02VOAFskriptum:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02VOAFskriptum

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptumKarel.brinda 18. 11. 201002:51
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 18. 11. 201002:46 header.tex
Kapitola1 editovatKmity soustav hmotných bodůKarel.brinda 17. 11. 201002:25 kapitola01.tex
Kapitola2 editovatPostupné vlnyJohndavi 25. 5. 201710:36 kapitola02.tex
Kapitola3 editovatVlny v disperzním prostředníKarel.brinda 17. 11. 201002:43 kapitola03.tex
Kapitola4 editovatEnergie vlněníKarel.brinda 16. 11. 201017:14 kapitola04.tex
Kapitola5 editovatOdraz vlnKarel.brinda 18. 11. 201002:44 kapitola05.tex
Kapitola6 editovatElektromagnetické vlnyKarel.brinda 16. 11. 201017:16 kapitola06.tex
Kapitola7 editovatPolarizaceKarel.brinda 16. 11. 201017:19 kapitola07.tex
Kapitola8 editovatInterference a ohybKarel.brinda 17. 11. 201015:58 kapitola08.tex
Kapitola9 editovatGeometrická optikaKarel.brinda 17. 11. 201015:49 kapitola09.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\setcounter{chapter}{4}
\chapter{Odraz vln}
\section{Korektní zakončení struny}
\begin{quote}
{\it Zakončení viskózním tlumičem. Charakteristická impedance.}
\end{quote}
 
V mnoha praktických situacích požadujeme, aby prostředím
postupovaly signály pouze jedním směrem, tj. aby nevznikaly
odrazy. Namátkou uveďme vedení televizního signálu koaxiálním
kabelem od antény k přijímači nebo snímání zvuku v nahrávacím
studiu. Na struně takový požadavek znamená, že na počátku
rozkmitávaná struna je na svém konci opatřena mechanickým
zařízením, které přesně napodobuje další pokračování struny.
Takové zařízení budeme nazývat {\it korektní zakončení.}
 
Z hlediska energie musí korektní zakončení úplně pohltit energii
dopadající postupné vlny, aniž  vznikne vlna odražená. Bude tedy
tlumičem a sílu $F_x$, kterou má působit na strunu, si odvodíme ze
síly $F_{2x}=T(\pad \psi/\pad z)$ známé z odvození vlnové rovnice,
oddíl 1.2, obr. \ref{obr1.7}. Vzpomeňme si, že $F_{2x}$ je příčná
síla, kterou působí pokračování struny na strunu v bodě $z_2$. Podle
definice musí korektní zakončení (simulující pokračování struny)
působit na strunu příčnou silou $F_x$ rovnou $F_{2x}$\,, jestliže na
zakončení dopadá postupná vlna typu $\psi(z,\,t)=F(z-vt)$. Pomocí
vzorce (\ref{eqv11}) pak můžeme psát
$$
F_x=T\f{\pad \psi}{\pad z}=T(-\f{1}{v}\f{\pad \psi}{\pad
t})=-\sqrt{T\varrho}\f{\pad \psi}{\pad t}=-Z\f{\pad \psi}{\pad
t}\,.
$$
Síla $F_x$ je tedy síla {\it viskózního tlumení}, úměrná rychlosti s
konstantou úměrnosti, tzv. zatěžovací impedancí, rovnou {\it
charakteristické impedanci struny} $Z=\sqrt{T\varrho}$. Zařízení,
které má realizovat korektní zakončení v místě $z_2=0$, musí tedy
působit na strunu příčnou silou \be \label{4.1} F_x=-Z\f{\pad
\psi}{\pad t}(0,\,t)=-Z\f{\d x}{\d  t}(t)\,  \ee kde
$x(t)=\psi(0,\,t)$ je výchylka tlumiče v čase $t$.
 
Je-li struna korektně zakončena, nemůžeme vysláním pulsů určit délku
struny, protože žádný puls se nevrací odražen. Stejný efekt nastává,
i když je tlumič přímo napojen na zdroj pulsů. Odtud plyne, že na
zdroj postupných vln emitující na nekonečnou nebo korektně
zakončenou strunu působí od struny síla reakce, která je stejná,
jako kdyby byl zdroj přímo napojen na viskózní tlumič (\ref{4.1}).
 
