Zdrojový kód
%\wikiskriptum{KTP1}
\chapter{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}
\section{Klasické částice}
Začneme Lagrangeovým formalismem pro částice a následně přejdeme k popisu pole. Základním objektem je Lagrangeova funkce
\begin{equation*}
L=L(q_\alpha(t),\dot{q_\alpha}(t)),
\end{equation*}
kde $\alpha$ probíhá přes všechny obecné souřadnice (stupně volnosti). Fyzikální pohyb se řídí principem stacionární akce. Tedy se děje po takových trajektoriích, na kterých funkcionál
\begin{equation*}
S=\int_{t_1}^{t_2} \dif t L(q_\alpha(t),\dot{q_\alpha}(t))
\end{equation*}
nabývá extremální hodnoty, tedy $\delta S=0$. Tento princip pak vede na Lagrangeovy rovnice:
\begin{equation*}
\frac{\dif}{\dif t} \frac{\parc L}{\parc \dot{q_\alpha}} - \frac{\parc L}{\parc q_\alpha} =0.
\end{equation*}
K odvození těchto rovnic se používá integrace per-partes a předpoklad, že variace na koncích časového intervalu jsou nulové.
\section{Klasické pole}
Při přechodu k teorii pole "zrovnoprávníme" čas s prostorovými souřadnicemi a akci budeme nyní psát ve tvaru
\begin{equation*}
S=\int \dif t \int \dif^3 x \mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)) = \int \dif^4 x\mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)).
\end{equation*}
Zde $\mathcal{L}$ je \textbf{hustota Lagrangeovy funkce} nebo krátce \textbf{Lagrangián} a $\varphi$ je souřadnice pole. Jelikož $\varphi(x)$ je funkcí souřadnic, máme systém o nekonečném počtu stupňů volnosti. (Hodnota pole v každém bodě je nezávislý stupeň volnosti.) Poznamenejme, že v jednotkách $c=\hbar=1$ je akce $S$ bezrozměrná. Nyní použijeme stejný variační princip $\delta S=0$ a obdobnou podmínku, že "povrchový člen" (viz níže) v integraci per-partes je nulový. Máme tedy:
\begin{align*}
0=\delta S= \int \dif^4 x\mathcal{L} =
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} \delta \varphi + \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \delta (\parc_\mu \varphi) \right] = \\
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} \delta \varphi + \parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \delta \varphi \right) -
\parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\right) \delta \varphi \right] = \\
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} - \parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\right) \right] \delta \varphi ,
\end{align*}
kde jsme využili jednak toho, že $\delta (\parc_\mu \varphi) = \parc_\mu (\delta \varphi)$, jednak nulovosti prostředního "povrchového" členu. To odpovídá předpokladu, že všechna pole dostatečně rychle ubývají do nekonečna, a tedy jsou na dostatečně vzdálené hranici nulová. Jelikož rovnice musí platit pro všechna $\delta \varphi$ (přesněji ze základní věty variačního počtu) dostáváme rovnice:
\begin{equation*}
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} = 0.
\end{equation*}
Opakováním stejného postupu pro případné další složky pole bychom dostali zobecnění \textbf{Euler-Lagrangeových rovnic} v podobě:
\begin{equation*}
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi_r} = 0 \quad r=1, 2, \ldots , n.
\end{equation*}
Zde ještě poznamenáme, že dimenze $\mathcal{L}$ je $M^4$. Je to vidět z toho, že $\dif^4 x$ má rozměr $L^4=M^{-4}$ a výsledná akce je bezrozměrná.
\section{Příklady}
Nyní uvedeme několik příkladů Hamiltoniánů vedoucích na rovnice, které se vyskytly dříve v přednášce.
\subsection{Reálné Klein-Gordonovo pole}
V tomto případě máme reálnou skalární funkci $\varphi$ a chceme dostat rovnici
\begin{equation}
\label{eq:KG}
(\square + m^2)\varphi = 0.
