Zdrojový kód
%\wikiskriptum{KTP1}
\chapter{Interakce kvantových polí}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Interakce klasických polí}
Uvedeme dva příklady interakce klasických polí.
\subsubsection{Maxwell-(Proca)-Diracovo pole}
Zde máme celkový Lagrangián
\begin{align*}
\lagr = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + \pol M^2A_\mu A^\mu + i\bpsi \ga_\mu \parc_\mu \psi -m \bpsi \psi - e\bpsi \ga_\mu A^\mu \psi ,
\end{align*}
kde poslední člen zprostředkovává interakci obou polí, tedy máme
\begin{align*}
\lagr_{int} = - e\bpsi \ga_\mu A^\mu \psi .
\end{align*}
Euler-Lagrangeovy rovnice tohoto systému jsou
\begin{align*}
\parc_\mu F^{\mu \nu} + M^2 A^\nu &= e\bpsi \ga^\nu \psi , \\
(i\ga^\mu (\parc_\mu +ieA_\mu)-m)\psi &= 0.
\end{align*}
\subsubsection{Klein-Gordan-Diracovo pole}
\begin{align*}
\lagr = \pol \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \pol m^2 \varphi^2 + i\bpsi \ga_\mu \parc^\mu \psi -m \bpsi \psi +g\bpsi\psi\varphi ,
\end{align*}
$g$ je vazbová konstanta (síla interakce) a poslední člen opět zprostředkovává interakci obou polí, tedy máme
\begin{align*}
\lagr_{int} = g\bpsi\psi\varphi .
\end{align*}
Euler-Lagrangeovy rovnice tohoto systému jsou
\begin{align*}
(\square + m^2)\varphi &= g\bpsi\psi , \\
i\ga^\mu \parc_\mu \psi -m\psi - g\varphi \psi &= 0.
\end{align*}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Různé obrazy kvantové mechaniky}
Formalismus časového vývoje v kvantové mechanice je možné zavést různými způsoby. Zde popíšeme Schrödingerův, Heisenbergův a Diracův obraz (reprezentaci).
\subsubsection{Schrödingerův obraz}
V této reprezentaci je časová závislost ve stavech systému a operátory odpovídající pozorovatelným se v čase nemění. Vývoj stavů se řídí Schrödingerovou rovnicí
\begin{align*}
i\frac{\parc \Ket{\psi_S(t)}}{\parc t} = H \Ket{\psi_S(t)}.
\end{align*}
\subsubsection{Heisenbergův obraz}
Zde je časová závislost v operátorech a stavy jsou časově nezávislé. Souvislost se Schrödingerovým obrazem je dána vztahem
\begin{align*}
\Braket{\psi_H|A_H(t)|\psi_H} = \Braket{\psi_S(t)|A_S|\psi_S(t)}
\end{align*}
a vývoj operátorů se řídí rovnicí
\begin{align*}
A_H(t) = e^{iHt}A_S e^{-iHt}.
\end{align*}
\subsubsection{Diracův obraz (interakční)}
Tuto reprezentaci využijeme v této kapitole. Využije se toho, že umíme řešit časový vývoj volných polí a tím zjednodušíme řešení interakce. Rozdělíme Hamiltonián $H = H_0 + H_{int}$ a necháme operátory vyvíjet známým způsobem podle volného Hamiltoniánu $H_0$ a budeme řešit časový vývoj stavů daný už jen interakčním Hamiltoniánem $H_{int}$. Definujeme tedy
\begin{align*}
A_I(t) \equiv e^{iH_0t}A e^{-iH_0t}.
\end{align*}
Jelikož chceme, aby opět platila korespondence s předchozími obrazy $\Braket{\phi_H|A_H(t)|\psi_H} = \Braket{\phi_I(t)|A_I(t)|\psi_I(t)}$, dostaneme pro vývoj stavů vztah
\begin{align*}
\Ket{\psi_I(t)} = e^{iH_0t}e^{-iHt}\Ket{\psi}.
\end{align*}
Derivací podle času pak dopějeme k rovnici
\begin{align*}
i\frac{\parc \Ket{\psi_I(t)}}{\parc t} = H_{int}^{I}(t) \Ket{\psi_S(t)},
\end{align*}
kde $H_{int}^{I}(t) = e^{iH_0t} H_{int} e^{-iH_0t}$ je vlastně interakční Hamiltonián, který se vyvíjí v čase Heisenbergovským způsobem podle $H_0$. Chceme-li nyní najít evoluční operátor stavů $U_I(t,t_0)$, pro který platí
\begin{align*}
\Ket{\psi_I(t)} = U_I(t,t_0)\Ket{\psi_I(t_0)},
\end{align*}
dostáváme diferenciální rovnici
\begin{align*}
U_I(t,t_0) = \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^t \dif t' H^{int}_I(t')U_I(t',t_0).
\end{align*}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{S-matice v interakční reprezentaci ("Diracův obraz"), aplikace v teorii pole}
Hamiltonián systému rozdělíme na základní a interakční část:
\begin{align*}
H = H_0 + H_{int}.
\end{align*}
Pro evoluční operátor $U_I(t,t_0)$ pak pak platí rovnice:
\begin{align*}
U_I(t,t_0) = \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^t \dif t' H^{int}_I(t')U_I(t',t_0).
\end{align*}
Iterací této rovnice dostaneme:
\begin{align*}
U_I(t,t_0) = \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^t \dif t' H^{int}_I(t')\left( \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^{t'} \dif t'' H^{int}_I(t'')U_I(t'',t_0) \right).
\end{align*}
Opakováním takovýchto iterací a roznásobením závorek dostáváme takzvanou \textbf{Dysnovu řadu}:
\begin{align*}
U_I(t,t_0) &= \mathbbm{1} + (-i)\int_{t_0}^{t} \dif t_1 H^{int}_I(t_1) + (-i)^2\int_{t_0}^{t} \dif t_1 \int_{t_0}^{t_1} \dif t_2 H^{int}_I(t_1) H^{int}_I(t_2) + \ldots \\
&+ (-i)^n \int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} \dif t_{n} H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) + \ldots.
\end{align*}
Dysonovu řadu můžeme přepsat pomocí tzv. \textbf{chronologického součinu} ($T$-součinu), který se definuje jako
\begin{align*}
T(A(t_1)B(t_2))=
\left\{
\begin{array}{ll}
A(t_1)B(t_2) & \mbox{když } t_1 > t_2 \\
B(t_2)A(t_1) & \mbox{když } t_2 > t_1
\end{array}
\right.
\end{align*}
a analogicky pro větší počet faktorů. Platí
\begin{align*}
\int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} \dif t_{n} H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) = \frac{1}{n!} \int_{t_0}^{t} \ldots \int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \dif t_{n} T \left( H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) \right)
\end{align*}
bez ohledu na pořadí $H$ ve funkci $T$. Nyní můžeme Dysonovu řadu zapsat jako
\begin{align*}
U_I(t,t_0) &= \mathbbm{1} - \frac{-i}{1!}\int_{t_0}^{t} \dif t_1 H^{int}_I(t_1) + \ldots
&+ \frac{(-i)^n}{n!} \int_{t_0}^{t} \ldots \int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \dif t_{n} T \left( H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) \right) + \ldots.
\end{align*}
a formálně se někdy používá zápis
\begin{align*}
U_I(t,t_0) &= T \exp \left( -i \int_{t_0}^{t} \dif t' H^{int}_I(t') \right).
\end{align*}
Definujeme \textbf{S-matici} (scattering - rozptyl)
\begin{align*}
S \equiv U_I(+\infty,-\infty) = T \exp \left( -i \int_{-\infty}^{+\infty} \dif t H_I^{int}(t) \right).
\end{align*}
Pomocí $S$-matice ($S$-operátoru) tedy můžeme popsat časový vývoj z výchozího stavu $\Ket{i}$ do nekonečna jako $\Ket{\psi(+\infty)}=S\Ket{i}$ a amplitudu přechodu do daného stavu $\Ket{f}$ jako $\Braket{f|\psi(+\infty)} = \Braket{f|S|i} \equiv S_{fi}$.
%__________________________________________________________________________________________________________________________________
\subsection{S-matice v teorii pole}
Máme $H_I^{int}(t) = \int \dif^3 x \mathcal{H}_I^{int}(\vec{x},t)$, kde $\mathcal{H}_I^{int}(\vec{x},t)$ je hustota Hamiltoniánu. Můžeme také psát
\begin{align*}
S &= T \exp \left( -i \int \dif^4 x \mathcal{H}_I^{int}(x) \right).
