02VOAFskriptum:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02VOAFskriptum

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptumKarel.brinda 18. 11. 201002:51
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 18. 11. 201002:46 header.tex
Kapitola1 editovatKmity soustav hmotných bodůKarel.brinda 17. 11. 201002:25 kapitola01.tex
Kapitola2 editovatPostupné vlnyJohndavi 25. 5. 201710:36 kapitola02.tex
Kapitola3 editovatVlny v disperzním prostředníKarel.brinda 17. 11. 201002:43 kapitola03.tex
Kapitola4 editovatEnergie vlněníKarel.brinda 16. 11. 201017:14 kapitola04.tex
Kapitola5 editovatOdraz vlnKarel.brinda 18. 11. 201002:44 kapitola05.tex
Kapitola6 editovatElektromagnetické vlnyKarel.brinda 16. 11. 201017:16 kapitola06.tex
Kapitola7 editovatPolarizaceKarel.brinda 16. 11. 201017:19 kapitola07.tex
Kapitola8 editovatInterference a ohybKarel.brinda 17. 11. 201015:58 kapitola08.tex
Kapitola9 editovatGeometrická optikaKarel.brinda 17. 11. 201015:49 kapitola09.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
\chapter{Energie vlnění}
\section{Energetické veličiny pro strunu}
\begin{quote}
{\it Hustota kinetické, potenciální a celkové energie na struně. Vektor
toku energie. Zákon zachvání energie. Energie pro superpozici vln.
Amplituda a intenzita.}
\end{quote}
 
Z~mechaniky víte, že celková energie \(E_{kin}+E_{pot}\) {\it izolované
soustavy} hmotných bodů při působení {\it konservativních sil} mezi
hmotnými body se zachovává, tj. během pohybu se nemění. To ovšem neplatí
pro jednotlivé částice izolované soustavy: energie se uvnitř soustavy
přelévá.\footnote{Rovněž to neplatí při působení disipativních sil
(tření).} Ukážeme si, jak se tato skutečnost dá matematicky vyjádřit pro
nejjednodušší vlnící se prostředí - strunu.
 
Pro odvození vzorců pro energetické veličiny na struně si pomůžeme
diskretní aproximací z~oddílu 1.3 a spojitou limitou. Kinetická energie
krátkého úseku struny \(<z,z+dz>\) je součtem kinetických energií všech
hmotných bodů řetízku, které leží v~intervalu \(<z,z+dz>\):
\begin{equation}
\label{eqv1} E_{kin}(z,z+dz)=\frac{1}{2}\ \sum_{z\leq na\leq
z+dz}M\dot{\psi_n}^2.
\end{equation}
 
Vyjádříme-li levou stranu (\ref{eqv1}) pomocí {\bf {\itshape hustoty
kinetické energie\/}\index{hustota kinetické energie pro strunu}}
\(\kappa(z,t)\) a na pravé straně nahradíme všechna
\(\dot{\psi_n}(t)\) hodnotou spojité funkce \(\frac{\partial\psi}
{\partial t}(z,t)\), dostaneme
\[\kappa (z,t)dz=\frac{1}{2} M\frac{dz}{a} \left(\frac{\partial\psi}{\partial t}
(z,t)\right)^2.\]
Součinitel \(dz/a\)
zde vyjadřuje počet členů sumy v~(\ref{eqv1}). Ve spojité limitě
\(a\rightarrow\ 0\)
musí \(M\rightarrow\ 0\), aby hustota
\(\rho=M/a\)
zůstala konstantní, takže
\begin{equation}
%\framebox(150,40)
\label{eqv2} \fbox{$\displaystyle\kappa (z,t)=\frac{1}{2}\rho
\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2 $}
\end{equation}
 
