Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
\chapter{Geometrická optika}
\section{Přechod od optiky vlnové ke geometrické}
\begin{quote}
{\it Limitní přechod ke geometrické optice; vlna s hladkými
vlnoplochami, rovnice eikonálu, pojem paprsku, analogie
s klasickou mechanikou.}
\end{quote}
Rovinná vlna se vyznačuje tím, že směr jejího šíření je všude stejný a
amplituda je konstantní na rovinách konstantní fáze. To je ovšem velká
idealizace --- reálné elektromagnetické vlny ve skutečnosti takové
vlastnosti vesměs nemají. Často se však elektromagnetické vlny v malých
oblastech přibližně podobají rovinným vlnám. Přesněji to můžeme vyjádřit
požadavkem, aby se jejich {\it amplituda a směr šíření velmi nepatrně
měnily na vzdálenostech řádu \(\lambda\)}. Za těchto podmínek budou vlny
mít {\it hladké vlnoplochy}\footnote{Vlnoplochy jsou množiny bodů, v
nichž fáze vlny (v daném čase \(t\)) nabývá konstantní hodnoty.}.
V dalším uvidíme, že u těchto velmi speciálních vln lze mluvit o lokálních
směrech šíření, které jsou kolmé k vlnoplochám a posléze zavést pojem
{\itshape {\bf paprsků}\/}\index{paprsek} --- křivek, jejichž tečna v
každém bodě udává směr šíření vlny.
{\itshape {\bf Geometrická optika}\/}\index{geometrická optika}
studuje šíření elektromagnetických vln za uvedených předpo\-kla\-dů.
Popisuje je jako šíření světla podél paprsků, přičemž úplně
abstrahuje od vlnové podstaty světla.
Šíření světla přesně podél paprsků je zajisté v rozporu s difrakční
rozbíhavostí omezených svazků světla popsanou v oddíle 8.5 a
charakterizovanou směry šíření v oblasti úhlů šířky
\(\delta\approx\lambda/D\). Geometrická optika zcela zanedbává difrakční
rozbíhavost. Odpovídá proto limitě \(\lambda\rightarrow 0\), jež je ve
skutečných fyzikálních situacích tím lepší aproximací, čím je podíl
\(\lambda/D\) menší.
Základní rovnicí optiky je vlnová rovnice pro elektromagnetické pole; v
homogenním izotropním prostředí ji zapíšeme ve tvaru
\begin{equation}
\label{0901I}
\Delta f-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0,
\end{equation}
kde \(v=c/n\) a \(f\) je kterákoli ze složek vektorů \(\vc{E},\vc{B}\).
Jak jsme naznačili, limitní přechod ke geometrické optice lze provést pro vlny
\(f(\vc{r},t)\) s hladkými vlnoplochami. V komplexním zápisu to znamená
\begin{equation}
\label{0901II}
f(\vc{r},t)=a(\vc{r},t)e^{i\psi(\vc{r},t)},
\end{equation}
kde \(a(\vc{r},t)\) je pomalu se měnící amplituda. Fázová funkce
\(\psi(\vc{r},t)\), H. Brunsem nazvaná {\itshape {\bf
eikonál}\/}\index{eikonál}, se však mění velice rychle: na vzdálenosti
\(\lambda\) ve směru šíření se změní o \(2\pi\) ! Soustava vlnoploch v
čase \(t_0\) je určena rovnicemi
\[\psi(\vc{r},t_0)=C, \qquad C\in<0,2pi).\]
Zvolíme-li bod \(\vc{r}_0\) a konstantu \(C\), pak v okolí
\((\vc{r}_0,t_0)\) můžeme eikonál rozvinout do 1. řádu:
\begin{equation}
\label{0901III}
\psi(\vc{r}_0,t_0) \doteq \psi(\vc{r},t) + \sum_{j=1}^3 \frac{\partial\psi}{\partial
x_j}(\vc{r}_0,t_0)(x_j-x_{0j}) + \frac{\partial\psi}{\partial t}(\vc{r}_0,t_0)(t-t_0).
\end{equation}
Tato aproximace odpovídá nahrazení hladké vlnoplochy
v malém okolí
\(\vc{r}_0,t_0\) tečnou rovinnou vlnoplochou s fází
\begin{equation}
\label{0901IV}
\psi_{rov}(\vc{r},t)=\vc{k}.\vc{r}-\omega t+\alpha.
\end{equation}
Porovnáním výrazů (\ref{0901III}), (\ref{0901IV}) získáme
v libovolném bodě
\(\vc{r}_0\) a čase \(t_0\) vztahy pro lokální vlnový vektor
\vc{k} a lokální úhlovou frekvenci \(\omega\, \):
\begin{equation}
\label{0901V}
\framebox[0.20\textwidth]{
\begin{minipage}{0.18\textwidth}
\begin{eqnarray*}
\vc{k} & = & \mbox{grad} \, \psi,\\
\omega & = & -\frac{\partial\psi}{\partial t}.
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
}
\end{equation}
{\it Paprsky} jsou nyní definovány jako křivky, které jsou
v každém bodě tečné k lokálním vektorům \vc{k} a tedy podle
(\ref{0901V}) kolmé k vlnoplochám. Podle (\ref{0901II}) --- (\ref{0901V}) se přibližně rovinný
lokální úsek vlnoplochy \(\psi(\vc{r},t)=C\) šíří podél
paprsku s fázovou rychlostí \(v=\omega/k\).
Základní rovnici geometrické optiky nyní odvodíme jako aproximaci vlnové
rovnice (\ref{0901I}). Derivováním vlny (\ref{0901II}) dostaneme
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial t} & = & \left(\frac{\partial a}{\partial
t}+ia\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)e^{i\psi},\\
\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} & = & \left[\frac{\partial^2
a}{\partial t^2}+2i\frac{\partial a}{\partial
t}\frac{\partial\psi}{\partial t}+ia\frac{\partial^2\psi}{\partial
t^2}-a\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2\right]e^{i\psi},\\
\Delta f & = & \sum_{j=1}^3\left[\frac{\partial^2 a}{\partial
x_j^2}+2i\frac{\partial a}{\partial x_j}\frac{\partial\psi}{\partial
x_j}+ia\frac{\partial^2\psi}{\partial
x_j^2}-a\left(\frac{\partial\psi}{\partial
x_j}\right)^2\right]e^{i\psi}.
\end{eqnarray*}
Ve výrazech \(\Delta f\) a \(\partial^2 f/\partial t^2\)
převažují v limitě \(\lambda\rightarrow 0\) (neboli
\(k\rightarrow\infty\), \(\omega\rightarrow\infty\)) zdaleka
nejvíce poslední členy, jež jsou řádu \(k^2\) a \(\omega^2\). Ostatní
členy jsou podle předpokladů o vlnách (\ref{0901II}) s hladkými
vlnoplochami vesměs nižších řádů \(k^0\), \(k^1\) a \(\omega^0\),
\(\omega^1\) a proto je zanedbáme. Výsledná {\itshape {\bf rovnice
eikonálu}\/}\index{rovnice eikonálu}
\begin{equation}
\label{0901VI}
\fbox{$\displaystyle \sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial\psi}{\partial
x_j}\right)^2-\frac{1}{v^2}\left(\frac{\partial\psi}{\partial
t}\right)^2=0$}
\end{equation}
popisuje systém hladkých vlnoploch, jejichž ortogonálními trajektoriemi
jsou paprsky geometrické optiky. Vztahy (\ref{0901V}) dosazeny do
(\ref{0901VI}) dávají \(\vc{k}^2-(\omega^2/v^2)=0\) v souladu s
disperzním vztahem \(\omega=v|\vc{k}|\), \(v=c/n\).
V případě {\it monochromatického světla} je funkce
\(\omega(\vc{r},t)=-\partial\psi/\partial t\) konstantou \(\omega_{0}\),
takže integrací podle času
\begin{equation}
\label{0901VII}
\psi(\vc{r},t)=-\omega_{0} t+\psi_{0}(\vc{r}),
\end{equation}
kde integrační konstanta \(\psi_0(\vc{r})\) obecně závisí na \vc{r}.
