Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
%\setcounter{chapter}{6}
\chapter{Polarizace}
\section{Popis polarizace monochromatické elektromagnetické
vlny}
\begin{quote}
{\it Obecný tvar monochromatické vlny.
Polarizace lineární, kruhová, a eliptická.
Komplexní zápis.}
\end{quote}
V kapitole 6 jsme viděli, že vektory \vc{E}, \vc{B}
v~elektromagnetické rovinné vlně jsou vzájemně kolmé a tvoří
se směrem šíření \vc{s} pravotočivou trojici vektorů. Proto
říkáme, že elektromagnetická vlna je příčná. V rovině kolmé
ke směru šíření ovšem existují dva nezávislé příčné
směry, např. určené jednotkovými vektory $\vc{x}_0$,
$\vc{y}_0$; v této souvislosti mluvíme o dvou nezávislých
polarizačních stavech.
Polarizační stav vlny stačí udávat elektrickým vektorem
$\vc{E}(\vc{r},t)$, neboť magnetický vektor $\vc{B}(\vc{r},t)$
je elektrickým jednoznačně určen.
Uvažujme postupnou vlnu monochromatického světla s danou
úhlovou frekvencí $\omega$ ve vakuu nebo homogenním
nevodivém prostředí $\varepsilon$, $\mu$. Jak jsme se
zmínili v odstavci 6.4, lze např. sférickou vlnu
v dostatečně malé oblasti prostoru aproximovat
rovinnou vlnou. Takovou vlnu s elektrickým vektorem
$$
\vc{E}(\vc{r},t) = \vc{E}_0\cos \left( \omega t - \vc{k r} + \varphi \right)
$$
jsme si uvedli v odstavci 6.1, rovnice (\ref{eqv0605}). Vzhledem k tomu,
že Maxwellovy rovnice v prázdném prostoru jsou {\it lineární},
bude obecná monochromatická rovinná vlna (postupující např. ve směru
osy $z$) dána superpozicí vln harmonicky kmitajících ve dvou nezávislých
směrech $\vc{x}_0$, $\vc{y}_0$:
\be
\label{eq:7.1}
\vc{E}(z,t)=\vc{x}_0 E_1 cos{\left( \omega t - k z + \varphi _1 \right)} +
\vc{y}_0 E_2 cos{\left( \omega t - k z + \varphi _2 \right)}.
\ee
Amplitudy $E_1$, $E_2$ a fázové konstanty $\varphi _1$, $\varphi _2$ jsou nezávislé
konstanty; obě vlny v superpozici (\ref{eq:7.1}) mají stejnou úhlovou frekvenci
$\omega$; z vlnové rovnice plyne
$$ \omega = v k.
$$
Pro získání představy o možných polarizačních stavech stačí zkoumat vlnu
(\ref{eq:7.1}) v počátku $O$
\be
\label{eq:7.2}
\vc{E}(0,t)= \vc{x}_0 E_1 cos{\left( \omega t + \varphi _1 \right)} +
\vc{y}_0 E_2 cos{\left( \omega t + \varphi _2 \right)}.
\ee
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{1cm}
%\caption{Časový vývoj vektoru $\vc{E}(0,t)$.}
%\label{fig:7.1}
%\end{figure}
%\begin{quote}
%{\it Obr. 7.1 Časový vývoj vektoru $\vc{E}(0,t)$.}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob7c1}\\
\caption{Časový vývoj vektoru $\vc{E}(0,t)$.}
\label{fig:7.1}
\end{center}
\end{figure}
Podle obr. \ref{fig:7.1} časový vývoj vektoru $\vc{E}(0,t)$ vzniká
skládáním harmonických kmitů ve dvou kolmých směrech
\begin{eqnarray*}
E_x(0,t)& =& E_1 \, \cos{\left( \omega t +\varphi _1 \right)} \\
E_y(0,t)& = &E_2 \, \cos{\left( \omega t +\varphi _2 \right)}
\end{eqnarray*}
se stejnými frekvencemi. Vektor $\vc{E}(0,t)$ proto opisuje
Lissajousovu křivku, jež je obecně elipsou v rovině $xy$ se
středem v počátku.\footnote{K důkazu si stačí uvědomit, že
rovnice
\begin{eqnarray*}
E_x(0,t) = E_1 \left( \cos{\omega t} \cos{\varphi_1} -
\sin{\omega t} \sin{\varphi_1} \right)\\
E_y(0,t) = E_2 \left( \cos{\omega t} \cos{\varphi_2} -
\sin{\omega t} \sin{\varphi_2} \right)
\end{eqnarray*}
dovolují vypočítat $\cos{\omega t}$, $\sin{\omega t}$ jako
lineární kombinace $E_x$, $E_y$:
\begin{eqnarray*}
\cos{\omega t} = a E_x + b E_y \\
\sin{\omega t} = c E_x + d E_y.
\end{eqnarray*}
Potom $\cos^2 {\omega t} + \sin^2 {\omega t} =
(aE_x + bE_y)^2 + (cE_x + dE_y)^2=1$
je rovnicí kuželosečky. Musí to být elipsa (nebo její
degenerované případy), protože $E_x$ a $E_y$ jsou omezené !
}
Příslušný polarizační stav nazýváme {\bf eliptickou polarizací}.
Mezi polarizačními stavy světla mají zvláštní důležitost dva
typy polarizace: polarizace lineární a kruhová.
{\bf Lineární polarizace} odpovídá situaci, kdy vektor $\vc{E}(0,t)$ kmitá stále
ve stejném směru. Tento případ lze charakterizovat hodnotami rozdílu fázových
konstant $\varphi_1 - \varphi_2 = 0$ nebo $\pi$. Tehdy totiž podíl
$$
\f{E_y(0,t)}{E_x(0,t)} = \pm \f{E_2}{E_1} = \tg{\vartheta}
$$
zůstává konstantní (viz obr. \ref{fig:7.2a}, \ref{fig:7.2b}). Vlny
lineárně polarizované ve směrech $\vc{x}_0$ a $\vc{y}_0$ vystupovaly
v (\ref{eq:7.1}), (\ref{eq:7.2}) jako složky rozkladu obecně
elipticky polarizované vlny.