Pro určení hustoty potenciální energie vyjdeme z~potenciální energie \(U_{n,n+1}\),
kterou získá pružinka spojující sousední hmotné body $n$, \(n+1\) řetízku při
vychýlení z~rovnovážné polohy. Při natažení z~počáteční délky $a$ na
konečnou délku $l$ bude
\[U_{n,n+1}=-\int\limits_a^l (-Kz^,)dz^,=\frac{1}{2}
K(l^2-a^2)=\frac{1}{2} K(\psi_{n+1} -\psi_{n})^2,\] takže
potenciální energie úseku \(<z,z+dz>\) bude rovna
\begin{equation}
\label{eqv3}
E_{pot}(z,z+dz)=\frac{1}{2}\sum_{z\leq na\leq z+dz}
K(\psi_{n+1} -\psi_n)^2.
\end{equation}
Levou stranu (\ref{eqv3}) lze vyjádřit pomocí
{\bf {\itshape hustoty potenciální
energie\/}\index{hustota potenciální energie pro strunu}}
\(u(z,t)\). Na pravé straně ve spojité limitě \(a\rightarrow 0\),
\(K\rightarrow\infty\), aby síla napínající strunu \(T=Ka\) zůstala
konstantní. Současně nahradíme ve všech sčítancích
\[\frac{\psi_{n+1} (t)-\psi_n (t)}{a}\approx\frac{\partial\psi}{\partial
z} (z,t),\]
takže při počtu \(dz/a\) sčítanců
\[u(z,t)dz=\frac{1}{2} K\frac{dz}{a} \left(a\frac{\partial\psi}{\partial z}
(z,t)\right)^2\]
a v~limitě \(a\rightarrow 0\) dostaneme
\begin{equation}
%\framebox(140,40)
\label{eqv4} \fbox{$\displaystyle u(z,t)=\frac{1}{2}
T\left(\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)^2 $.}
\end{equation}
 
Celková energie na jednotku délky --- {\bf {\itshape hustota
energie\/}\index{hustota energie pro strunu}} \(\varepsilon(z,t)\)
--- je součtem \(\kappa+u\),
\begin{equation}
%\framebox(140,40)
\label{eqv5} \fbox{$\displaystyle\varepsilon (z,t)=\frac{1}{2}\rho
\left(\frac{\partial\psi}{\partial
t}\right)^2+\frac{1}{2} T\left(\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)^2
$.}
\end{equation}
Dovoluje v~každém okamžiku $t$ zapsat energii vlnění zvoleného úseku
struny \(<a,b>\) jako integrál
\begin{equation}
\label{eqv6} E_{<a,b>}(t)=\int\limits_a^b \varepsilon(z,t)dz,
\end{equation}
který se obecně mění s~časem. Tyto změny energie v~intervalu
\(<a,b>\) jsou nutně kompenzovány tokem energie přes hranice
intervalu \(<a,b>\). K~vyjádření toku energie uvažujme dvojici bodů
$n$, \(n+1\) a zkoumejme, jak velká energie se při vlnění přenáší za
1 sekundu z~bodu $n$ na bod \(n+1\). Tento výkon koná síla, kterou
$n$-tý bod působí na bod \(n+1\). Podle obr. \ref{obr1.7} a
\ref{obr:1.9} je rovna
\[-F_{2x}=-|\vc{F_2}|\sin (\vartheta_2)\approx -T\tan
(\vartheta_2)=-T\frac{\psi_{n+1} -\psi_n}{a}\approx
-T\frac{\partial\psi}{\partial z}. \]
Výkon, který tato síla koná na bodu \(n+1\), dostaneme vynásobením rychlostí
\(\dot{\psi}_{n+1}\approx\partial\psi/\partial t:\)
\begin{equation}
%\framebox(140,50)
\label{eqv7} \fbox{$\displaystyle
S_z(z,t)=-T\frac{\partial\psi}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial
t}$.}
\end{equation}
 
Veličina \(S_z\) o rozměru \(Js^{-1}\) (watt) představuje tok
energie místem $z$ ve směru \(+z\). Protože má charakter vektorové
veličiny, zavádíme vektor toku energie
\begin{equation}
%\framebox
\label{eqv8} \fbox{$\displaystyle{\bf
S}(z,t)=-T\frac{\partial\psi}{\partial
z}\frac{\partial\psi}{\partial t}{\bf z_0},$}
\end{equation}
kde \(\mbf{z_0}\) je jednotkový vektor ve směru osy $z$.
 