\end{align*}
Otázka nyní je, jak získat hustotu Hamiltoniánu $\mathcal{H}_I^{int}(x)$ ze zadané hustoty Lagrangiánu $\mathcal{L}_I^{int}(x)$.
\textbf{Příklad:} Mějme Lagrangián ve tvaru:
\begin{align*}
\mathcal{L}_{KGD} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}M^2\varphi^2 + i \bpsi \gamma^\mu \parc_\mu \psi - m\psi \bpsi + g\bpsi \psi \varphi,
\end{align*}
kde první dva členy představují Diracovo pole, další dva Klein-Gordonovo pole a poslední člen je interakční část. Hustotu hamiltoniánu můžeme spočítat jako:
%\begin{align*}
%\ham &= \mathcal{T}^{00} = \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_0 \varphi)} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_0 \psi)} - \lagr \\
%&= \parc_0\phi \parc_0\phi +i\bpsi \gamma_0\parc_0 \psi - \pol \parc_0\phi \parc_0\phi - \pol \parc_k\phi \parc^k\phi + \pol M^2\varphi^2 +m\psi \bpsi - g \bpsi \psi \varphi \\
%&= \left( \pol \parc_0\phi \parc_0\phi + \pol M^2\varphi^2 \right) + \left( i\bpsi \gamma_0\parc_0 \psi + m\psi \bpsi \right) + \pol
%\vec{\nabla} \phi \vec{\nabla} \phi -
%\end{align*}
\begin{align*}
\ham &= \mathcal{T}^{00} = \ldots
= \pol \parc_0\phi \parc_0\phi + \pol \vec{\nabla} \phi \vec{\nabla} \phi + \pol M^2\varphi^2 + i\bpsi \gamma_0\parc_0 \psi - i\bpsi \gamma^\mu \parc_\mu \psi + m\bpsi \psi - g\bpsi \psi \phi = - \lagr.
\end{align*}
Tento výsledek jsme mohli odhadnout rovnou, jelikož interakční Hamiltonián neobsahuje derivace polí. Vztah $\ham = - \lagr$ však neplatí vždy. (Například neplatí pro Procovo pole.)
%__________________________________________________________________________________________________________________________________
\subsection{Příklad 1}
Nyní se budeme zabývat modelem s interakčním Lagrangiánem
\begin{align*}
\lagr_{int}=g\bpsi \psi \varphi,
\end{align*}
kde $g$ je reálná vazbová konstanta.
Použijeme $S$-matici, kde však vezmeme Dysonův rozvoj pouze do prvního řádu, tedy $S = \mathbbm{1} - i\int \dif^4x \lagr_I^{int}(x)$. Vprvním řádu rozvoje je možné popsat pouze rozpady, tedy procesy typu $\varphi \rightarrow f + \bar{f}$ (tedy rozpad částice bez spinu na fermion a antifermion). Příkladem takového procesu je rozpad Higgsova bosonu na $e^+$ a $e^-$. (Ještě bychom mohli formálně uvažovat proces $f \rightarrow f + \varphi$, ale ten odporuje zákonu zachování energie.)
Máme tedy počáteční stav $\Ket{i}=\ad (q) \Ket{0}$ a koncový stav $\Ket{f}=\bd (p,s) \dd (k,s') \Ket{0}$. Dále nás bude zajímat maticový element v prvním řádu $\Braket{f|S^{(1)}|i}$, kde $S^{(1)}=i\int \dif^4x \lagr_I^{int}(x)$. K tomu potřebujeme vyjádřit interakční Lagrangián $\lagr_I^{int}=g\bpsi \psi \varphi$ pomocí kreačních a anihilačních operátorů. To uděláme tak, že za $\bpsi$,$\psi$ a $\varphi$ dosadíme výrazy pro volná pole, jelikož časový vývoj operátorů je dán Hamiltoniánem pro volná pole.
\begin{align*}
\Braket{f| \lagr_I^{int}|i} = \Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bpsi(x) \psi(x) \varphi(x) \ad(q) \Ket{0}
\end{align*}
Pro další výpočet zavedeme kompaktní označení pomocí $\&$. Výrazy pro $\bpsi$,$\psi$ a $\varphi$ se skládají ze dvou členů, každý s jedním kreačním nebo anihilačním operátorem. Jelikož mnoho členů ve výrazu vypadne jen na základě kombinace těchto operátorů s jinými, nebudeme vypisovat vše kolem a budeme psát jen například $\bpsi = [\bd(l_1) \& d(l_1)]$. Potom dostáváme:
\begin{align*}
&\Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bpsi(x) \psi(x) \varphi(x) \ad(q) \Ket{0} = \\
&= \Bra{0} d(k,s') b(p,s) [\bd(l_1) \& d(l_1)] [b(l_2) \& \dd(l_2)] [a(l_3) \& \ad(l_3)] \ad(q) \Ket{0} = \\
&= \Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bd(l_1) \dd(l_2)a(l_3) \ad(q) \Ket{0}.
\end{align*}
Důvod, proč zbude právě tento jediný člen je ten, že se jen v něm vždy setká kreační a anihilační operátor stejného typu. U členů, kde se tak nenastane dostaneme působením přebytečného anihilačního operátoru na vakuu zleva respektive kreačního operátoru na vakuum zprava nulu.
Pokud již ve zbývajícím členu dosadíme přesný tvar volných polí, dostaneme výsledek
\begin{align*}
\Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bpsi(x) \psi(x) \varphi(x) \ad(q) \Ket{0} = N_k N_p N_q \bu(p,s) v(k,s')e^{i(k+p-q)x}\Braket{0|\unit |0}
\end{align*}
a integrací tohoto výrazu
\begin{align*}
\Braket{f|S^{(1)}|i} = ig N_k N_p N_q \bu(p,s) v(k,s')(2\pi)^4\delta^4(k+p-q).
\end{align*}
Delta-funkce na konci vlastně vyjadřuje zákon zachování energie a hybnosti. Zde také vidíme, proč není možný rozpad $f \rightarrow f + \varphi$. Výsledek se často zapisuje ve tvaru
\begin{align*}
S_{fi}^{(1)} = N_k N_p N_q i \mathcal{M} (2\pi)^4\delta^4(k+p-q),
\end{align*}
kde tedy $\mathcal{M} = \bu(p,s) v(k,s')$ se nazývá "relativisticky invariantní amplituda". To se dělá proto, že výraz $S_{fi}^{(1)}$ má stejnou strukturu v různých modelech, kde se mezi jednotlivými modely liší jen tvarem $\mathcal{M}$.
%__________________________________________________________________________________________________________________________________
\subsection{Příklad 2}
Nyní se budeme zabývat modelem s interakčním Lagrangiánem
\begin{align*}
\lagr_{int} &= g\bpsi_1(1+\gamma_5)\psi_2\varphi + h.c. = g\bpsi_1(1+\gamma_5)\psi_2 + g\psi_2^\dagger(1+\gamma_5)\gamma_0\psi_1\varphi^\dagger = \\
&= g\bpsi_1(1+\gamma_5)\psi_2 + g\bpsi_2(1+\gamma_5)\psi_1\varphi^\dagger.
\end{align*}
Zde se budeme zabývat procesem $\varphi \rightarrow f_1 + \bar{f_2}$, tedy rozpadem na fermion a nějaký jiný antifermion. Výchozí stav je $\Ket{i} = \bd_\varphi(q)\Ket{0}$ a koncový stav $\Ket{f} = \bd_1(p,s) \dd_2(k,s') \Ket{0}$. Zcela analogickou argumentací jako v předchozím příkladu dostáváme výsledek:
\begin{align*}
S_{fi}^{(1)} = g N_k N_p N_q i \bu(p,s)(1+\gamma_5) v(k,s') (2\pi)^4\delta^4(k+p-q),
\end{align*}
a tedy $\mathcal{M} = \bu(p,s)(1+\gamma_5)(k,s')$.
\subsubsection{Feynmannův diagram}
Výše popsaný proces můžeme znázornit pomocí takzvaného Feynmannova diagramu. Pro tento konkrétní případ je znázorněn na obrázku \ref{feynman1}. Z těchto diagramů pak můžeme vyčíst způsob interakce. Pro konstrukci našeho diagramu jsme použili následující pravidla:
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.2]{feynman1.png}
\caption{Fenmannův diagram pro proces $\varphi \rightarrow f_1 + \bar{f_2}$.}
\label{feynman1}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item Výrazu $\bu(p,s)$ odpovídá vycházející fermion.
\item Výrazu $v(k,s')$ odpovídá vcházející fermion.