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{1cm}
%\caption{Lineární polarizace ($\tg{\vartheta}=\pm %\f{E_2}{E_1}$)}
%\label{fig:7.2}
%\end{figure}
%\begin{quote}
%{\it Obr. 7.2 Lineární polarizace ($\tg{\vartheta}=\pm
%\f{E_2}{E_1}$).}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob7c2a}\\
\caption{Lineární polarizace ($\tg{\vartheta}= \f{E_2}{E_1}$).}
\label{fig:7.2a}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob7c2b}\\
\caption{Lineární polarizace ($\tg{\vartheta}= -\f{E_2}{E_1}$).}
\label{fig:7.2b}
\end{center}
\end{figure}
{\bf Kruhová polarizace} vzniká jako superpozice (\ref{eq:7.2}) vln lineárně
polarizovaných ve směrech $\vc{x}_0$, $\vc{y}_0$ se stejnými amplitudami, ale
fázově posunutými o $90^{\circ}$,
$$
E_1 = E_2,\quad \varphi_1-\varphi_2 = \pm \f{\pi}{2}.
$$
Vektor $\vc{E}(0,t)$ se nyní pohybuje po kružnici o poloměru $E_1$ v rovině
$xy$ podle vztahů
\begin{eqnarray*}
E_x(0,t) & = & E_1 \cos{(\omega t + \varphi_1)} \\
E_y(0,t) & = & \pm E_1 \sin{(\omega t + \varphi_1)}.
\end{eqnarray*}
Horní znamení odpovídá pohybu proti směru hodinových ručiček
a konvenčně se nazývá {\it levotočivá kruhová polarizace};
dolní znamení pak odpovídá {\it pravotočivé kruhové
polarizaci}. Všimněte si, že při určování smyslu otáčení
vektoru $\vc{E}(0,t)$ míří osa $z$ --- směr šíření světla
\vc{s} --- k pozorovateli P (obr. 7.1).
{\bf Závěr}. Podle podaného výkladu superpozicí dvou lineárně
polarizovaných vln se stejnou úhlovou frekvencí se směry polarizace
$\vc{x}_0$, $\vc{y}_0$ a s různými fázemi vznikne elipticky
polarizovaná vlna (viz obr. \ref{fig:7.3}). Obecný tvar
(\ref{eq:7.1}), (\ref{eq:7.2}) monochromatické elektromagnetické
vlny s~úhlovou frekvencí $\omega$, směrem šíření $\vc{s} = \left(
0,0,1 \right)$ a libovolnými konstantami $E_1$, $E_2$, $\varphi_1$,
$\varphi_2$ proto znamená, že {\it každá taková vlna je
polarizovaná}. V oddíle 7.4 se budeme snažit vysvětlit skutečnost,
že ne každé světlo je polarizované. Uvědomte si ještě, že pro určitý
typ polarizace není rozhodující celková intenzita záření, úměrná
$$
\langle \vc{E}^2 \rangle_T = \f{1}{2} \left( E_1^2 + E_2^2 \right),
$$
ani hodnoty fázových konstant $\varphi_1$, $\varphi_2$, ale jen jejich rozdíl
$\varphi_1 - \varphi_2$.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7c3}\\
\caption{Eliptická polarizace.}
\label{fig:7.3}
\end{center}
\end{figure}
{\bf Polarizace v komplexním zápisu}. Tvar (\ref{eq:7.1})
vektoru $\vc{E}(z,t)$
lze elegantně vyjádřit jako reálnou část komplexní vektorové funkce
$$
\vc{E}(z,t)= \mbox{Re} \left[ \widehat{\vc{E}_0} e^{i(\omega t -kz)} \right],
$$
s komplexní amplitudou
$$
\widehat{\vc{E}_0} = \vc{x}_0 E_1 e^{i \varphi_1} + \vc{y}_0 E_2
e^{i \varphi_2} \in C^2
$$
představující obecný dvojrozměrný komplexní vektor. Množinu monochromatických
vln (\ref{eq:7.1}) lze tedy vzájemně jednoznačně zobrazit na lineární prostor
$C^2$ vektorů $\widehat{\vc{E}_0}$. Daný polarizační stav pak odpovída
podmnožině
monochromatických vln, jejichž amplitudy jsou násobky $rE_1$, $rE_2$ a fáze
$\varphi_1 + \alpha$, $\varphi_2 + \alpha$ pro libovolné $r>0$, $\alpha \in R$.
V komplexním zápisu tyto množiny
$\{ re^{i \alpha} \widehat{\vc{E}_0} \mid r \in R_{+} \wedge \alpha \in R \}$
jsou komplexní přímky v $C^2$ procházející počátkem (jednorozměrné komplexní
podprostory v $C^2$). Množina polarizačních stavů je tedy ekvivalentní množině
jednorozměrných podprostorů v $C^2$, která se nazývá komplexní projektivní
prostor $CP^1$. Lze ukázat, že prostor $CP^1$ je geometricky
ekvivalentní dvojrozměrné sféře $S^2$.