Rovnici eikonálu (\ref{0901VI}) lze nyní psát
\[\sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial\psi_0}{\partial
x_j}\right)^2=\frac{\omega_{0}^2}{c^2}n^2.\]
Vlnoplochy jsou určeny rovnicemi
\[\psi_0=C+\omega_{0} t\]
a směr paprsků \(\vc{k}=\mbox{grad} \, \psi_0\).
Rovnice eikonálu (\ref{0901VI}) v homogenním prostředí má
matematicky přesně stejný tvar jako Hamiltonova--Jacobiho rovnice
pro relativistickou částici s nulovou hmotností a ve vakuu jsou tyto
rovnice přesně identické ! Z toho vychází pozoruhodná {\it analogie
mezi geometrickou optikou a klasickou mechanikou} (\cite{ST}, kap.
5), kterou v r. 1825 objevil W. R. Hamilton. Tuto analogii
podrobněji vyjadřuje tabulka odpovídajících si veličin a vztahů v
geometrické optice a klasické mechanice relativistické částice s
klidovou hmotností \(m_0\) (\cite{ST}, kap. 7).
{\bf Poznámka}. Na tomto místě je třeba připomenout, že hluboký vztah
obou teorií vedl v r. 1925 Louise de Broglie k formulaci základů
{\itshape {\bf vlnové mechaniky}\/}\index{vlnová mechaniky} a Erwina
Schr\"odingera k objevu {\itshape {\bf Schr\"odingerovy
rovnice}\/}\index{Schr\"odingerova rovnice}; o tom více v kap. 11.
\begin{quote}
\begin{quote}
{\it Tabulka 9.1 Analogie mezi geometrickou optikou a klasickou
mechanikou relativistické částice.}
\end{quote}
\end{quote}
\begin{tabular}[c]{|c|c|}
\hline
{\bf Geometrická optika} & {\bf Klasická mechanika} \\
\hline
$\displaystyle \psi(\vc{r},t)=$eikonál & $\displaystyle S(\vc{r},t)=$hlavní funkce Hamiltonova \\
$\displaystyle \vc{k}=\mbox{grad} \, \psi$ & $\displaystyle \vc{p}=\mbox{grad} \, S=$hybnost \\
$\displaystyle \omega=-\frac{\partial\psi}{\partial t}$ &
$\displaystyle E=-\frac{\partial
S}{\partial t}=$ energie \\
\hline
Pro monochromatické světlo: & Pro konservativní síly: \\
$\displaystyle \psi=-\omega_{0} t+\psi_0(\vc{r})$ & $\displaystyle S=-E_{0}t+S_{0}(\vc{r})$ \\
Disperzní vztah: & Vztah energie a hybnosti: \\
& $E=c\sqrt{\vc{p}^2+m_0^2c^2}$ \\
$\displaystyle \omega=\frac{c}{n}|\vc{k}|$ & $\displaystyle E=c|\vc{p}|$ pro $m_0=0$ \\
Rovnice eikonálu: & Hamiltonova-Jacobiho rovnice: \\
$\displaystyle \sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial\psi_0}{\partial
x_j}\right)^2=\frac{\omega^2}{c^2}n^2$ &
$\displaystyle \sum_{j=1}^3\left
(\frac{\partial S_{0}}{\partial x_j}\right)^2
=\frac{E_{0}^2}{c^2}$ \\
\hline
\end{tabular}
\section{Fermatův princip}
\begin{quote}
{\it Nehomogenní prostředí. Fermatův princip jako základní zákon
geometrické optiky; analogie s variačním principem Jacobiho v klasické
mechanice. 5 základních pravidel chodu paprsků.}
\end{quote}
V oddíle 9.1 stejně jako v předcházejích kapitolách jsme předpokládali,
že se elektromagnetické vlny šíří v homogenním prostředí s konstantním
indexem lomu \(n\doteq\sqrt{\varepsilon_r}\). Nyní ukážeme, že základní
rovnice geometrické optiky (\ref{0901VI}) platí ve stejném tvaru i {\it
v nehomogenním prostředí} \(n(\vc{r})\doteq\sqrt{\varepsilon_r(\vc{r})}\)
{\it s prostorově proměnnou permitivitou} (v oblasti optického záření s
dobrou přesností platí, jak víme, \(\mu\doteq\mu_0\)). Výchozí rovnice
pro odvození (\ref{0901VI}) byla vlnová rovnice (\ref{0901I}). Vraťme se
proto do oddílu 6.1, kde byla odvozena z Maxwellových rovnic. V
prostředí s nehomogenní permitivitou \(\varepsilon=\varepsilon(\vc{r})\) a v
nepřítomnosti nábojů již neplatí \(div\vc{E}=0\), nýbrž
\[div\vc{D}=div(\varepsilon\vc{E})=\varepsilon div\vc{E}+\vc{E}.\mbox{grad}\ \varepsilon=0.\]
Proto v odvození vlnové rovnice pro \vc{E} nevymizí člen
\(\mbox{grad}\ \mbox{div}\vc{E}\), který nyní modifikuje výslednou
vlnovou rovnici:
\[\Delta \vc{E}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2\vc{E}}{\partial
t^2}=\mbox{grad}\left(\vc{E}.\frac{\mbox{grad}\
\varepsilon}{\varepsilon}\right).\] V prostředí s velmi pomalu
proměnnou permitivitou se obvykle zanedbává. Rovněž při aproximaci
vlnové rovnice podle oddílu 9.1 tento člen vede na výraz s nejvýše
první derivací fáze \(\psi\), tj. řádu \(k^1\), který lze zanedbat
vzhledem k převažujícím členům řádu \(k^2\). Rovnice eikonálu
(\ref{0901VI}) i všechny následující vztahy zůstávají proto v
platnosti pouze s tou změnou, že index lomu je prostorově proměnný
\(n=n(\vc{r})\) a tedy disperzní vztah obsahuje závislost na \vc{r}:
\begin{equation}
\label{0902VIII}
\omega=\omega(\vc{r})\equiv\frac{c}{n(\vc{r})}|\vc{k}|.
\end{equation}
Viděli jsme, že geometrická optika nepřihlíží k difrakčním jevům a
pracuje s idealizovaným pojmem světelného paprsku. Pro určení chodu
paprsků nejen v homogenním ale i v nehomogenním prostředí se můžeme
obrátit k analogii s trajektoriemi částice v klasické mechanice a na
základě tab. 9.1 pokusit se najít diferenciální rovnice paprsků.
Použijeme-li formu Hamiltonových rovnic (\cite{ST}, kap. 5), pak za
Hamiltonovu funkci (vyjadřující v mechanice energii soustavy jako
funkci souřadnic a hybností) je třeba v optice vzít disperzní funkci
(\ref{0902VIII}):
\[\dot{x}_j=\frac{\partial\omega}{\partial k_j},\quad
\dot{k}_j=-\frac{\partial\omega}{\partial x_j},\quad j=1,2,3.\]
(Jeden příklad řešení těchto rovnic je uveden v \cite{ST}, př.
5.11). Lagrangeovy rovnice II. druhu bohužel nelze použít, neboť
funkce analogická Lagrangeově funkci \(\displaystyle
L=\sum_jp_j(\partial H/\partial q_j)-H\) je identicky rovna nule,
\[\sum_{j=1}^3k_j\frac{\partial\omega}{\partial
k_j}-\omega=\sum_jk_jv\frac{k_j}{|\vc{k}|}-v|\vc{k}|=0.\]
Nezajímá-li nás v mechanice časový průběh pohybu podél trajektorie,
ale pouze tvar trajektorie, můžeme se obrátit na {\it Jacobiho
variační princip} (\cite{ST}, kap. 4). Platí pro soustavy, u nichž
se zachovává energie (\(E=konst.\)). Potřebujeme ho ve speciální
formě pro částice pohybující se v konservativním silovém poli
\[\delta\int_1^2p\ dl=0,\]
kde \(p\) je velikost hybnosti nerelativistické či relativistické
částice a \(dl\) je element délky křivky spojující dané body \(1\),
\(2\). Křivka, po níž se nerelativistická částice pohybuje z bodu \(1\)
do bodu \(2\) je podle Jacobiho principu extremálou funkcionálu
\begin{equation}
\label{0902IX}
\int_1^2p\ dl=\int_1^2\sqrt{2m(E-U)}\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2},
\end{equation}
jenž závisí na křivce, podél níž se integruje od bodu \(1\) do bodu
\(2\).