\end{equation}
Je nám nabídnuto použít Hamiltonián ve tvaru
\begin{equation*}
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2 ,
\end{equation*}
který do jisté míry připomíná Hamiltonián harmonického oscilátoru (kinetický a potenciální člen). Jelikož vynásobení akce konstantou vede na stejný variační princip, nemuseli bychom zde mít faktor $\frac{1}{2}$. Ten se nám však bude hodit později pro jednodušší vztah pro určení energie z Lagrangiánu. Při odvození budeme postupovat "foolproof" metodou, tedy vše do mrtě rozepíšeme.
\begin{align*}
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} &=
\frac{\parc }{\parc (\parc_\mu \varphi)} \left( \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \parc_\alpha \varphi \parc_\beta \varphi \right) =
\frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( \frac{\parc (\parc_\alpha \varphi)}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\parc_\beta \varphi + \parc_\alpha \varphi \frac{\parc (\parc_\beta \varphi)}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \right) = \\
&= \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( g_\alpha^\mu \parc_\beta \varphi + \parc_\alpha \varphi g_\beta^\mu \right) =
\frac{1}{2} \left( \parc^\mu \varphi + \parc^\mu \varphi \right) = \parc^\mu \varphi.
\end{align*}
Dále zřejmě $\pd{\lagr}{\varphi} = -m^2 \varphi$, a tedy dostáváme Euler-Lagrangeovu rovnici:
\begin{equation*}
\parc^\mu \varphi \parc_\mu \varphi + m^2\varphi^2=0,
\end{equation*}
což je přesně Klein-Gordonova rovnice.
\subsection{Komplexní Klein-Gordonovo pole}
Tento příklad je obdobou předchozího, kde místo reálné funkce $\varphi$ uvažujeme $\varphi = \varphi_1 + i\varphi_2$. Rovnice bude opět \ref{eq:KG} a reálná a imaginární část $\varphi$ nyní odpovídá dvěma komponentám pole. Použijeme obdobný Lagrangián a upravíme ho na výraz:
\begin{equation*}
\mathcal{L} = \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi^* - m^2\varphi\varphi^* = \parc_\mu \varphi_1 \parc^\mu \varphi_1 + \parc_\mu \varphi_2 \parc^\mu \varphi_2 - \frac{1}{2}m^2(\varphi_1^2 + \varphi_2^2).
\end{equation*}
Tedy máme Euler-Lagrangeovy rovnice:
\begin{equation*}
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi_i)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi_i} = 0 \quad i=1, 2,
\end{equation*}
ze kterých plyne Klein-Gordonova rovnice pro $\varphi_1$ a $\varphi_2$. Jelikož samotná rovnice je reálná, dostáváme i Klein-Gordonovu rovnici pro celé $\varphi$. Místo dvou komponent $\varphi_1$ a $\varphi_2$ jsme mohli za složky pole vzít i $\varphi$ a $\varphi^*$.
\subsection{Procovo respektive Maxwellovo pole}
Zde máme Lagrangián:
\begin{equation*}
\mathcal{L}_{Proca} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu ,
\end{equation*}
kde $F_{\mu\nu} = \parc_\mu A_\nu -\parc_\nu A_\mu $ a zlomky jsou zde opět kvůli normalizaci energie. Komponenty $\varphi_r$ odpovídají složkám čtyřvektoru $A_\rho$, $\rho=0, 1, 2, 3$. Nyní provedeme derivaci obdobně jako v předchozích příkladech a dostaneme správný tvar rovnice:
\begin{equation*}
\parc_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0.