Komplexní zápis rovněž dovoluje algebraickým způsobem určit parametry polarizační
elipsy v rovině $xy$. Nejprve si všimneme, že kvadrát $\widehat{\vc{E}_0}$ je obecně
komplexní číslo
$$
\widehat{\vc{E}_0}^2 =
\widehat{\vc{E}_0} \widehat{\vc{E}_0} =
D e ^{-2i \delta} \in C.
$$
Vynásobením $e^{i \delta}$ dostaneme tedy z $\widehat{\vc{E}_0}$ komplexní vektor
$\vc{d}=\widehat{\vc{E}_0} e ^{i \delta}$ s reálným kvadrátem
$$
\vc{d}^2 =
\left( \widehat{\vc{E}_0} e^{i \delta} \right)^2 =
D > 0.
$$
Rozložíme-li $\vc{d}=\vc{d_1}+i \vc{d_2}$ kde $\vc{d_{1}}$, $\vc{d_{2}}$ jsou
reálné vektory, dostaneme podmínku
$$
\vc{d}^2 = \vc{d_1}^2 - \vc{d_2}^2 + 2 i \vc{d_1} \vc{d_2} = D \in R,
$$
čili
$$
\vc{d_1}\cdot \vc{d_2} = 0.
$$
Vztah $\widehat{\vc{E}_0} = \left( \vc{d_1} + i \vc{d_2} \right) e^{-i \delta}$
nyní vede na vektor $\vc{E}(z,t)$ jako superpozici kmitů ve směrech
\vc{d_1}, \vc{d_2} splňujících $\vc{d_{1}}\cdot\vc{d_{2}}$:
$$
\vc{E}(z,t) =
\vc{d_1} \cos{(\omega t - kz - \delta)} - \vc{d_2} \sin{(\omega t - kz - \delta)}.
$$
Zvolíme-li nové osy $x'$, $y'$ tak, že osa $x'$ míří ve směru \vc{d_1}, pak
\begin{eqnarray*}
E_{x'} & = & d_1 \cos{(\omega t -kz -\delta)} \\
E_{y'} & = & \pm d_2 \sin{(\omega t -kz -\delta)},
\end{eqnarray*}
kde dvě znaménka u $E_{y'}$ odpovídají vektoru \vc{d_2} ve směru nebo proti
směru osy $y'$. Vektor $\vc{E}(0,t)$ opisuje elipsu s poloosami $d_1$, $d_2$, neboť
$$
\f{E_{x'}^2}{d_1^2} + \f{E_{y'}^2}{d_2^2} = 1.
$$
Kruhová polarizace nastává při $d_1 = d_2$, lineární při $d_1=0$ nebo $d_2=0$.
{\bf Cvičení 1. \ } Odvoďte komplexní amplitudy
$\widehat{\vc{E}_0}$ pro levotočivě a pravotočivě kruhově
polarizované vlny.
\section{Určení polarizačního stavu měřením souboru
intenzit} %7.2
\begin{quote}
{\it Dipólová anténa jako vysílač a přijímač. Soubor měřených intenzit.
Měření pomocí dvou antén.}
\end{quote}
V oddíle 6.5 bylo popsáno elektromagnetické pole záření kmitajícího
elektromagnetického dipólu. Podle vyzařovacího diagramu na obr. 6.5
je maximální intenzita vyzařována ve směrech kolmých k dipólu. Podle
obr. 6.4 je toto záření lineárně polarizované ve směru rovnoběžném s
dipólem. Možnou realizaci představuje {\bf {\itshape vysílací
dipólová anténa\/}\index{vysílací dipólová anténa}} napájená
střídavým napětím o frekvenci \(\nu=\omega/2\pi \) schematicky
znázorněná na obr. \ref{fig:7.4}. Je-li délka antény $l$ malá
vzhledem k vlnové délce záření \(\lambda=c/\nu\), lze použít vztahy
z oddílu 6.5.
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.4 Vysílací a přijímací dipólové antény.}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob7c4}\\
\caption{Vysílací a přijímací dipólové antény.}
\label{fig:7.4}
\end{center}
\end{figure}
Stejnou anténu lze použít jako {\bf {\itshape
přijímač\/}\index{přijímač}} dopadajícího elektromagnetického záření,
jehož energii selektivně odebíráme z rezonančního obvodu. Přijímací
vlastnosti antény jsou stejné jako při vysílání: jelikož napětí indukované v
anténě \(U=\int\limits _{-l/2}^{l/2}\vc{E}.d\vc{l}\) je určeno složkou \vc{E},
která je rovnoběžná s anténou, maximální příjem nastane, když záření
dopadá kolmo na anténu.
Maximální citlivost při příjmu tedy přesně odpovídá podmínkám pro
maximální vysílaný výkon.
Nechť se zkoumané monochromatické záření šíří ve směru osy \(+z\) a v
místě \(O\), kde platí (\ref{eq:7.2}), chceme určit jeho polarizační stav měřením
souboru vhodně definovaných intenzit. Těmto intenzitám je posléze
\'uměrný výkon přicházející z antény do rezonančního obvodu. Pro výběr
intenzit je směrodatné, že při určení polarizačního stavu nás nezajímá
ani celková intenzita ani přesná
hodnota fázových konstant \(\varphi_{1}\), \(\varphi_{2}\) ve výrazu (\ref{eq:7.2}) pro
\(\vc{E}(0,t)\). Potřebujeme ovšem zjistit relativní hodnoty \(E_1\),
\(E_2\), \(\varphi_1-\varphi_2\). K jejich určení stačí provést
{\it relativní měření čtyř intenzit} definovaných časovými středními
hodnotami (u monochromatického záření stačí středovat přes jednu periodu
\(T\))
\begin{eqnarray}
\label{eqv07201} <E_x^2>_T & = & E_1^2<\cos^2{(\omega
t+\varphi_1)}>_T=\frac{E_1^2}{2},\nonumber \\
<E_y^2>_T & = & E_2^2<\cos^2{(\omega
t+\varphi_2)}>_T=\frac{E_2^2}{2},\nonumber \\
<2E_xE_y>_T & = & E_1E_2<2\cos{(\omega t+\varphi_1)}\cos{(\omega
t+\varphi_2)}>_T \nonumber \\
& = & E_1E_2<\cos{(2\omega t+\varphi_1+\varphi_2)}+
\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}>_T \nonumber \\
& = & E_1E_2\cos{(\varphi_1-\varphi_2)},\nonumber \\
<2E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega t)>_T & = & E_1E_2<2\sin{(\omega
t+\varphi_1)}\cos{(\omega t+\varphi_2)}>_T \nonumber \\
& = & E_1E_2<\sin{(2\omega t+\varphi_1+\varphi_2)}+
\sin{(\varphi_1-\varphi_2)}>_T \nonumber \\
& = & E_1E_2\sin{(\varphi_1-\varphi_2)}.\nonumber \\
\end{eqnarray}
Vidíme, že změřením intenzit \(<E_x^2>_T\), \(<E_y^2>_T\),
\(<2E_xE_y>_T\) a \(<2E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega t)>_T\)
dostaneme \'uplnou informaci o amplitudách $E_1$, $E_2$ a rozdílu fázových
konstant \(\varphi_1-\varphi_2\). \footnote{Při \'upravách jsme použili
vzorce \(2\cos{a}\cos{b}=\cos{(a+b)}+\cos{(a-b)},
2\sin{a}\cos{b}=\sin{(a+b)}+\sin{(a-b)}\).}
Měření lze u rozhlasových vln realizovat pomocí dvou přijímacích
dipólových antén $A_1$, $A_2$:
\begin{enumerate}
\item Anténu $A_1$ orientujeme ve směru osy $x$ a měříme časovou střední
hodnotu přijímaného výkonu \'uměrnou \(<E_x^2>_T=E_1^2/2\).