Odpovídajícím variačním principem je v geometrické optice {\itshape
{\bf Fermatův princip}\/}\index{Fermatův princip}
\[\delta\int_1^2k\ dl=0.\]
Určuje {\it tvar paprsku} spojujícího dané body \(1\), \(2\). Platí
{\it pro monochromatické světlo} s danou úhlovou frekvencí \(\omega\). V
nehomogenním prostředí, kde \(k=n(\vc{r})\omega/c\), lze Fermatův
princip zapsat ve tvaru
\begin{equation}
\label{0902X}
\fbox{$\displaystyle \delta\int_1^2n\ dl=0.$}
\end{equation}
Paprsek spojující body \(1\), \(2\) v prostředí s indexem
lomu \(n(\vc{r})\) je podle Fermatova principu extremálou
funkcionálu \(\displaystyle\int_1^2n\ dl\) představujícího
{\bf optickou dráhu paprsku.}
\begin{quote}
{\bf Světlo se z \(1\) do \(2\) šíří podél takového paprsku, pro který optická
dráha nabývá extremální hodnoty.}
\end{quote}
Optická dráha dělená \(c\)
\[\frac{1}{c}\int_1^2n\ dl=\int_1^2\frac{dl}{v}=t_{12}\]
udává čas \(t_{12}\), za který se světlo po dané křivce šíří fázovou
rychlostí \(v\) z bodu \(1\) do bodu \(2\). Optická
dráha je proto rovna vzdálenosti, kterou proběhne světlo ve vakuu
za stejnou dobu, kterou potřebuje k proběhnutí skutečné
geometrické dráhy v látce.
Fermatův princip je tedy též
{\itshape {\bf principem extremálního času}\/}\index{princip
extremálního času} \(t_{12}\). Fermatem byl původně vysloven jako
princip nejkratšího času.
Fermatův princip extremální optické dráhy (\ref{0902X}) lze považovat za
základní zákon geometrické optiky. Pro obvyklé optické soustavy
sestávající z optických elementů, v nichž je index lomu konstantní, z
něho plyne {\itshape {\bf 5 základních pravidel chodu
paprsků}\/}\index{základní pravidla chodu paprsků}:
\begin{enumerate}
\item Zákon přímočarého šíření světla v homogenním prostředí.
\item Zákon nezávislosti paprsků.
\item Zákon záměnnosti chodu paprsků.
\item Zákon odrazu.
\item Snelliův zákon lomu.
\end{enumerate}
Pravidlo 1. se dostane z (\ref{0902X}) okamžitě, když uvážíme, že pro
konstantní index lomu křivkový integrál \(\displaystyle\int_1^2dl\)
představuje délku křivky spojující body \(1\), \(2\). Křivkou s
extremální (minimální) délkou je úsečka. V homogenním prostředí se tedy
světlo šíří přímočaře.
Pravidlo 2. říká, že když je dán paprsek pro dvojici bodů \(1\), \(2\),
pak tvar paprsku pro každou jinou dvojici bodů \(3\), \(4\) nezávisí na
paprsku \(12\). To je jasné z toho, že tvar každého paprsku je podle
(\ref{0902X}) určen jeho koncovými body a průběhem indexu lomu, nikoliv
však tvarem jiného paprsku.
Podle pravidla 3. se světlo šíří z bodu \(1\) do bodu \(2\) po stejné
křivce jako z bodu \(2\) do bodu \(1\). Křivkový integrál
\(\displaystyle\int_1^2n\ dl\) má totiž v obou případech stejnou kladnou
hodnotu. (Uvažte, že \(\displaystyle dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}>0\).)
Pravidlo 4. --- zákon odrazu na zrcadle --- plyne z jednoduché
geometrické úvahy.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c1}\\
\caption{K odvození zákona odrazu z Fermatova principu.}
\label{obr:9.1}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.1 K odvození zákona odrazu z Fermatova principu.}
Podle obr. \ref{obr:9.1} hledáme křivku spojující body \(1\), \(2\),
která prochází některým bodem zrcadla. V homogenním prostředí bude
paprsek tvořen dvěma úsečkami. Konstrukce na obr. \ref{obr:9.1}
ukazuje, že délky spojnic \(142\), \(142'\) jsou stejné a nejkratší
mezi nimi je přímá spojnice \(132'\). Pro nejkratší paprsek \(132\)
se pak úhel odrazu \(\vartheta_1\) rovná úhlu dopadu
\(\vartheta_0\).
Pravidlo 5. --- {\bf Snelliův zákon lomu} --- stanoví, jak se lomí
paprsek, který přechází z prostředí s indexem lomu \(n_1\) do
prostředí s jiným indexem lomu \(n_2\). Hledáme tedy tvar paprsku,
který spojuje bod \(1\) v prvním prostředí s bodem \(2\) v druhém
prostředí. V homogenním prostředí je paprsek \(142\) na obr.
\ref{obr:9.2} tvořen dvěma úsečkami. Určíme paprsek \(132\), podél
něhož optická dráha
\(n_1l_1+n_2l_2\) je extremální.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c2}\\
\caption{K odvození Snelliova zákona lomu z Fermatova principu.}
\label{obr:9.2}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.2 K odvození Snelliova zákona lomu z Fermatova principu.}
Optická dráha závisí na souřadnici \(x\) průsečíku \(3\) paprsku s
rozhraním, je tedy funkcí
\[f(x)=n_1l_1+n_2l_2=n_1\sqrt{x^2+h_1^2}+n_2\sqrt{(a-x)^2+h_2^2},\quad
x\in\vc{R}.\]
Bod \(x\), pro který \(f(x)\) nabývá extremální (minimální) hodnoty, se
určí z rovnice
\[f'(x)=n_1\frac{x}{\sqrt{x^2+h_1^2}}-n_2\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^2+h_2^2}}=0.\]
Protože zlomky v této rovnici představují \(\sin{\vartheta_1}\) a
\(\sin{\vartheta_2}\), odvodili jsme Snelliův zákon lomu
\[\fbox{$\displaystyle n_1\sin{\vartheta_1}=n_2\sin{\vartheta_2}$}.\]
Tím jsme dokázali všech 5 pravidel chodu paprsků. Fermatův princip je
však daleko obecnější: dovoluje určit chod paprsků nehomogenním
prostředím, např. v zemské atmosféře.
Principiálně nový pohled na geometrickou optiku přinesl R.P. Feynman
\cite{F}. Paprsky geometrické optiky podle něho představují místa,
kde dochází k nejsilnější konstruktivní interferenci. Vychází-li
monochromatické světlo z bodového zdroje \(1\) na obr.
\ref{obr:9.2}, pak paprsek \(132\) je výsledkem konstruktivní
interference vln vyslaných z bodu \(1\), které pozorujeme v bodě
\(2\). Interferenční jev bude tím silnější, čím více optických drah
bude přispívat. Proto k maximální interferenci dojde v okolí
paprsku, na němž přírůstek fáze nabývá extremální hodnoty (k
interferenčnímu maximu přispívají pouze zcela blízké paprsky, pokud
jejich fázové rozdíly jsou velmi malé vzhledem k \(2\pi\)).
