02VOAFskriptum:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 133: Řádka 133:
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c1}\\
+
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c1}\\
 
  \caption{Harmonická rovinná elektromagnetická vlna}
 
  \caption{Harmonická rovinná elektromagnetická vlna}
 
  \label{obr:6.1}
 
  \label{obr:6.1}
Řádka 389: Řádka 389:
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics[height=0.26\textheight]{ob6c2}\\
+
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob6c2}\\
 
  \caption{Ke vztahu \(\mbf{S}=wv\mbf{s}\) pro
 
  \caption{Ke vztahu \(\mbf{S}=wv\mbf{s}\) pro
 
hustotu toku energie. Přenáší-li se energie vlny rychlostí v, projde
 
hustotu toku energie. Přenáší-li se energie vlny rychlostí v, projde
Řádka 429: Řádka 429:
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c3}\\
+
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c3}\\
 
  \caption{K odvození tlaku záření.}
 
  \caption{K odvození tlaku záření.}
 
  \label{obr:6.3}
 
  \label{obr:6.3}
Řádka 514: Řádka 514:
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c4}\\
+
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c4}\\
 
  \caption{Elektrické dipólové záření}
 
  \caption{Elektrické dipólové záření}
 
  \label{obr:6.4}
 
  \label{obr:6.4}
Řádka 530: Řádka 530:
 
\begin{figure}
 
\begin{figure}
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c5}\\
+
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c5}\\
 
  \caption{Vyzařovací diagram elektrického dipólu
 
  \caption{Vyzařovací diagram elektrického dipólu
 
(plná čára). Čárkovaná kružnice je grafem funkce
 
(plná čára). Čárkovaná kružnice je grafem funkce

Verze z 16. 11. 2010, 17:15

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02VOAFskriptum

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptumKarel.brinda 18. 11. 201002:51
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 18. 11. 201002:46 header.tex
Kapitola1 editovatKmity soustav hmotných bodůKarel.brinda 17. 11. 201002:25 kapitola01.tex
Kapitola2 editovatPostupné vlnyJohndavi 25. 5. 201710:36 kapitola02.tex
Kapitola3 editovatVlny v disperzním prostředníKarel.brinda 17. 11. 201002:43 kapitola03.tex
Kapitola4 editovatEnergie vlněníKarel.brinda 16. 11. 201017:14 kapitola04.tex
Kapitola5 editovatOdraz vlnKarel.brinda 18. 11. 201002:44 kapitola05.tex
Kapitola6 editovatElektromagnetické vlnyKarel.brinda 16. 11. 201017:16 kapitola06.tex
Kapitola7 editovatPolarizaceKarel.brinda 16. 11. 201017:19 kapitola07.tex
Kapitola8 editovatInterference a ohybKarel.brinda 17. 11. 201015:58 kapitola08.tex
Kapitola9 editovatGeometrická optikaKarel.brinda 17. 11. 201015:49 kapitola09.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
\chapter{Elektromagnetické vlny}
\section{Rovinné elektromagnetické vlny}
\begin{quote}
{\it Maxwellovy rovnice v prostředí. Vlnové rovnice. Rovinná
elektromagnetická vlna jako řešení Maxwellových rovnic
v~prázdném prostředí.}
\end{quote}
 
V této kapitole shrneme základní poznatky o
elektromagnetických vlnách, které budeme potřebovat pro
výklad optiky --- nauky o světle. Dnes je známo, že
elektromagnetické jevy tvoří základ veškeré makroskopické
fyziky a účastní se většiny mikroskopických (atomárních,
jaderných) procesů. Speciálně jsou {\it podstatou optiky}
a to nejen v oblasti viditelného světla.
 
Fundamentální elektromagnetická interakce mezi nabitými hmotnými
částicemi se řídí {\bf Maxwellovými rovnicemi\/}\index{Maxwellovy
rovnice}, které popisují buzení elektromagnetického pole \\
\(\mbf{E}(\mbf{r},t)\), \(\mbf{B}(\mbf{r},t)\) danou hustotou náboje
\(\rho (\mbf{r},t)\) a proudovou hustotou \(\mbf{j}(\mbf{r},t)\).
Zapíšeme je v lineárním, měkkém prostředí s konstantní dielektrickou
permitivitou \(\varepsilon\) a magnetickou permeabilitou \(\mu\):
\[rot\vc{E}+\frac{\partial\vc{B}}{\partial t}=0,\quad div\vc{B}=0,\]
\[div\vc{E}=\frac{\rho}{\varepsilon},\quad rot\vc{B}-\varepsilon\mu\frac{\partial\vc{E}}{\partial
t}=\mu\vc{j}.\]
Působení elektromagnetického pole na nabité částice je pak
 dáno zákonem Lorentzovy síly
$$\mbox{$\mbf{F}=Q(\mbf{E}+\mbf{v}\times\mbf{B}).$}$$
 