\item Ve vrcholu (vertexu) se musí vždy zachovávat čtyřimpuls a je zde zahrnuta vazbová konstanta $g$ a výraz $(1+\gamma_5)$.
\end{enumerate}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Pravděpodobnost dvou-částicového rozpadu}
Známe-li amplitudy pravděpodobností přechodu $S_{fi}$ z původního stavu do finálního, pak je pravděpodobnost takového přechodu rovna $|S_{fi}|^2$. Chceme-li znát pravděpodobnost rozpadu částice, musíme určit, kolik je možných finálních stavů v okolí impulsů $\vec{k}$ a $\vec{p}$. Budeme "mluvit v nářečí" konečného objemu (krychle o hraně $L$). Zde může každá složka impulsu $k_j$ nabávat pouze určitých diskrétních hodnot $k_j=\frac{\pi}{L}n_s$, kde $s=0,\pm 1, \pm 2, \ldots$. V intervalu délky $\Delta k_j$ je tedy $\frac{\Delta k_j}{\frac{2\pi}{L}}$ možných hodnot impulsu. Celkem tedy v okolí impulsu $\vec{k}:(\vec{k},\Delta \vec{k})$ je $\frac{\Delta k_1}{\frac{2\pi}{L}} \frac{\Delta k_2}{\frac{2\pi}{L}} \frac{\Delta k_3}{\frac{2\pi}{L}} = \frac{L^3\Delta k_1 \Delta k_2 \Delta k_3}{(2\pi)^3}$. V limitě $\Delta \rightarrow 0$ dostáváme $\frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3}$.
Pro náš případ dvou částic je pak počet finálních stavů $\frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{L^3\dif^3p}{(2\pi)^3}$. Celková pravděpodobnost rozpadu je tedy:
\begin{align*}
|S_{fi}|^2 \frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{L^3\dif^3p}{(2\pi)^3} = N_k^2 N_p^2 N_q^2 |\mathcal{M}_{fi}|^2 \left( (2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right)^2 \frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{L^3\dif^3p}{(2\pi)^3}.
\end{align*}
Problém s tímto výrazem je v tom, že kvadrát $\delta$-funcke je i na fyziky hodně divergentní výraz. Nicméně si s ním samozřejmě poradíme trikem (jedná se spíše o "matematický hokus pokus", než trik). Problematický výraz přepíšeme jako:
\begin{align*}
\left( (2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right)^2 = \left((2\pi)^4\delta^4(0) \right)\left((2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right) = VT \left((2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right).
\end{align*}
Pochopitelně je tam dost podezřelé to $\delta^4(0)$. Pro určení hodnoty $VT$ jsme použili "regularizaci pomocí konečného objemu a času". Ta spočívá v tom, že se vrátíme k integrálu, ze kterého původně $\delta$-funkce vznikla:
\begin{align*}
\int \dif^4x e^{i\Delta x} = (2\pi)^4\delta^4(\Delta) \rightarrow \int \dif^4x e^{0} = \int \dif^4x 1 = VT.
\end{align*}
Nyní můžeme ještě dosadit za $N_k=\frac{1}{\sqrt{2E(k)V}}$, kde $E(k)=\sqrt{\vec{k}^2-m^2}$. Dostáváme takzvanou \textbf{diferenciální pravděpodobnost rozpadu} ("decay rate"):
\begin{align*}
\dif P_{fi} &= |S_{fi}|^2 \frac{V\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{V\dif^3p}{(2\pi)^3} = \\
&= \frac{1}{2E(k)V} \frac{1}{2E(p)V} \frac{1}{2E(q)V} |\mathcal{M}_{fi}|^2 VT (2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \frac{V\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{V\dif^3p}{(2\pi)^3} = \\
&= \frac{\dif^3 k}{2E(k)} \frac{\dif^3 p}{2E(p)} \frac{1}{2E(q)} |\mathcal{M}_{fi}|^2 \frac{1}{(2\pi)^6} T (2\pi)^4\delta^4(k+p-q).
\end{align*}
Dále ještě zavádíme pravděpodobnost rozpadu za jednotku času ("differential decay rate")
\begin{align*}
\dif w_{fi} &= \frac{1}{T}\dif P_{fi} =
\frac{\dif^3 k}{2E(k)} \frac{\dif^3 p}{2E(p)} \frac{1}{2E(q)} |\mathcal{M}_{fi}|^2 \frac{1}{(2\pi)^6} (2\pi)^4\delta^4(k+p-q).
\end{align*}
Tento vztah tedy platí obecně pro rozad v libovolném modelu, pokud použijeme patřičnou hodnotu $|\mathcal{M}_{fi}|^2$, tedy obecně
\begin{align*}
\dif w_{fi} &= \frac{\dif^3 p_1}{(2\pi)^3 2E(p_1)} \frac{\dif^3 p_2}{(2\pi)^32E(p_2)} \frac{1}{2E(p)} |\mathcal{M}_{fi}|^2 (2\pi)^4 (2\pi)^4\delta^4(p_1 +p_2 -p).
\end{align*}
Rozpad uvažujeme v klidové soustavně původní částice, takže platí $E(p)=M$.
%__________________________________________________________________________________________________________________________________
\subsection{Integrace přes impulsy koncových částic a sčítání přes spiny}
Nyní se budeme zabývat tím, jak určit pravděpodobnost rozpadu v procesu, kde vás nezajímá konkrétní stav výsledných částic.
\subsubsection*{1) Sčítání přes spiny}
Vrátíme se opět k modelu $\lagr_{int}=g\bpsi \psi \varphi$, kde máme $\mathcal{M}_{fi} = g\bu(p,s)v(k,s')$. Vyjádříme si tedy nejprve kvadrát
\begin{align*}
|\mathcal{M}_{fi}|^2 &= \mathcal{M}_{fi} \mathcal{M}_{fi}^\dagger = \left[\bu = \gamma_0 u^\dagger \right] = g^2 \bu(p,s)v(k,s') v^\dagger(k,s') \gamma_0 u(p,s) = \\
&= g^2 \bu(p,s)v(k,s') \bv(k,s') u(p,s)
\end{align*}
Pro další úpravu využijeme takzvanou metodu "špůrování". Jedná se o celkem zvláštní, ale v podobných výpočtech velmi praktický postup. Využije se toho, že $|\mathcal{M}_{fi}|^2$ je určitě číslo (tedy matice $1\times 1$) a tedy se rovná své stopě $Tr\left( |\mathcal{M}_{fi}|^2 \right)$. Tuto operaci děláme proto, že víme, že uvnitř stopy můžeme cyklicky zaměňovat členy aniž bychom tím změnili výsledek. (Název je odvozen z němčiny, kde se místo anglického "trace" říká "Spur".)