Přírůstek fáze je dán součtem příspěvků \(\displaystyle\int_1^2k\
dl\) podél křivky spojující body \(1\), \(2\). Pokud integrál
spočteme podél paprsku, pak platí \(\vc{k}=\mbox{grad}\,\psi_0\) a
vidíme, že
\[\int_1^2k\ dl=\int_{\vc{r}_1}^{\vc{r}_2}\vc{k}.
d\vc{r}=\int_{\vc{r}_1}^{\vc{r}_2} \mbox{grad} \,\psi_0 .
d\vc{r}=\psi_0 (\vc{r}_2)-\psi_0 (\vc{r}_1),\] tj. extremální
přírůstek fáze je roven změně eikonálu. Dospěli jsme tak jinou
cestou k Fermatovu principu, který určuje paprsek mezi křivkami
spojujícími body \(1\), \(2\) jako extremálu funkcionálu
\[\int_1^2k\ dl=\frac{\omega}{c}\int_1^2n\ dl.\]
\section{Zrcadla, čočky}
\begin{quote}
{\it Zrcadlo elipsoidální, parabolické, sférické;
tenký klín a tenká čočka. Par\-axi\-ální paprsky; zrcadlová
a čočková rovnice. Čočkařská rovnice, tlustá čočka.}
\end{quote}
Pro doplnění výkladu geometrické optiky podáme v tomto
výkladu teorii paraxiálního zobrazení sférickými zrcadly
a tenkými čočkami. V oddíle 9.4 bude pak vyložena obecná
teorie lineárních zobrazovacích soustav včetně
maticové metody výpočtu zobrazení.
Nejčastějšími prvky optických zobrazovacích soustav jsou
čočky a zrcadla. Víme, že zobrazení rovinným zrcadlem je
určeno zákonem odrazu. Úvaha o konstruktivní interferenci uvedená na konci oddílu 9.2 dovoluje
určit chod paprsku i v jiných geometriích.
Uvažujme například {\itshape {\bf elipsoidální
zrcadlo}\/}\index{elipsoidální zrcadlo} tvořené rotačním elipsoidem
se zrcadlovým vnitřním povrchem, obr. \ref{obr:9.3}.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob9c3}\\
\caption{Elipsoidální zrcadlo s ohnisky \(F\), \(F'\).}
\label{obr:9.3}
\end{center}
\end{figure}
%{\it Obr. 9.3 Elipsoidální zrcadlo s ohnisky \(F\), \(F'\).}
Umístíme--li bodový zdroj světla do ohniska \(F\), pak podle
definice elipsy délka \(FAF'\) je stejná pro všechny body \(A\)
ležící na elipse a v každém bodě \(A\) je pro \(FAF'\) splněn zákon
odrazu. V ohnisku \(F'\) proto dochází ke konstruktivní interferenci
světla z \(F\). Říkáme, že bod \(F'\) je {\itshape {\bf skutečným
obrazem bodu}\/}\index{skutečný obraz} \(F\).\footnote{Obraz \(F'\)
má ve skutečnosti tvar koule, uvnitř které se fáze liší nejvýše
zhruba o \(\pi/2\) od fáze v \(F'\), tj. má poloměr
\(\approx\lambda/4\).}
Vzdálíme--li nyní obrazové ohnisko \(F'\) do nekonečna při
konstantní vzdálenosti \(f=\left|FV\right|\), dostaneme rotační
paraboloid, obr. \ref{obr:9.4}.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob9c4}\\
\caption{Parabolické zrcadlo s kruhovou aperturou
průměru \(D\). Oskulační kružnice paraboly ve vrcholu \(V\) má střed
\(S\) a poloměr \(R=2f\).}
\label{obr:9.4}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.4 Parabolické zrcadlo s kruhovou aperturou
% průměru \(D\). Oskulační kružnice paraboly ve vrcholu \(V\) má střed
% \(S\) a poloměr \(R=2f\).}
Paprsky vycházející z ohniska \(F\) pak utvoří rovnoběžný svazek ve
směru osy paraboloidu. Má-li {\itshape {\bf parabolické
zrcadlo}\/}\index{parabolické zrcadlo} kruhovou {\itshape {\bf
aperturu}\/}\index{apertura} (vstupní otvor) o průměru \(D\), pak
ovšem podle oddílu 8.5 ze zrcadla bude vycházet prostorově omezený
svazek s difrakční rozbíhavostí \(\delta\approx 1,22\lambda/D\).
Naopak dopadající rovnoběžný svazek (rovinná vlna) se takovým
způsobem zobrazí do okolí ohniska \(f\) o rozměru \(\approx f\delta
= 1,22f\lambda/D\).
Požadavek věrnosti zobrazení složitějších předmětů optickými
soustavami s reálnými optickými elementy lze uspokojivě
splnit s použitím
{\itshape {\bf paraxiálních paprsků}\/}\index{paraxiální paprsky}, tj. když se světlo šíří podél paprsků jen v těsné
blízkosti osy soustavy.\footnote{Paraxiálními nazýváme
paprsky, které s osou svírají tak malé úhly, že lze jejich
siny a tangenty nahradit úhly. Prakticky jde o úhly menší
než $2^{\circ}$.}
V této situaci můžeme malý vrchlík paraboly přibližně nahradit
{\itshape {\bf kulovým zrcadlem}\/}\index{kolové zrcadlo}
o stejném poloměru křivosti \(R\) jako má rotační paraboloid ve vrcholu \(V\).\footnote{ Kulové zrcadlo je vrchlíkem
oskulační sféry paraboloidu ve vrcholu \(V\).
{\itshape {\bf oskulační kružnice}\/}\index{oskulační
kružnice} v rovině nákresu na obr. 9.4 je kružnicí s dotykem
2. řádu k parabole. Její poloměr \(R\) se nazývá
{\itshape {\bf poloměr křivosti}\/}\index{poloměr křivosti}
paraboly a v bodě \(V\) je roven \(2f\).}
{\bf Cvičení 1}. Pomocí Taylorova rozvoje v okolí \(V\) do
2. řádu odvoďte vztah \(R=2f\) pro poloměr oskulační
kružnice paraboly v jejím vrcholu \(V\).
Jsou-li paraxiální paprsky omezeny aperturou s velmi malým
průměrem \(D\ll 2R\), pak kulové zrcadlo bude velmi přesnou
náhradou parabolického a paraxiální paprsky z ohniska \(F\)
vytvoří téměř rovnoběžný svazek. Při větších aperturách je
odchylka sféry od paraboloidu větší, což vede ke
{\itshape {\bf sférické aberaci}\/}\index{sférická aberace}
(kulové vadě) zobrazení kulovým zrcadlem.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c5}\\
\caption{K odvození zrcadlové rovnice pro paraxiální
zobrazení bodu \(P\) kulovým zrcadlem \(ZZ'\) se středem
\(S\). Úhly \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) mají být
velmi malé, ale jsou zvětšeny, aby nákres byl zřetelnější.}
\label{obr:9.5}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.5 K odvození zrcadlové rovnice pro paraxiální
% zobrazení bodu \(P\) kulovým zrcadlem \(ZZ'\) se středem
% \(S\). Úhly \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) mají být
% velmi malé, ale jsou zvětšeny, aby nákres byl zřetelnější.}
{\itshape {\bf Zrcadlová rovnice}\/}\index{Zrcadlová rovnice}. Obr.
\ref{obr:9.5} nám nyní pomůže odvodit zrcadlovou rovnici, která
popisuje paraxiální zobrazení {\itshape {\bf vypuklým kulovým
zrcadlem}\/}\index{ kulové zrcadlo vypuklé} \(ZZ'\) se středem
křivosti \(S\) a poloměrem \(R\). {\itshape {\bf
Předmět}\/}\index{Předmět} \(P\) ve vzdálenosti \(a\) od zrcadla zde
vytvoří {\itshape {\bf zdánlivý obraz}\/}\index{zdánlivý obraz}
\(P'\) ve vzdálenosti \(a'\). Pro všechny vzdálenosti budeme zde i v
dalším používat znaménkovou konvenci jenské školy, jež bude podrobně
popsána v oddíle 9.6: pro vypuklé zrcadlo např. platí
\(a<0\), \(a'>0\), \(R>0\), \(f=-R/2\). V paraxiální
aproximaci lze úhly vyjádřit vztahy
\[\alpha\doteq\frac{\left|ZZ'\right|}{|a|},
\beta\doteq\frac{\left|ZZ'\right|}{a'},
\gamma=\frac{\left|ZZ'\right|}{R}.\]
Představme si nyní, že v bodě \(Z\) je paprsek odrážen malým
tečným rovinným zrcátkem. Když toto zrcátko otočíme kolem
středu \(S\) do bodu \(Z'\) o úhel \(\gamma\), odražený
paprsek se odrazí o dvojnásobný úhel \(2\gamma\), takže
\[\beta=\alpha+2\gamma, \quad \mbox{neboli} \quad
\frac{1}{a'}=\frac{1}{\left|a\right|}+\frac{2}{R}.\]
Poněvadž v jenské konvenci \(f=-R/2<0\), dostáváme
{\itshape {\bf zrcadlovou rovnici}\/}\index{zrcadlová
rovnice} ve tvaru
\begin{equation}
\label{0903XI}
\fbox{$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{a'}+\frac{1}{f}=0.$}
\end{equation}
{\bf Cvičení 2}. Ukažte, že rovnice (\ref{0903XI}) platí
i pro
{\itshape {\bf duté kulové zrcadlo} \/}\index{kulové zrcadlo duté}, když zvolíme znaménka
\(a<0\), \(a'<0\), \(R<0\), \(f=-R/2>0\).
