1\rangle$. Jelikož funkce $f$ je sudá funkce, stačí vyšetřit na intervalu $(0,1)$. Pro $x \in (0,1)$ platí
\begin{align*}
f^\prime (x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
f^{\prime\prime} (x) &= \frac{x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}.
\end{align*}
Tedy $f^{\prime \prime} (x) > 0$ na $(0,1)$ z čehož plyne, že $f$ je ryze konvexní na $\langle0,1\rangle$. Ze sudosti můžeme říci, že $f$ je ryze konvexní na $\langle-1,1\rangle$.
}
\end{pr}
%=============================================
\subsection{Důkazy nerovností}
\begin{pr}
Dokažte nerovnosti
$$\frac{2}{\pi}x<\sin{x}<x<\tg{x}$$
pro $x\in(0,\pi/2)$. %\tagged{teach}{{\color{fuchsia}(Nápověda: Načrtněte grafy funkcí v první nerovnosti.)}}
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Postupně ukážeme tři nerovnosti.
\begin{itemize}
\item Nejprve ukážeme, že $\sin x < x$ pro daná $x$. Definujme funkci $h(x) = \sin x -x $. Pokud ukážeme, že $h(x) < 0$, je druhá nerovnost dokázána. Pro daná $x$ platí
$$
h^\prime (x) = \cos x - 1 < 0.
$$
Funkce $h(x)$ je tedy ostře klesající. Zároveň $h(0) = 0$. Celkově tedy pro daná $x$ platí
$$
h(x) < 0 \Leftrightarrow \sin x < x.
$$
\item Obdobně ukážeme, že $x < \tg x$. Definujme funkci $s(x) = x - \tg x$. Pak pro daná $x$ platí
$$
s^\prime(x) = \frac{-\sin^2 x}{\cos^2 x} <0.
$$
Funkce $s$ je ostře klesající a opět platí $s(0) = 0$. Celkově jsme zjistili $s(x) < 0 \Leftrightarrow x < \tg x$, což je dokazovaná nerovnost.
\item Zbývá dokázat první nerovnost. Jedna možnost je nakreslit grafy funkcí. Tyto funkce mají průsečíky v bodech $[0,0]$ a $[1,1]$. A jelikož funkce $\sin x $ je na daném intervalu ryze konkávní, musí platit $\sin x > \frac{2}{\pi} x$. Druhá možnost je opět přes diferenciální počet. Definujme funkci $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Pro její derivaci platí
$$
f^\prime(x) = \frac{g(x)}{x^2},
$$
kde $g(x) = x\cos x - \sin x$. Jelikož $g^\prime(x) = -x \sin x < 0$ pro $x \in (0,\frac{\pi}{2})$, je funkce $g(x)$ ostře klesající a zároveň $g(0) = 0$. Proto $g(x) < 0$ pro $x \in (0,\frac{\pi}{2})$. Jelikož $g(x) <0$ je i $f' < 0$ a tedy i funkce $f$ je klesající. Pak pro $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ získáváme
$$
\frac{\sin x}{x} = f(x) \geq f(\pi/2) = \frac{2}{\pi}.
$$
Nyní již stačí vynásobit tuto nerovnost nenulovým $x$ a máme hledanou nerovnost.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%\begin{pr}
% Dokažte nerovnost
% $$1+x<e^x$$
% pro $x\neq 0$.
% (Pozn: Jedná se o optimální lineární odhad na okolí bodu $x=0$, neboť $e^x=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^{N}x^n/(n!)$.)
%\end{pr}
\begin{pr}
Dokažte nerovnost
$$x-\frac{x^3}{6}<\sin{x}$$
pro $x>0$. (Pozn: jedná se o optimální odhad polynomem nejvýše třetího stupně na kladné poloose, neboť $\sin{x}=\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=0}^{N}(-1)^nx^{2n+1}/((2n+1)!)$.)
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Definujme $f(x) = x-\frac{x^3}{6} -\sin{x} $. Ukážeme, že $f(x) <0$ pro daná $x$. Pro derivaci $f$ platí
$$f^\prime(x) = 1 - \frac{x^2}{2} - \cos x,$$
Chtěli bychom ukázat, že $f^\prime (x) < 0$. To opět ukážeme přes diferenciální počet. Pro druhou derivaci platí
$$
f^{\prime \prime}(x) = -x + \sin x < 0,
$$
kde nerovnost $\sin x < x$ máme k dispozici z minulého příkladu. Tedy funkce $f^\prime (x)$ je ostře klesající, zároveň $f^{\prime}(0) = 0$. Celkem tedy $f^\prime(x) <0$ na daném intervalu, tedy původní funkce $f(x)$ je také ostře klesající. Zároveň $f(0) = 0$, tedy opravdu platí $f(x) < 0$ pro daná $x$.
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr}
Dokažte nerovnost
$$2x < \sin x + \tg x,$$
pro $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Označme $f(x) = 2x - \sin x - \tg x$ a ukážeme, že $f(x) <0$. Pro daná $x$ platí
$$
f^\prime(x) = 2 - \cos x - \frac{1}{\cos^2 x}
= 2 - \left[ \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}\right] \overset{AG}{\geq} 2 -2\sqrt{\frac{1}{\cos x}} = 2\left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{\cos x}} \right] < 0,
$$
kde jsme využili AG nerovnost $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ab}$ platnou pro libovolná kladná čísla. Funkce $f(x)$ je tedy jistě klesající a $f(0) = 0$. Celkově tedy dostáváme, že $f(x) < 0$ pro $x \in (0,\frac{\pi}{2})$, což jsme chtěli ukázat.
\end{postup}
}
\end{pr}
%===============================================
\subsection{Průběhy funkcí}
\tagged{complete}{
\begin{pozn}
Vyšetřit průběh funkce zejména obnáší nalézt:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor, obor hodnot,
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty (např limity v nekonečnech),
\item případnou sudost, lichost, periodicitu,
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti,
\item existenci asymptot (svislých i těch v nekonečnech),
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy,
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body,
\item nakreslit graf funkce.
\end{itemize}
\end{pozn}
}
\begin{pr} \label{1}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=\frac{x^4}{(x+1)^3}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
Budeme postupovat dle seznamu na začátku sekce:
\begin{itemize}
\item definiční obor:
$D_f = \R \setminus \{-1\}$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Jelikož
\begin{align*}
x = 0 \implies f(x) = 0, \\
f(x) = 0 \implies x = 0,
\end{align*}
je jediný průsečík bod $[0.0]$. Pro limity v zajímavých bodech platí
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty} &= +\infty, \\
\lim_{x \to -\infty} &= -\infty, \\
\lim_{x \to -1+} &= +\infty, \\
\lim_{x \to -1-} &= -\infty. \\
\end{align*}
\item případnou sudost, lichost, periodicitu:
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru. V $x = -1$ je nespojitost druhého druhu.
\item existenci asymptot:
Existuje svislá asymptota $x = -1$. Pro klasické platí:
\begin{align*}
k_1 =\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{x(x+1)^3} = 1, \\
k_2 =\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4}{x(x+1)^3} = 1, \\
q_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{(x+1)^3} - x = -3, \\
q_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^4}{(x+1)^3} - x = -3. \\
\end{align*}
Existuje tedy jedna asymptota $y = x - 3$.