\begin{align*}
|\mathcal{M}_{fi}|^2 &= g^2 Tr \left(\bu(p,s)v(k,s') \bv(k,s') u(p,s) \right) = g^2 Tr \left( u(p,s) \bu(p,s) v(k,s') \bv(k,s') \right)
\end{align*}
Sečtením přes všechny možnosti spinu dostaneme
\begin{align*}
\sum_{s,s'}|\mathcal{M}_{fi}|^2 &= g^2 Tr \left((\cancel{p} + m)(\cancel{k} - m) \right)=g^2 Tr \left(-4k\cdot p - 4m^2 \right) = \\
&= [2k\cdot p = (k+p)^2-k^2-p^2=q^2-k^2-p^2=M^2-m^2-m^2] = 2g^2 (M^2 - 4m^2)
\end{align*}
\subsubsection*{2) Integrace přes $\dif^3 p_1, \dif^3 p_2$}
Budeme postupovat zcela obecně (libovolný 2-částicový rozpad) bez použití konkrétního modelu, který je zanesen v $|\mathcal{M}_{fi}|^2$. Spočteme tedy takzvaný "Lorentz invariant phase space" dvou částic:
\begin{align*}
LIPS_2 &= \iint \frac{\dif^3 p_1}{(2\pi)^3 2E_1} \frac{\dif^3 p_2}{(2\pi)^32E_2} (2\pi)^4 \delta^4(p_1 +p_2 -p) = \\
&= \left[\mbox{v klidové soustavě: } p=(M,\vec{0})\right] = \\
&= \iint \frac{1}{4\pi^2}\frac{\dif^3 p_1}{2E_1} \frac{\dif^3 p_2}{2E_2} \delta(E_1+E_2-M)\delta^3(\vec{p_1} +\vec{p_2}) = \\
&= \left[\mbox{integrace }\delta^3(\vec{p_1} +\vec{p_2}) \rightarrow \vec{p} \equiv \vec{p_1} = -\vec{p_2}, \dif^3 p = |\vec{p}|^2\dif \vec{p} \dif \Omega \right] = \\
&= \int \frac{1}{16 \pi^2} \frac{|\vec{p}|^2\dif \vec{p} \dif \Omega}{\sqrt{\vec{p}^2+m_1^2}\sqrt{\vec{p}^2+m_1^2}} \delta(\sqrt{\vec{p}^2+m_1^2} + \sqrt{\vec{p}^2+m_2^2} - M) = \\
&= \frac{4\pi}{16 \pi^2} \int_0^\infty \frac{x^2 \dif x}{\sqrt{x^2+m_1^2}\sqrt{x^2+m_1^2}} \delta(\sqrt{x^2+m_1^2} + \sqrt{x^2+m_2^2} - M) = \\
&= \left[ \delta(f(x)) = \frac{1}{|f'(x_0)|}\delta(x-x_0) \mbox{, kde } f(x_0)=0 \right] = \\
&= \frac{1}{4\pi} \int_0^\infty \frac{x^2 \dif x}{\sqrt{x^2+m_1^2}\sqrt{x^2+m_1^2}} \frac{\sqrt{x_0^2+m_1^2}\sqrt{x_0^2+m_2^2}}{x_0(\sqrt{x_0^2+m_1^2} + \sqrt{x_0^2+m_2^2})} \delta(x - x_0) = \\
&= \frac{1}{4\pi} \int_0^\infty \frac{x_0^2 \dif x}{\cancel{\sqrt{x_0^2+m_1^2}\sqrt{x_0^2+m_1^2}}} \frac{\cancel{\sqrt{x_0^2+m_1^2}\sqrt{x_0^2+m_2^2}}}{x_0(M)} \delta(x - x_0) = \\
&= \frac{x_0}{4\pi M},
\end{align*}
kde tedy $x_0$ je řešením rovnice $\sqrt{x_0^2+m_1^2} + \sqrt{x_0^2+m_2^2} = M$. Toto řešení je
\begin{align*}
x_0^2 = \frac{M^4 + m_1^4 + m_2^4 - 2M^2m_1^2 - 2M^2m_2^2 - 2m_1^2m_2^2}{4M^2} \equiv \frac{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}{4M^2},
\end{align*}
kde jsme pro označení použili takzvanou Köllenovu funkci.
Speciálně pro případ $m_1 = m_2 = m$ máme $x_0 = \frac{1}{2}\sqrt{M^2-4m^2}$ a pro integrální pravděpodobnost rozpadu v prvním řádu rozvoje při procesu $\varphi \rightarrow f + \bar{f}$ dostáváme
\begin{align*}
w^{(1)} = \frac{g^2}{8\pi}M\left( 1 - \frac{4m^2}{M^2}\right)^{\frac{3}{2}}.
\end{align*}
%__________________________________________________________________________________________________________________________________
\subsection{Výpočet $|\mathcal{M}|^2$ pro jednotlivé spiny}
Nyní vyjádříme v modelu $\lagr_{int} = g\bpsi \psi g$ jednotlivé členy z výrazu
\begin{align*}
\sum_{s,s'} |\mathcal{M}|^2 = |\mathcal{M}_{RR}|^2 + |\mathcal{M}_{LL}|^2 + |\mathcal{M}_{RL}|^2 + |\mathcal{M}_{LR}|^2.
\end{align*}
Rovnou od začátku očekáváme, že vyjde $|\mathcal{M}_{RL}|^2 = |\mathcal{M}_{LR}|^2 = 0$. Je to kvůli tomu, že výchozí částice má spin 0, a ten se musí zachovat. Jelikož výsledné částice se pohybují opačnými směry, musí mít stejnou helicitu, aby vyktory helicity mířily opačnými směry. Tuto domněnku ověříme výpočtem pro $\mathcal{M}_{LR} = g \bu_L(p) v_R(k)$.
\begin{align*}
\frac{1}{g^2} |\mathcal{M}_{LR}|^2 &= \bu_L(p) v_R(k) \bv_R(k) u_L(p) = Tr( u_L(p) \bu_L(p) v_R(k) \bv_R(k)) = \\
&= Tr\left( (\cancel{p}+m) \frac{1+\gamma_5 \cancel{s}_L(p)}{2} (\cancel{k}-m) \frac{1+\gamma_5 \cancel{s}_R(k)}{2} \right) =
[\cancel{s}_L(p) = -\cancel{s}_R(p)] = \\
&= \frac{1}{4} Tr\left( (\cancel{p}+m)(1-\gamma_5 \cancel{s}_R(p))(\cancel{k}-m)(1+\gamma_5 \cancel{s}_R(k))\right)
\end{align*}
Nyní využijeme některá pravidla pro počítání stop $\gamma$ matic, která nám umožní rovnou uvažovat jen nenulové členy. Platí, že stopa lichého počtu $\gamma$ matic je 0 a dále $Tr(\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_5) = 0$. Tím tedy dospějeme k výrazu
\begin{align*}
\frac{1}{g^2} |\mathcal{M}_{LR}|^2 &= \frac{1}{4} Tr\left( \cancel{p}\cancel{k} - \cancel{p}\gamma_5 \cancel{s}_R(p) \cancel{k} \gamma_5 \cancel{s}_R(k) - m^2 + m(-\gamma_5 \cancel{s}_R(p))(-m)\gamma_5 \cancel{s}_R(k) \right) = [\mbox{vzorečky}] = \\
&= k\cdot p-p\cdot s_R(k)+k\cdot p s_R(p)\cdot s_R(k)-p\cdot s_R(k) k\cdot s_R(p)-m^2-m^2s_R(p)\cdot s_R(k)= \\
&= [s_R(p)\mbox{ je kolmý k }p, p=q-k, k=q-p, \mbox{ v klidovém systému } q=(M,\vec{0})] = \\
&= (k\cdot p - m)(1+s_R(k)\cdot s_R(p))-M^2s_R^0(k)\cdot s_R^0(p)
\end{align*}
Připravíme si mezivýpočet, kde budeme potřebovat vztahy $\vec{k} = -\vec{p}$, $E=\frac{1}{2}M$, $|\vec{p}|^2 = E^2-m^2$, pak
\begin{align*}
k\cdot p &= \frac{1}{2}((k+p)^2-k^2-p^2) = \frac{1}{2}(M^2-2m^2), \\
s_R(k)\cdot s_R(p) &= s_R^0(k)s_R^0(p) - \vec{s_R}(k)\cdot \vec{s_R}(p) =
= \frac{|\vec{p}|^2}{m^2} + \frac{E^2}{m^2} = \frac{\frac{1}{2}M^2-m^2}{m^2}.
\end{align*}
Nyní můžeme psát:
\begin{align*}
\frac{1}{g^2} |\mathcal{M}_{LR}|^2 &= \left( \pol M^2 - 2m^2\right) \left( 1 + \frac{M^2-2m^2}{2m^2}\right) - M^2\frac{|\vec{p}|^2}{m^2} = \left[|\vec{p}|^2 = E^2-m^2 = \frac{M^2}{4}-m^2 \right] = \\
&= \left( \pol M^2 - 2m^2\right) \left( \frac{M^2}{2m^2}\right) - M^2\frac{\frac{M^2}{4}-m^2}{m^2} = 0. \mbox{ \huge{\Smiley{}}}
\end{align*}
Přesto, že jsme tento výsledek čekali, výpočet nebyl zbytečný, jelikož spinový popis jsme vlastně převzali z kvantové mechaniky. Je tedy dobré ověřit adekvátnost tohoto postupu.
Ostatní členy dostaneme zcela obdobně s tím, že v nich budou jiné kombinace znamének z výrazů $s_L(p) = - s_R(p)$. Tím dostaneme, že i $|\mathcal{M}_{RL}|^2 = 0$ a zbývající členy jsou stejné, tedy můžeme využít předchozího výsledku a psát
\begin{align*}
|\mathcal{M}_{LL}|^2 &= |\mathcal{M}_{RR}|^2 = \pol \sum_{s,s'}|\mathcal{M}|^2 = g^2(M^2-4m^2).
\end{align*}
POZOR! Studentům se doporučuje se na tuto část dobře podívat, protože podobný příklad může být u zkoušky.
\section{Model: Hmotné vektorové pole}
Nyní se budeme zabývat modelem hmotného vektorového pole (Procova) hmoty $M$. (Někdy se tomu říká "hmotná QED".) Zde máme $\lagr_{int} = a\bpsi \gamma^\mu \psi A_\mu$. V prvním řádu rozvoje můžeme použít vztah $\ham_{int} = -\lagr_{int}$, ale už od druhého řádu s tím je problém (viz KTP2).