Podívejme se dále na paraxiální zobrazení čočkami. Uvažujme
{\itshape {\bf tenkou spojnou čočku}\/}\index{tenká spojná
čočka} podle obr. 9.6 z homogenního materiálu s indexem lomu
\(n\), ohraničenou kulovými plochami o poloměrech \(R_1>0\),
\(R_2<0\). Lom paraxiálního paprsku přicházejícího zleva
rovnoběžně s osou definuje
{\itshape {\bf obrazové ohnisko}\/}\index{obrazové ohnisko}
\(F'\). O tenké čočce mluvíme, když vzdálenost \(h\) se při
průchodu paprsku čočkou prakticky nemění a tloušťka čočky
\(d\) je malá vzhledem k ohniskové vzdálenosti
\(f\). Pro paraxiální paprsky požadujeme
\(h\ll R_1,\left|R_2\right|\).
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c6}\\
\caption{Tenká spojná čočka.}
\label{obr:9.6}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.6 Tenká spojná čočka.}
Odchylku \(\delta\) lomeného paprsku vypočteme pomocí náhrady
kulových ploch \(R_1\), \(R_2\) ve vzdálenosti \(h\) rovinnými
povrchy klínů s malými vrcholovými úhly \(\alpha_1\), \(\alpha_2\).
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c7}\\
\caption{Náhrada lámavých ploch tenké čočky ve
vzdálenosti \(h\) tenkými klíny. Jejich vrcholové uhly jsou
\(\alpha_1=h/R_1\), \(\alpha_2=h/\left|R_2\right|\).}
\label{obr:9.7}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.7 Náhrada lámavých ploch tenké čočky ve
% vzdálenosti \(h\) tenkými klíny. Jejich vrcholové uhly jsou
% \(\alpha_1=h/R_1\), \(\alpha_2=h/\left|R_2\right|\).}
Podle obr. \ref{obr:9.7} platí \(\alpha_1=h/R_1\),
\(\alpha_2=h/\left|R_2\right|\). Dopadá--li paprsek téměř kolmo na
klín s velmi malým vrcholovým úhlem \(\alpha\), pak podle obr. 9.8
lze odchylku \(\delta\) snadno určit z šíření rovinné vlny:
vlnoplocha u základny klínu projde vzdálenost \(l\) rychlostí
\(c/n\); u vrcholu je rychlost $c$, takže táž vlnoplocha urazí
vzdálenost \(nl\).
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob9c8}\\
\caption{Lom rovinné vlny tenkým klínem. Odchylka
\(\delta=(n-1)l/L=(n-1)\alpha\).}
\label{obr:9.8}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.8 Lom rovinné vlny tenkým klínem. Odchylka
% \(\delta=(n-1)l/L=(n-1)\alpha\).}
Protože rozdíl drah mezi vrcholem a základnou je \((n-1)l\),
dostáváme odchylku
\[\fbox{$\displaystyle \delta=
\frac{(n-1)l}{L}\doteq (n-1)\alpha .$}\]
Vidíme, že nezávisí na úhlu dopadu, pokud je velmi malý.
Odchylka \(\delta\) paprsku procházejícího tenkou čočkou
ve vzdálenosti \(h\) od osy je pak podle obr. 9.6 a 9.7
rovna součtu
\[\delta=(n-1)(\alpha_1+\alpha_2)=
(n-1)(\frac{h}{R_1}+\frac{h}{\left|R_2\right|}).\]
Protože současně platí \(\delta=h/f\), dostáváme
{\itshape {\bf čočkařskou rovnici}\/}\index{čočkařská
rovnice}
\begin{equation}
\label{0903XII}
\fbox{$\displaystyle D=\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}).$}
\end{equation}
Veličina \(D\) je
{\itshape {\bf optická mohutnost}\/}\index{optická
mohutnost} čočky v dioptriích \([m^{-1}]\). Všimněte si,
že pro paraxiální paprsky optická mohutnost nezávisí na
\(h\). Pro úplnost uvádíme čočkařskou rovnici pro tlustou
čočku s tloušťkou \(d>0\) mezi vrcholy (\cite{TK}, př. 8.5):
\[D=\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})+\frac{(n-1)^2d}{nR_1R_2}.\]
{\itshape {\bf Čočková rovnice}\/}\index{čočková rovnice}.
Připomeňme, že stejně jako u klínu, tak též u tenké čočky odchylka
\(\delta\) nezávisí na úhlu dopadu, je-li velmi malý. Proto se
rovnoběžné paraxiální paprsky svírající úhel \(u\) s osou zobrazí do
bodu ležícího v ohniskové rovině \(\varphi'\) (rovině kolmé k ose a
procházející ohniskem \(F'\)) ve vzdálenosti \(fu\) od osy, obr.
9.9.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9c9}\\
\caption{Zobrazení rovnoběžného svazku tenkou spojnou
čočkou do bodu v ohniskové rovině \(\varphi'\).}
\label{obr:9.9}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.9 Zobrazení rovnoběžného svazku tenkou spojnou
% čočkou do bodu v ohniskové rovině \(\varphi'\).}
Pro odvození zobrazovací rovnice stačí proto sledovat paraxiální
zobrazení {\itshape {\bf předmětového bodu}\/}\index{předmětový bod}
\(P\) do {\itshape {\bf obrazového bodu}\/}\index{obrazový bod}
\(P'\), jež oba leží na ose. Pro tenkou spojnou čočku na obr. 9.10
máme \(a<0\), \(a'>0\), \(f>0\). Poněvadž součet úhlů \(u\), \(u'\),
\(\pi-\delta\) v trojúhelníku \(PQP'\) je roven
\(u+u'+(\pi-\delta)=\pi\), tj. \(u+u'=\delta\) a platí \(u\doteq
h/\left|a\right|\), \(u'\doteq h/a'\), \(\delta\doteq h/f\),
dostáváme {\itshape {\bf čočkovou rovnici}\/}\index{čočková rovnice}
\begin{equation}
\label{0903XIII}
\fbox{$\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{a'}+
\frac{1}{f}=0.$}
\end{equation}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9d10}\\
\caption{K odvození čočkové rovnice a bočního zvětšení.}
\label{obr:9.10}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.10 K odvození čočkové rovnice a bočního zvětšení.}
Posuneme-li předmět \(P\) v předmětové rovině kolmé k ose
o malou vzdálenost \(\Delta y\), pak z obr. 9.10 vidíme,
že úhel \(u\) se zmenší o \(\Delta u\doteq\Delta y/a<0\).
Protože odchylka \(\delta\) zůstává stejná, úhel
\(\left|u'\right|\) se zvětší o
\(\left|\Delta u\right|\). Obraz \(P'\) se tedy v obrazové
rovině posune o
\[\Delta y'=a'\Delta u=a'\frac{\Delta y}{a}.\]
Koeficient úměrnosti mezi \(\Delta y'\) a \(\Delta y\)
se nazývá
{\itshape {\bf boční zvětšení}\/}\index{boční zvětšení}
\[\fbox{
%%TODO%% $\displaystyle Z_{boční}=
%%TODO%% \frac{\Delta y'}{\Delta y}=\frac{a'}{a}<0.$
}\]
Posun obrazu \(P'\) v důsledku posunu předmětu \(P\) podél
osy \(x\) lze odvodit z čočkové rovnice (\ref{0903XIII}).