\end{equation*}
\subsection{Diracovo pole}
Diracova rovnice (normální a sdružená) má tvar
\begin{align*}
&i\gamma^\mu \parc_\mu \psi - m \psi = 0, \quad
&i\parc_\mu \bpsi \gamma^\mu + m \bpsi = 0
\end{align*}
pro čtyřkomponentní funkci $\psi=(\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4)^T$. Zde $\psi$ a $\bar{\psi}$ můžeme opět chápat jako nezávislé proměnné a máme tedy celkem 8 složek. Lagrangián vedoucí na tyto rovnice má tvar:
\begin{equation*}
\mathcal{L}_{Dirac} = \frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^\mu \stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu}\psi - m\bar{\psi}\psi ,
\end{equation*}
kde $f\stackrel{\leftrightarrow}{\parc}g=f(\parc g)-(\parc f)g$. Při výpočtu se dá "derivovat podle matice", což znamená, že nebudeme psát index u $\psi$ ani dva indexy a $\gamma$ matic. Pak máme:
\begin{align*}
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \psi)} = \frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^\mu , \quad
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \bar{\psi)}} = \frac{i}{2} \gamma^\mu \psi .
\end{align*}
Dostáváme (nezapomeneme derivovat i první člen Lagrangiánu podle $\psi$) Eulerovy-Lagrangeovy rovnice jako Diracovy rovnice symetricky pro $\psi$ a $\bar{\psi}$. Zde se často využívá toho, že k Lagrangiánu můžeme přičíst libovolnou čtyřdivergenci, čímž opět nezměníme pohybové rovnice (přidaný člen dá nulu díky nulovosti polí na hranici). Konkrétně přičteme výraz $\parc_\mu \left( \frac{i}{2}\bar{\psi} \gamma^\mu \psi \right)$ a získáme tak nový Hamiltonián (který již není symetrický v $\psi$ a $\bar{\psi}$):
\begin{equation*}
\tilde{\mathcal{L}}_{Dirac} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m\bar{\psi}\psi .
\end{equation*}
I odvození Euler-Lagrangeových rovnic je s tímto Hamiltoniánem jednodušší a navíc je v něm v podstatě přímo vidět Diracova rovnice.
\section{Zákony zachování (integrály pohybu) v klasické teorii pole}
\subsection{Klasická mechanika}
Vezmeme jako příklad harmonický oscilátor a z jeho pohybové rovnice odvodíme zachování energie:
\begin{align*}
\ddot{x} + \omega^2 x &= 0 \quad |\cdot \dot{x} \\
\frac{1}{2} \frac{\dif}{\dif t}(\dot{x}^2) + \frac{1}{2}\frac{\dif}{\dif t}(x^2)\omega^2&=0 \\
\frac{\dif}{\dif t}\left( \frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}x^2\omega^2 \right)&=0 \\
\frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}x^2\omega^2 &= konst.
\end{align*}
\subsection{Klasické Klein-Gordonovo pole}
Analogický postup můžeme zopakovat i pro Klasické Klein-Gordonovo pole:
\begin{align*}
\parc_\mu \parc^\mu \varphi + m^2\varphi &= 0 \quad |\cdot \parc^\nu \varphi \\
\parc_\mu \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi + m^2\varphi \parc^\nu \varphi &= 0 \\
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \parc^\mu \varphi \parc_\mu \parc^\nu \varphi + \frac{1}{2}m^2\parc^\nu(\varphi^2) &= 0 \\
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \frac{1}{2}\parc^\nu(\parc^\mu \varphi \parc_\mu \varphi) + \frac{1}{2}m^2\parc^\nu(\varphi^2) &=0 \\
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \parc^\nu \left( \frac{1}{2} \parc^\alpha \varphi \parc_\alpha \varphi) + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 \right) &=0 \\
\parc_\mu \left[ \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \left( \frac{1}{2} \parc_\alpha \varphi \parc^\alpha \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2 \right)\right] &=0 \\
\parc_\mu \left[ \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \mathcal{L} \right] &=0 \\.
\end{align*}
Dostali jsme tedy vztah
\begin{equation}
\label{eq:tei}
\parc_\mu \mathcal{T}^{\mu\nu} = 0,
\end{equation}
kde jsme označili \textbf{tenzor energie a impulsu} (tenzor energie a hybnosti):
\begin{equation*}
\mathcal{T}^{\mu\nu} = \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \mathcal{L} .
\end{equation*}
Pro další výklad je důležité, že rovnice \ref{eq:tei} má pro každou složku $\nu$ tvar rovnice kontinuity:
\begin{equation*}
\parc_\mu J^{\mu} = 0.