\item monotonii funkce, lokální extrémy:
Pro $x \in D_f$ platí
$$
f^\prime (x) = \frac{x^3(x+4)}{(x+1)^2}.
$$
Máme tedy dva podezřelé body z extrému $x = 0$ a $x = -4$. Jelikož $f^\prime(x) > 0$ pro $x<-4$, $f^\prime(x) < 0$ pro $x\in(-4,0)\setminus \{-1\}$, $f^\prime(x) > 0$ pro $x>0$. Funkce tedy ostře roste na $(-\infty,-4)$, klesá na $(-4,-1)$, klesá na $(-1,0)$ a opět roste na $(0,+\infty)$. Tedy v bodě $-4$ je ostré lokální maximum $f(-4) = -\frac{256}{27}$. V $x=0$ je ostré lokální minimum $f(0) = 0$.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in D_f$ platí:
$$
f^{\prime\prime}(x) = 12 \frac{x^2}{(x+1)^5}-$$
Pak $f^{\prime\prime}(x) > 0$ pro $x>-1$ a $f^{\prime\prime}(x) < 0$ pro $x <-1$. Funkce je tedy ryze konvexní na $\langle-1,+\infty)$ a ryze konkávní na $(-\infty,-1\rangle$.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 1-4}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%PG
\begin{pr}\label{2}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=(x-3)\sqrt{x}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$$
D_f = \R^+_0
$$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Platí
\begin{align*}
f(x)=0\Leftrightarrow x=0 \lor x = 3, \\
x = 0 \Rightarrow f(x)=0.
\end{align*}
Průsečíky s osami tedy jsou $[0,0]$ (bod dotyku) a $[3,0]$. Pro limitu v plus nekonečnu platí $\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$.
\item sudost, lichost, periodicita:
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech $D_f$.
\item existence asymptot
Svislá asymptota neexistuje, v $+\infty$ máme
$$
k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty \notin \R.
$$
Funkce tedy nemá žádnou asymptotu.
\item monotonie funkce, lokální extrémy:
Protože $f(x) = x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}$, pak pro $x > 0$ platí
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}}
= \frac{3}{2} \frac{x - 1}{\sqrt{x}}
\end{align*}
Z Darbouxovy věty získáme, že $f'(0) = -\infty$. Jediný podezřelý bod z extrému tedy je $x = 1$. Zároveň $f'(x)<0$ pro $x\in(0,1)$, $f$ je tedy na $\langle 0, 1 \rangle$ ostře klesající. Naopak $f'(x)>0$ pro $x\in(1,+\infty)$, a $f$ je na $\langle 1,+\infty )$ ostře rostoucí.
Podezřelý bod z extrému $x = 1$ je tedy ostré lokální minimum.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x>0$ platí
\begin{align*}
f''(x) &= \frac{3}{2}\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} +\frac{1}{x^{2/3}}\right)
\end{align*}
Funkce je na $\langle 0,+\infty)$ ryze konvexní.
\item obor hodnot:
Z výpočtů plyne, že $H_f=\langle f(1) , +\infty )=\langle -2 , +\infty )$
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 1-4}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%PG
\begin{pr}\label{3}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=\frac{|1+x|^{3/2}}{\sqrt{x}}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$$
D_f = \R^+ = (0,+\infty)
$$
Pozorujeme, že můžeme psát $f(x)=\frac{(1+x)^{3/2}}{\sqrt{x}}.$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Platí
\begin{align*}
f(x)=0 \Leftrightarrow x=-1 \notin D_f, \\
x = 0 \notin D_f.
\end{align*}
Funkce nemá průsečík s žádnou osou. Pro limity v zajímavých bodech platí
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty} = +\infty, \\
\lim_{x \to 0+} = + \infty.
\end{align*}
\item sudost, lichost, periodicita: \\
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti \\
Funkce je spojitá ve všech bodech $D_f$
\item existence asymptot:
Existuje svislá asymptota $x = 0$. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \in \R \\
q &= \lim_{x \to +\infty} (f(x)- 1\cdot x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(1+x)^{3/2} - x^{3/2}}{x^{1/2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(1+x)^{3} - x^{3}}{x^{1/2} ((1+x)^{3/2} + x^{3/2})} \\
&=\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^3 + 3x^2 + 3x -x^3}{x^{1/2} ((1+x)^{3/2} + x^{3/2})} = \frac{3}{2}.
\end{align*}
Funkce tedy má asymptotu v $+\infty$ o rovnici $y(x) = x + \frac{3}{2}$.
\item monotonie funkce, lokální extrémy:
Pro $x > 0$ platí
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{(2x-1)\sqrt{1+x}}{x^{3/2}}.
\end{align*}
Jediný podezřelý bod z extrému je $x = \frac{1}{2}$. Zároveń pozorujeme, že $f'(x)<0$ pro $x\in(0,\frac{1}{2})$ a $f$ je na $( 0, \frac{1}{2} \rangle$ ostře klesající,$f'(x)>0$ pro $x\in(\frac{1}{2},+\infty)$ a tedy $f$ je na $\langle \frac{1}{2},+\infty )$ ostře rostoucí. Z výše uvedeného (monotonie) plyne, že $x = \frac{1}{2}$ je bodem ostrého lokálního minima.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x>0$ platí
\begin{align*}
f''(x) = \frac{3}{4x^{5/2}\sqrt{1+x}}.
\end{align*}
Funkce je tedy na $( 0,+\infty)$ ryze konvexní. Inflexní body na tomto intervalu neexistují.
\item obor hodnot: z výpočtů plyne, že $H_f=\langle f(\frac{1}{2}) , +\infty )=\langle \frac{3\sqrt{3}}{2} , +\infty )$
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 1-4}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%PG
\begin{pr}\label{4}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=e^{-x}+x.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$ D_f = \R $
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Platí
\begin{align*}
f(x)&=0\Leftrightarrow x = -e^{-x} \Rightarrow x \not \in \R, \\
x &= 0 \Rightarrow f(x) = 1.
\end{align*}
Rovnice $e^{-x} = -x$ nemá řešení, jelikož $e^x > x$ pro všechna $x\in \R$. Funkce má průsečík s osou $y$ v bodě $[0,1]$. Pro limity v nekonečnech platí $\lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty$.
\item sudost, lichost, periodicita: \\
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti \\
Funkce je spojitá ve všech bodech $D_f$
\item existence asymptot:
Svislá asymptota neexistuje. Pro asymptoty v nekonečnech platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}}{x} + 1 = 1 \in \R \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} (f(x)- 1\cdot x) = 0, \\
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} = \frac{e^{-x}}{x} + 1 = +\infty \notin \R
\end{align*}
Funkce tedy má asymptotu v $+\infty$ danou rovnicí $y = x$.
\item monotonie funkce, lokální extrémy:
Pro $x \in D_f$ platí
$$
f'(x) = 1-e^{-x} = 0.
$$
Jediný podezřelý bod z extrému je $x = 0$. Zároveň $f'(x) <0$ pro $x\in(-\infty,0)$ a $f$ je tedy na $( -\infty, 0 \rangle$ ostře klesající. Dále $f'(x)>0$ pro $x\in(0,+\infty)$ a $f$ je na $\langle 0,+\infty )$ ostře rostoucí. Z výše uvedeného (monotonie) plyne, že $x = 0$ je bodem ostrého lokálního minima (dokonce globálního).
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x \in D_f$ platí
\begin{align*}
f''(x) = e^{-x}.
\end{align*}
Funkce je na celém $D_f$ ryze konvexní. Inflexní body na tomto intervalu neexistují.
\item obor hodnot: z výpočtů plyne, že $H_f=\langle f(0) , +\infty )=\langle 1 , +\infty )$.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 1-4}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%PG
\begin{pr} \label{5}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=x+\arctg{x}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$ D_f = \R $
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Platí
\begin{align*}
f(x)&=0 \implies x = 0, \\
x &= 0 \implies f(x) = 0.
\end{align*}
Funkce má průsečík s osou $y$ a osou $x$ v bodě $[0,0]$. Pro limity v nekonečnech platí
$$
\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty, \\
\lim_{x \to - \infty} f(x) = -\infty.
$$
\item sudost, lichost, periodicita: \\
Jelikož
$$
f(-x) = -x \arctg(-x) = - (x + \arctg x ) = -f(x),
$$
je funkce lichá.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech $D_f$.