Posuneme-li \(P\) o \(da\), \(P'\) se posune v témže směru
o \(da'\). Derivováním čočkové rovnice
podle \(a\) najdeme podíl \(da'/da\), který definuje {\itshape {\bf podélné zvětšení}\/}\index{podélné zvětšení}:
\[-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a'^2}\frac{da'}{da}=0
\Rightarrow \fbox{
%%TODO%% $\displaystyle
%%TODO%% Z_{podélné}=\frac{da'}{da}=\frac{a'^2}{a^2}=Z_{boční}^2.$
}\]
{\bf Cvičení 3}. Na základě čočkové rovnice (\ref{0903XIII})
pro tenkou spojnou čočku (\(a<0\), \(f>0\)) diskutujte
případy
\(a<-f\Rightarrow a'>0\) (skutečný obraz),
\(0>a>-f\Rightarrow a'<0\) (zdánlivý obraz), \(a\longrightarrow -f\mp 0
\Rightarrow a'\longrightarrow\pm\infty\).
{\bf Cvičení 4}. Diskutujte podobně jako v cvičení 3.
zobrazení tenkou rozptylkou (\(a<0\), \(f<0\)).
\section{Lineární zobrazovací soustavy}
\begin{quote}
{\it Principy výpočtu lineárních zobrazovacích soustav:
projektivní transformace v trojrozměrném prostoru,
kardinální elementy, výpočet pomocí matice přenosu.}
\end{quote}
Optické zobrazovací soustavy sestávají z optických elementů
--- čoček, zrcadel --- a jistým způsobem každý vstupujicí
paprsek transformují v paprsek vystupující. V tomto oddíle
vyložíme teorii {\itshape {\bf
lineárních zobrazovacích soustav}\/}\index{lineární
zobrazovací soustavy}, která je matematickým vyjádřením
ideálního paraxiálního zobrazení z oddílu 9.3. Ideální
optické zobrazení zde bude geometricky
popsáno transformací vstupních paprsků --- přímek
v předmětovém prostoru \(R^3\) ve výstupní paprsky ---
přímky v obrazovém prostoru \(R^{3'}\).
Matematické řešení požadavku věrnosti zobrazení představuje
{\itshape
{\bf projektivní transformace}\/}\index{projektivní
transformace}
({\itshape {\bf kolineace}\/}\index{kolineace}),
jež jsou základem projektivní geometrie v trojrozměrném
prostoru. Jsou definovány jako nejobecnější vzájemně
jednoznačná zobrazení, která převádějí lineární
útvary v lineární útvary téže dimenze (tj. bod na bod,
přímku na přímku a rovinu na rovinu).\footnote{Projektivní
transformace zachovávají relace incidence mezi lineárními
útvary, např. průsečík dvou přímek
převádějí v průsečík jejich obrazů.}
Projektivní transformace sestávají z translací, rotací a
změn měřítka. Lze je zkonstruovat z {\it regulárních}
lineárních transformací
\(R^4\longrightarrow R^{4'}\)
\[\left(
\begin{array}{c}
X'\\
Y'\\
Z'\\
W'
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cccc}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\
a & b & c & c
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z \\
W
\end{array}
\right)
\]
zavedením {\itshape {\bf homogenních
souřadnic}\/}\index{homogenní souřadnice}
\[x'=\frac{X'}{W'},y'=\frac{Y'}{W'},z'=\frac{Z'}{W'};x=\frac{X}{W},y=\frac{Y}{W},z=\frac{Z}{W}.\]
Transformační vztahy pro homogennní souřadnice jsou hledané
projektivnítransformace:
\begin{equation}
\label{094XIV}
\left(
\begin{array}{c}
x' \\
y' \\
y' \\
1
\end{array}
\right)=\frac{1}{W'/W}\left(
\begin{array}{cccc}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\
a & b & c & d
\end{array}
\right),
\end{equation}
kde
\[\frac{W'}{W}=\frac{aX+bY+cZ+dW}{W}=ax+by+cz+d.\]
Analogický tvar lineární lomenné transformace má i příslušná
inverzní transformace, kterou budeme zapisovat s čárkovanými
koeficienty. Ze vztahu (\ref{094XIV}) plyne, že pro každou
projektivní transformaci existuje v \(R^3\) rovina
\(ax+by+cz+d=0\), jejímž obrazem v \(R^{3'}\)
je "rovina v nekonečnu". Projektivní prostor \(P^{3'}\) je
\(R^{3'}\) rozšířený v tuto jedinou {\itshape
{\bf nevlastní (úběžnou) rovinu}\/}\index{nevlastní (úběžná)
rovina} obsahující nevlastní přímky a nevlastní body.
Inverzní transformace podobně definují \(P^3\).
Pro účely optického zobrazení budeme projektivní
transformaci (\ref{094XIV}) chápat jako zobrazení
\({\cal T}:P^3\longrightarrow P^{3'}\)
předmětového prostoru \(P^3\) na obrazový prostor
\(P^{3'}\).
Každá lineární optická zobrazovací soustava je tedy určena
jistou projektivní transformací. Předpokládáme, že vztahy
(\ref{094XIV}) je dána taková transformace \({\cal T}\).
Pro účely optiky ji budeme blíže specifikovat ohniskovými
rovinami, hlavními osami a dalšími praktickými
požadavky, kterými se vztahy (\ref{094XIV}) podstatně
zjednoduší.
\begin{enumerate}
\item {\it Předmětová ohnisková rovina}
\(\varphi\subset P^3\) se transformací \({\cal T}\)
zobrazuje na nevlastní rovinu v \(P^{3'}\).
Je určena rovnicí \[ax+by+cz+d=0.\]
\item {\it Obrazová ohnisková rovina}
\(\varphi'\subset P^{3'}\) je obrazem nevlastní roviny
v \(P^3\). Je určena rovnicí \[a'x'+b'y'+c'z'+d'=0.\]
\item {\it Předmětová hlavní osa}
je kolmá k \(\varphi\). Volíme ji jako osu \(x\) a pro její
průsečík s \(\varphi\) --- {\itshape {\bf
předmětové ohnisko}\/}\index{předmětové ohnisko}
\(F\) --- volíme souřadnici \(x=0\). Rovnice roviny
\(\varphi\) je pak \[ax=0.\]
\item {\it Obrazová hlavní osa}
je kolmá k \(\varphi'\). Volíme ji jako osu \(x'\) a pro
její průsečík s \(\varphi'\) --- {\itshape {\bf
obrazové ohnisko}\/}\index{obrazové ohnisko}
\(F'\) --- volíme souřadnici \(x'=0\). Rovnice roviny
\(\varphi'\) je pak \[a'x'=0.\]
\item Požadavek, aby osa \(x'\) byla obrazem osy \(x\)
znamená, že body s \(y=z=0\) se vztahy (\ref{094XIV})
transformují v body \(y'=z'=0\).
Odtud \(a_2=d_2=a_3=d_3=0\). Pro inverzní transformaci platí
analogicky \(a_2'=d_2'=a_3'=d_3'=0\).
\item Z požadavku, aby roviny kolmé k ose \(x\) (rovnoběžné
s \(\varphi\)) se zobrazovaly na roviny kolmé k \(x'\)
(rovnoběžné s \(\varphi'\)), plyne,že \(x'\) je pouze funkcí
\(x\), tj. \(b_1=c_1=0\). Pro inverzní transformaci
\(b_1'=c_1'=0\).
\item Důležité je omezení na {\itshape {\bf osově symetrické
zobrazení}\/}\index{osově symetrické zobrazení}. Takové
zobrazení stačí popsat transformacemi z roviny \(xy\) na
rovinu \(x'y'\), odkud \(c_1=c_2=0\). Pro inverzní
transformaci \(c_1'=c_2'=0\).