Existence elektromagnetických vln je přímým důsledkem
 Maxwellových rovnic. Ukažme, že z Maxwellových rovnic
{\it v prázdném prostoru}, tj. v oblasti bez zřídel
 $\rho=0$, \(\mbf{j}=0\), lze odvodit vlnové rovnice
pro pole \(\mbf{E}\) a \(\mbf{B}\). K tomu stačí na rovnice
 pro \(rot\mbf{E}\) zapůsobit operátorem \(rot\) a použít
 vzorec (odvoďte!)
$$\mbox{$rot\,rot\mbf{E}=grad\,div\mbf{E}-\Delta\mbf{E}.$}$$
S použitím ostatních Maxwellových rovnic se nám podaří
 vyloučit \(\mbf{B}\),
\[rot\,rot\vc{E}=-\Delta\vc{E}=-rot\frac{\partial\vc{B}}{\partial
t}=-\frac{\partial}{\partial
t}rot\vc{B}=-\varepsilon\mu\frac{\partial^2\vc{E}}{\partial t^2},\]
takže
\begin{equation}
%\framebox(140,50)
\label{eqv0601}
\fbox{$\displaystyle\Delta\vc{E}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2\vc{E}}{\partial
t^2}.$}
\end{equation}
Analogickým postupem lze vyloučit \(\mbf{E}\) s výsledkem
\begin{equation}
\label{eqv0602} \fbox{$\displaystyle\Delta\vc{B}=\varepsilon\mu
           \frac{\partial^2\vc{B}}{\partial t^2}.$}
\end{equation}
 
Z tohoto odvození současně vidíme, že elektromagnetické vlny
se v~homogenním prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) šíří
s {\bf fázovou rychlostí\/}\index{fázová rychlost}
\[
\fbox{$\displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.$}
\]
Elektromagnetické vlny se mohou šířit i vakuem, kde platí
\(c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\). V oddíle 3.1 jsme
definovali {\bf index lomu\/}\index{index lomu} prostředí
\[n=\frac{c}{v}=\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}\doteq
        \sqrt{\varepsilon_{r}}.\]
 
Pro pochopení hlavních vlastností elektromagnetických vln si
zkonstruujeme speciální prostorové řešení Maxwellových
rovnic bez zřídel --- {\it rovinnou vlnu} postupující ve
směru osy \(z\). Pole \(\mbf{E}\), \(\mbf{B}\) tedy budou
konstantní v rovinách kolmých k ose \(z\),
$$\mbox{$\mbf{E}=\mbf{E}(z,t),
       \quad    \mbf{B}=\mbf{B}(z,t).$}$$
Z Maxwellových rovnic
\[div\vc{E}=\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0,\quad
div\vc{B}=\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0\]
\[(rot\vc{E})_{z}=0=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t},\quad
(rot\vc{B})_{z}=0=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{z}}{\partial t}\]
vidíme, že podélné složky \(E_{z}\), \(B_{z}\) nezávisí na
 \(z\), \(t\), jsou v prostoru i čase konstantní a tedy
 neodpovídají šíření vlny. Položme proto
\[E_{z}(z,t)=0,\quad B_{z}(z,t)=0\]
a zkoumejme zbývající Maxwellovy rovnice pro příčné složky
\[(rot\vc{E})_{x}=-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial
B_{x}}{\partial t},\quad (rot\vc{B})_{x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial
z}=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{x}}{\partial t},\]
\[(rot\vc{E})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-\frac{\partial
B_{y}}{\partial t},\quad (rot\vc{B})_{y}=\frac{\partial B_{x}}{\partial
z}=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{y}}{\partial t}.\]
K velmi jednoduchému řešení nyní dospějeme za předpokladu,
 že \(E_{y}(z,t)=0\). Pak totiž \(\partial B_{x}/
\partial z=\partial B_{x}/\partial t=0\), takže můžeme
 položit \(B_{x}=0\). Pro vlny
$$\mbox{$\mbf{E}=(E_{x}(z,t),0,0),\quad \mbf{B}=(0,B_{y}(z,t),0)$}$$
nyní platí Maxwellovy rovnice
\begin{equation}
\label{eqv0603}-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=\frac{\partial
B_{y}}{\partial t},\quad -\frac{\partial B_{y}}{\partial
z}=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{x}}{\partial t}.
\end{equation}
Všimněte si, že mají matematicky stejný tvar jako telegrafní
 rovnice bez tlumení (5.18). Stejně
 jako v oddíle 5.4 pak z (\ref{eqv0603}) plynou vlnové rovnice
\begin{equation}
\label{eqv0604}\frac{\partial^2 E_{x}}{\partial
z^2}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2 E_{x}}{\partial t^2},\quad
\frac{\partial^2 B_{y}}{\partial z^2}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2
B_{y}}{\partial t^2}.
\end{equation}
Víme, že vlny \(E_{x}\), \(B_{y}\) postupující v kladném
směru osy \(z\) lze zapsat ve tvaru d'Alembertova řešení
rovnic (\ref{eqv0604})
\[E_{x}(z,t)=F_{E}(z-vt),\quad B_{y}(z,t)=F_{B}(z-vt).\]
Vztah mezi vlnami \(E_{x}\), \(B_{y}\) udávají Maxwellovy
rovnice (\ref{eqv0603}), z nichž plyne
\[F_{E}'(\xi)=vF_{B}'(\xi)\quad \Rightarrow \quad F_{E}(\xi)=vF_{B}(\xi)+konst.,\]
kde \(\xi=z-vt\) a integrační konstantu pokládáme rovnou
nule (odpovídala by opět konstantnímu řešení).
V~rovinné vlně postupující ve směru \(+z\) tedy platí
\[E_{x}(z,t)=vB_{y}(z,t),\quad v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.\]
Je-li tato vlna {\bf harmonická} ({\bf
monochromatická\/}\index{harmonická, monochromatická vlna}),
\[E_{x}(z,t)=E_{0}\cos{(\omega t-kz+\varphi)},\quad
B_{y}(z,t)=B_{0}\cos{(\omega t-kz +\varphi')},\]
 platí
\[E_{0}=vB_{0}>0,\quad \varphi=\varphi',\quad \omega=vk\]
(viz obr. \ref{obr:6.1}).
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c1}\\
 \caption{Harmonická rovinná elektromagnetická vlna}
 \label{obr:6.1}
\end{center}
\end{figure}
 