Budeme zkoumat proces $V \rightarrow f + \bar{f}$, kde se vektorový boson rozpadá na fermion a antifermion. Máme tedy $\Ket{i} = \ad(q,\lambda)\Ket{0}$ a $\Ket{f}=\bd(p,s)\dd(k,s')\Ket{0}$. Připomeneme, že
\begin{align*}
A_\mu(x) = \int \dif^3 l N(l) \sum_{\lambda = 1}^3\left[ a(l,\lambda)\epsilon_\mu(l,\lambda)e^{-il\cdot x} + \ad(l,\lambda)\epsilon_\mu^*(l,\lambda)e^{il\cdot x} \right],
\end{align*}
kde $\epsilon_\mu(l,\lambda)$ jsou amplitudy rovinných vln, které jsou analogií k $u(p,s)$ a $v(k,s')$. Při výpočtu $\Braket{f|\lagr_{int}(x)|i}$ použijeme zcela analogickou argumentaci o nutné kombinaci kreačních a anihilačních operátorů a dospějeme k výrazům:
\begin{align*}
\Braket{f|\lagr_{int}(x)|i} &= g\bu(p,s)\gamma^\mu v(k,s')\epsilon_\mu(q,\lambda)N(k)N(p)M(q)e^{i(k+p-q)x} \\
S_{fi}^{(1)} &= N(k)N(p)M(q)i g\bu(p,s)\gamma^\mu v(k,s')\epsilon_\mu(q,\lambda)(2\pi)^4\delta^4(k+p-q) = \\
&= N(k)N(p)M(q)i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} (2\pi)^4\delta^4(p_f-p_i)
\end{align*}
Využitím "špůrování" a toho, že koeficienty $\epsilon_\mu(l,\lambda)$ jsou čísla můžeme získat výraz
\begin{align*}
|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 = g^2 Tr\left[ u(p,s)\bu(p,s)\gamma^\mu \bv(k,s') v(k,s')\gamma^\nu \right]\epsilon_\mu(q,\lambda)\epsilon_\nu^*(q,\lambda).
\end{align*}
%______________________________________________________________________________________________________________________________
\subsection{Případ nepolarizovaných částic}
Nyní budeme sčítat pravděpodobnosti rozpadu přes koncové stavy spinu $s$ a $s'$ a navíc počáteční boson se spinem 1 bude se stejnou pravděpodobností $(p=\frac{1}{3})$ ve všech stavech $\lambda = 1, 2, 3$ (respektive $\lambda = 0, \pm1$). Takzvanou "relevantní veličinou" ("spin averaged matrix element squared" - sčítání a středování přes spiny) je potom
\begin{align*}
\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{3}\sum_{s,s',\lambda} |\mathcal{M}|^2 = \frac{1}{3}g^2 Tr[(\cancel{p}+m)\gamma^\mu (\cancel{k}-m)\gamma^\nu]\left( -g_{\mu \nu} + \frac{1}{M}p_\mu q_\nu \right).
\end{align*}
Nejprve vypočteme člen úměrný $p_\mu q_\nu$.
\begin{align*}
&Tr[(\cancel{p}+m)\gamma^\mu (\cancel{k}-m)\gamma^\nu]p_\mu q_\nu = Tr[(\cancel{p}+m)\cancel{q} (\cancel{k}-m)\cancel{q}] = \\
&= Tr[\cancel{p}\cancel{q}\cancel{k}\cancel{q}-m\cancel{q}\cancel{q}]=4(p\cdot q k\cdot q-k\cdot p q^2 p\cdot q k\cdot q) - 4m^2q^2 = \\
&= [q=k+p, q^2=M^2, k^2=p^2=m^2] = 2(k^2+k\cdot p)(p^2+k\cdot p)-M^2k\cdot p-m^2M^2 = \\
&= \left[k\cdot p = \pol 2 k\cdot p = \ldots = \pol M^2-m2\right] = 2\pol M2 \pol M^2-M^2(k\cdot p +m2) = 0.
\end{align*}
K tomuto výsledku se dá dospět o něco kratším postupem pokud napřed vysčítáme přes $\lambda$, ale nefunguje to obecně v jiných modelech. Nyní dopočteme:
\begin{align*}
\overline{|\mathcal{M}|^2} &= \frac{1}{3}g^2 Tr[(\cancel{p}+m)\gamma^\mu (\cancel{k}-m)\gamma^\nu](-g_{\mu \nu}) =
[\gamma_\mu \gamma_\alpha \gamma^\mu = -2\gamma_\alpha] = \\
&= -\frac{1}{3}g^2 Tr[-2\cancel{p}\cancel{k}-m^2\gamma^\mu \gamma_\mu] = \frac{1}{3}g^2(8k\cdot p + 16m^2) = \frac{4}{3}g^2(M^2+2m^2).
\end{align*}
Nyní můžeme vyjádřit diferenciální pravděpodobnost rozpadu vystředovanou přes $\lambda$ a sečtenou přes $s,s'$ jako
\begin{align*}
w &= \frac{1}{2M}\overline{|\mathcal{M}|^2} LIPS_2 = \frac{1}{2M}\frac{4}{3}g^2(M^2+2m^2)\frac{1}{8\pi}\sqrt{1-4\frac{m^2}{M^2}} =
\frac{g^2}{12\pi} M \left( 1 + 2\frac{m^2}{M^2} \sqrt{1-4\frac{m^2}{M^2}} \right).
\end{align*}
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Vícečásticové rozpady}
Uvažujme například $\beta$ rozpad neutronu: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}$. Budeme počítat s interakčním Lagrangiánem, který navrhl přímo Fermi (1933/34).
\begin{align*}
\lagr_{int}^{(Fermi)}=G(\bpsi_p \gamma_\mu \psi_n)(\bpsi_e \gamma^\mu \psi_\nu) + h.c. = G(\bpsi_p \gamma_\mu \psi_n)(\bpsi_e \gamma^\mu \psi_\nu) + G(\bpsi_n \gamma_\mu \psi_p)(\bpsi_\nu \gamma^\mu \psi_e),
\end{align*}
kde $G$ je opět vazbová konstanta. Dnes už se používá trochu jiná verze
\begin{align*}
\lagr_{int}^{(dnes)}=-\frac{G_\beta}{\sqrt{2}}(\bpsi_p \gamma_\mu (1-f\gamma_5) \psi_n)(\bpsi_e \gamma^\mu (1-\gamma_5) \psi_\nu) + h.c. ,
\end{align*}
kde $G_\beta = G \cos(\theta_c)$ a $f\simeq 1,26$ je fenomenologický parametr. Nicméně Fermiho Lagrangián stále slouží jako poměrně dobré přiblížení v oblasti nízkých energií.
Pomocí $\lagr_{int}^{(Fermi)}$ můžeme popsat i některé srážkové procesy jako:
\begin{itemize}
\item $\nu + n \rightarrow p + e^-$
\item $e^+ + n \rightarrow p + \bar{\nu}$
\end{itemize}
Druhá část Lagrangiánu (hermitovsky sdružená) nám navíc umožňuje popsat procesy:
\begin{enumerate}
\item $p \rightarrow n + e^+ + \nu$
\item $\bar{\nu} + p \rightarrow n + e^+$
\item $e^- + p \rightarrow n + \nu $
\end{enumerate}
První z těchto procesů nevychází energeticky, a proto je možný jen například v jádře atomu, kde je možné energii získat jiným způsobem. Druhý proces je zase zajímavý tím, že pomocí něho byla prokázána existence neutrina.
Aplikací postupů použitých v předchozích částech si můžeme ověřit, že tyto procesy opravdu mohou pomocí uvedeného Lagrangiánu probíhat.
Feynmanův diagram procesu $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}$ je na obrázku \ref{feynman2} a maticový element $S$-matice v prvním řádu rozvoje má tvar:
\begin{align*}
S_{fi}^{(1)} &= N_n N_p N_e N_{\bar{\nu}} i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} (2\pi)^4 \delta^4(p_e+p_{\bar{\nu}} + p_p - p_n) \mbox{, kde} \\
\mathcal{M}_{fi}^{(1)} &= G(\bu_p \gamma_\mu u_n)(\bu_e \gamma^\mu v_{\bar{\nu}})
\end{align*}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.2]{feynman2.png}
\caption{Fenmannův diagram pro proces $n \rightarrow p + e^- \bar{\nu}$.}
\label{feynman2}
\end{figure}
Diferenciální pravděpodobnost rozpadu za jednotku času je
\begin{align*}
\dif w = \frac{1}{2M} |\mathcal{M}|^2 \frac{\dif^3 p_1}{(2\pi)^32E_1} \frac{\dif^3 p_2}{(2\pi)^32E_2} \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2 + p_3 - p).