 
\section{Odraz na nekorektním zakončení}
\begin{quote}
{\it Koeficient odrazu na zakončení struny viskózním tlumičem.\\
Odrazivost.  Přizpůsobení.}
\end{quote}
 
Mějme strunu napjatou podél záporné osy $z$, $-\infty<z\leq 0$ a v
bodě $z=0$ zakončenou viskózním tlumičem $F_x=-Z_2\dot{x}$ o {\it
zatěžovací impedanci} $Z_2$\,. Struna s mechanickými parametry
$T,\,\varrho$ má vlnové parametry
$$v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}\,,\qq \qq  Z=\sqrt{T\varrho}\,.$$
Pro nekorektní zakončení $Z_2\neq Z$ musíme vedle {\it dopadající}
harmonické postupné vlny
$$\psi_{dop}(z,\,t)=A\cos (\om t-kz)$$
uvažovat jako řešení vlnové rovnice i {\it odraženou} harmonickou
postupnou vlnu
$$\psi_{odr}(z,\,t)=RA\cos (\om t+kz)\,.$$
V ustáleném stavu dopadající vlna pohybuje zakončením s úhlovou
frekvencí $\om$, $x(t)=A\cos \om t$. Zakončení jednak pohlcuje část
%%TODO%% energie vlny, jednak budí zeslabenou odraženou vlnu o stejné
frekvenci. Příslušný {\it koeficient odrazu} $R$ určíme z {\it
okrajové podmínky} v místě $z=0$
 \be \label{5.2} -T\f{\pad
\psi}{\pad z}(0,\,t)=-\left(-Z_2\f{\pad \psi}{\pad
t}(0,\,t)\right)\, ,
 \ee
jež vyjadřuje zákon akce a reakce pro příčné síly, jimiž působí
struna na zakončení a zakončení na strunu. Výsledná vlna na struně
je pak takovou superpozicí
 \be \label{5.3} \psi(z,\,t)=\psi_{dop}+\psi_{odr}=A\cos(\om
t-kz)+RA\cos(\om t+kz)\,, \ee jež navíc splňuje okrajovou podmínku
(\ref{5.2}). Dosazení (\ref{5.3}) do (\ref{5.2}) dává
$$
-TkA(1-R)\sin\om t=Z_2\om A (-1-R)\sin\om t
$$
pro všechna $t$, odkud
 \be \label{5.4}
 R=\f{Tk-Z_2\om}{Tk+Z_2\om}=\f{Z-Z_2}{Z+Z_2}\,.
  \ee
  kde jsme s použili $Tk=T\omega /v=Z\omega$. Všimněte
si, že koeficient odrazu při hodnotách $0\leq Z_2\leq +\infty$
nabývá hodnot v intervalu $-1\leq R\leq 1$. Protože nezávisí na
$\om$, každá Fourierova komponenta se odráží se stejným $R$ a tvar
pulsu se odrazem nemění. Rozlišujeme tři důležité speciální případy:
\be\label{5.5}
\begin{tabular}{|c|c|l|}
\hline
$Z_2$&R&\\
\hline
0&+1&volný konec\\
Z&0&korektní zakončení\\
$+\infty$&-1&pevný konec
\footnotemark\\
\hline
\end{tabular}
\ee \footnotetext{Změnu znamení výchylky na pevném konci lze
ekvivalentně vyjádřit změnou fáze o $180^{\circ}$}.
 
Při korektním zakončení tlumič pohltí veškerý dopadající tok
energie, při pevném a volném konci naopak tlumič neabsorbuje žádnou
energii (při pevném konci je $\dot{x}(t)=0$, při volném $F_x(t)=0$)
a veškerou  energii odnáší odražená vlna. Veličina, která určuje
podíl odraženého toku energie, je {\it odrazivost} ${\cal
R}=R^2\in\langle 0,\,1 \rangle$ .
 
{\bf Cvičení.} Ukažte, že vlnu (\ref{5.3}) lze psát ve tvaru
$$
\psi(z,\,t)=(1-R)A\sin kz\cos \left(\om t-\f{\pi}{2}\right)+
(1+R)A\cos kz\cos \om t
$$
dvou stojatých vln, z nichž první má v bodě $z=0$ uzel, druhá
kmitnu. Diskutujte speciální případy $R=\pm 1$!
 