\item existence asymptot
Svislá asymptota neexistuje. Pro asymptoty v nekonečnech platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} 1 + \frac{\arctg{x}}{x} = 1 \in \R \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} (f(x)- 1\cdot x) = \lim_{x \to +\infty}\arctg{x} = \frac{\pi}{2}\in \R \\
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} 1 + \frac{\arctg{x}}{x} = 1 \in \R \\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} (f(x)- 1\cdot x) = \lim_{x \to -\infty}\arctg{x} = -\frac{\pi}{2}\in \R
\end{align*}
Funkce má asymptotu $y(x) = x + \frac{\pi}{2}$ v $+\infty$ a $y(x) = x - \frac{\pi}{2}$ v $-\infty$.
\item monotonie funkce, lokální extrémy:
Pro $x \in D_f$ platí
$$
f'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2}.
$$
Pozorujeme, že $f'(x)>0$ pro $\forall x \in D_f$ a tedy $f$ je na celém $D_f$ ostře rostoucí. Funkce nemá žádný lokální extrém.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x \in D_f$ platí
\begin{align*}
f''(x) = -\frac{2x}{1+x^2}.
\end{align*}
Pozorujeme, že $f''(x) < 0$ pro $x > 0$ a tedy $f$ je na $\langle0,+\infty)$ ryze konkávní. Zároveň $f''(x) > 0$ pro $x < 0$ a tedy $f$ je na $(-\infty,0\rangle$ ryze konvexní.
Bod $x=0$ je inflexním bodem $f$.
\item obor hodnot: z výpočtů plyne, že $H_f=( -\infty, +\infty )$
\item nakreslit graf funkce: viz. Obrázek \ref{fig: 5-8}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{6}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$ D_f = \R^+ = (0,+\infty) $
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Platí
\begin{align*}
f(x)&=0 \implies x = 1, \\
x &= 0 \notin D_f.
\end{align*}
Funkce má průsečík s osou $x$ v bodě $[1,0]$. Pro limity v krajních bodech platí
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, \\
\lim_{x \to 0+} f(x) = -\infty.
$$
\item sudost, lichost, periodicita: \\
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti: \\
Funkce je spojitá ve všech bodech $D_f$.
\item existence asymptot:
Existuje svislá asymptota $x = 0$. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln{x}}{x^{3/2}} = 0 \in \R, \\
q &= \lim_{x \to +\infty} (f(x)- 0\cdot x) = \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}} = 0 \in \R.
\end{align*}
Funkce má asymptotu v$+\infty$ s předpisem $y(x) = 0$.
\item monotonie funkce, lokální extrémy:
Pro $x \in D_f$ platí
$$
f'(x) = \frac{2-\ln{x}}{2x^{3/2}}.
$$
Jediný podezřelý bod z extrému je $x = e^{2}$. Zároveň platí
\begin{itemize}
\item $f'(x)>0$ pro $x \in (0,e^2) \Rightarrow f$ je na $(0,e^2\rangle$ ostře rostoucí,
\item $f'(x)<0$ pro $x \in (e^2,+\infty)\Rightarrow f$ je na $\langle e^2,+\infty)$ ostře klesající.
\end{itemize}
Z výše uvedeného (monotonie) plyne, že $x = e^2$ je bodem ostrého lokálního maxima (dokonce globálního).
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x \in D_f$ platí
\begin{align*}
f''(x) = \frac{3\ln{x}-8}{4x^{5/2}}.
\end{align*}
Pozorujeme, že
\begin{itemize}
\item $f''(x) < 0$ pro $x \in (0,e^{\frac{8}{3}})\Rightarrow f$ je na $(0,e^{\frac{8}{3}}\rangle$ ryze konkávní,
\item $f''(x) > 0$ pro $x \in (e^{\frac{8}{3}},+\infty)\Rightarrow f$ je na $\langle e^{\frac{8}{3}}, +\infty )$ ryze konvexní.
\end{itemize}
Bod $x=e^{\frac{8}{3}}$ je inflexním bodem $f$.
\item obor hodnot: z výpočtů plyne, že $H_f=( -\infty, f(e^2)\rangle =( -\infty, \frac{2}{e}\rangle $
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 5-8}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{7}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+2}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f=\R$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Platí
\begin{align*}
x = 0 \implies f(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)+2}=0, \\
f(x) = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k \pi, k \in \Z.
\end{align*}
Průsečíky tedy jsou body $[k\pi,0]$ pro $k \in \Z$. Limity v $\pm \infty$ neexistují.
\item sudost, lichost, periodicita:
Sinus i cosinus jsou funkce periodické s periodou $2\pi$, funkce $f$ je tedy periodická s touto periodou. Při vyšetřování monotonie a konvexnosti se tedy stačí zaměřit na interval $\langle 0,2\pi\rangle$. Jelikož platí:
\begin{align*}
f(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)+2}=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)+2}=-f(x),
\end{align*}
je funkce lichá.
\item spojitost:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Funkce nemá svislé asymptoty a jelikož je periodická, nemá ani asymptoty v nekonečnech.
\item monotonie:
Pro $x\in \R$ platí
\begin{align*}
f'(x)&=\frac{\cos(x)\left(\cos(x)+2 \right)+\sin^2(x)}{\left(\cos(x)+2 \right)^2}=\frac{1+2\cos(x)}{\left(\cos(x)+2 \right)^2}.
\end{align*}
Podezřelý bod z extrému splňuje rovnici $\cos x = -\frac{1}{2}$, tj. body $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ a $x_2 = \frac{4\pi}{3}$. Zároveň
\begin{itemize}
\item $f'(x)>0$ pro $x \in (0,\frac{2\pi}{3})$ a $x \in (\frac{4\pi}{3},2\pi)$, tedy funkce $f$ je na těchto intervalech ostře rostoucí,
\item $f'(x) < 0$ pro $x \in (\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3})$ a $f$ je tedy na tomto intervalu ostře klesající.
\end{itemize}
Bod $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ je tedy ostré lokální maximum a bod $x_2 = \frac{4\pi}{3}$ je ostré lokální minimum.
\item konvexnost, konkávnost a inflexní body:
Pro $x\in \R$ platí
\begin{align*}
f''(x)&=\frac{-2\cos(x)\left(\cos(x)+2 \right)^2+2\left(\cos(x)+2 \right)\sin(x)\left(1+2\cos(x) \right)}{(\cos(x)+2)^4}\\
&=\frac{2\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)}{(\cos(x)+2)^3}=\frac{2\sin(x)\left(\cos(x)-1 \right)}{(\cos(x)+2)^3}.
\end{align*}
Pozorujeme, že $f''(x)$ je záporná na intervalu $(0,\pi)$ a kladná na intervalu $(\pi, 2\pi).$ Původní funkce f je tedy konvexní na $\langle \pi, 2\pi\rangle$ a konkávní $(\langle,\pi\rangle$.
\item Z výpočtu plyne $H_f = \langle f(\frac{4\pi}{3}), f(\frac{2\pi}{3}) \rangle = \langle -\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\rangle$.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 5-8}.
\end{itemize}
\end{postup} }
\end{pr}
\begin{pr} \label{8}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x)=|x^3-6x^2+11x-6|.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f=\R$
\item průsečíky s osami souřadnic a funkční hodnoty v zajímavých bodech:
Platí
\begin{align*}
x &= 0 \implies f(0)=6, \\
f(x) &= 0 \implies 0 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) \implies x \in \{1,2,3\}.
\end{align*}
Průsečíky tedy jsou body $[0,6]$, $[1,0]$, $[2,0]$ a $[3,0].$ Pro limity v nekonečnech platí $\lim_{x \to \pm \infty} = +\infty$.