\end{align*}
Problém je teď s tím, že pokud bychom chtěli napsat $w$, potřebovali bychom $LIPS_3$ a pro tenro výraz neexistuje formule v uzavřeném tvaru.
\textbf{Poznámka:} Dimenze vazbových konstant - jelikož je $[\lagr]=M^4, [\varphi]=M, [\bpsi]=M^{\frac{3}{2}}, [A^\mu]=M$, potom platí:
\begin{enumerate}
\item V modelech $g\bpsi \psi \varphi$, respektive $g\bpsi \gamma_\mu \psi A^\mu$ je $g$ bezrozměrná konstanta.
\item V modelu $G(\bpsi \psi)(\bpsi \psi)$ je $[G]=M^{-2}$.
\end{enumerate}
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Dodatek: problém kvadrátu $\delta$-funkce}
Nyní si zkusíme trochu sofistikovaněji poradit s výrazem $((2\pi)^4\delta^4(\Delta))^2$, kde $\Delta = p_f-p_i$. (Stále to nebude nijak matematicky rigorózní.) Chceme ospravedlnit krok:
\begin{align*}
((2\pi)^4\delta^4(\Delta))^2 \rightarrow (2\pi)^4\delta^4(0)(2\pi)^4\delta^4(\Delta) \rightarrow VT(2\pi)^4\delta^4(\Delta).
\end{align*}
Delta funkce ve výrazu $|S_{fi}|^2$ vznikla integrací: $\int \dif^4xe^{i\Delta x} = (2\pi)^4\delta^4(\Delta)$. Budeme-li integrovat v konečném objemu a čase, dostaneme:
\begin{align*}
X_{VT} &\equiv \int_{V,T} \dif^4xe^{i\Delta x} = \int_{-T/2}^{T/2} \dif x_0 e^{i\Delta_0 x_0} \int_V \dif^3 x e^{i\vec\Delta\cdot \vec{x}} = \left[ \frac{e^{i\Delta_0 x_0}}{i\Delta_0} \right]_{-T/2}^{T/2}V\delta_{\vec\Delta, \vec0}.
\end{align*}
Výraz $\delta_{\vec\Delta, \vec0}$ se zde chápe jako obyčejné Kroneckerovo $\delta$, které je 1 pokud jsou vektory shodné a jinak 0. Výsledek vychází z toho, že pro $\vec\Delta = \vec0$ integrujeme jedničku přes celý objem a pokud je alespoň jedna ze složek nenulová, je integrál nulový kvůli okrajovým podmínkám. Dále můžeme upravovat
\begin{align*}
X_{VT} &= \frac{e^{i\Delta_0\frac{T}{2}}-e^{-i\Delta_0\frac{T}{2}}}{2i}\frac{2V}{\Delta_0}\delta_{\vec\Delta, \vec0} = \frac{\sin(\frac{\Delta_0}{2}T)}{\frac{\Delta_0}{2}}V\delta_{\vec\Delta, \vec0}
\end{align*}
Nyní můžeme problematický výraz napsat jako
\begin{align*}
|X_{VT}|^2 &= \frac{\sin^2(\frac{\Delta_0}{2}T)}{\left(\frac{\Delta_0}{2}\right)^2}V^2(\delta_{\vec\Delta, \vec0})^2 = \frac{\sin^2(\frac{\Delta_0}{2}T)}{\left(\frac{\Delta_0}{2}\right)^2}V^2(\delta_{\vec\Delta, \vec0}),
\end{align*}
jelikož ve výrazu již je jen obyčejné Krocenkerovo $\delta$ a nikoli $\delta$-funkce. Dále platí, že
\begin{align*}
\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{\sin^2 Tx}{Tx^2} = \pi \delta(x).
\end{align*}
To je vidět z toho, že pro $x \rightarrow 0$ jde výraz k pod limitou k $T$, a tedy limita do $+\infty$. Dále pro $x \neq 0$ je zřejmě limita 0 a navíc $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2 Tx}{T^2x^2}T \dif T = \pi$, což snadno spočteme substitucí. Nyní tedy máme:
\begin{align*}
|X_{VT}|^2 \underset{V,T \rightarrow \infty}\longrightarrow T \pi \delta(\frac{\Delta_0}{2})V(2\pi)^3\delta(\vec\Delta) = VT\pi 2 \delta(\Delta_0)(2\pi)^3\delta(\vec\Delta) = VT 2\pi (2\pi)^4 \delta(\Delta).
\end{align*}
Šipka v poslední výrazu není limita, jelikož $T$ se vyskytuje na pravé straně. Je to jen přiblížení výsledku v případě, že $T$ je hodně velké.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Procesy rozptylu, účinný průřez}
Budeme se opět pohybovat v 1. řádu poruchového rozvoje. Uvedeme napřed příklad pro interakci elektronového a neutrinového pole. Interakční Lagrangián tohoto procesu má tvar
\begin{align*}
\lagr_{int} = - \frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bpsi_\nu \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_e][\bpsi_e \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_\nu],
\end{align*}
kde $G_F$ je Fermiho vazbová konstanta ($G_F \doteq 10^{-5} GeV$) a index $\nu$ neznačí složku čtyřvektoru, ale neutrinové pole a $e$ značí elektronové pole. (Musíme zde rozlišit dvě rozdílná pole Diracova typu.) Tímto interakčním Lagrangiánem můžeme popsat následující procesy:
\begin{enumerate}
\item $\nu + e \rightarrow \nu + e$
\item $\bar\nu + e \rightarrow \bar\nu + e$
\item $e^+ + e^- \rightarrow \bar\nu + \nu$
\end{enumerate}
Vezměme nyní konkrétně první proces $\nu + e \rightarrow \nu + e$. Zde máme iniciální a finální stavy
\begin{align*}
\Ket{i} = \bd_\nu(k) \bd_e(p) \kvak , \quad \Ket{f} = \bd_\nu(k') \bd_e(p') \kvak.
\end{align*}
Zcela analogickým výpočtem jako v předchozí sekci dostaneme pro $S_{fi}^{(1)}$ výraz
\begin{align*}
S_{fi}^{(1)} = i\int \dif^4 x \Braket{f|\lagr_{int}|f} = N_k N_p N_{k'} N_{p'} i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} (2\pi)^4 \delta^4(P_f - P_i)
\end{align*}
\subsection{Účinný průřez}
Nyní máme obecný proces typu $1+2 \rightarrow 3+4+\ldots + n$, kde čísla značí částice s impulsy $p_1, p_2, \ldots, p_n$. $S_{fi}^{(1)}$ bude mít opět obvyklý tvar s patřičnými normovacími konstantami a $\delta$-funkcí rozdílu celkového počátečního a konečného čtyřimpulsu. \textbf{Diferenciální účinný průřez} zavádíme jako
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{\mbox{počet případů reakce za jednotku času}}{\mbox{intenzita toku dopadajících částic}} = \\
&= \frac{\mbox{počet případů reakce za jednotku času}}{\mbox{počet dopadajících částic prošlých jednotkou plochy za jednotku času}} = \\
&= \frac{N\frac{1}{T}|S_{fi}^{(1)}|^2 \frac{V\dif^3 p_3}{(2\pi)^3}\frac{V\dif^3 p_4}{(2\pi)^3} \cdots \frac{V\dif^3 p_n}{(2\pi)^3}}{\frac{N}{V}|\vec v_1 - \vec v_2|}
\end{align*}
zde předpokládáme, že $\vec v_1 \parallel \vec v_2$ a výraz ve jmenovateli není rychlost žádného objektu, ale jen hrana "kvádu" ve kterém jsou interagující částice. Může se tedy stát, že $|\vec v_1 - \vec v_2|>c$ a není to žádný spor se speciální relativitou. Pokračujeme dále v úpravách
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{\frac{1}{T}\frac{1}{2E_1V}\frac{1}{2E_2V}\cdots \frac{1}{2E_nV}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{V\dif^3 p_3}{(2\pi)^3}\frac{V\dif^3 p_4}{(2\pi)^3} \cdots \frac{V\dif^3 p_n}{(2\pi)^3}(2\pi)^4\delta^4(P_f - P_i)VT}{\frac{1}{V}|\vec v_1 - \vec v_2|} = \\
&= \frac{1}{|\vec v_1 - \vec v_2|}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dif^3 p_4}{(2\pi)^32E_4} \cdots \frac{\dif^3 p_n}{(2\pi)^32E_n}(2\pi)^4\delta^4(P_f - P_i),
\end{align*}
Kde jsme opět použili normalizaci kvadrátu $\delta$-funkce.