 
 
%\setcounter{section}{2}
\section{Vlna na rozhraní dvou transparentních prostředí}
\begin{quote}
{\it Formulace úlohy pro strunu: vlna dopadající, odražená a
prošlá. Podmínky na rozhraní. Koeficienty odrazu a prostupnosti
pro amplitudu; odrazivost a transmitivita.}
\end{quote}
 
Uvažujme jednorozměrný model ostrého rozhraní mezi dvěma
prostředími. Nechť dvě struny natažené podél osy $z$ jsou spojeny
v bodě $z=0$ a spojovací bod se může pohybovat jen v příčném
směru:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
struna 1&struna 2\\
\hline
$-\infty<z<0$&$0<z<+\infty$\\
$T_1,\,\varrho_1$&$T_2,\,\varrho_2$\\
$\disp v_1=\sqrt{\f{T_1}{\varrho_1}},\,Z_1=\sqrt{T_1\varrho_1}$&
$\disp
v_2=\sqrt{\f{T_2}{\varrho_2}},\,Z_2=\sqrt{T_2\varrho_2}$\\[4mm]
$\disp \f{\pad^2 \psi_1}{\pad t^2}=v_1^2\f{\pad ^2\psi_1}{\pad
z_1^2}$&
$\disp \f{\pad^2 \psi_2}{\pad t^2}=v_2^2\f{\pad ^2\psi_2}{\pad
z_2^2}$\\[4mm]
\hline
\end{tabular}
\end{center}
 
V úloze na odraz a průchod vln rozhraním předpokládáme, že po
struně 1 {\it dopadá} harmonická postupná vlna (řešení vlnové
rovnice 1)
$$ \psi_{dop}(z,\,t)=A\cos(\om t-k_1z)\,,\qq
k_1=\f{\om}{v_1}\,.$$
Kmity rozhraní budí vlnu {\it odraženou} s koeficientem odrazu
pro amplitudu $R_{12}$
$$
\psi_{odr}(z,\,t)=R_{12}A\cos (\om t+k_1z)
$$
a vlnu {\it prošlou} na strunu 2 (řešení vlnové rovnice 2)
\be\label{5.6} \psi_2(z,\,t)=T_{12}A\cos(\om t-k_2 z)\,,\qq
k_2=\f{\om}{v_2}\,, \ee kde $T_{12}$ se nazývá {\it koeficient
prostupnosti pro amplitudu}. Na struně 1 máme proto v ustáleném
stavu řešení vlnové rovnice 1, $\psi_1=\psi_{dop}+\psi_{odr}$  v
oblasti $-\infty<z<0$,
 \be\label{5.7} \psi_1(z,\,t)=A\cos(\om t-k_1
z)+R_{12}A\cos(\om t+k_1z).
 \ee
  Toto řešení je třeba \uv{sešít} v
bodě $z=0$ s řešením (\ref{5.6}) vlnové rovnice 2 v oblasti
$0<z<+\infty$. K tomu musíme zformulovat {\it podmínky na rozhraní}
$z=0$:
\begin{list}{}{\leftmargin=5ex \itemsep=0pt \topsep=\parsep}
\item[1.] spojitost výchylek
\be\label{5.8} \fbox{$\disp \psi_1(0,\,t)=\psi_2(0,\,t)\,.$} \ee pro
všechna $t$ (a diferencovatelnost podle času) implikuje též
spojitost rychlostí \be\label{3.9} \f{\pad \psi_1}{\pad
t}(0,\,t)=\f{\pad \psi_2}{\pad t}(0,\,t)\,. \ee
\item[2.] zákon akce a reakce pro příčné síly na rozhraní
($-F_{1x}=F_{2x}$)
\be\label{5.10}
\fbox{$\disp T_1\f{\pad \psi_1}{\pad z}(0,\,t)=
 T_2\f{\pad \psi_2}{\pad z}(0,\,t)$}
\ee
pro všechna $t$ připouští skok derivace $\pad \psi/\pad z$ při
$T_1\neq T_2$.
\end{list}
 
 Prošlá vlna (\ref{5.6}) se snadno určí z podmínky spojitosti:
 kmity počátku struny 2
 $$ \psi_2(0,\,t)=\psi_1(0,\,t)=(1+R_{12})A\cos\om t $$
 budí na intervalu $0<z<+\infty$ prošlou harmonickou postupnou
 vlnu
 $$\psi_2(z,\,t)=\psi_2\left(0,\,t-\f{z}{v_2}\right)=(1+R_{12})A\cos
 (\om t-k_2z) $$
 s koeficientem prostupnosti
 \be\label{5.11}
 \fbox{$T_{12}=1+R_{12}$}\ .
 \ee
 