\item sudost, lichost, periodicita
Funkce není periodická, ani sudá čí lichá.
\item spojitost
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Funkce nemá svislé asymptoty. Pro asymptoty v nekonečnech platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{|x^3-6x^2+11x-6|}{x}=+\infty
\end{align*}
Asymptota v $+\infty$ tedy neexistuje, ze stejných důvodů nebude existovat ani asymptota v $-\infty.$
\item monotonie:
Pro všechna x $\in \R \setminus \lbrace 1,2,3 \rbrace$ má derivace funkce f tvar
\begin{align*}
f'(x)=\sgn((x-1)(x-2)(x-3))(3x^2-12x+11),
\end{align*}
v inkriminovaných bodech $\lbrace 1,2,3 \rbrace$ derivace neexistuje. Body podezřelé z extrému jsou tedy $\lbrace 1,2-\frac{\sqrt{3}}{3},2, 2+\frac{\sqrt{3}}{3},3 \rbrace.$ Zároveň
\begin{itemize}
\item $f'(x)>0$ na intervalech $(1,2-\frac{\sqrt{3}}{3}),$ $(2,2+\frac{\sqrt{3}}{3})$ a $(3,+\infty)$. Původní funkce $f$ je tedy na těchto intervalech ostře rostoucí,
\item naopak na interval $(-\infty,1),$ $2-\frac{(\sqrt{3}}{3},2)$ a $(2+\frac{\sqrt{3}}{3},3)$ je $f'(x) <0$ a $f$ je zde tedy ostře klesající.
\end{itemize}
Z monotonie pozorume, že body $1,2,3$ jsou ostrá lokální minima a body $2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ jsou ostrá lokální maxima.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x \in D_f \smallsetminus \lbrace 1,2,3 \rbrace$ platí,
\begin{align*}
f''(x)=\text{sgn}((x-1)(x-2)(x-3))(6x-12).
\end{align*}
Pozorujeme, že $f''(x)$ je na intervalu $(-\infty,1)$ a na intervalu $(3,+\infty)$ kladná, tedy funkce $f$ je na těchto intervalech ryze konvexní, naopak
na intervalech $(1,2)$ a $(2,3)$ je $f ''(x)$ záporná a $f$ je tedy na tomto intervalu ryze konkávní.
\item Z výpočtů plyne $H_f = \R$
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 5-8}.
\end{itemize}
\end{postup}}
\end{pr}
\begin{pr} \label{9}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f=\R$
\item průsečíky s osami souřadnic a funkční hodnoty v zajímavých bodech:
Platí
\begin{align*}
x &= 0 \implies f(0)=-2, \\
f(x) &= 0 \implies x = 2.
\end{align*}
Funkce má tedy průsečíky $[2,0]$ a $[0,-2]$. Pro limity v nekonečnech platí $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm 1$.
\item sudost, lichost, periodicita
Funkce není periodická, ani sudá či lichá.
\item spojitost
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Funkce nemá svislé asymptoty. Pro asymptoty v nekonečnech platí
\begin{align*}
k_1&= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x\sqrt{x^2+1}}=0,\\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x)=1, \\
k_2&= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x\sqrt{x^2+1}}=0,\\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1.
\end{align*}
Funkce má tedy v $+\infty$ asymptotu $y = 1$ a v $-\infty$ asymptotu $y = -1$.
\item monotonie:
Pro $x\in \R$ platí
\begin{align*}
f'(x)&=\frac{\sqrt{x^2+1}-(x-2)\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1+2x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
\end{align*}
Jediný podezřelý bod z extrému je $x = \frac{-1}{2}$. Zároveň
\begin{itemize}
\item $f'(x)$ je na intervalu $(-\infty,-\frac{1}{2})$ záporná, tedy funkce $f$ je na intervalu $(-\infty,-\frac{1}{2}\rangle$ ostře klesající,
\item naopak na intervalu $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ je $f'(x)$ kladná a $f$ je tedy na intervalu $\langle-\frac{1}{2}, +\infty)$ ostře rostoucí.
\end{itemize}
Z monotonie pozorujeme, že bod $x = -\frac{1}{2}$ je ostré lokální minimum.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x\in \R$ platí
\begin{align*}
f''(x)&=\frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}-(1+2x)\frac{3}{2}(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+1)^3}=-\frac{4x^2+3x-2}{(x^2+1)^{\frac{5}{2}}}.
\end{align*}
Pozorujeme, že $f''(x)$ je na intervalu $(-\infty,\frac{-3-\sqrt{41}}{8})$ a na intervalu $(\frac{-3+\sqrt{41}}{8},+\infty)$ záporná, tedy funkce $f$ je na intervalech $(-\infty,\frac{-3-\sqrt{41}}{8}\rangle$ a $\langle\frac{-3+\sqrt{41}}{8},+\infty)$ ryze konkávní, naopak
na intervalu $(\frac{-3-\sqrt{41}}{8},\frac{-3+\sqrt{41}}{8})$ je $f''(x)$ kladná a $f$ je tedy na intervalu $\langle\frac{-3-\sqrt{41}}{8},\frac{-3+\sqrt{41}}{8}\rangle$ konvexní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 8-12}.
\end{itemize}
\end{postup} }
\end{pr}
\begin{pr} \label{10}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \frac{1}{1+x^2}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f=\R$
\item průsečíky s osami souřadnic:
Platí
\begin{align*}
x &= 0 \implies f(0)=1, \\
f(x) &= 0 \implies x \not \in \R,
\end{align*}
a tedy bod $[0,1]$ je jediný průsečík. Pro limity v nekonečnech platí $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$.
\item sudost, lichost, periodicita:
Jelikož
\begin{align*}
f(-x)=\frac{1}{1+x^2}=f(x),
\end{align*}
je funkce sudá.
\item spojitost
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Funkce nemá svislé asymptoty. Pro asymptoty v nekonečnech platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(1+x^2)}=0, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, \\
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x(1+x^2)}=0, \\
q_1 &= \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0. \\
\end{align*}
Dostáváme tedy stejnou asymptotu $y=0$.
\item monotonie:
Pro $x\in \R$ platí
\begin{align*}
f'(x)&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}.
\end{align*}
Jediný podezřelý bod z extrému je $x = 0$. Zároveň
\begin{itemize}
\item $f'(x)$ je na intervalu $(0,+\infty)$ záporná, tedy funkce $f$ je na $\langle0,+\infty)$ intervalu ostře klesající,
\item naopak na intervalu $(-\infty, 0)$ je $f'(x)$ kladná a $f$ je tedy na intervalu $(-\infty, 0\rangle$ ostře rostoucí.
\end{itemize}
Bod $x = 0$ je tedy ostré lokální maximum.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x \in \R$ platí
\begin{align*}
f''(x)&=\frac{-2(1+x^2)+8x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4}=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}.
\end{align*}
Pozorujeme, že $f''(x)$ je na intervalu $(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})$ a na intervalu $(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$ kladná, tedy funkce $f$ je na intervalech $(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3}\rangle$ a $\langle\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$ ryze konvexní. Naopak
na intervalu $(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$ je $f ''(x)$ záporná a $f$ je tedy na intervalu $\langle-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\rangle$ ryze konkávní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 8-12}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{11}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \frac{x^2 (x-1)}{(x+1)^2}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f=\R \smallsetminus \lbrace -1\rbrace$
\item průsečíky s osami souřadnic a limity v zajímavých bodech:
Platí
\begin{align*}
x &= 0 \implies f(0)=0, \\
f(x) &= 0 \implies x = 0 \vee x = 1.