\end{enumerate}
Definice a požadavky 1. --- 7. vedou na zobrazení
\[{\cal T}:\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)\longrightarrow\left(
\begin{array}{c}
x' \\
y'
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\frac{a_1x+d_1}{ax} \\
\frac{b_2y}{ax}
\end{array}
\right)\]
resp.
\[{\cal T}^{-1}:\left(
\begin{array}{c}
x' \\
y'
\end{array}
\right)\longrightarrow\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\frac{a_1'x'+d_1'}{a'x'} \\
\frac{b_2'y'}{a'x'}
\end{array}
\right).\]
Transformační vztahy se ještě zjednoduší, uvážíme-li, že
ohniska \(F\), \(F'\) leží na hlavních osách a
požadujeme--li, aby ohnisko \(F'\) (\((F)\))
bylo při transformaci \({\cal T}\) (\({\cal T}^{-1}\))
obrazem nevlastního bodu \(\infty,0\) ležícího na ose \(x\)
(\(x'\)):
\[\lim_{x\to\infty}
x'=\lim_{x\to\infty}\frac{a_1x+d_1}{ax}=\frac{a_1}{a}=0
\Rightarrow
a_1=0,\]
\[\lim_{x'\to\infty}
x=\lim_{x'\to\infty}\frac{a_1'x'+d_1'}{a'x'}=\frac{a_1'}{a'}
=0 \Rightarrow
a_1'=0.\]
Výsledkem jsou {\itshape {\bf zobrazovací rovnice
v Newtonově (ohniskovém) tvaru}\/}\index{Newtonova
zobrazovací rovnice}
\[x'=\frac{d_1}{ax},y'=\frac{b_2y}{ax},a\neq 0.\]
Zobrazení ovšem závisí pouze na dvou nezávislých
konstantách, jimiž je plně určeno:
\begin{equation}
\label{094XV}
\fbox{$\displaystyle x'x=C, \quad y'=\frac{By}{x}.$}
\end{equation}
Klasifikace optických zobrazovacích soustav podle znamení
konstant \(B,\, C\) si ukážeme až na konci tohoto oddílu.
Ve zbývající části se omezíme na {\itshape {\bf centrované
soustavy}\/}\index{centrované optické soustavy}, u nichž
optické elementy jsou rozloženy osově symetricky
podél společné osy. Osy \(x,\, x'\) zde splývají s touto
osou symetrie a osy \(y',z'\) volíme rovnoběžné s osami
\(y,z\). Ohniska \(F,\, F'\) leží v počátcích obou soustav.
Kladný směr os \(x,x'\) volíme souhlasně se směrem vstupu
světla do optické soustavy. {\itshape {\bf Znaménková
konvence jenské školy}\/}\index{znaménková konvence jenské školy} požaduje, aby délky měřené podél osy \(x\) \(x'\)
měly znamení podle orientace vzhledem k těmto osám \cite{K}.
{\itshape {\bf Maticová metoda v optice}\/}\index{maticová metoda}\cite{GB}. Centrovanými optickými soustavami lze
(v monochromatickém světle) dosáhnout ideálně věrného
zobrazení (\ref{094XV}), uskutečňuje--li se toto zobrazení
paraxiálními paprsky. V
{\itshape {\bf paraxiálním přiblížení}\/}\index{paraxiální
přiblížení}
je paprsek procházející bodem \(A=(x_A,y_A)\) určen
vzdáleností \(y_A\) od osy \(x\) v místě \(x_A\) a úhlem
\(u_A\), který svírá s osou \(x\) (obr. 9.11):
\[\frac{dy}{dx}\biggr|_A=\tan{u_A}\doteq u_A.\]
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob9d11}\\
\caption{Paprsek procházející bodem A je určen
parametry \(x_A,y_A,u_A\).}
\label{obr:9.11}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.11 Paprsek procházející bodem A je určen
% parametry \(x_A,y_A,u_A\).}
Ukážeme, že zobrazení (\ref{094XV}) lze ekvivalentně vyjádřit pomocí
regulární lineární transformace
\begin{equation}
\label{094XVI}
\left(
\begin{array}{c}
y' \\
u'
\end{array}
\right)=T\left(
\begin{array}{c}
y \\
u
\end{array}
\right),\qquad T=\left(
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{array}
\right),
\end{equation}
kde \(T\) se nazývá {\itshape {\bf matice přenosu
soustavy}\/}\index{matice přenosu soustavy}.
Matice přenosu má jednoduchý tvar pro {\itshape {\bf prázdný
prostor délky s}\/}\index{prázdný prostor}, kde paprsek se
šíří přímočaře, takže úhel \(u\) se nezmění a \(y\) se
zvětší o \(us\):
\begin{equation}
\label{094XVII}
\left(
\begin{array}{c}
y' \\
u'
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
y+us \\
u
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
1 & s \\
0 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
y \\
u
\end{array}
\right),T=\left(
\begin{array}{cc}
1 & s \\
0 & 1
\end{array}
\right).
\end{equation}
Při průchodu {\itshape {\bf tenkou čočkou}\/}\index{tenká
čočka} se paprsek lomí podle obr. 9.10: \(y\) se nemění, ale
úhel se změní o \(\delta=-y/f\), takže
\begin{equation}
\label{094XVIII}
\left(
\begin{array}{c}
y' \\
u'
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
y \\
u-\frac{y}{f}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\frac{1}{f} & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
y \\
u
\end{array}
\right),T=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\frac{1}{f} & 1
\end{array}
\right).
\end{equation}
Jsou-li optické elementy (a prázdné prostory) řazeny za
sebou podél osy \(x\) s maticemi přenosu \(T_1,\cdots,T_n\),
výslednou matici přenosu lze snadno vypočítat jako součin
matic (v opačném pořadí)
\[T=T_n\cdots T_1.\]
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.5\textheight]{ob9d12}\\
\caption{Optická zobrazovací soustava: kardinální
elementy, geometrická konstrukce zobrazení.}
\label{obr:9.12}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 9.12 Optická zobrazovací soustava: kardinální
% elementy, geometrická konstrukce zobrazení.}
Abychom dospěli k významu konstant \(B,\, C\), budeme
předpokládat, že daná složená optická soustava má matici
přenosu \(T\) a odvodíme její ohniskové zobrazovací rovnice
(\ref{XV}). Transformace (\ref{XVI})
popisuje transformaci vstupních paprsků na výstupní.
Proto konvenčně volíme ohraničení soustavy {\it vstupní
rovinou} \(\sigma\) a {\it výstupní rovinou} \(\sigma'\)
(obr. 9.12). Transformaci paprsků ze
vstupní roviny na výstupní budeme charakterizovat pomocí
{\itshape {\bf kardinálních elementů}\/}\index{kardinální
elementy}, které plně určují zobrazení:
\begin{enumerate}
\item {\itshape {\bf Ohniska}\/}\index{ohnisko} \(F\),
\(F'\) jsou takové body na hlavní ose, že paprsek
procházející \(F\) (\(F'\)) bude (byl)
rovnoběžný s osou \(x\equiv x'\). Pro paprsky \(1,\, 1'\)
a \(2, \, 2'\) platí
\[\left(
\begin{array}{c}
0 \\
u
\end{array}
\right)_{F'}=\left(
\begin{array}{cc}
1 & -s' \\
0 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
y \\
0
\end{array}
\right)_S=\left(
\begin{array}{c}
(T_{11}-T_{21}s')y_S \\
T_{21}y_S
\end{array}
\right),\]
\[\left(
\begin{array}{c}
y \\
0
\end{array}
\right)_{S'}=\left(
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
1 & s \\
0 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
0 \\
u
\end{array}
\right)_F=\left(
\begin{array}{c}
(T_{11}s+T_{12}u_F) \\
(T_{21}s+T_{22}u_F)
\end{array}
\right).\]
Nuly nalevo dávají vztahy \(T_{11}-T_{21}s'=0,
T_{21}s+T_{22=0}\), odkud při \(T_{21}\neq 0\) máme
\[\fbox{$\displaystyle
s=-\frac{T_{22}}{T_{21}},s'=\frac{T_{11}}{T_{21}}.$}\]
\item {\itshape {\bf Hlavní roviny}\/}\index{hlavní rovina}
\(\chi,\, \chi'\) jsou dvě sdružené roviny (body \(\chi'\)
jsou obrazy bodů \(\chi\)), jejichž body se navzájem
zobrazují s bočním zvětšením rovným jedné.