Shrneme nyní odvozené vlastnosti rovinných elektromagnetických vln.
Protože nejsou závislé na volbě souřadného systému, můžeme je
zformulovat pro rovinnou vlnu postupující v libovolném směru
\(\mbf{s}\) $(\mid\mbf{s}\mid =1)$:
\begin{quote} (i) \vskip 1mm
\(\mbf{E}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{E}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt),\quad
\mbf{B}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{B}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)\);
\end{quote}
\begin{quote} (ii) \vskip 1mm
\(\mbf{E}\), \(\mbf{B}\), \(\mbf{s}\) tvoří v tomto pořadí
pravotočivý systém vzájemně ortogonálních vektorů (vlna je {\bf
příčná});
\end{quote}
\begin{quote}  (iii) \vskip 1mm
\(E=vB\), kde \(v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}\).
\end{quote}
%\begin{enumerate}
% \item[(i)]$$\mbox{
%$\mbf{E}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{E}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt),\quad
%\mbf{B}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{B}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)$};
% \item[(ii)] $\mbf{E}$, $\mbf{B}$, $\mbf{s}$ tvoří v tomto pořadí
%pravotočivý systém vzájemně ortogonálních vektorů (vlna je {\bf
%příčná});
% \item[(iii)] \(E=vB\), kde \(v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}\).
%\end{enumerate}
 
Pole \(\mbf{B}(\mbf{r},t)\) je tedy plně určeno polem
\(\mbf{E}(\mbf{r},t)\). Monochromatická rovinná vlna má tvar
\begin{equation}
\label{eqv0605} \vc{E}(\vc{r},t)=\vc{E_{0}}\cos{(\omega
t-\vc{k}\cdot\vc{r}+\varphi)},\quad
\vc{B}(\vc{r},t)=\vc{B_{0}}\cos{(\omega
t-\vc{k}\cdot\vc{r}+\varphi)},
\end{equation}
kde \(\mbf{k}=k\mbf{s}\) je vlnový vektor,
$\omega = v \mid\mbf{k}\mid$, \mid\mbf{s}\mid =1$
 a vektorové amplitudy \(\mbf{E}_{0}\), \(\mbf{B}_{0}\)
 splňují vlastnosti (ii), (iii).
 
\newpage
 
\section{Rozdělení elektromagnetických vln}
\begin{quote}
{\it Pásma elektromagnetických vln podle vlnových délek.}
\end{quote}
 
Podrobná tabulka ukazuje rozdělení elektromagnetických vln
 podle vlnových délek. Pouze velmi \'uzké pásmo --- od
 fialové barvy 350 nm po červenou 750 nm --- odpovídá
 viditelnému světlu. Všimněte si v porovnání s
vlnovými délkami velkého rozsahu frekven\-cí od \(10^4\) do
 \(10^{23}\) Hz! Pro rentgenové záření (záření X) je
 typickou vlnovou délkou \(\lambda=1\ \AA\)
(angstr\"om) \(=10^{-10} \ m,\)
pro záření gama \(\lambda=1 \ X=10^{-13}\ m.\)
 