\subsection{Binární procesy}
Omezíme se nyní na případ procesu $1+2 \rightarrow 3+4$, kde tedy máme
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{1}{|\vec v_1 - \vec v_2|}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dif^3 p_4}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\delta^4(p_3 + p_4 - p_1 - p_2).
\end{align*}
Budeme pracovat v těžišťové soustavě (CM - "center of mass"), kde platí $\vec p_2 = - \vec p_1 \equiv p_{CM}$ a $\vec p_4 = - \vec p_3 \equiv p_{CM}'$. Pak máme
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{1}{\frac{|\vec p_{CM}|}{E_1}+ \frac{|\vec p_{CM}'|}{E_2}}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dif^3 p_4}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\delta(E_3 + E_4 - E_1 - E_2) \delta^3(\vec p_3 + \vec p_4).
\end{align*}
Nyní ještě použijeme vztah $E_1 = \sqrt{|\vec p_1|^2-m_1^2}$ a zintegrujeme $\int \dif^3 p_4$. Přesto, že dostaneme jiný diferenciální účinný průřez, používáme pro něj stejné značení (dokud je tam nějaký diferenciál, říká se tomu prostě diferenciální účinný prořez a musí se to asi vždy konkrétně upřesnit.)
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{1}{|\vec p_{CM}|}\frac{E_1 E_2}{E_1 + E_2}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_{CM}}{(2\pi)^32E_3}\frac{1}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\\
&\delta(\sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_3^2} + \sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_4^2} - E_{CM}).
\end{align*}
Pro popis procesů rozptylu se hodí takzvané \textbf{Mandelstamovy invarianty}:
\begin{align*}
s &= (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2, \\
t &= (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2, \\
u &= (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2. \\
\end{align*}
Invariant $s$ je pevně určen, zatímco $t$ a $u$ jsou zaměnitelné. (Není jasně dáno, která částice je 3 a která 4.) Platí užitečný vztah
\begin{align*}
s+t+u = \sum_{i=1}^4 m_i^2.
\end{align*}
Spočteme-li $s$ v těžišťovém systému, dostaneme $s = (E_1 + E_2)^2-(\vec p_1 + \vec p_2)^2 = (E_1 + E_2)^2$ a můžeme přepsat předchozí výsledek jako
\begin{align*}
&\dif \sigma = \\
&= \frac{1}{|\vec p_{CM}|}\frac{1}{\sqrt{s}}\frac{1}{16} \frac{1}{(2\pi)^4}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 \vec p_{CM}'}{(2\pi)^32E_3}\frac{1}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\delta(\sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_3^2} + \sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_4^2} - \sqrt{s}).
\end{align*}
Označíme-li $|\vec p_{CM}'|=x$, pak $\dif^3 \vec p_{CM}' = x^2 \dif x \dif \Omega_{CM}$. Integrací přes $x$ dostane úhlový diferenciální účinný průřez:
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{1}{64\pi}\frac{1}{|\vec p_{CM}|\sqrt{s}}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{x_0^2 \dif \Omega_{CM}}{\sqrt{x_0^2+m_3^2}\sqrt{x_0^2+m_4^2}}\frac{\sqrt{x_0^2+m_3^2}\sqrt{x_0^2+m_4^2}}{x_0\sqrt{s}},
\end{align*}
kde jsme použili vztah $\delta{f(x)}=\frac{1}{|f'(x_0)|}\delta(x-x_0)$, kde $f(x_0)=0$. Nakonec dostáváme úhlové rozdělení
\begin{align*}
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{CM}} &= \frac{1}{64\pi}\frac{|\vec p_{CM}'|}{|\vec p_{CM}|}\frac{1}{s}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 ,
\end{align*}
kde $|\vec p_{CM}| = \frac{\lambda^{\pol}(s,m_1^2,m_2^2)}{2\sqrt{s}}$ a $|\vec p_{CM}'| = \frac{\lambda^{\pol}(s,m_3^2,m_4^2)}{2\sqrt{s}}$. Pro speciální případ pružné srážky $1+2 \rightarrow 1+2$ nebo pokud můžeme zanedbat klidové hmotnosti částic, platí $|\vec p_{CM}| = |\vec p_{CM}'|$ , a tedy podíl ve výrazu pro úhlové rozdělení je roven 1.
\textbf{Poznámka:} Pro binární procesy je $[s]=M^2$ a $\left[ \frac{dif \sigma}{\dif \Omega_{CM}}\right] = M^{-2}$, a tedy $\mathcal{M}_{fi}^{(1)}$ je bezrozměrné.
\subsubsection*{Zpět k příkladu}
Nyní se vrátíme k příkladu $\nu + e \rightarrow \nu + e$ s interakčním Lagrangiánem
\begin{align*}
\lagr_{int} = - \frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bpsi_\nu \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_e][\bpsi_e \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_\nu],
\end{align*}
kde pro náš proces dostaneme maticový element
\begin{align*}
\mathcal{M}_{fi}^{(1)} = - \frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bu(p') \ga^\rho(1-\ga_5)u(k)][\bu(k') \ga^\rho(1-\ga_5)u(p)].
\end{align*}
nyní budeme počítat kvadrát maticového elementu a středovat přes spiny. Normálně bychom dali faktor $\frac{1}{4}$ a sčítali přes spin. Zde je však jen faktor $\pol$. Je to kvůli tomu, že neutrina vznikají jen levotočivá a zároveň pravotočivá neutrina do reakce vůbec nepřispívají, takže vlastně sčítáním přes spiny neutrina jen přidáme nulu. Dostáváme
\begin{align*}
\overline{|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2} &= \pol \sum_{spiny} \frac{G_F^2}{2}[\bu(p') \ga^\rho(1-\ga_5)u(k)][\bu(k') \ga^\rho(1-\ga_5)u(p)]\\
&[\bu(k) \ga^\rho(1-\ga_5)u(p')][\bu(p) \ga^\rho(1-\ga_5)u(k')] = \\
&= [\mbox{každá závorka sama o sobě je česlo a tak je můžeme přeházet před špůrováním}] = \\
&= \frac{G_F^2}{4} \sum_{spiny} Tr[u(p')\bu(p') \ga^\rho(1-\ga_5)u(k)\bu(k) \ga^\rho(1-\ga_5)]\\
&Tr[u(k')\bu(k') \ga^\rho(1-\ga_5)u(p)\bu(p) \ga^\rho(1-\ga_5)] = \\
&= [\mbox{zanedbáváme hmotu neutrina}] = \\
&= \frac{G_F^2}{4} \sum_{spiny} Tr[(\psl'+m) \ga^\rho(1-\ga_5)\ksl \ga^\rho(1-\ga_5)]\\
&Tr[\ksl'\ga^\rho(1-\ga_5)(\psl+m) \ga^\rho(1-\ga_5)].
\end{align*}
Provedeme další úpravy prokomutováním a vztahem $(1-\ga_5)^2=2(1-\ga_5)$, stopa lichého počtu $\ga$-matic je nula a využije "formule 32":
\begin{align*}
Tr[\asl \ga^\rho \bsl \ga^\sigma]Tr[\csl \ga_\rho \dsl \ga_\sigma] &= 32[(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)], \\
Tr[\asl \ga^\rho \bsl \ga^\sigma\ga_5]Tr[\csl \ga_\rho \dsl \ga_\sigma\ga_5] &= 32[(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)], \\
Tr[\asl \ga^\rho \bsl \ga^\sigma]Tr[\csl \ga_\rho \dsl \ga_\sigma\ga_5] &= 0. \\
\end{align*}
Potom dostaneme
\begin{align*}
\overline{|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2} &= 64 G_F^2(k\cdot p)(k'\cdot p') = \\
&= [s=(k+p)^2=0+m^2+2k\cdot p =(k'+p')^2=0+m^2+2k'\cdot p' \ra 2k\cdot p =2k'\cdot p'= s-m^2] = \\
&= 16G_F^2(s-m^2)^2.
\end{align*}
Potom pro úhlové rozdělení platí
\begin{align*}
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{CM}} = \frac{1}{64\pi}\frac{1}{s}16G_F^2(s-m^2)^2=\frac{G_F^2}{4\pi^2}\frac{(s-m^2)^2}{s}.