\end{equation*}
Název tenzor energie a hybnosti pro $\mathcal{T}^{\mu\nu}$ je oprávněný. Například složka $\mathcal{T}^{00}$ představuje přirozenou analogii hustoty energie. To je vidět z následujícího srovnání s klasickou mechanikou. V klasické mechanice získáme Hamiltonián $H$ (tedy energii) z Lagrangeovy funkce $L$ pomocí vztahu:
\begin{equation*}
H=\frac{\parc L}{\parc \dot{q}}\dot{q}-L.
\end{equation*}
Nyní máme hustotu Lagrangeovy funkce $\mathcal{L}$ a pro $\mathcal{T}^{00}$ platí:
\begin{equation*}
\mathcal{T}^{00}=\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \mathcal{L} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)}\parc_0 \varphi - \mathcal{L},
\end{equation*}
kde jsme využili toho, že $\parc_0 \varphi = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)}$.
Explicitním rozepsáním $\mathcal{T}^{00}$ dostaneme
\begin{align*}
\mathcal{T}^{00} = \parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \frac{1}{2} \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 &= \\
\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \frac{1}{2} (\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \vec{\nabla}\varphi \vec{\nabla}\varphi ) + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 &= \\
\frac{1}{2} \parc_0 \varphi \parc_0 \varphi + \frac{1}{2} \vec{\nabla}\varphi \vec{\nabla}\varphi + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 .
\end{align*}
Vidíme, že pro reálnou funkci $\varphi$ je hustota energie vždy kladná (jsou zde jen kvadráty reálných funkcí). To je dobré znamení ve srovnání s některými výsledky relativistické kvantové mechaniky. Přesto, že jsme zatím stále v klasické fyzice, absence záporných energií nám naštěstí vydrží (jak uvidíme) i v kvantové teorii pole.
\subsection{Rovnice kontinuity a zákony zachování}
Vycházíme z toho, že máme nějaký čtyřproud $J^\mu$ (název vychází z podobnosti s elektrickým čtyřproudem), tedy čtyřvektor, pro který platí rovnice kontinuity
\begin{equation*}
\parc_\mu J^\mu = \parc_0 J^0 + \vec{\nabla}\cdot \vec{J} = \parc_0 J^0 + \mathrm{div}\vec{J} = 0.
\end{equation*}
Nyní můžeme využít rovnici kontinuity a Gaussovu větu a psát
\begin{equation*}
\frac{\dif}{\dif t} \int J^0 \dif^3 x = -\int \mathrm{div}\vec{J} \dif^3 x = \int \vec{J} \dif \vec{S} = 0.
\end{equation*}
To, že je poslední výraz roven nule je opět důsledkem hraničních podmínek. (Snad se to dá chápat tak, že si vezmeme tak velký objem, že veškeré toky proudu $\vec{J}$ zůstávají uvnitř, a tedy přes hranici nic neproudí.) Tím jsme tedy odvodili, že pro čtyřproud s nulovou čtyřdivergencí se zachovává integrál jeho nulté složky. Pro tenzor energie a impulsu máme
\begin{equation*}
\int \mathcal{T}^{0\nu} \dif^3 x = p^\nu = konst,
\end{equation*}
tedy zachování čtyřhybnosti.
\subsection{Symetrie a zákony zachování (à la teorém Noetherové)}
Výchozím bodem pro nalezení integrálu pohybu je invariance Lagrangiánu $\mathcal{L}$ vůči určité transformaci. (Obecněji stačí invariance akce, která plyne z invariance $\mathcal{L}$.)
Mějme transformaci souřadnic:
\begin{align*}
x^\mu &\rightarrow x'^\mu \\
\varphi_r(x) &\rightarrow \varphi_r '(x')
\end{align*}
a předpokládejme invarianci Lagrangiánu vůči této transformaci:
\begin{align*}
\mathcal{L}\left(\varphi_r(x), \frac{\parc \varphi_r(x)}{\parc x^\mu} \right) = \mathcal{L}\left(\varphi_r '(x'), \frac{\parc \varphi_r '(x')}{\parc x'^\mu} \right).