\vspace{5mm}
\begin{tabular}{||c|c|c|c|c|c||}
\hline
\bfseries $\vc{\nu}/3$ & \bfseries $\vc{\lambda}$ & & &
\multicolumn{2}{|c||}{}\\
\bfseries (Hz) & \bfseries (m) & & & \multicolumn{2}{|c||}{}\\
\hline
$10^4$ & $10^4$ & & \multicolumn{2}{|c|}{} & \\
\cline{1-4}
$10^5$ & $10^3$ & 1 až 15 km & dlouhé & & Elektro-\\
\cline{1-4}
$10^6$ & $10^2$ & 200 až 700 m & střední & Rozhlasové & magnetické
\\
\cline{1-4}
$10^7$ & $10$ & 2 až 100 m & krátké, & vlny & vlny \\
\cline{1-2}
$10^8$ & 1 & & velmi krátké & & (v užším \\
\cline{1-5}
$10^9$ & $10^{-1}$ & 0,1 až 2 m & \multicolumn{2}{|c|}{Hertzovy vlny} &
smyslu), \\
\cline{1-5}
$10^{10}$ & $10^{-2}$ & 1 až 100 mm & \multicolumn{2}{|c|}{Mikrovlny} &
radiovlny \\
\cline{1-2}
$10^{11}$ & $10^{-3}$ & & \multicolumn{2}{|c|}{} & \\
\hline
$10^{12}$ & $10^{-4}$ & 10 až 1000 $\mu$m &
\multicolumn{3}{|c||}{Infračervené záření (tepelné sálání)} \\
\cline{1-2}
$10^{13}$ & $10^{-5}$ & & \multicolumn{3}{|c||}{} \\
\hline
$10^{14}$ & $10^{-6}$ & 0,75 až 10 $\mu$m & Infračervené &
\multicolumn{2}{|c||}{}\\
\cline{1-4}
$10^{15}$ & $10^{-7}$ & 0,35 až 0,75 $\mu$m & Viditelné světlo &
\multicolumn{2}{|c||}{Optické záření}\\
\cline{1-4}
$10^{16}$ & $10^{-8}$ & 0,35 až 0,014 $\mu$m & Ultrafialové &
\multicolumn{2}{|c||}{}\\
\hline
$10^{17}$ & $10^{-9}$ & 10 až 100 \AA & Měkké záření X &
\multicolumn{2}{|c||}{Záření X}\\
\cline{1-3}
$10^{18}$ & $10^{-10}$ & & Tvrdé záření X &
\multicolumn{2}{|c||}{Rentgenové}\\
\cline{1-2} \cline{4-6}
$10^{19}$ & $10^{-11}$ & 0,1 až 10 \AA & Měkké záření $\gamma$ & &
Záření $\gamma$ \\
\cline{1-4} \cline{6-6}
$10^{20}$ & $10^{-12}$ & 0,001 až 0,1 \AA & \multicolumn{2}{|c|}{Tvrdé
záření $\gamma$} & Zánikové \\
\cline{1-5}
$10^{21}$ & $10^{-13}$ & 1 až 100 X & \multicolumn{2}{|c|}{} & záření
\\
\hline
$10^{22}$ & $10^{-14}$ & $>$ 0,001 X & \multicolumn{2}{|c|}{} & Elektro-\\
& & & \multicolumn{2}{|c|}{Penetrantní záření} & magnetická \\
& & & \multicolumn{2}{|c|}{} & složka \\
\cline{1-2}
$10^{23}$ & $10^{-15}$ & & \multicolumn{2}{|c|}{(ultragama)} &
kosmického \\
& & & \multicolumn{2}{|c|}{} & záření \\
\hline
\end{tabular}
 
\section{Elektromagnetické vlny na rozhraní}
\begin{quote}
{\it Fázová rychlost a charakteristická impedance. Dopadající, odražená
a prošlá vlna. Koeficient odrazu a propustnosti pro kolmý dopad.}
\end{quote}
 
Základními vlnovými parametry homogenního prostředí jsou fázová
rychlost \(v\) a charakteristická impedance \(Z\). Na struně byly
dány vztahy \(v=\sqrt{T/\rho}\), \(Z=\sqrt{T\rho}\), na homogenním
vedení bez tlumení \(v=1/\sqrt{LC}\), \(Z=\sqrt{L/C}\). Pro
elektromagnetické vlny jsme viděli, že
\(v=c/n=1/\sqrt{\varepsilon\mu}\). {\bf Charakteristickou
impedanci\/}\index{charakteristická impedance} (vlnový odpor)
prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) budeme definovat podobně jako u
homogenního vedení --- jako poměr velikostí intenzit elektrického a
magnetického pole pro vlnu postupující v daném směru \(\mbf{s}\). Z
vlastnosti (iii) v oddíle 6.1 dostaneme s použitím vztahu
\(\mbf{B}=\mu\mbf{H}\)
\[
%\framebox
\fbox{$\displaystyle Z=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.$}
\]
Hodnoty \(\varepsilon_{0}=8,854.10^{-12} AsV^{-1}m^{-1}\),
\(\mu_{0}=(\varepsilon_{0}c^2)^{-1}=4\pi.10^{-7}VsA^{-1}m^{-1}\) dávají
pro charakteristickou impedanci vakua hodnotu
\[Z_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\doteq 377\;\Omega\]
kterou si lze pamatovat jako \(120\pi\) ohmů.
 