\end{align*}
Tedy body $[0,0]$ a $[1,0]$ jsou průsečíky s osami. Zároveň pro limity platí
$$
\lim_{x \to \pm \infty} = \pm \infty, \lim{x \to -1\pm} = -\infty.
$$
\item sudost, lichost, periodicita:
Funkce nemá žádnou z uvedených vlastností.
\item spojitost:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru. Funkce je nespojitá v bodě $x=-1,$ jedná se o nespojitost druhého druhu.
\item asymptoty:
Existuje svislá asymptota $x = -1$. Pro asymptoty v nekonečnech dostáváme
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(x-1)}{x(x^2+1)}=1, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x)-x = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x^2-x}{(x+1)^2}=-3, \\
k_1 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(x-1)}{x(x^2+1)}=1, \\
q_1 &= \lim_{x \to -\infty} f(x)-x = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2-x}{(x+1)^2}=-3.
\end{align*}
Dostáváme tedy asymptotu ve tvaru $y=x-3$ u obou nekonečen.
\item monotonie:
Pro $x\in D_f$ platí
\begin{align*}
f'(x)=\frac{(3x^2-2x)(x^2+2x+1)-(x^3-x^2)(2x+2)}{(x+1)^4}=\frac{x(x^2+3x-2)}{(x+1)^3}.
\end{align*}
Podezřelé body z extrémů jsou $x \in \{0,-3\pm\sqrt{17}\}$. Pozorujeme
\begin{itemize}
\item $f'(x)$ je na intervalech $(\frac{-3-\sqrt{17}}{2},-1)$ a $(0,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$ záporná, tedy funkce $f$ je na intervalech $\langle\frac{-3-\sqrt{17}}{2},-1\rangle$ a $\langle0,\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\rangle$ ostře klesající,
\item naopak na intervalech $(-\infty, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}),$ $(-1,0)$ a $(\frac{-3+\sqrt{17}}{2},+\infty)$ je $f '(x)$ kladná a $f$ je tedy na intervalech $(-\infty, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\rangle,$ $\langle-1,0\rangle$ a $\langle\frac{-3+\sqrt{17}}{2},+\infty)$ ostře rostoucí.
\end{itemize}
Z monotonie plyne, že body $x = 0$ a $x =\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ jsou ostrá lokální maxima, bod $ x = \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ je ostré lokální minimum.
\item konvexnost, konkávnost, inflexní body:
Pro $x \in D_f$ platí
\begin{align*}
f''(x)=\frac{(3x^2+6x-2)(x+1)^3-3(x^3+3x^2-2x)(x+1)^2}{(x+1)^6}=\frac{2(5x-1)}{(x+1)^4}.
\end{align*}
Pozorujeme, že $f''(x)$ je na intervalu $(\frac{1}{5},+\infty)$ kladná, tedy funkce $f$ je na intervalu $\langle\frac{1}{5},+\infty)$ ryze konvexní, naopak na intervalech $(-\infty,-1)$ a $(-1,\frac{1}{5})$ je $f ''(x)$ záporná a $f$ je tedy na intervalech $(-\infty,-1\rangle$ a $\langle-1,\frac{1}{5}\rangle$ ryze konkávní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 8-12}.
\end{itemize}
\end{postup} }
\end{pr}
%TS
\begin{pr} \label{12}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \arccos \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right).$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor
$$
\left|\frac{1-x^2}{1+x^2}\right| \leq 1 \Leftrightarrow (1-x^2)^2 \leq (1-x^2)^2 \Leftrightarrow x \in \R.
$$
Definiční obor $D_f$ jsou tedy všechna reálná čísla.
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
$$
f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1-x^2}{1+x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 0
$$
Máme tedy pouze jeden průsečík v počátku $[0,0]$. Pro limitu v $\pm\infty$ platí $\lim_{x to \pm \infty} f(x) = \pi$.
\item případnou sudost, lichost, periodicitu:
Jelikož $f(-x) = f(x)$ je funkce je sudá, budeme tedy vyšetřovat pouze na $\langle 0,+\infty)$.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech svého definičního oboru
\item existenci asymptot (svislých i těch v nekonečnech),
Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\arccos\left(\frac{\frac{1}{x^2} - 1}{\frac{1}{x^2} + 1} \right) }{x} = 0, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) = \pi. \\
\end{align*}
Funkce má tedy v $+\infty$ asymptotu $y = \pi$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x > 0$ platí
\begin{align*}
f'(x) &= -\frac{1}{\sqrt{1- \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^2}}\frac{-2x(1+x^2) - (1-x^2)2x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=- \frac{1}{ \sqrt{ \frac{4x^2}{\left(1+x^2\right)^2} } } \frac{-4x}{(1+x^2)^2}
= \frac{2}{1+x^2}.
\end{align*}
Funkce je tedy na $\langle 0,+\infty)$ ostře rostoucí. Jediným podezřelým bodem z extrému je bod $x = 0$, jelikož v tomto bodě derivace neexistuje (pro $x<0 $ je $f'(x) = -\frac{2}{1+x^2}$) díky Daurboxově větě. V tomto bodě je tedy ostré lokální minimum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x>0$ platí
\begin{align*}
f''(x) = - \frac{2}{(1+x^2)^2}2x = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}.
\end{align*}
Na intervalu $\langle 0,+\infty)$ je tedy funkce ryze konkávní. Inflexní body na tomto intervalu neexistují.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 8-12}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{13}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = |x+2| e^{-\frac{1}{x}} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor
$D_f = \R \setminus \{0\}$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Průsečík s osou $y$ není, s osou $x$ je průsečík $[-2,0]$. Limity v zajímavých bodech:
\begin{align*}
\lim_{x \to 0+} f(x) &= 0, \\
\lim_{x \to 0-} f(x) &= +\infty.
\end{align*}
\item případnou sudost, lichost, periodicitu:
Funkce nemá žádnou s těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru. Funkce je nespojitá v bodě $x = 0$ (2. druhu).
\item existenci asymptot:
Existuje svislá asymptota $x = 0$. Pro asymptoty v nekonečnech platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}}} = 1, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - x = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1-e^{\frac{1}{x}}) + 2}{e^{\frac{1}{x}}} = \lim_{x \to +\infty} - x \underbrace{\frac{(e^{\frac{1}{x}} -1 )}{\frac{1}{x}}}_{\to 1} \frac{1}{x} + \frac{2}{e^{\frac{1}{x}}} = -1 + 2 = 1, \\
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} -\frac{1+\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}}} = -1, \\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} f(x) + x = \lim_{x \to -\infty} -\frac{x(1-e^{\frac{1}{x}}) + 2}{e^{\frac{1}{x}}} = \lim_{x \to -\infty} + x \underbrace{\frac{(e^{\frac{1}{x}} -1 )}{\frac{1}{x}}}_{\to 1} \frac{1}{x} - \frac{2}{e^{\frac{1}{x}}} = 1 -2 = -1,
\end{align*}
U $+\infty$ dostáváme asymptotu $y = x +1$, u $-\infty$ asymptotu $y = -x-1$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro první derivaci platí
\begin{align*}
f'(x) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}}\left( 1 + \frac{x+2}{x^2}\right) , \hspace{10pt} x \in (-2,0) \cup (0,+\infty) \\
-e^{-\frac{1}{x}}\left( 1 + \frac{x+2}{x^2}\right) , \hspace{10pt} x \in (-\infty,-2)
\end{cases}
\end{align*}
Z Darbouxovy věty derivace v bodě $-2$ neexistuje. O znaménku derivace rozhodne výraz $x^2+x+2$. Ten je vždy kladný. Funkce je tedy ostře rostoucí na intervalu $( 0, +\infty )$, ostře rostoucí na intervalu $\langle -2,0)$ a ostře klesající na $(-\infty,-2\rangle$. Jediným podezřelým bodem z extrému je bod $x = -2$, kde derivace neexistuje. Z monotonie plyne, že $x= -2$ je ostré lokální minimum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Druhá derivace funkce $f$ má tvar
\begin{align*}
f''(x) = \begin{cases}
\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^4}\left(2-3x\right), \hspace{10pt} x \in (-2,0) \cup (0,+\infty) \\
-\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^4}\left(2-3x\right), \hspace{10pt} x \in (-\infty,-2) \\
\end{cases}
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je na intervalu $\langle \frac{2}{3},+\infty)$ ryze konkávní, na $(0,\frac{2}{3}\rangle$ ryze konvexní, na $\langle -2,0)$ ryze konvexní a ryze konkávní na $(-\infty,-2\rangle$
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 13-16}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{14}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \arctg \left( \frac{x^2+1}{x^2-1}\right) .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R \setminus\{-1,1\}$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Průsečík s osou $x$ neexistuje, s osou $y$ máme průsečík $[0,f(0)] = [0,-\frac{\pi}{4}]$. Pro limity v nekonečnech platí
\begin{align*}
\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \arctg{ \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1- \frac{1}{x^2}}} = \arctg{1} = \frac{\pi}{4}.