Pro nalezení koeficientu odrazu přepišme pravou stranu podmínky
(\ref{5.10}) pomocí vztahu
$$ \f{\pad \psi_2}{\pad z}=-\f{1}{v_2}\f{\pad\psi_2}{\pad t}\,,
$$
který platí pro vlnu postupující ve směru $+z$. Získaný vztah
$$T_1\f{\pad \psi_1}{\pad z}(0,\,t)=-\f{T_2}{v_2}\f{\pad
\psi_2}{\pad t}(0,\,t) \stackrel{(5.9)}{=\!=}
-Z_2\f{\pad\psi_1}{\pad t}(0,\,t)$$ má stejný tvar jako podmínka
nekorektního zakončení (\ref{5.2}) a tudíž vede postupem oddílu 5.2
na koeficient odrazu \be\label{5.12} \fbox{$\disp
R_{12}=\f{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}$}\ . \ee Intervalu hodnot $-1\leq
R_{12}\leq 1$ odpovídá podle (\ref{5.11}) interval přípustných
hodnot koeficientu prostupnosti $0\leq T_{12}\leq 2$. Vlna tedy
prochází vždy se stejným znaménkem. Energetické veličiny se odrážejí
s {\it odrazivostí} ${\cal{R}}_{12}=R_{12}^2$ a procházejí rozhraním
s {\it transmitivitou} ${\cal{T}}=T_{12}^2=(1+R_{12})^2$.
 
{\bf Cvičení.} Dosaďte vlny (\ref{5.6}), (\ref{5.7}) do podmínek
na rozhraní (\ref{5.8}), (\ref{5.10}). Řešením získaných vztahů
odvoďte (\ref{5.11}), (\ref{5.12})\,!
 
\section{Napěťové a proudové vlny na homogenním vedení}
\begin{quote}
{\it Homogenní vedení (Lecherovy dráty). Telegrafní rovnice a jejich
řešení. Odraz na zatěžovací impedanci.}
\end{quote}
 
Homogenní vedení jsou dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče zapuštěné v
prostředí o dielektrické permitivitě $\eps$ a magnetické
permeabilitě $\mu$, obr. (\ref{obr:5.1})
 
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{2cm}
%\caption{Napětí $u$ a proud $i$ na homogenním vedení}
%\label{obr:5.1}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob5c1}\\
 \caption{Napětí $u$ a proud $i$ na homogenním vedení}
 \label{obr:5.1}
\end{center}
\end{figure}
 
Vedení má spojitě rozložené parametry vztažené na jednotku délky:
\tabcolsep12pt
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
odpor $R$&[$\Omega/$m]\\
indukčnost $L$&[H/m]\\
kapacitu $C$&[F/m]\\
svod $G=1/R'$&[S/m]
\end{tabular}
\end{center}
Úsek vedení $(z,\,z+\Delta z)$ bude tedy mít odpor $R\Delta z$, indukčnost
$L\Delta z$, kapacitu $C\Delta z$ a svod $G\Delta z$. (Náhradní obvod je na
obr.\ref{obr:5.2}.)
 
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{2cm}
%\caption{Náhradní obvod úseku vedení $(z,\,z+\Delta z)$}
%\label{obr:5.2}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%%  \includegraphics[height=0.15\textheight]{ob5c2}\\
 \caption{Náhradní obvod úseku vedení $(z,\,z+\Delta z)$}
 \label{obr:5.2}
\end{center}
\end{figure}
 
Podle obr.\ref{obr:5.1} a obr.\ref{obr:5.2} můžeme psát rovnice pro
úbytek napětí $-\Delta u$ a úbytek proudu $-\D i$ na úseku
délky $\D z$  \s{-3} %exper
$\m \h-\D u(z,\,t)=\D z \left(Ri(z,\,t)+L\f{\pad i(z,\,t)}{\pad
t}\right)\,,\h\m \h-\D i(z,\,t)=\D z \left(Gu(z,\,t)+C\f{\pad
u(z,\,t)}{\pad t}\right)\,.\h\m$ Podíly $\D u/ \D z$ a $\D i/\D z$
při pevném $t$ definují v limitě $\D z\to 0$ parciální derivace
$\pad u/\pad z$ a $\pad i/\pad z$,
 takže dostáváme {\bf telegrafní
rovnice}
 \begin{eqnarray}
  -\f{\pad u}{\pad z}&=&Ri+L\f{\pad i}{\pad t}\,,\label{5*.1}\\
  -\f{\pad i}{\pad z}&=&Gu+C\f{\pad u}{\pad t}\,.\label{5*.2}
 \end{eqnarray}
% $ \m \h\parbox{4cm}{\fbox{\parbox{4cm}{$\disp\h -\f{\pad u}{\pad
%z}=Ri+L\f{\pad i}{\pad t}\,,\h\m \h-\f{\pad i}{\pad z}=Gu+C\f{\pad
%u}{\pad
%t}\,.\h$}}}\h\parbox{1.5cm}{\eqnu \label{5*.1}\\ \\
%\eqnu\label{5*.2}}\m $
 Jejich řešení udává průběh napětí $u(z,\,t)$ a proudu $i(z,\,t)$
podél vedení v závislosti na čase.
 