Úloha na kolmý dopad rovinné elektromagnetické vlny na rozhraní dvou
homogenních prostředí \(\varepsilon_{1}\), \(\mu_{1}\) a
\(\varepsilon_{2}\), \(\mu_{2}\) je jednorozměrným problémem, který
jsme již řešili pro strunu a pro homogenní vedení v oddílech 5.3 a
5.4. V prostředí \(\varepsilon_{1}\), \(\mu_{1}\) je dopadající a
odražená vlna, v prostředí \(\varepsilon_{2}\), \(\mu_{2}\) vlna
prošlá. Amplitudy těchto vln \(E_{0}\), \(R_{12}^{E} E_{0} \) a
\(T_{12}^{E} E_{0}\) jsou určeny koeficienty odrazu \(R_{12}^{E}\) a
prostupnosti \(T_{12}^{E}\). Z podmínek spojitosti na rozhraní
(podrobně viz \cite{ST}, kap. 9) plyne
\[T_{12}^{E}=1+R_{12}^{E},\quad T_{12}^{B}=1+R_{12}^{B}\]
a pro \(R_{12}^{E}\), \(R_{12}^{B}\) stejné vztahy jako u homogenního
vedení (kde bylo \(R_{U}=(Z_{2}-Z)/(Z_{2}+Z)=-R_{I}\)):
\[R_{12}^{E}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}=-R_{12}^{B}.\]
Vzhledem k tomu, že v optice obvykle \(\mu_{1r}\doteq
1\doteq\mu_{2r}\), používáme poslední vztah nejčastěji ve tvaru
\[R_{12}^{E}=\frac{\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\varepsilon_{2}}}
-\sqrt{\frac{\mu_{1}}{\varepsilon_{1}}}}{\sqrt{\frac{\mu_{2}}
{\varepsilon_{2}}}+\sqrt{\frac{\mu_{1}}{\varepsilon_{1}}}}\doteq
\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}},\] kde
\(n_{1}\doteq\sqrt{\varepsilon_{1r}}\),
\(n_{2}\doteq\sqrt{\varepsilon_{2r}}\) jsou indexy lomu obou
prostředí.
 
{\bf Poznámka}. V úlohách na určení interferenčních maxim a minim
při odrazu monochromatického světla na tenkých vrstvách se skládají
amplitudy. Proto je nutno vzít v úvahu i znamení koeficientu odrazu:
je-li záporné (při \(n_{1}<n_{2}\)), nahradí se změna znamení
harmonické vlny při odrazu ekvivalentním posunem o \(\pi\)
(\(180^{\circ}\)) !
 
\section{Energetické veličiny v rovinné
elektromag\-ne\-ti\-cké vlně}
\begin{quote}
{\it Hustota energie, hustota toku energie a hustota hybnosti v rovinné
  \\ elektromagnetické vlně. Časové střední hodnoty v monochromatické vlně.
 \\ Tlak záření.}
\end{quote}
 
Elektromagnetické pole má jako fyzikální objekt energii, hybnost a
moment hybnoti. Vzhledem ke kontinuálnímu charakteru pole je jeho
energetický obsah popsán {\bf hustotou energie\/}\index{hustota
energie} \(w(\mbf{r},t)\) (jednotka
\(Jm^{-3}\)), jejíž objemový integrál \(\int_{V}wdV\) udává okamžitou
energii obsaženou v libovolné prostorové oblasti V.
 
Podle J. C. Maxwella je hustota energie elektromagnetického pole v
nevodivém prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) dána kvadratickým výrazem
\[w=\frac{1}{2}(\vc{E}\cdot\vc{D}+\vc{H}\cdot\vc{B})=\frac{1}{2}(\varepsilon E^2+\mu H^2).\]
 
Přenos energie v prostoru popisuje {\bf hustota toku
energie\/}\index{hustota toku energie}
\(\mbf{S}(\mbf{r},t)\), která je definována jako množství
 energie, jež za jednotku času projde jednotkovou plochou
 postavenou kolmo na směr šíření energie pole (jednotka
 \( Jm^{-2}s^{-1} = W/m^{2} \)). V časově proměnném
elektromagnetickém poli v prostředí \(\varepsilon, \mu\) je dána
Poyntingovým vektorem
$$\mbox{$\mbf{S}=\mbf{E}\times\mbf{H}.$}$$
Pro {\bf hustotu hybnosti\/}\index{hustota hybnosti}
elektromagnetického pole {\bf ve vakuu} platí vzorec
\[\vc{g}=\vc{D}\times\vc{B}=
\varepsilon_{0}\mu_{0}\vc{E}\times\vc{H}=\frac{\vc{S}}{c^2}.\]
 