Abychom vyjádřili bilanci energie v~daném intervalu \(<a,b>\),
zapíšeme úbytek energie (\ref{eqv6}) za jednotku času
\begin{equation}
\label{eqv9} -\frac{dE_{<a,b>}}{dt}=-\int\limits_a^b\frac{\partial\varepsilon}{\partial
t}dz=-\int\limits_a^b\left[\rho\frac{\partial\psi}{\partial
t}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}+T\frac{\partial\psi}{\partial
z}\frac{\partial^2\psi}{\partial t\partial z}\right]dz.
\end{equation}
Jestliže v~prvním členu integrandu vyjádříme
\(\partial^2\psi/\partial t^2\) pomocí vlnové rovnice, dostaneme po snadné úpravě
\begin{equation}
\label{eqv10} -\frac{dE_{<a,b>}}{dt}=\int\limits_a^b\frac{\partial}{\partial
z}\left(-T\frac{\partial\psi}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial t}
\right)dz=S_z(b)-S_z(a).
\end{equation}
Jako důsledek pohybové rovnice jsme tedy obdrželi {\ zákon zachování
energie} v integrálním tvaru.
 
{\bf Cvičení}: Odvoďte diferenciální tvar zákona zachování energie,
který má formu jednorozměrné rovnice kontinuity pro energii
\[\frac{\partial\varepsilon}{\partial t}+\frac{\partial S_z}{\partial
z}=0.\]
 
Zapamatujte si, že energetické veličiny $\kappa$, $u$,
$\varepsilon$, $\mbf{S}$ jsou {\bf kvadratické} ve výchylkách
$\psi$. Pro výchylku $\psi$ víme, že platí {\bf princip
superpozice}, který plyne z~linearity vlnové rovnice: jsou-li
$\psi_1$, $\psi_2$ řešení vlnové rovnice, pak i jejich součet
\(\psi=\psi_1+\psi_2\) je řešením. Z~hlediska vzniku vlnění na
struně můžeme předpokládat, že vlny $\psi_1$ resp. $\psi_2$ jsou
buzeny silami \(F_1(t)\) resp. \(F_2(t)\) působícími na počátku
polonekonečné struny. Při skládání vlnění se aditivně skládají i
derivace
\[\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{\partial\psi_1}{\partial
t}+\frac{\partial\psi_2}{\partial t},\quad \frac{\partial\psi}{\partial
z}=\frac{\partial\psi_1}{\partial z}+\frac{\partial\psi_2}{\partial z}.\]
Pro kvadratické veličiny to ovšem neplatí, např.
\[\left(\frac{\partial\psi}{\partial
t}\right)^2=\left(\frac{\partial\psi_1}{\partial
t}\right)^2+\left(\frac{\partial\psi_2}{\partial
t}\right)^2+2\frac{\partial\psi_1}{\partial
t}\frac{\partial\psi_2}{\partial
t}\neq\left(\frac{\partial\psi_1}{\partial
t}\right)^2+\left(\frac{\partial\psi_2}{\partial t}\right)^2.\]
Přídavný {\bf interferenční člen} vytváří dojem, že vzniká další
energie, nebo se ztrácí. Z~hlediska buzení vlny $\psi$ součtem sil
\(F(t)=F_1(t)+F_2(t)\) však tento paradox mizí: výkon dodávaný na strunu
\[P(t)=F(t)\frac{\partial\psi}{\partial
t}(0,t)=(F_1+F_2)\left(\frac{\partial\psi_1}{\partial
t}+\frac{\partial\psi_2}{\partial t}\right)\neq
F_1\frac{\partial\psi_1}{\partial
t}+F_2\frac{\partial\psi_2}{\partial t}=P_1(t)+P_2(t)\]
není roven součtu výkonů sil $F_1$, $F_2$ !
 
{\bf Poznámka k~terminologii}: Výraz {\bf amplituda} jsme použili pro
označení kladné konstanty $A$ v~harmonické vlně. V~širším smyslu se
často používá k~označení veličiny {\bf lineární} v~$\psi$. Výraz
{\bf intenzita } se pak v~tomto širším smyslu používá pro veličiny,
které jsou kvadratické v~$\psi$ nebo v~derivacích $\psi$. ( V~užším
smyslu intenzita znamená časovou střední hodnotu toku energie v~postupné
vlně.) {\bf Amplitudy vyhovují principu superpozice, intenzity nikoliv.}
 
 
\section{Energetické poměry v~postupné vlně}
\begin{quote}
{\it Energetické veličiny v~postupné vlně a jejich vzájemný vztah.
Časové a pro\-storové střední hodnoty pro harmonické postupné vlny.}
\end{quote}
 