Zabývejme se nejprve speciálním případem, kdy je v rovnicích
(\ref{5*.1}),\,(\ref{5*.2}) možno zanedbat disipativní členy \be
\label{5*.3} |Ri|\ll\left|L\f{\pad i}{\pad t}\right|\,,\
|Gu|\ll\left|C\f{\pad u}{\pad t}\right|\,. \ee Takové poměry
vznikají na vedení typicky při velmi vysokých frekvencích.
Předpokládá\-me-\-li totiž harmonickou časovou závislost (Fourierovu
složku v komplexním tvaru, $j=\sqrt{-1}$) \be \label{5*.4}
u(z,\,t)=U(z)\e{j\om t},\qq i(z,\,t)=I(z)\e{j\om t}, \ee lze
nerovnosti (\ref{5*.3}) ekvivalentně zapsat \be \label{5*.5} R\ll\om
L\,,\qq G\ll\om C\,. \ee Za těchto podmínek se z telegrafních rovnic
\be \label{5*.6} -\f{\pad u}{\pad z}=L\f{\pad i}{\pad t}\,,\qq
-\f{\pad i}{\pad z}=C\f{\pad u}{\pad t} \ee snadno odvodí vlnové
rovnice\footnote{První rovnici zderivujeme podle $z$ a použijeme
druhou rovnici
\[-\f{\pad^2 u}{\pad z^2}=L\f{\pad^2 i}{\pad z\pad
t}=L\f{\pad}{\pad t}\left(\f{\pad i}{\pad z}\right)=-LC \f{\pad^2
u}{\pad t^2}\,.\] Analogicky se získá stejná vlnová rovnice pro
$i(z,\,t)$.} \be \label{5*.7} \f{\pad^2 u}{\pad z^2}=LC\f{\pad^2
u}{\pad t^2}\,,\qquad \f{\pad^2 i}{\pad z^2}=LC\f{\pad^2 i}{\pad
t^2}\,, \ee které popisují šíření netlumených vln
$u(z,\,t),\,i(z,\,t)$ s fázovou rychlostí $v=1/\sqrt{LC}$.
 
{\bf Příklad.} Pro dva nekonečně dlouhé přímé vodiče (Lecherovy
dráty) o poloměru $a$ a vzdálenosti $D$ povrchů v prostředí
$\eps,\,\mu$ platí vzorce
\[
C=\f{\eps}{4\ln\f{D+a}{a}}\,,\qq L=4\mu\ln\f{D+a}{a}
\]
a tedy  $LC=\eps \mu$. Vidíme, že fázová rychlost napěťových a
proudových vln na Lecherových drátech
 \be \label{5*.8}
v=\f{1}{\sqrt{LC}}=\f{1}{\sqrt{\eps\mu}}
 \ee
se přesně shoduje s fázovou rychlostí elektromagnetických vln v
prostředí $\eps,\,\mu$. Můžeme tedy říci, že vlny
$u(z,\,t),\,i(z,\,t)$ jsou pouze projevem šíření elektromagnetické
vlny, která postupuje podél vedení.
 