\end{align*}
Přesněji hovoříme o invarianci formy $\mathcal{L}$.
Například podmínka invariance pro Klein-Gordanovo pole je
\begin{align*}
\frac{\parc \varphi(x)}{\parc x^\mu}\frac{\parc \varphi(x)}{\parc x_\mu} - m^2\varphi^2(x) = \frac{\parc \varphi'(x')}{\parc x'^\mu}\frac{\parc \varphi'(x')}{\parc x'_\mu} - m^2\varphi'^2(x'),
\end{align*}
která je splněna právě když se $\varphi$ transformuje jako skalár, tedy $\varphi'(x')=\varphi(x)$.
Označíme si nyní $\lagr' = \lagr\left(\varphi'_r(x),\frac{\parc \varphi'_r(x)}{\parc x^\mu} \right)$ a $\delta x = x'^\mu - x^\mu$. V tomto značení můžeme přepsat podmínku invariance do tvaru
\begin{align*}
\lagr'(x')=\lagr(x) \quad (=\lagr(x'-\delta x)).
\end{align*}
Nyní přejdeme k infinitesimální transformaci $\delta x$. Můžeme vyjádřit jednak
\begin{align*}
\lagr'(x') - \lagr(x'-\delta x) = -\delta x^\mu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu},
\end{align*}
což je první člen Taylorova rozvoje. (Ten je jediný relevantní pro infinitesimální transformaci.) Stejný výraz však můžeme upravit také pomocí Euler-Lagrangeových rovnic ($\varphi_r$ je jejich řešením):
\begin{align*}
\lagr'(x') - \lagr(x'-\delta x) = \delta \lagr(x') = \frac{\parc \lagr}{\parc \varphi_r} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)}(\parc_\mu \varphi_r) = \parc_\mu \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)}(\parc_\mu \varphi_r).
\end{align*}
Spojením obou vztahů a sečtením přes $r$ dostáváme rovnici
\begin{align}
\label{invariance}
\parc_\mu \sum_r \left( \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \delta \varphi_r \right) + \delta x^\mu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu} = 0.
\end{align}
\subsubsection{Prostoročasová translace}
Jako příklad použití rozebereme prostoročasovou translaci. Zde je transformace souřadnic dána vztahem
\begin{align*}
x'^\mu = x^\mu + \epsilon^\mu \mbox{, tedy}\quad \delta x^\mu = \epsilon^\mu .
\end{align*}
Dále máme $\varphi'_r(x') = \varphi'_r(x + \epsilon) = \varphi_r(x)$, odkud
\begin{align*}
\varphi'_r(x) = \varphi_r(x - \epsilon) = \varphi_r(x)-\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu} \mbox{, tedy} \quad \delta \varphi_r(x) = -\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu}.
\end{align*}
Dosazením do (\ref{invariance}) dostaneme
\begin{align*}
\parc_\mu \sum_r \left( \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \left( -\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu} \right) \right) + \epsilon^\nu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu} &= 0 \\
\epsilon_\nu \left[ \parc_\mu \left(\frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \parc^\nu \varphi_r \right) - \parc_\mu g^{\mu \nu} \lagr \right] &= 0 \\
\parc_\mu \mathcal{T}^{\mu \nu} &= 0.
\end{align*}
\subsubsection{Lorentzovy transformace}
Zde je transformace souřadnic dána vztahem
\begin{align*}
x'^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu \mbox{, kde }\quad \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega^{\alpha \beta}I_{\alpha \beta}\right), \quad \omega^{\alpha \beta} = -\omega^{\beta \alpha } .
\end{align*}
\textcolor{red}{Dál je to potřeba dopsat... (Na tu fázovou invarianci se mě ptal u zkoušky.)}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_1.jpg}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_2.jpg}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_3.jpg}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_4.jpg}
\end{figure}