\item Anténu $A_2$ orientujeme podél osy $y$ a měříme \(<E_y^2>_T=E_2^2/2\).
\item Obě antény připojíme ke společnému rezonančnímu obvodu stejně dlouhým
vedením a tak, aby do rezonančního obvodu přicházel součet napětí od
antén (sériové zapojení). Měříme pak
\(<(E_x+E_y)^2>_T=<E_x^2>_T+<E_y^2>_T+<2E_xE_y>_T\), odkud se již
snadno určí \(<2E_xE_y>_T\) a \(\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}\).
\item Antény připojíme sériově ke společnému rezonančnímu obvodu vedeními
různé délky tak, aby anténa $A_1$ měla přípojku delší o
\(\lambda/4\), dávající zpoždění \(T/4\). Přijímaný výkon pak bude
\'uměrný \(<(E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})+E_y(\omega
t))^2>_T=<E_x^2>_T+<E_y^2>_T+<2E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega
t)>_T\) a odtud se již snadno určí \(\sin{(\varphi_1-\varphi_2)}\).\footnote{Je-li $z_0$ délka přípojky antény
$A_2$, pak napětí
přicházející do rezonančního obvodu v čase $t$ vyšlo z antény $A_1$
v retardovaném čase \(t-(z_0+\frac{\lambda}{4})/c\), zatímco z antény
$A_2$ v čase \(t-(z_0/c)\). Měřená elektrická intenzita je tedy
součtem \(E_x(t-(z_0+\frac{\lambda}{4})/c)+E_y(t-(z_0/c))\). Protože
výsledky středování nezávisí na společném posunu \(z_0/c\), můžeme
měřené intenzity psát ve tvaru \(<(E_x(t-(T/4))+E_y(t))^2>_T\) neboli
\(<(E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})+E_y(\omega t))^2>_T\).}
\end{enumerate}
Viditelné světlo má vlnové délky kratší než 1 mikrometr a tak je nelze
detekovat pomocí antén. K určení jeho polarizačního stavu měřením
uvedených čtyř intenzit lze však využít speciálních optických vlastností
některých transparentních látek, jak uvidíme v oddíle 7.3.
\section{Polarizované elektromagnetické vlny v látkách}%7.3
\begin{quote}
{\it Polarizační filtry, Malusův zákon, polaroid, polarizace
odrazem. Dvojlom, vlnové destičky, nikol. Měření polarizace. Optická
aktivita. Fotoelastický jev, jevy elektrooptické a magnetooptické.}
\end{quote}
V oddílech 6.5 a 7.2 jsme viděli, že vysílací dipólová anténa napájená
střídavým napětím o frekvenci \(\nu=\omega/2\pi\) budí ve velké
vzdálenosti sférickou {\it lineárně polarizovanou} elektromagnetickou
vlnu. K buzení lineárně polarizovaného světla však nemáme k dispozici
pevně orientované dipólové antény atomárních rozměrů. Lineárně
polarizované světlo proto obvykle získáváme pomocí selektivní absorpce.
Optické přístroje, založené na různých principech, které propouštějí z
dopadajícího světla jen část polarizovanou lineárně v určitém pevném
směru, se nazývají {\bf {\itshape polarizační filtry\/}\index{polarizační
filtr}}. Označíme-li tento pevný směr --- {\bf {\itshape osu
propustnosti\/}\index{osa propustnosti}} filtru --- jednotkovým vektorem
\vc{e}, můžeme vztah mezi vstupujícím a vystupujícím elektrickým polem
zapsat jako vektorový vztah
\begin{equation}
\label{eqv07202}
\vc{E_{\mbox{\scriptsize \it výst}}}=\vc{e}(\vc{e}\cdot\vc{E_{vst}}),
\end{equation}
který vyjadřuje projekci vektoru \vc{E_{vst}} do směru \vc{e}. Je-li
\(\vc{E_{vst}}\parallel\vc{e}\), světlo prochází (u skutečných filtrů dochází k
malému zeslabení absorpcí). Je-li \(\vc{E_{vst}}\bot\vc{e}\), světlo
neprochází (ve skutečnosti je téměř \'uplně pohlceno). Pro intenzity
vstupujícího a vystupujícího světla z (\ref{eqv07202}) plyne vztah
\begin{equation}
\label{eqv07203}
\fbox{$\displaystyle I_{\mbox{\scriptsize \it výst}}=I_{vst}\cos^2{\vartheta} $}
\end{equation}
kde $\vartheta$ je \'uhel mezi \vc{E_{vst}} a osou propustnosti. Rovnice
(\ref{eqv07203}) je známa jako {\bf {\itshape Malusův
zákon\/}\index{Malusův zákon}}.\footnote{Etienne--Louis
Malus (1775 -- 1812) objevil polarizaci světla v r. 1808.} (Při jeho použití u skutečných
polarizačních filtrů za $I_{vst}$ klademe intenzitu, která projde
filtrem při \(\vartheta=0\), tedy vstupní intenzitu zeslabenou případnou
absorpcí.)