Všimněte si, že všechny uvedené výrazy pro energetické veličiny jsou
{\it kvadratické} v polích. Upravme je pro případ {\it rovinné
elektromagnetické vlny}. Vztah (iii) z oddílu 6.1 lze ekvivalentně
zapsat
\begin{equation}
\label{eqv0606} E=vB\quad \Longleftrightarrow\quad \sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H.
\end{equation}
Proto elektrická a magnetická část hustoty energie $w$ jsou si v
rovinné vlně rovny a platí
\[
%\framebox(140,50)
\fbox{$\displaystyle w=\varepsilon E^2. $}
\]
Vlastnosti (ii) a (iii) z oddílu 6.1 dovolují zapsat
\begin{equation}
\label{eqv0607} \vc{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vc{s}\times\vc{E},
\end{equation}
takže Poyntingův vektor v rovinné elektromagnetické vlně je úměrný
hustotě energie (viz obr. \ref{obr:6.2})
\[\vc{S}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vc{E}
\times(\vc{s}\times\vc{E})=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E^2\vc{s},\]
\begin{equation}
\label{eqv0608}
%\framebox(140,40)
\fbox{$\displaystyle \vc{S}=wv\vc{s}. $}
\end{equation}
%\begin{quote}
%\begin{quote} {\it Obr. 6.2:}\begin{quote}{\it Ke
%vztahu \(\mbf{S}=wv\mbf{s}\) pro hustotu toku energie. Přenáší-li se
%energie vlny rychlostí v, projde plochou \(df=dx\:dy\) za čas dt
%energie \(w\:dV=wv\:dt\:dx\:dy\). Hustota toku energie \(S_z\) je
%pak rovna energii, která projde za jednotku času jednotkovou
%plochou, tj. \((w\:dV)/(dS\:dt)=wv\).}\end{quote}
%\end{quote}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob6c2}\\
 \caption{Ke vztahu \(\mbf{S}=wv\mbf{s}\) pro
hustotu toku energie. Přenáší-li se energie vlny rychlostí v, projde
plochou \(df=dx\:dy\) za čas dt energie \(w\:dV=wv\:dt\:dx\:dy\).
Hustota toku energie \(S_z\) je pak rovna energii, která projde za
jednotku času jednotkovou plochou, tj. \((w\:dV)/(dS\:dt)=wv\).}
 \label{obr:6.2}
\end{center}
\end{figure}
Konečně hustota hybnosti (ve vakuu)
\[
%\framebox(140,40)
\vc{g}=\frac{\vc{S}}{c^2}=\frac{w}{c}\vc{s}.
\]
 
{\bf V monochromatické rovinné vlně\/}\index{monochromatická rovinná
vlna} (\ref{eqv0605}) nás vzhledem k vysokým frekvencím zajímají
časové střední hodnoty přes jednu periodu \(T=2\pi/\omega\):
\[<w>_{T}=\varepsilon<E^2>_{T}=\frac{1}{2}\varepsilon E_{0}^2,\]
\[<\vc{S}>_{T}=<w>_{T}v\vc{s}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{0}^2\vc{s},\]
\[<\vc{g}>_{T}=\frac{<\vc{S}>_{T}}{c^2}=\frac{<w>_{T}}{c}\vc{s}.\]
 
 
Skutečnost, že rovinná elektromagnetická vlna má nenulovou hustotu
hybnosti, přivedla v r. 1873 J. C. Maxwella k odvození {\bf tlaku
záření\/}\index{tlak záření}. Abychom odvodili velikost tlaku
záření, předpokládejme, že rovinná elektromagnetická vlna ve vakuu
dopadá kolmo na dokonale absorbující (černý) rovinný povrch
masivního tělesa (obr. \ref{obr:6.3}). Záření ve válcovém objemu o
průřezu 1 \(m^2\) a výšce \(c\:dt\) bude absorbováno plochou 1
\(m^2\) povrchu tělesa za čas \(dt\). To znamená, že z tohoto objemu
těleso převezme za čas \(dt\) hybnost pole
\[d\vc{G}=\vc{g}dV=\frac{w}{c}\vc{s}c\:dt.\]
%\begin{quote}
%\begin{quote}
%{\it Obr. 6.3: K odvození tlaku záření.}
%\end{quote}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c3}\\
 \caption{K odvození tlaku záření.}
 \label{obr:6.3}
\end{center}
\end{figure}
Z mechaniky víme, že časová změna hybnosti \(d\mbf{G}/dt\) udává sílu, v
našem případě působící kolmo na jednotku plochy povrchu tělesa. Její
normálová složka představuje hledaný tlak :
\[
%\framebox(140,50)
\fbox{{\it tlak záření} $\displaystyle =w.$}
\]
\begin{quote}
{\it Tlak záření je číselně roven hustotě energie záření.}
\end{quote}
 {\bf Poznámka.} Odráží-li povrch tělesa kolmo dopadající rovinnou
elektromagnetickou vlnu s koeficientem odrazu pro amplitudu \(R^E\),
bude mít pole odražené vlny hustotu hybnosti opačného směru \({\cal
R}\mbf{g}\), kde \({\cal R}=\left(R^E\right)^2\) je odrazivost
povrchu. Protože celková změna hybnosti tělesa je nyní
$$\mbox{$d\mbf{G}=(\mbf{g}+\cal{R}\mbf{g})\mathnormal{dV},$}$$
dostáváme vzorec
\[
%\framebox(140,50)
\fbox{{\it tlak záření}
$\displaystyle=(1+{\cal R}) w.$}
\]
 