\end{align*}
Integrací přes $\dif \Omega_{CM}$ ($s$ na rozdíl od $t$ a $u$ nezávisí na úhlu, a tedy ani diferenciální účinný průřez) dostáváme \textbf{celkový účinný průřez} reakce
\begin{align*}
\sigma = \frac{G_F^2}{\pi}\frac{(s-m_e^2)^2}{s} \doteq \frac{G_F^2}{\pi}s,
\end{align*}
kde jme uvedli přiblížení při zanedbání hmoty elektronu ($s >> m_e$).
\textbf{Poznámka:} Pokud uděláme rozměrovou úvahu $[\sigma]=L^2=M^{-2}=E^{-2}$, dále $[|\mathcal{M}|^2]=[G_F^2]=E^{-4}$. Potřebujeme tedy něco rozměru $E^2$, což je $s$, a tedy můžeme odhadnou bez jakéhokoli počítání řádově správný výsledek $\sigma \sim G_F^2 s$.
\textbf{Poznámka:} Uvedeme příklad numerických hodnot $\sigma$. V laboratorním systému platí $p_e=(m_e,\vec 0)$, $p_\nu(E_\nu,\vec p_\nu)$, $|E_\nu| \doteq |\vec p_\nu|$. Pak máme
\begin{align*}
&s = (p_\nu + p_e)^2 = (m_e+E_\nu)^2- \vec p_\nu^2 = (m_e+E_\nu)^2- E_\nu^2 = 2m_e E_\nu + m_e^2 \doteq 2m_e E_\nu \mbox{, a tedy} \\
&\sigma_{E_\nu >> m_e} \doteq \frac{G_F^2}{\pi}2m_e E_\nu \doteq 0,3\cdot 10^{-13} GeV,
\end{align*}
kde jsme dosadili $G_F = 10^{-5}GeV^{-1}$, $2m_e = 1MeV$ a zvolili jsme si $E_\nu = 1GeV$. Pro převod do jednotek SI jsme použijeme konverzní konstantu $\hbar c = 0,197 fm GeV$ a dostaneme
\begin{align*}
\sigma_{\nu e \rightarrow \nu e} \doteq 10^{-41} cm^2 = 10^{-17} barnu.
\end{align*}
%-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Pohyb ve vnějším EM poli, Mottova formule}
Můžeme uvažovat například pohyb elektronu v poli protonu, kde však proton považujeme za nehybný, a proto jeho působení popisujeme jako vnější pole. Postup budeme opět ilustrovat na příkladu. Mějme interakční Lagrangián:
\begin{align*}
\lagr_{int} = e\bpsi(x)\ga_\mu \psi(x)A^\mu(x),
\end{align*}
kde $A^\mu(x)$ je nějaká daná čtyřkomponentní komplexní funkce $x$. Máme počáteční a koncový stav:
\begin{align*}
\Ket{i} = \bd(p,s)\kvak , \quad \Ket{f} = \bd(p',s')\kvak.
\end{align*}
Budeme opět počítat maticový element
\begin{align*}
S_{fi}^{(1)} &= i\int \dif^4 x \Braket{f|\lagr_{int}|i} = i\int \dif^4 x \bvak b(p',s')e\bpsi \ga_\mu \psi A^\mu \bd(p,s)\kvak = \\
&= ie N_p N_{p'} \bu(p',s')\ga^\mu u(p,s)\int \dif^4 x e^{i(p'-p)x} A^\mu(x).
\end{align*}
Zde již integrováním nedostaneme $\delta$-funkci ale Fourierovsky transformované pole $\tilde A_\mu(q)$ v proměnné $q=p'-p$.
\subsection{Statické vnější pole}
V případě $A_\mu(x) = A_\mu(\vec x)$ dostaneme integrací přes nultou složku výraz $2\pi\delta(E'-E)$, a tedy (přejdeme od čárkování k ozanačení $i$ a $f$ pro počáteční a koncový stav)
\begin{align*}
S_{fi}^{(1)} &= N_i N_f i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} 2\pi \delta(E_f-E_i), \\
\mathcal{M}_{fi}^{(1)} &= e \bu(p_f,s_f)\ga^\mu u(p_i,s_i)\tilde A_\mu(q).
\end{align*}
\subsection{Účinný průřez}
Pro diferenciální účinný průřez reakce s vnějším polem na pevném terči platí
\begin{align*}
\dif \sigma &= \frac{\mbox{počet případů reakce za jednotku času}}{\mbox{intenzita toku dopadajících částic}} = \\
&= \frac{N\frac{1}{T}|S_{fi}^{(1)}|^2 \frac{V\dif^3 p_f}{(2\pi)^3}}{\frac{N}{V}|\vec v_i|} = \\
&= [\mbox{dosazení a normalizace kvadrátu delta funkce}] = \\
&= \frac{V}{T}\frac{1}{|\vec v_i|}N_i^2 N_f^2 |\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 2\pi T \delta(E_f-E_i) = \\
&= \frac{1}{|\vec v_i|}\frac{1}{2E_i} |\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_f}{(2\pi)^32E_f} 2\pi \delta(E_f-E_i)
\end{align*}
Pomocí vztahů $\dif^3 p_f = |\vec p_f|\dif |\vec p_f| \dif \Omega_f$, $|\vec p_f|\dif |\vec p_f| = E_f \dif E_f$, kde $E_f=\sqrt{|\vec p_f|^2+m^2}$, můžeme zintegrovat přes $E_f$ a dostaneme
\begin{align*}
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{f}} &= \frac{E_i}{|\vec p_i|} \frac{1}{2E_i}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{|\vec p_f|E_i}{4\pi^2(2E_i)} = \frac{1}{16\pi^2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2.
\end{align*}
V našem případě je $\mathcal{M}_{fi}^{(1)}=e \bu(p_f,s_f)\ga^\mu u(p_i,s_i)\tilde A_\mu(q)$.
\subsection{Coulombovo pole}
Vezměme nyní speciální případ Coulombova pole, tedy
\begin{align*}
A_\mu(x) = (\frac{1}{4\pi}\frac{e}{r},\vec 0),
\end{align*}
kde $r=|\vec x|$ $\frac{e^2}{4\pi} = \alpha \doteq \frac{1}{137}$. Potom máme $\tilde A_\mu(q) = (\frac{e}{|\vec q|^2},\vec 0)$ pro úhlové rozdělení pak máme
\begin{align*}
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{f}} &= \frac{1}{16\pi^2}|e\bu(p_f,s_f)\ga^0 u(p_i,s_i)\frac{e}{|\vec q|^2}|^2 = \\
&= \frac{e^4}{16\pi^2}\frac{1}{|\vec q|^4}\bu(p_f,s_f)\ga^0 u(p_i,s_i)\bu(p_i,s_i)\ga^0 u(p_f,s_f) = \\
&= \frac{(4\pi\alpha)^2}{16\pi^2}\frac{1}{|\vec q|^4}Tr[u(p_f,s_f)\bu(p_f,s_f)\ga^0 u(p_i,s_i)\bu(p_i,s_i)\ga^0 ].
\end{align*}
Kdybychom proces dále zkoumali s polarizací, zjistili bychom například, že je zde efekt depolarizace polarizovaných elektronů rozptylem. My spočteme jen nepolarizovaný případ
\begin{align*}
\frac{\dif \overline{\sigma}}{\dif \Omega_{f}} &= \pol \sum_{spiny} |\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{1}{16\pi^2} = \pol \frac{\alpha^2}{|\vec q|^4} Tr[(\psl_f+m)\ga_0(\psl_i+m)\ga_0] = \pol \frac{\alpha^2}{|\vec q|^4} Tr[(\psl_f\ga_0\psl_i\ga_0 + m^2\ga_0] =\\
&= [E_f=E_i\equiv E] = \frac{\alpha^2}{2|\vec q|^4}(4(2E^2-p_i\cdot p_f)+4m^2) = [p_i\cdot p_f = E^2-|\vec p|^2\cos(\theta)] = \\
&= \frac{2\alpha^2}{|\vec q|^4}(E^2+|\vec p|^2\cos(\theta)+m^2) = [|\vec p|^2=E^2-m^2] = \frac{2\alpha^2}{|\vec q|^4}(E^2(1+\cos(\theta)) + m^2(1-\cos(\theta))) = \\
&= \ldots = \frac{\alpha^2}{4\beta^2|\vec q|^2 \sin^4(\frac{\theta}{2})}\left( 1-\beta^2 \sin^2(\frac{\theta}{2})\right),
\end{align*}
kde $\beta = \frac{|\vec p|}{E}$. Tento výsledek se nazývá \textbf{Mottova formule} (tedy vztah pro pohyb Diracovy částice ve vnějším Coulobickém potenciálu). Pokud zanedbáme $\beta^2$ vůči jednotce, dostaneme klasickou Rutherfordovu formuli.