\end{align*}
\item sudost, lichost, periodicita:
Funkce je sudá, budeme ji tedy vyšetřovat pouze na $D_f \bigcap \langle 0,+\infty)$.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru. Pro jednostranné limity v bodě $1$ platí
\begin{align*}
\lim_{x \to 1+} f(x) &= +\frac{\pi}{2}, \\
\lim_{x \to 1-} f(x) &= -\frac{\pi}{2}. \\
\end{align*}
V bodě $1$ je tedy nespojitost typu 'skok'.
\item asymptoty:
Svislá asymptota je $x = 1$. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1 x = \frac{\pi}{4}.
\end{align*}
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x \in \R \setminus \{-1,1\}$ platí
\begin{align*}
f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x^2+1}{x^2-1} \right)^2} \frac{2x(x^2-1) - (x^2+1)2x}{(x^2 - 1)^2 }
= \frac{-2x}{x^4+1}.
\end{align*}
Funkce je tedy ostře klesající na intervalu $\langle 0, 1)$ a na intervalu $(1,+\infty)$. Jediným podezřelým bodem z extrému je $x = 0$. Jelikož $f'(x) > 0$ na intervalu $(-1,0)$ je bod $x = 0$ ostré lokální maximum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R \setminus \{-1,1\}$ platí
\begin{align*}
f''(x) = -2 \frac{1(x^4+1) - x(4x^3)}{(x^4+1)^2} = \frac{6x^4 - 2}{(x^4+1)^2}.
\end{align*}
Pro $0 < x < \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ je $f''(x) < 0$, pro $x > \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ je $f''(x) > 0$. Z toho plyne, že funkce $f$ je ryze konkávní na intervalu $\langle 0, \frac{1}{\sqrt[4]{3}}\rangle$, ryze konvexní na $\langle \frac{1}{\sqrt[4]{3}},1)$ a ryze konvexní na $(1,+\infty)$.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 13-16}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{15}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = e^{-x^2} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor
$D_f = \R$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Existuje jediný průsečík $[0,1]$. Limity v nekonečnech mají hodnotu $\lim_{x \to \pm \infty} = 0$.
\item sudost, lichost, periodicita:
Funkce je sudá. Budeme ji vyšetřovat na $\langle 0, +\infty )$
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti,
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Svislé asymptoty neexistují. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k &= \lim_{x \to + \infty } \frac{f(x)}{x} = 0, \\
q &= \lim_{x \to + \infty } f(x) = 0
\end{align*}
Dostáváme tedy asymptotu $y = 0$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x\geq 0$ platí
\begin{align*}
f'(x) =-2x e^{-x^2}.
\end{align*}
Funkce je tedy na intervalu $\langle 0, +\infty)$ ostře klesající. Jediným podezřelým bodem z extrém je bod $x = 0$. Z monotonie funkce na okolí lze usoudit, že $x = 0$ je ostré lokální maximum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \geq 0$ platí
$$
f''(x) = -2e^{-x^2} -2xe^{-x^2}(-2x) = 2e^{-x^2}\left( -1 + 2x^2 \right).
$$
Inflexním bodem je $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Funkce je ryze konvexní na intervalu $\langle \frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$ a ryze konkávní na intervalu $\langle 0,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle $
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 13-16}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{16}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = |x|+\arctg{|x-1|} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Pro $x\in \R$ je jistě $f(x) >0$, tedy průsečík s osou $x$ neexistuje. S osou $y$ máme průsečík $[0,f(0)]= [0,\arctg{1}] = [0,\frac{\pi}{4}]$. Zároveň platí $\lim_{x\to \pm \infty} f(x) = +\infty$.
\item případnou sudost, lichost, periodicitu:
Funkce nemá žádnou z vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Svislé asymptoty neexistují. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} + \frac{\arctg{|x-1|}}{x} = 1 \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to +\infty} \arctg{(x-1)} = \frac{\pi}{2}
\end{align*}
V $+\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = x + \frac{\pi}{2}$. V $-\infty$ dostáváme
\begin{align*}
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} + \frac{\arctg{|x-1|}}{x} = -1 \\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} f(x) - k_2x = \lim_{x \to -\infty} \arctg{(-(x-1))} = \frac{\pi}{2}
\end{align*}
V $-\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = -x + \frac{\pi}{2}$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x \in \R \setminus \{0,1\}$ platí
\begin{align*}
f'(x) = \begin{cases}
-1 + \frac{1}{1+\left[-(x-1)\right]^2}(-1) = \frac{x^2-2x+3}{2x-x^2-2} \hspace{10pt} x \in (-\infty,0) \\
1 + \frac{1}{1+\left[-(x-1)\right]^2}(-1) = \frac{-(x-1)^2}{2x-x^2-2}, \hspace{10pt} x \in (0,1) \\
1 + \frac{1}{1+\left[(x-1)\right]^2} = \frac{x^2-2x+3}{x^2-2x+2}, \hspace{10pt} x \in (1,+\infty)
\end{cases}
\end{align*}
Z Darbouxovy věty plyne, že derivace v bodech $\{0,1\}$ neexistuje. Jelikož pro $x \in (-\infty,0)$ je $f'(x) < 0 $ je funkce na intervalu $(-\infty,0\rangle$ ostře klesající. Na intervalu $x \in (0,1)$ je $f'(x) > 0$ a tedy funkce je na $\langle 0,1\rangle$ ostře rostoucí. Na posledním intervalu $(1,+\infty)$ je $f'(x)$ opět kladná, funkce opět ostře roste na intervalu $\langle 1, +\infty )$. Jediné podezřelé body z extrému jsou body $\{0,1\}$. Z monotonie funkce na okolí těchto bodů plyne, že $x = 0$ je ostré lokální minimum a $x = 1$ není extrém.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R \setminus \{0,1\}$ platí
\begin{align*}
f''(x) = \begin{cases}
\frac{2(x-1)}{(2x-x^2-2)^2} \hspace{10pt} x \in (-\infty,0) \\
\frac{2(x-1)}{(2x-x^2-2)^2}, \hspace{10pt} x \in (0,1) \\
\frac{-2(x-1)}{(x^2-2x+2)^2}, \hspace{10pt} x \in (1,+\infty)
\end{cases}
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je na intervalu $(-\infty,0\rangle$ ryze konkávní, na intervalu $\langle 0,1\rangle$ ryze konkávní a na intervalu $\langle 1,+\infty)$ ryze konkávní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 13-16}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
%konec TS
\begin{pr} \label{17}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = (x-1)e^{\frac{x}{1+x}} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R \setminus \{-1\}$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Průsečník s osou $y$ je $[0,f(0)]= [0,-1]$. S osou $x$ máme průsečík $[f^{-1}(0),0]= [1,0]$. Zároveň platí
$$
\lim_{x\to + \infty} f(x) = +\infty, \lim_{x\to - \infty} f(x) = -\infty,
$$
$$
\lim_{x\to -1+} f(x) = 0, \lim_{x\to -1-} f(x) = -\infty.
$$
\item případnou sudost, lichost, periodicitu:
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru. Funkce je nespojitá pouze v bodě $x = -1$ (2.druhu).