%\begin{quote}
%{\it Obr. 7.5 Polarizační filtr z rovnoběžných vodičů.}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob7c5}\\
\caption{Polarizační filtr z rovnoběžných vodičů.}
\label{fig:7.5}
\end{center}
\end{figure}
Moderní typy polarizačních filtrů fungují na principu husté mřížky z
tenkých rovnoběžných vodičů podle obr. \ref{fig:7.5}. Zatímco složka
\(E_x(0,t)\) vlny (7.2) prakticky neinteraguje s elektrony ve
vodičích a prochází beze změny, složka \(E_y(0,t)\) s nimi silně
interaguje a její energie je disipována vodivostními
proudy.\footnote{ Pro viditelné světlo byla takto fungující mřížka
vyrobena napařením zlata na difrakční mřížku z umělé hmoty s cca
2000 vrypy na 1 mm \cite{BP4}.}
Snadnější výrobu polarizačních filtrů nabídla chemie polymerů. Při
tažení plastových fólií, jež obsahují dlouhé řetězce uhlovodíkových
makromolekul, se molekuly převážně napřímí do směru tažení (nebo
válcování). Chemicky vázaný jod poskytuje makromolekulám vodivostní
elektrony, které se mohou pohybovat jen ve směru makromolekul. Výsledný materiál,
{\bf {\itshape polaroid\/}\index{polaroid}} vynalezený v 30. letech E.H. Landem\footnote{Edwin H. Land (1909--1991).
Původní polaroidy byly celuloidové desky pokryté asi 0,1
mm silnou vrstvou tvořenou orientovanými krystalky herapatitu (síran jodchininový).},
pak má vlastnosti polarizačního filtru pro viditelné světlo,
jehož osa propustnosti leží v rovině filtru kolmo ke směru tažení fólie.
Ke klasickému polarizačnímu filtru --- Nicolovu hranolu --- se
vrátíme při výkladu dvojlomu. Zde se ještě zmíníme o {\bf {\itshape
polarizaci světla odrazem\/}\index{polarizace světla odrazem}}. Při
dopadu světla na rozhraní dvou prostředí s indexy lomu $n_1$, $n_2$
vzniká vlna odražená a vlna prošlá podle obr. \ref{fig:7.6}.
Intenzity vzniklých vln (tj. odrazivost $\cal{R}$ a propustnost
$\cal{T}$) závisí nejen na \'uhlu dopadu $\vartheta_1$, ale též na
polarizaci dopadající vlny. Z Fresnelových vzorců pro $\cal{R}$
(\cite{ST}, kap. 9) vyplývá, že pro dopadající {\it vlnu lineárně
polarizovanou v rovině dopadu} existuje tzv. {\bf {\itshape
Brewsterův \'uhel\/}\index{Brewsterův \'uhel}} $\vartheta_{1B}$, při
němž je odrazivost ${\cal{R}}^{\parallel}(\vartheta_{1B})=0$. Dobrou
pomůckou pro zapamatování je skutečnost, že při
$\vartheta_1=\vartheta_{1B}$ svírají směry odražené a prošlé vlny
\'uhel $90^{\circ}$. Můžeme si k tomu představit, že příčně
kmitající elektrony v látce, které vysílají prošlou vlnu, nevysílají
ve směru svých kmitů, takže odražená vlna nevzniká. Ze vztahu
\[\vartheta_1+\vartheta_2=\frac{\pi}{2}\]
a ze Snelliova zákonu lomu
\[n_1\sin{\vartheta_1}=n_2\sin{\vartheta_2}\]
dostaneme vyloučením $\vartheta_2$ vzorec pro
Brewsterův \'uhel
\[ \fbox{$\displaystyle
\mbox{tg}{\vartheta_{1B}}=\frac{n_2}{n_1}.$}
\]
Složka dopadající vlny polarizovaná kolmo k rovině dopadu se odrazí,
${\cal{R}}^{\bot}(\vartheta_{1B})\neq 0$, takže výsledné odražené světlo je lineárně
polarizované kolmo k rovině dopadu. Naopak nulový odraz při polarizaci v
rovině dopadu lze využít k bezztrátovému průchodu polarizovaného světla
(\({\cal{T}}^{\|}(\vartheta_{1B})=1\)) rozhraním.
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.6 Polarizace odrazem. Brewsterův \'uhel.}
% \end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7c6}\\
\caption{Polarizace odrazem. Brewsterův \'uhel.}
\label{fig:7.6}
\end{center}
\end{figure}
V přírodě existují transparentní {\bf \itshape opticky anizotropní
látky\/}\index{opticky anizotropní látka}, u nichž průchod světla
podstatně závisí na jeho polarizaci. Jsou to látky vyskytující se v
krystalické formě, jejichž elektrická anizotropie je určena tenzorem
elektrické permitivity $\varepsilon_{jk}$.\footnote{Existují též
magneticky anizotropní krystaly. Vzhledem k tomu, že magnetizace
není schopna sledovat velmi vysoké optické frekvence, jejich
anizotropie se projevuje u mikrovln.} Rozmanitost krystalických
forem byla klasifikována do 32 krystalografických tříd (\cite{ST},
kap. 6). Krystalová optika, která zkoumá průchod rovinných
monochromatických vln, rozlišuje mezi nimi --- podle typu Fresnelova
elipsoidu \(\sum\limits _{j,k}\varepsilon_{jk}x_{j}x_{k}=1 \) ---
jen 3 třídy opticky anizotropních látek \cite{Sopt}:
\begin{itemize}
\item dvojosé (poloosy elipsoidu jsou vzájemně různé),
\item jednoosé (rotační elipsoid, v hlavních osách
\(\varepsilon_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\varepsilon_{3}x_{3}^{2}=1 \)),
\item izotropní (\(\varepsilon_{jk}=\varepsilon\delta_{jk}\), elipsoid je sférou).