V~postupné vlně \(\psi(z,t)=F(z-vt)\), která se šíří po struně ve směru
\(+z\), platí speciální vztah mezi derivacemi
\begin{equation}
%\framebox
\label{eqv11}\frac{\partial\psi}{\partial t}=-v F'(z-vt),\quad
\frac{\partial\psi}{\partial z}=F'(z-vt) \quad \Rightarrow \quad
\fbox{$\displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial
t}=-v\frac{\partial\psi}{\partial z} $.}
\end{equation}
V~důsledku vztahu (\ref{eqv11}) dostáváme rovnost hustoty kinetické
a hustoty potenciální energie v~libovolném místě a čase
\[\kappa=\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial\psi}{\partial
t}\right)^2=\frac{1}{2}\rho\left(-v\frac{\partial\psi}{\partial
z}\right)^2=\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial\psi}{\partial
z}\right)^2=u,\]
takže
\begin{equation}
\label{eqv12}\varepsilon=2\kappa=2u.
\end{equation}
Tok energie lze pak jednoduše zapsat
\begin{equation}
\label{eqv13}S_z=-T\frac{\partial\psi}{\partial
z}\frac{\partial\psi}{\partial t}=-T\frac{\partial\psi}{\partial
z}\left(-v\frac{\partial\psi}{\partial
z}\right)=vT\left(\frac{\partial\psi}{\partial
z}\right)^2=\varepsilon v.
\end{equation}
Poslední vztah můžeme interpretovat podle obr. 4.1: za čas \(\Delta
t\) bodem $z$ projde energie z~vyšrafované oblasti \(\varepsilon
v\Delta t\), tedy za jednotku času \(\varepsilon v\).
%{\it Obr. 4.1:}\begin{quote}{\it Přenos energie v~postupné
%vlně}\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob4c1}\\
 \caption{Přenos energie v~postupné vlně}
 \label{obr:4.1}
\end{center}
\end{figure}
 
Zavedené energetické veličiny $\kappa$, $u$, $S_z$ budeme ilustrovat
na harmonické postupné vlně
\[\psi (z,t)=A\cos{(\omega t-kz+\alpha)}.\]
Intenzity
\begin{eqnarray}
\kappa (z,t) & = & \frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2\sin^2{(\omega
t-kz+\alpha)},\nonumber \\
u(z,t) & = & \frac{1}{2} Tk^2A^2\sin^2{(\omega t-kz+\alpha)},\nonumber \\
S_z(z,t) & = & Tk\omega A^2\sin^2{(\omega t-kz+\alpha)} \nonumber \\
\end{eqnarray}
jsou všechny úměrné kvadrátu \(A^2\sin^2{(\omega t-kz+\alpha)}\).
 
V~praxi, vzhledem k~vysokým frekvencím, obvykle měříme střední
hodnoty těchto veličin. V~daném místě pak určujeme časovou střední
hodnotu. Časová střední hodnota integrabilní funkce \(f(t)\)
v~intervalu \(t_1\leq t\leq t_2\) je definována integrálem
$$<f(t)>=\frac{1}{t_2-t_1}\int\limits_{t_1}^{t_2}f(t)dt.$$ Pro
periodický děj \(f(t+T)=f(t)\) se střední hodnota počítá přes
interval o délce jedné periody $T$:
\begin{equation}
\label{14}
<f(t)>_T=\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt.
\end{equation}
Pro harmonické kmity jsou užitečné vzorce (odvoďte!)
\begin{equation}
 \label{eqv15} <\cos{(\omega t+\alpha)}>_T=0,\quad
 <\cos^2{(\omega t+\alpha)}>_T=\frac{1}{2}
\end{equation}
a analogické vzorce pro sinus. Odtud ihned plyne, že
\begin{quote}
{\it časové střední hodnoty intenzit pro harmonické postupné vlny
nezávisí na $z$, $t$ a jsou rovny polovině jejich maximálních
hodnot}.
\end{quote}
 
{\bf Cvičení}: Definujte prostorové střední hodnoty a odvoďte vzorce analogické (\ref{eqv15})
\[<\cos{(kz+\beta)}>_{\lambda}=0,\quad <\cos^2
(kz+\beta>_{\lambda}=\frac{1}{2}.\]