Experimentálně byl Maxwellův vzorec pro tlak svazku světla
potvrzen teprve v pracích \cite{L}, \cite{NH} z roku 1901. Samozřejmě
je pozorována časová střední hodnota
$$\mbox{$\displaystyle<${\it tlak záření}
$\displaystyle>_T=(1+{\cal R}) <w>_T.$}$$
Tlak záření částečně ovlivňuje tvar komet. Protože je důležitou
veličinou v termodynamice záření, nelze ho pominout např. při studiu
vnitřní dynamiky hvězd.
 
 
 
\section{Elektromagnetická vlna vyzařovaná elektrickým dipólem}
\begin{quote}
{\it Vlastnosti záření kmitajícího elektrického dipólu. Srovnání s rovinnou
 \\ vlnou. Poyntingův vektor, intenzita záření, vyzařovací diagram,
 \\ celkový vyzařovaný výkon.}
\end{quote}
 
Obvyklé zdroje světla jsou soustavy atomů (molekul), které
 jsou energeticky buzeny různými fyzikálními nebo chemickými
 způsoby a v~jejich důsledku vyzařují elektromagnetické
 vlny. Nejjednodušším klasickým modelem vyzařování je řešení
 Maxwellových rovnic, jehož zdrojem je časově proměnný
{\it elektrický dipól} (tzv. krátký dipól, \cite{ST}, kap. 9).
S~kmitajícími dipóly \(\mbf{p}(t)=e\mbf{r}(t)\) jsme se již
 setkali v~oddíle 3.1 při aplikaci klasického Thomsonova
 modelu atomu k vysvětlení disperze světla v látkách
 vynucenými kmity elektronů v atomech.
 
V tomto oddíle uvedeme tvar elektromagnetické vlny v nevodivém
prostředí \(\varepsilon, \mu\) {\it ve velké vzdálenosti} $r$ od
elektrického dipólu umístěného v počátku $O$ a kmitajícího podle
předepsané časové závislosti \(\mbf{p}=\mbf{p}(t)\), speciálně pak
\(\mbf{p}=\mbf{p_0}\cos \omega t\). Na obr \ref{obr:6.4} jsou
vyobrazeny vektory \(\mbf{E}(\mbf{r},t)\), \(\mbf{H}(\mbf{r},t)\) v
souřadném systému, jehož osa $z$ míří ve směru \(\mbf{p_0}\). Jsou
dány vzorci (\cite{ST})
\begin{equation}
\label{eqv0609}
\vc{E}(\vc{r},t)=-\frac{\ddot{\vc{p_{\bot}}}\left(t-\frac{r}{v}\right)}{4\pi\varepsilon
v^2 r},\quad \vc{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vc{r_0}\times\vc{E},
\end{equation}
kde \(\ddot{\vc{p_{\bot}}}\) je kolmou složkou v rozkladu vektoru
\(\ddot{\vc{p}}=(\ddot{\vc{p}}\cdot{\vc{r_0}})\vc{r_0}+\ddot{\vc{p_{\bot}}}\)
na složku rovnoběžnou s vektorem \(\mbf{r_0}=\mbf{r}/r\) a složku
kolmou k \(\mbf{r_0}\). K vyzařování elektrického dipólu \\
\(\mbf{p}(t)=e\mbf{r}(t)\) tedy dochází pouze tehdy, když se náboj
pohybuje zrychleně, \(\ddot{\vc{r}}\neq0\) !
 
%\begin{quote}
%\begin{quote}
%{\it Obr. 6.4: Elektrické dipólové záření.}
%\end{quote}
%\end{quote}
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c4}\\
 \caption{Elektrické dipólové záření}
 \label{obr:6.4}
\end{center}
\end{figure}
 
%\begin{quote}
%\begin{quote}
%{\it Obr. 6.5:}\begin{quote}{\it Vyzařovací diagram elektrického dipólu
%(plná čára). Čárkovaná kružnice je grafem funkce
%\(\sin{\vartheta}\).}\end{quote}
%\end{quote}
%\end{quote}
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c5}\\
 \caption{Vyzařovací diagram elektrického dipólu
(plná čára). Čárkovaná kružnice je grafem funkce
\(\sin{\vartheta}\).}
 \label{obr:6.5}
\end{center}
\end{figure}
 