\end{itemize}
Krystaly se středem symetrie (např. krystaly NaCl, KCl,
CaF$_{2}$, jež patří ke kubické soustavě) se z optického
hlediska chovají jako izotropní prostředí. O izotropním
prostředí již víme, že každá rovinná monochromatická vlna je v něm obecně elipticky
polarizovaná.
{\it V opticky jednoosých nebo dvojosých krystalech
(se symetrií nižší než kubické soustavy) tomu tak
není, všechny rovinné monochromatické vlny jsou lineárně
polarizované ve směrech určených optickými osami.}
Zde se zmíníme o některých {\bf {\itshape jednoosých
krystalech}\/}\index{jednoosý krystal}; jejich optická osa
je osou symetrie Fresnelova rotačního elipsoidu. Známé jsou
krystaly tzv. islandského vápence (CaCO$_{3}$), krystalizující v šesterečné soustavě ve formě klence (rombu)
podle obr. \ref{fig:7.7}. Svazek dopadajícího světla se v
krystalu rozdělí na dva lineárně polarizované svazky, které
leží v rovině hlavního řezu určené dopadajícím svazkem a
optickou osou. Dochází k
{\bf {\itshape dvojlomu}\/}\index{dvojlom}.
{\bf {\itshape Paprsek mimořádný}\/}\index{mimořádný paprsek} $e$ má elektrický vektor v
hlavním řezu, {\bf {\itshape paprsek řádný}\/}\index{řádný paprsek} $o$ kolmo k hlavnímu řezu.
%\begin{quote}
%{\it Obr. 7.7 Průchod svazku světla krystalem vápence. Optická osa je
%\(\overline{K_{1}K_{2}}\). Spolu s dopadajícím paprskem
%\(\overline{AB}\) určuje hlavní řez, v němž leží paprsek řádný $o$
%(ordinarius) a mimořádný $e$ (extraordinarius).}
%\end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7c7}\\
\caption{Průchod svazku světla krystalem vápence. Optická osa je
\(\overline{K_{1}K_{2}}\). Spolu s dopadajícím paprskem
\(\overline{AB}\) určuje hlavní řez, v němž leží paprsek řádný $o$
(ordinarius) a mimořádný $e$ (extraordinarius).}
\label{fig:7.7}
\end{center}
\end{figure}
Situace se zjednoduší pro destičku vyříznutou z jednoosého krystalu tak,
aby optická osa $\vc{n}$ ležela v rovině destičky. Dopadá-li svazek
monochromatického světla kolmo na destičku, nedojde k oddělení směrů
šíření obou paprsků (obr. 7.8). Ovšem i když se oba paprsky šíří stejným
směrem, jsou lineárně polarizované ve vzájemně kolmých směrech (pro
paprsek mimořádný \(\vc{E}\parallel\vc{n}\), pro paprsek řádný
\(\vc{E}\bot\vc{n}\)) a mají různé indexy lomu \(n_{e}, n_{o}\) a tedy i
různé fázové rychlosti \(v_{e}=c/n_{e}\), \(v_{o}=c/n_{o}\). Taková destička
funguje jako {\bf {\itshape zpožďovací destička}\/}\index{zpožďovací
destička} (též {\bf {\itshape vlnová destička}\/}\index{vlnová
destička}), neboť v ní dochází k fázovému posunutí \(\Delta\varphi\)
mezi oběma paprsky v závislosti na tloušťce destičky $d$.
Indexy lomu některých jednoosých krystalů pro žlutou spektrální čáru
sodíku o vlnové délce \(\lambda=589\) \(nm\) udává následující tabulka.