\item asymptoty:
Existuje svislá asymptota $x = -1$. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)e^{\frac{x}{1+x}} = e, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to +\infty} (x-1)e^{\frac{x}{1+x}}-ex
= \lim_{x \to +\infty} x\left(e^{\frac{x}{1+x}}-e\right)-e^{\frac{x}{1+x}} \\ &= \lim_{x \to +\infty} -e\frac{x}{x+1}\left(\frac{e^{\frac{-1}{1+x}}-1}{\frac{-1}{1+x}}\right)-e^{\frac{x}{1+x}} = -2e.
\end{align*}
V $+\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = ex - 2e$. V $-\infty$ dostáváme
\begin{align*}
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)e^{\frac{x}{1+x}} = e ,\\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to -\infty} (x-1)e^{\frac{x}{1+x}}-ex
= \lim_{x \to -\infty} x\left(e^{\frac{x}{1+x}}-e\right)-e^{\frac{x}{1+x}} \\ &= \lim_{x \to -\infty} -e\frac{x}{x+1}\left(\frac{e^{\frac{-1}{1+x}}-1}{\frac{-1}{1+x}}\right)-e^{\frac{x}{1+x}} = -2e.
\end{align*}
V $-\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = ex - 2e$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x \in \R \setminus \{-1\}$ platí
\begin{align*}
f'(x) = e^{\frac{x}{1+x}}\frac{x(x+3)}{(1+x)^2}.
\end{align*}
Jelikož pro $x \in (-\infty,-3)$ a $x \in (0, \infty)$ je $f'(x) > 0 $ je funkce na intervalech $(-\infty,-3\rangle$ a $\langle 0, \infty)$ ostře rostoucí. Na intervalech $x \in (-3,-1)$ a $x \in (-1,0)$ je $f'(x) < 0$ a funkce je ostře klesající na intervalech $\langle -3,-1)$ a $(-1,0\rangle$. Jediné podezřelé body z extrému jsou body $\{-3, 0\}$. Z monotonie funkce na okolí těchto bodů plyne, že $x = 0$ je ostré lokální minimum, $x = -3$ je ostré lokální maximum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R \setminus \{-1\}$ platí
\begin{align*}
f''(x) = e^{\frac{x}{1+x}}\frac{5x+3}{(1+x)^4}
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je na intervalech $(-\infty,-1\rangle$ a $\langle -1,-\frac{3}{5}\rangle$ ryze konkávní a na intervalu $\langle -\frac{3}{5},+\infty)$ ryze konvexní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 17-20}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{18}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = x e^{-x^2} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R $
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Průsečík s osou $y$ je $[0,f(0)]= [0,0]$. S osou $x$ máme průsečík $[f^{-1}(0),0]= [0,0]$. Zároveň platí $\lim_{x\to + \infty} f(x) = 0$ a $\lim_{x\to - \infty} f(x) = 0$.
\item sudost, lichost, periodicita:
Jelikož $f(-x) = -xe^{-x^2} = - f(x)$, je funkce lichá.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
\item asymptoty:
Svislé asymptoty neexistují. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to +\infty} x e^{-x^2} - 0x = 0.
\end{align*}
V $+\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = 0$. V $-\infty$ dostáváme
\begin{align*}
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0, \\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to -\infty} x e^{-x^2} - 0x = 0.
\end{align*}
V $-\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = 0$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x \in \R $ platí
\begin{align*}
f'(x) = e^{-x^2}\left(1-2x^2\right).
\end{align*}
Jelikož pro $x \in \left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ a $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right)$ je $f'(x) < 0 $ je funkce intervalech $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$ a $\langle \frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$ ostře klesající. Na intervalu $x \in (-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ je $f'(x) > 0$ a funkce je tedy na intervalu $\langle -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$ ostře rostoucí. Jediné podezřelé body z extrému jsou body $\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\}$. Z monotonie funkce na okolí těchto bodů plyne, že $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ je ostré lokální minimum, $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ je ostré lokální maximum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R $ platí
\begin{align*}
f''(x) = -e^{-x^2}2x\left(3-2x^2\right).
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je na intervalech $(-\infty,-\sqrt{\frac{3}{2}}\rangle$ a $\langle 0,\sqrt{\frac{3}{2}}\rangle$ ryze konkávní a na intervalech $\langle -\sqrt{\frac{3}{2}},0\rangle$ a $\langle \sqrt{\frac{3}{2}},+\infty)$ ryze konvexní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 17-20}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{19}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = x\arctg{\frac{1}{x}}.$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R \setminus \{0\}$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Nemá průsečík s osou $x$ ani $y$. Zároveň platí
$$
\lim_{x\to + \infty} f(x) = 1, \lim_{x\to - \infty} f(x) = 1,
$$
$$
\lim_{x\to 0+} f(x) = 0, \lim_{x\to 0-} f(x) = 0.
$$
\item sudost, lichost, periodicita:
Jelikož $f(-x) = -x\arctg{-\frac{1}{x}} = x \arctg{\frac{1}{x}} = f(x)$, je funkce sudá.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru. Funkce je nespojitá pouze v bodě $x = 0$ (odstranitelná nespojitost).
\item asymptoty:
Svislé asymptoty neexistují. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \arctg{\frac{1}{x}} = 0, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to +\infty} x \arctg{\frac{1}{x}}= 1.
\end{align*}
V $+\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = 1$. V $-\infty$ dostáváme
\begin{align*}
k_2 &= \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \arctg{\frac{1}{x}} = 0, \\
q_2 &= \lim_{x \to -\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to -\infty} x \arctg{\frac{1}{x}}= 1.
\end{align*}
V $-\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = 1$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x \in \R \setminus \{0\}$ platí
\begin{align*}
f'(x) = -\frac{x}{1+x^2} + \arctg{\frac{1}{x}}
\end{align*}
Z Darbouxovy věty plyne, že derivace v bodě $\{0\}$ neexistuje. Jelikož pro $x \in (-\infty,0)$ je $f'(x) < 0 $ je funkce na tomto intervalu ostře klesající. Na intervalu $x \in (0, +\infty)$ je $f'(x) > 0$ a funkce je ostře klesající. Jediný podezřelý bod z extrému je $\{0\}$. Z monotonie funkce na okolí tohoto bodu plyne, že $x = 0$ je ostré lokální minimum.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R \setminus \{0\}$ platí
\begin{align*}
f''(x) = -\frac{2}{(1+x^2)^2}
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je na intervalech $(-\infty,0)$ a $( 0,+\infty)$ ryze konkávní.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 17-20}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
% \begin{pr}
% Vyšetřete průběh funkce
% $$f(x) = \frac{\sin{x}}{\arcsin{x}} .$$
% \end{pr}
\begin{pr} \label{20}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \sgn{x} \arcsin\cos{x} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R $
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Průsečík s osou $y$ je $[0, f(0)] = [0, 0]$. Průsečíky s osou $x$ jsou $x = 0$ nebo $x = -\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathrm{Z}$ Zároveň platí, že neexistuje ani jedna z limit v $\pm \infty$.