Na obr. 9.12 tomu odpovídají čárkované úseky paprsků
\(1,\, 2\), které se však ve složené soustavě mohou šířit
komplikovaným způsobem. Podle definice hlavních rovin a
ohniskových vzdáleností \(f,\, f'\) jsou
určeny předchozími transformačními rovnicemi
\[u_{F'}=T_{21}y_S,\quad y_{S'}=(T_{11}s+T_{12})u_F\]
a podmínkami plynoucími z chodu paprsků na obr. 9.12
\[y_S=f'u_{F'},\quad y_{S'}=fu_F.\]
Dostáváme z nich
\[\fbox{$\displaystyle f'=\frac{1}{T_{21}}$}\]
a pomocí již vypočítaného \(s\)
\[f=T_{11}s+T_{12}=\frac{-T_{11}T_{22}+T_{12}T_{21}}{T_{21}},\]
tedy
\[\fbox{$\displaystyle f=-\frac{\left|T\right|}{T_{21}}.$}\]
Obráceně lze matici přenosu \(T\) vyjádřit pomocí
\(f,f',s,s'\):
\begin{equation}
\label{094XIX}
T=\left(
\begin{array}{cc}
\frac{s'}{f'} & f-\frac{ss'}{f'} \\
\frac{1}{f'} & -\frac{s}{f'}
\end{array}
\right)
\end{equation}
Ověřte!
\end{enumerate}
Newtonovu první zobrazovací rovnici (\ref{094XV}) nyní
odvodíme z podmínky, aby bod \(A'\) na hlavní ose byl
obrazem bodu \(A\) paprsku s libovolnými úhly \(u_A\):
\begin{eqnarray}
\label{094XX}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
u
\end{array}
\right)_{A'} & = & \left(
\begin{array}{cc}
1 & p' \\
0 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
1 & p \\
0 & 1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
0 \\
u
\end{array}
\right)_{A} \\ \nonumber
& = & \left(
\begin{array}{cc}
T_{11}+T_{21}p' & (T_{11}+T_{21}p')p+T_{12}+T_{22}p' \\
T_{21} & T_{21}p+T_{22}
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
0 \\
u
\end{array}
\right)_{A}.
\end{eqnarray}
Nula na levé straně dává podmínku nulovosti prvku \(12\),
\[0=pp'T_{21}+pT_{11}+p'T_{22}+T_{12}.\]
Dosadíme-li sem prvky (\ref{094XIX}) matice \(T\)
\[0=pp'+ps'-p's+ff'-ss'\]
a podle obr. 9.12 zavedeme proměnné \(x,\, x'\) rovnicemi
\[x=-p+s,\ x'=p'+s',\]
obdržíme první zobrazovací rovnici
\begin{equation}
\label{094XXI}
\fbox{$\displaystyle xx'=ff'.$}
\end{equation}
Druhá zobrazovací rovnice (\ref{094XV}) popisuje boční
zvětšení
\(y'/y\), když při vychýlení bodu \(A\) do \(P\) se obraz
\(A'\) posune do \(P'\):
\[\left(
\begin{array}{c}
y \\
u
\end{array}
\right)_{P'}=\left(
\begin{array}{cc}
T_{11}+T_{21}p' & 0 \\
T_{21} & T_{21}p+T_{22}
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
y \\
u
\end{array}
\right)_P.\]
Protože prvek \(12\) matice v rovnici (\ref{094XX}) je podle
předchozího odvození roven nule, je boční zvětšení dáno
prvkem \(11\),
\[Z_{bocni}=\frac{y_P'}{y_P}=T_{11}+T_{21}p'=\frac{s'+p'}{f'}=\frac{x'}{f'}\]
a podle (\ref{094XXI})
\begin{equation}
\label{094XXII}
\fbox{$\displaystyle y'=\frac{f}{x}y.$}
\end{equation}
Poznamenejme, že prvek \(22\) určuje {\itshape {\bf úhlové
zvětšení}\/}\index{úhlové zvětšení} \(k\) (konvergenční
poměr) pro zobrazení bodu \(A\) na hlavní ose. Podle
(\ref{094XX})
\[k=\frac{u_{A'}}{u_A}=T_{21}p+T_{22}=\frac{p-s}{f'}=-\frac{x}{f'}=-\frac{f}{x'}.\]
{\itshape {\bf Uzlové body}\/}\index{uzlový bod} \(U,\, U'\)
jsou definovány jako sdružené body na hlavní ose, které mají
tu vlastnost, že prvky jimi procházející se zobrazují
s úhlovým zvětšením rovným jedné:
\[x_u=-f',\ x_{u'}'=-f.\]
Vraťme se ke zobrazovacím rovnicím (\ref{094XXI}),
(\ref{094XXII}). Vidíme, že konstanty \(C\), \(B\)
v (\ref{094XV}) jsou rovny
\begin{equation}
\label{094XXIII}
\fbox{$\displaystyle c=ff',\qquad B=f.$}
\end{equation}
Podle jejich znamének rozlišujeme 4 typy optických
soustav\footnote{V literatuře se používají termíny: soustava
dioptrická (typu čočky), katoptrická (typu zrcadla),
dispansivní (rozptylná), kolektivní (spojná).}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\bf C & \bf B & \bf\(f\) & \bf\(f'\) & \multicolumn{2}{c|}{\bf Soustava}
\\ \hline
- & - & - & + & typu čočky & rozptylná \\ \hline
- & + & + & - & typu čočky & spojná \\ \hline
+ & - & - & - & typu zrcadla & rozptylná \\ \hline
+ & + & + & + & typu zrcadla & spojná \\ \hline
\end{tabular}
Jaká soustava je zobrazena na obr. 9.12 ?
{\bf Cvičení 5.} Ukažte, že při znaménkách \(C<0\) resp.
\(C>0\) platí: postupuje-li předmět po ose v kladném směru,
postupuje jeho obraz týmž resp. opačným směrem, tj. jako
u čočky resp. zrcadla.
{\bf Cvičení 6.} Ukažte, že při znaménkách \(B<0\) resp.
\(B>0\) platí:
pro \(x<0\) mají \(y,y'\) stejná, resp. opačná znaménka.
Příkladem je rozptylná resp. spojná čočka.
{\itshape {\bf Zobrazovací rovnice vztažené k hlavním
rovinám}\/}\index{zobrazovací rovnice vztažené k hlavním
rovinám} \(\chi,\, \chi'\) obdržíme dosazením
\[x=f+a,\ x'=f'+a'\]
podle obr. 9.12 do (\ref{094XXI}), (\ref{094XXII}):
\begin{equation}
\label{094XXIV}
\fbox{$\displaystyle \frac{f}{a}+\frac{f'}{a'}+1=0,\ y'=f\frac{y}{f+a}.$}
\end{equation}
Speciální případy jsme již odvodili v oddíle 9.3: jedná se
o zrcadlovou rovnici (\ref{0903XI}) a čočkovou rovnici
(\ref{0903XIII}), které odpovídají \(f=f'\) resp. \(f=-f'\).
{\bf Cvičení 7.} Odvoďte matici přenosu pro zobrazení
předmětu \(P\) tenkou čočkou. V obecné situaci obr. 9.12
zvolte \(p=p'=0\), tj. vstupní rovina prochází předmětem
\(P\), výstupní obrazem \(P'\). Obě hlavní roviny
splývají s rovinou čočky. Uvažte, že výsledná matice přenosu
vznikne složením matice (\ref{094XVII}) pro prázdný prostor
délky \(-a\), matice (\ref{094XVIII}) pro tenkou čočku
a matice (\ref{094XVII}) pro prázdný prostor délky \(a'\),
\[T=\left(
\begin{array}{cc}
1-\frac{a'}{f} & -a+a'+\frac{aa'}{f} \\
-\frac{1}{f} & 1+\frac{a}{f}
\end{array}
\right).\]
Vysvětlete, proč \(T_{12}=0\) je ekvivalentní čočkové
rovnici (\ref{0903XIII}).
Podrobný výklad dalších témat geometrické optiky včetně
vad zobrazení najde čtenář v citované literatuře
\cite{K}, \cite{TK}.