\footnote{Krystaly s \(n_{e}>n_{o}\) se nazývají pozitivní, s
\(n_{e}<n_{o}\) negativní.}
\begin{tabular}{||l|c|c||}
\hline
& \(\vc{n_{e}}\)& \(\vc{n_{o}}\)\\
\hline
\hline
křemen & 1,553 & 1,544\\
\hline
vápenec & 1,4864 & 1,6583\\
\hline
led při 0\(^{o}C\) & 1,310 & 1,309\\
\hline
turmalin & 1,619 & 1,637\\
\hline
\end{tabular}
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.8 Vlnová destička tloušťky $d$, s optickou osou $\vc{n}$.}
% \end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob7c8}\\
\caption{Vlnová destička tloušťky $d$, s optickou osou $\vc{n}$.}
\label{fig:7.8}
\end{center}
\end{figure}
Dopadá-li na destičku podle obr. \ref{fig:7.8} monochromatická
rovinná elektromagnetická vlna (\ref{eq:7.1}), bude mít na vstupu
\(z=0\) elektrický vektor (\ref{eq:7.2})
\[\vc{E_{vst}}(0,t)=\vc{x_{0}}E_{1}\cos{(\omega
t+\varphi_{1})}+\vc{y_{o}}E_{2}\cos{(\omega t+\varphi_{2})}.\]
Uvnitř destičky se její složky, lineárně polarizované ve směrech
\(\vc{x_{0}}=\vc{n}\) a \(\vc{y_{0}}\bot\vc{n}\), šíří různými fázovými
rychlostmi \(v_{e}\), \(v_{o}\), takže na výstupu \(z=d\)
\begin{eqnarray}
\vc{E_{\mbox{\scriptsize \it v\'yst}}}(d,t) & = &
\vc{x_{0}}E_{vst\, x}(0,t-\frac{d}{v_{e}})+
\vc{y_{0}}E_{vst\, y}(0,t-\frac{d}{v_{o}})
\nonumber \\
& = & \vc{x_{0}}E_{1}\cos{(\omega
t-k_{e}d+\varphi_{1})}+\vc{y_{0}}E_{2}\cos{(\omega
t-k_{o}d+\varphi_{2})}. \nonumber
\end{eqnarray}
V destičce se počáteční rozdíl fází obou složek
\(\varphi_{2}-\varphi_{1}\) změní na
\(\varphi_{2}-\varphi_{1}+(k_{e}-k_{o})d\). Přídavný fázový posuv
\(\Delta\varphi\) vzniklý v destičce lze vyjádřit pomocí vlnové délky
\(\lambda\) ve vakuu a indexů lomu \(n_{e},n_{o}\) vzorcem
\footnote{\(k_{o}=\omega/v_{o}=n_{o}\omega/c=n_{o}2\pi/\lambda\) a
stejně pro $k_{e}$.}
\[\fbox{$\displaystyle
\Delta\varphi=(k_{e}-k_{o})d=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{e}-n_{o})d. $}\]
Možnost změnit fázový rozdíl a tedy i polarizační stav
světla se nejčastěji využívá u {\bf {\itshape čtvrtvlnové
destičky}\/}\index{čtvrtvlnová destička}, v níž vzniká
fázový rozdíl \(\pi/2\). Dopadá-li lineárně polarizované
světlo na \(\lambda/4\)-destičku z~pozitivního krystalu
\((n_{e}>n_{o})\) orientovanou podle obr. \ref{fig:7.9}a,
pak na výstupu dostaneme pravotočivě kruhově polarizované světlo
(obr. \ref{fig:7.9}b). Změny polarizačního stavu po dalších
čtvrtvlnových posunech jsou znázorněny na obr. \ref{fig:7.9}c, d.
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.9 Změna polarizačního stavu pro
% \(\Delta\varphi=0,\pi/2,\pi,3\pi/2\).}
% \end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob7c9}\\
\caption{ Změna polarizačního stavu pro
$\Delta\varphi=0,\pi/2,\pi,3\pi/2$.}
\label{fig:7.9}
\end{center}
\end{figure}
{\bf Cvičení 2.} Plátky průhledné slídy (muskovitu) jsou
dvojosými krystaly a mají pro \(\lambda=589\) \(nm\) indexy
lomu \(n_{1}=1,594,\) \(n_{2}=1,589\). Spočítejte tloušťku
slídové \(\lambda/4\)-destičky pro \(\lambda=589\) \(nm\)
(\cite{TK},př. 6.36). Její tloušťka není \(\lambda/4\), ale
\(d\doteq 0,027\) \(mm\)~!
Využití dvojlomného vápence ke konstrukci polarizačního filtru
představuje {\bf {\itshape Nicolův hranol}\/}\index{Nicolův hranol},
obr. \ref{fig:7.10}a.
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.10 Polarizační hranoly. a) Nicolův hranol, b) Wollastonův
% hranol. Šipky značí směry optických os.}
% \end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob7d10}\\
\caption{Polarizační hranoly. a) Nicolův hranol, b) Wollastonův
hranol. Šipky značí směry optických os.}
\label{fig:7.10}
\end{center}
\end{figure}
Je vyroben z krystalu vápence ve třech krocích: sbroušením
z~původního úhlu 71$^{\circ}$ v klenci na 68$^{\circ}$,
rozříznutím, aby druhý vyznačený úhel byl 90$^{\circ}$ a
slepením obou dílů kanadským balzámem, jehož index lomu
1,55 leží mezi indexy lomu vápence $n_{e}\doteq 1,49$ a
$n_{o}\doteq 1,66$.
Při dopadu světla podle obr. \ref{fig:7.10}a se řádný paprsek na
rozhraní vápence a lepidla totálně odráží, protože příslušný mezní
úhel je 69$^{\circ}$10' (\(\sin{69^{\circ}10'}=1,55/1,66\)). Z
nikolu vychází jen mimořádný paprsek se známou lineární polarizací
ve svislém směru.
{\bf Cvičení 3.\ } Promyslete si konstrukci a funkci dalšího
polarizačního hranolu na obr. \ref{fig:7.10}b \cite{V}.
Umístíme-li dva otočné polarizační filtry do svazku světla
na optické lavici, nazývá se první z nich {\bf {\itshape
polarizátor}\/}\index{polarizátor}, druhý {\bf {\itshape
analyzátor}\/}\index{analyzátor}. Je-li orientace analyzátoru kolmá na
orientaci polarizátoru, světlo podle Malusova zákona neprochází; říkáme,
že {\it polarizační filtry jsou zkřížené.}
{\bf Cvičení 4.} Vložíme-li mezi zkřížené polarizační filtry
vlnovou destičku a otáčíme jí v bílém dopadajícím světle,
dochází na stínítku ke krásným barevným efektům.
Vysvětlete !
{\bf {\itshape Měření polarizace světla}\/}\index{Měření polarizace
světla}. Na konci oddílu 7.2 jsme uvedli, že k určení polarizačního stavu
monochromatického viditelného světla měřením intenzit (\ref{eqv07201}) je nutné
použít speciální optické elementy. Měření souboru čtyř intenzit lze
realizovat {\it pomocí polarizačního filtru a čtvrtvlnové destičky}
následujícím způsobem:
\begin{enumerate}
\item Osu propustnosti polarizátoru orientujeme ve směru osy
$x$ a podle (\ref{eq:7.1}), (\ref{eqv07203}) měříme
intenzitu prošlého světla
\(<E_{x}^{2}>_{T}=E_{1}^{2}/2\).