\item sudost, lichost, periodicita:
Jedná se o součin liché a sudé funkce. Funkce $f$ je tedy lichá. Funkce není periodická.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru kromě $x = 0$. V tomto bodě je nespojitost typu skok, jelikož
$$
\lim_{x \to 0+} f(x) = \frac{\pi}{2}, \lim_{x \to 0-} f(x) =- \frac{\pi}{2}.
$$
\item asymptoty:
Svislé asymptoty neexistují. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sgn{x} \arcsin\cos{x}}{x} = 0, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1x\text{... neexistuje.}
\end{align*}
V $+\infty$ asymptota neexistuje. V $-\infty$ dostáváme
\begin{align*}
k_2 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sgn{x} \arcsin\cos{x}}{x} = 0 \\
q_2 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_2x \text{... neexistuje.}
\end{align*}
V $-\infty$ asymptota rovněž neexistuje.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Platí
\begin{align*}
f'(x) = \begin{cases}
\frac{-\sin{x}}{\sqrt{1-(\cos{x})^2}} = -\sgn{\sin{x}} \hspace{10pt} x \in (0,+\infty) \\
\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-(\cos{x})^2}} = \sgn{\sin{x}}, \hspace{10pt} x \in (-\infty,0)
\end{cases}
\end{align*}
Derivaci v nule vyšetříme přímo z definice:
\begin{align*}
\lim_{h \to 0+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0+}\frac{\arcsin(\cos h)}{h} = +\infty, \\
\lim_{h \to 0-} \frac{f(h)-f(0)}{h} = -\lim_{h \to 0-}\frac{\arcsin(\cos h)}{h} = +\infty,
\end{align*}
a tedy $f'(0) = +\infty$. Jelikož pro $x \in (0+2k\pi, \pi + 2k\pi)$ a $x \in (0-2k\pi, -\pi - 2k\pi)$, kde $k \in \mathrm{N}_0$ je $f'(x) < 0 $ je funkce na těchto intervalech ostře klesající (včetně krajních bodů). Na intervalech $x \in (\pi+2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$ a $x \in (-\pi-2k\pi, -2\pi - 2k\pi)$, kde $k \in \mathrm{N}_0$ je $f'(x) > 0$ a funkce je ostře klesající (včetně krajních bodů). Body podezřelé z extrému jsou $x = k\pi, k \in \mathrm{Z}\setminus\{0\}$. Z monotonie funkce na okolí tohoto bodu plyne, že $x = 2k\pi, k \in \mathrm{N}$ a $x = -\pi - 2k\pi, k \in \mathrm{N}_0$ jsou ostré lokální maxima a body $x = \pi + 2k\pi, k \in \mathrm{N}_0$ a $x = - 2k\pi, k \in \mathrm{N}$ jsou ostré lokální minima.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R \setminus \{0\}$ platí
\begin{align*}
f''(x) = 0.
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je po částech lineární.
\item nakreslit graf funkce: viz Obrázek \ref{fig: 17-20}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\begin{pr} \label{21}
Vyšetřete průběh funkce
$$f(x) = \sinh\ln{x} .$$
\tagged{complete}{
\begin{postup}
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{0em}
\item definiční obor:
$D_f = \R^+$
\item průsečíky s osami souřadnic a jiné důležité funkční hodnoty:
Nemá průsečík s osou $y$. S osou $x$ pouze v $x = 1$. Zároveň platí $\lim_{x\to + \infty} f(x) = +\infty$ a $\lim_{x \to 0+} = -\infty$.
\item sudost, lichost, periodicita:
Funkce nemá žádnou z těchto vlastností.
\item spojitost, druhy bodů nespojitosti:
Funkce je spojitá ve všech bodech svého definičního oboru. V bodě $x = 0$ je nespojitost druhého druhu.
\item asymptoty:
Funkce má svislou asymptotu $x = 0$. Pro asymptotu v $+\infty$ platí
\begin{align*}
k_1 &= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh{\ln{x}}}{x} = \frac{e^{\ln{x}}-e^{\ln{\frac{1}{x}}}}{2x} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{2}, \\
q_1 &= \lim_{x \to +\infty} f(x) - k_1x = \lim_{x \to +\infty} \sinh{\ln{x}} - \frac{x}{2} =\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} - \frac{1}{2x} - \frac{x}{2} = 0.
\end{align*}
V $+\infty$ je tedy asymptota tvaru $y = \frac{x}{2}$. V $-\infty$ nemá smysl asymptotu vyšetřovat, kvůli omezení definičního oboru na $\R^+$.
\item monotonii funkce (intervaly monotonie), lokální extrémy:
Pro $x \in \R^+$ platí
\begin{align*}
f'(x) = \frac{1}{x}\cosh{\ln{x}} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{x^2}\right).
\end{align*}
Jelikož pro $x \in \R^+$ je $f'(x) > 0 $ je funkce na $(0,+\infty)$ ostře rostoucí. Z toho plyne, že funkce nemá extrémy, ani lokální, ani globální.
\item konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body:
Pro $x \in \R^+$ platí
\begin{align*}
f''(x) = -\frac{1}{x^2}\cosh{\ln{x}}+ \frac{1}{x^2}\sinh{\ln{x}} = -\frac{1}{x^3}.
\end{align*}
Pozorujeme, že funkce je na intervalu a $(0,+\infty)$ ryze konkávní.
\item nakreslit graf funkce: viz. Obrázek \ref{fig: 21}.
\end{itemize}
\end{postup}
}
\end{pr}
\tagged{complete}
{
\captionsetup[subfigure]{labelformat=empty}
\begin{figure}[htp]
\begin{center}
\subfloat[\ref{1} $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)^3}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-10.png}}
\subfloat[\ref{2} $f(x) = (x-3)\sqrt{3}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-11.png}}\\
\subfloat[\ref{3} $f(x) = \frac{|1+x|^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{x}}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-12.png}}
\subfloat[\ref{4} $f(x) = e^{-x}+x$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-13.png}}
\caption{}
\label{fig: 1-4}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]
\begin{center}
\subfloat[\ref{5} $f(x) = x + \arctg{x}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-14.png}}
\subfloat[\ref{6} $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-15.png}} \\
\subfloat[\ref{7} $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x + 2}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-16.png}}
\subfloat[\ref{8} $f(x) = |x^3 -6x^2 + 11x -6|$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-17.png}}
\caption{}
\label{fig: 5-8}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]
\begin{center}
\subfloat[\ref{9} $f(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-18.png}}
\subfloat[\ref{10} $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-19.png}} \\
\subfloat[\ref{11} $f(x) = \frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-20.png}}
\subfloat[\ref{12} $f(x) = \arccos \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-21.png}}
\caption{}
\label{fig: 8-12}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\subfloat[\ref{13} $f(x) = |x+2|e^{-\frac{1}{x}}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-22.png}}
\subfloat[\ref{14} $f(x) = \arctg{\left( \frac{x^2+1}{x^2-1} \right)}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-23.png}} \\
\subfloat[\ref{15} $f(x) = e^{-x^2}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-24.png}}
\subfloat[\ref{16} $f(x) = |x| + \arctg{|x-1|}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-25.png}} \\
\caption{}
\label{fig: 13-16}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\subfloat[\ref{17} $f(x) = (x-1)e^{\frac{x}{1+x}}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-26.png}}
\subfloat[\ref{18} $f(x) = xe^{-x^2}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-27.png}} \\
\subfloat[\ref{19} $f(x) = x \arctg{\frac{1}{x}}$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-28.png}}
\subfloat[\ref{20} $f(x) = \sgn{x} \arcsin \cos x$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-29.png}}
\caption{}
\label{fig: 17-20}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\subfloat[\ref{21} $f(x) = \sinh \ln x$]{\includegraphics[width = 0.4\textwidth]{13-30.png}}
\caption{}
\label{fig: 21}
\end{center}
\end{figure}
}