Z toho, že fáze vlny (\ref{eqv0609}) je dána retardovaným časem
\(t-(r/v)\), je patrné, že se jedná o vlnu {\it sférickou}, jejíž
vlnoplochy (2.29) jsou kulové plochy se středem v počátku. Vzorce
(\ref{eqv0609}) dále ukazují, že vlna je {\it příčná} vzhledem ke
směru \(\mbf{r_0}\) a že její amplituda klesá {\it nepřímo \'uměrně
vzdálenosti} $r$. Porovnáním s vlastnostmi rovinné elektromagnetické
vlny v oddílu 6.1 (viz též vztahy (\ref{eqv0606}), (\ref{eqv0607}) v
oddíle 6.4) zjistíme, že vektory \(\mbf{E}\), \(\mbf{H}\),
\(\mbf{r_0}\) rovněž tvoří v tomto pořadí pravotočivý systém
vzájemně ortogonálních vektorů a pro velikosti $E$, $H$ rovněž platí
(\ref{eqv0606}).\footnote{Protože kulovou plochu lze pro velká $r$
aproximovat její tečnou rovinou, dává model záření dipólu možnost
přibližné realizace rovinné vlny (\(\mbf{s}=\mbf{r_0}\)) alespoň v
malé oblasti tečné roviny. Pro odhad velikosti této oblasti viz
\cite{TK}, př. 5.11.}
 
Okamžitá hustota toku energie elektrického dipólového
záření v místě
\(\mbf{r}\) je podle (\ref{eqv0608}) vektor mířící ve směru
\(\mbf{r_0}=\mbf{r}/r\)
$$\mbox{$\mbf{S}(\mbf{r},t)=\mbf{E}\times\mbf{H}=wv\mbf{r_0},$}$$
kde \(w=\varepsilon E^2\). Ve sférických souřadnicích podle  obr.
\ref{obr:6.4} platí \(|\ddot{\vc{p_{\bot}}}|=\omega^2
p_0\sin\vartheta\cos\omega t\), takže velikost hustoty toku energie
je rovna
\[|\vc{S}(\vc{r},t)|=\varepsilon E^2 v=\frac{\omega^4
p_0^2}{16\pi^2\varepsilon v^3}\frac{\sin^2\vartheta}{r^2}\cos^2(\omega
t-kr).\]
Její časovou střední hodnotu obvykle nazýváme {\bf
intenzitou záření\/}\index{intenzita záření}
\[\mathcal{I}\mathnormal{(r,\vartheta,\varphi)=
<|\vc{S}(\vc{r},t)|>_T=\frac{\omega^4 p_0^2}{ {32}\pi^2\varepsilon
v^3}\frac{\sin^2\vartheta}{r^2}}.\]
 Vidíme, že klesá se čtvercem vzdálenosti $r$ a nezávisí na úhlu
\(\varphi\). Její závislost na \'uhlu \(\vartheta\) zakreslujeme do
{\bf vyzařovacího diagramu elektrického dipólu\/}\index{vyzařovací
diagram elektrického dipólu} (obr. \ref{obr:6.5}): hodnotu
\(\sin^2\vartheta\) vynášíme na polopřímku svírající \'uhel
\(\vartheta\) s osou $z$. Maximum intenzity je v kolmém směru k
dipólu (\(\vartheta=\pi/2\)), ve směru dipólu je intenzita nulová !
 
To, že vzorce (\ref{eqv0609}) skutečně popisují elektromagnetické pole
záření, které od zdroje unáší energii nenávratně pryč, zjistíme výpočtem
celkové energie, která za jednotku času projde sférou o poloměru $r$.
Tento {\bf celkový vyzařovaný výkon\/}\index{celkový
vyzařovaný výkon} je roven plošnému integrálu přes
tuto sféru z Poyntingova vektoru \(\mbf{S}\),
\[P(t)=\int\vc{S}(\vc{r},t)\cdot d\vc{f}.\]
Ve sférických souřadnicích  je
\(d\mbf{f}=\mbf{r_0}r^2\sin\vartheta\:d\vartheta\:d\varphi\), takže
po dosazení za \(\mbf{S}\) a jednoduchých integracích přes
\(\vartheta\in<0,\pi>\) a \(\varphi\in<0,2\pi>\) dostaneme okamžitý
celkový výkon
\[P(t)=\frac{\omega^4 p_0^2}{6\pi\varepsilon v^3}\cos^2(\omega t-kr).\]
Jeho časová střední hodnota je konstantní,  {\it nezávisí na
poloměru sféry} $r$ :
\[<P(t)>_T=\frac{\omega^4 p_0^2}{12\pi\varepsilon v^3}.\]
Energie mezi různými poloměry se ani neztrácí, ani nevzniká. Pro
docílení ustáleného vyzařování je ovšem nutno příslušný výkon zářícímu
dipólu neustále dodávat.