Vraťme se k telegrafním rovnicím (\ref{5*.1}),\,(\ref{5*.2})
zahrnujícím disipativní členy a zkou\-mejme jejich řešení s
harmonickou časovou závislostí (\ref{5*.4}). Po dosazení
(\ref{5*.4}) do (\ref{5*.1}),\,(\ref{5*.2}) dostaneme soustavu dvou
obyčejných diferenciálních rovnic
 \bea
-U'(z)&=&(R+j\om L)I(z)\,,\label{5*.9}\\
-I'(z)&=&(G+j\om C)U(z)\,,
  \eea z nichž vyloučením $I(z)$
\[
-U''(z)=(R+j\om L)I'(z)=-(R+j\om L)(G+j\om C)U(z)
\]
plyne
 \be \label{5*.11} U''-\gamma^2 U=0,\ee
  kde
 \be \gamma^2=(R+j\om L)(G+j\om C). \ee
 Při nenulových $R,\,G$ zvolíme za $\gamma$ komplexní odmocninu
$\gamma=\beta +jk,\,\beta>0,\,k>0$ (pro $R=G=0$ je $\beta=0$,
$\gamma=jk=j \om/v=j\om\sqrt{LC}$). Charakteristická rovnice pro
(\ref{5*.11}), $\la^2-\gamma^2=0$, má komplexní kořeny
$\la_{1,2}=\pm\gamma$, takže obecné řešení rovnice (\ref{5*.11}) je
\be \label{5*.12} U(z)=A_1\e{\gamma z}+A_2\e{-\gamma z}\,. \ee
 Dosazením do (\ref{5*.4}) zjistíme, že dva členy (\ref{5*.12}) odpovídají
harmonickým tlumeným vlnám, které postupují (a exponenciálně se
tlumí) ve směrech $-z$ a $+z$:
 \be\label{5*.13} u(z,\,t)=A_1\e{\beta
z}\e{j(\om t+kz)}+A_2\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}. \ee
%\onecolumn
%\columnwidth11cm
Příslušná proudová vlna se určí pomocí rovnice (\ref{5*.9})
 \be\label{5*.14} i(z,\,t)=-\f{U'(z)\e{j\om t}}{R+j\om L}=
\f{1}{Z}\left(-A_1\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+A_2\e{-\beta z}\e{j(\om
t-kz)}\right). \ee
 Zde jsme definovali {\it charakteristickou impedanci} vedení
\[
Z=\sqrt{\f{R+j\om L}{G+j\om C}}
\]
fyzikálně jako {\it poměr napětí a proudu pro vlnu postupující ve
směru $+z$}.
 
Na závěr odvodíme koeficienty odrazu $R_U,\,R_I$ pro napětí a proud,
je-li na vedení $-\infty<z<0$ v místě $z=0$ připojena {\it
zatěžovací impedance} $Z_2$. Nejdříve určíme integrační konstanty
$A_1,\,A_2$ z podmínek $U(0)=A_1+A_2$, $ZI(0)=-A_1+A_2$ na konci
vedení:
 %$\m
 %\parbox{4cm}{$ U(0)=A_1+A_2\\  ZI(0)=-A_1+A_2$}\q\Ra\q
 %\parbox{6cm}{$ A_1=\f{1}{2}(U(0)-ZI(0))\\
 %A_2=\f{1}{2}(U(0)+ZI(0))$.}
 %\m$
 $$ A_1=\f{1}{2}(U(0)-ZI(0)), \qq
 A_2=\f{1}{2}(U(0)+ZI(0)).$$
 Vzhledem k tomu, že na zatěžovací
impedanci platí $U(0)=Z_{2}I(0)$, vlny budou mít výsledný tvar
% $\m
% u(z,\,t)=\f{I(0)}{2}\left[ (Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\gamma t+kz)}+
%(Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right],\h\m
% i(z,\,t)=\f{I(0)}{2Z}\left[-(Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\gamma t+kz)}+
%(Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right].\h \m $
$$
u(z,\,t)=\f{I(0)}{2}\left[ (Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+
(Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right],$$
$$i(z,\,t)=\f{I(0)}{2Z}\left[-(Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+
(Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right].
$$
 První členy představují vlny odražené $u_{odr},\,i_{odr}$, druhé
členy vlny dopadající $u_{dop},\,i_{dop}$. Koeficienty odrazu
$R_U,\,R_I$ pak definujeme  jako poměry
$u_{odr}(0,\,t)/u_{dop}(0,\,t)$, $i_{odr}/i_{dop}(0,\,t)$ v bodě
$z=0$ (vzhledem k tlumení):
\[R_U=\f{Z_2-Z}{Z_2+Z}=-R_I\,.\]
 
{\bf Cvičení.} Diskutujte případy $Z_2=Z$ (korektní zakončení),
$Z_2=0$ (vedení nakrátko) a $Z_2\to \infty$ (vedení naprázdno)!
Srovnejte s analogickými situacemi na struně. Co na\-sta\-ne při
$Z_2=Z\e{j\alpha}$?