\item Polarizátor orientujeme podél osy $y$ a měříme
\(<E_{y}^{2}>_{T}=E_{2}^{2}/2\).
\item Osu propustnosti $\vc{e}$ polarizátoru orientujeme pod úhlem
45$^{o}$ mezi osami $x$, $y$, tj.
\(\vc{e}=(\vc{x_{0}}+\vc{y_{0}})/\sqrt{2}\). Měříme pak intenzitu
prošlého světla
\(<(\frac{E_{x}}{\sqrt{2}}+\frac{E_{y}}{\sqrt{2}})^{2}>_{T}=\frac{1}{2}<E_{x}^{2}>_{T}+\frac{1}{2}<E_{y}^{2}>_{T}+<E_{x}E_{y}>_{T}\);
odtud se již snadno určí \(<2E_{x}E_{y}>_{T}\) a
\(\cos{(\varphi_{1}-\varphi_{2})}\).
\item K určení \(\sin{(\varphi_{1}-\varphi_{2})}\) z
intenzity
\(<2E_{x}(\omega t-\frac{\pi}{2})E_{y}(\omega t)>_{T}\) se
v~uspořádání s polarizačním filtrem podle bodu 3. použije ještě
čtvrtvlnová destička umístěná {\it před} polarizačním filtrem. Je-li
např. z pozitivního krystalu, orientuje se podle obr. \ref{fig:7.8}
s optickou osou $\vc{n}$ ve směru osy $x$, aby způsobila dodatečný
fázový posuv \(\Delta\varphi=\pi/2\).
\end{enumerate}
{\bf {\itshape Babinetův
kompenzátor}\/}\index{Babinetův kompenzátor} (obr. \ref{fig:7.11})
je přístroj sloužící k určení fázového posunutí \(\Delta\varphi\)
zpožďovací destičky neznámé tloušťky. Sestává ze dvou křemenných
klínů K$_{1}$, K$_{2}$ (pevný a posuvný) podle obr. \ref{fig:7.11} s
optickými osami vyznačenými šipkami. Klíny způsobují fázová posunutí
opačného znaménka, uprostřed je výsledné fázové posunutí nulové.
Je-li kompenzátor při monochromatickém světle vložen mezi zkřížené
polarizační filtry orientované pod úhlem 45$^{o}$ k optickým osám
$x$, $y$, objeví se podél osy $x$ tmavé proužky na místech, kde
výsledné fázové posunutí má hodnoty \(\Delta\varphi=0,\pm 2\pi,\pm
4\pi,...\). Kompenzátor se okalibruje odečtením počtu $n$
mikrometrických dílků, o něž se musí posunout posuvný klín (ve směru
$x$), aby tmavé proužky přešly přesně do sousedních původních poloh.
Pak lze změřit fázový posuv destičky neznámé tloušťky. Mezi zkřížené
polarizátory ještě vložíme destičku neznámé tloušťky s optickou osou
ve směru $x$ nebo $y$. Tím se tmavé proužky posunou. Mikrometrickým
posunem kompenzátoru (o \(n_{1}\) dílků) vrátíme proužky do původní
polohy. Velikost fázového posunutí je pak \(\Delta\varphi=2\pi
n_{1}/n\).
% {\it Obr. 7.11 Babinetův kompenzátor. Optické osy klínů jsou označeny
% šipkami. Jeden z klínů je posuvný ve směru $x$.}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7d11}\\
\caption{Babinetův kompenzátor. Optické osy klínů jsou označeny
šipkami. Jeden z klínů je posuvný ve směru $x$.}
\label{fig:7.11}
\end{center}
\end{figure}
{\bf {\itshape Optická aktivita}\/}\index{Optická aktivita} je
schopnost látky stáčet směr polarizace procházejícího lineárně
polarizovaného světla. Vykazuje ji řada látek, především křemen, a
dále vodní roztoky cukru, kyseliny hroznové a pod. V polarimetrickém
uspořádání podle obr. \ref{fig:7.12} lze např. přesně určit
koncentraci cukru v roztoku P.
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.12 Stáčení směru polarizace lineárně polarizovaného světla
% v látce P. Určuje se v uspořádání s polarizátorem N$_{1}$ a
% analyzátorem N$_{2}$.}
% \end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7d12}\\
\caption{Stáčení směru polarizace lineárně polarizovaného světla
v látce P. Určuje se v uspořádání s polarizátorem N$_{1}$ a
analyzátorem N$_{2}$.}
\label{fig:7.12}
\end{center}
\end{figure}
V důsledku optické aktivity dojde po průchodu monochromatického
světla roztokem v nádobce P o délce $l$ k otočení směru polarizace o
úhel
\[\varphi=\varphi_{0}\frac{w}{100}l,\]
kde \(\varphi_{0}\) je tzv. měrná otáčivost a $w$ je hmotnostní zlomek
(koncentrace) aktivní látky v roztoku v procentech. Měrná otáčivost
závisí na vlnové délce a teplotě.
Vlastnost optické aktivity roztoků souvisí s prostorovou strukturou
molekul rozpuštěné látky, jež se vyskytují ve dvou prostorově
odlišných formách (např. s asymetricky vázaným uhlíkem), jež se dají
ztotožnit pouze zrcadlením. Podobné zrcadlové (enantiomorfní) tvary
vykazují i krystaly křemene, obr. \ref{fig:7.13}.
% {\it Obr. 7.13 Enantiomorfismus krystalů křemene.}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7d13}\\
\caption{Enantiomorfismus krystalů křemene.}
\label{fig:7.13}
\end{center}
\end{figure}
Ukážeme si, že optickou aktivitu lze považovat za {\it dvojlom
vzhledem ke kruhové polarizaci}. Lineárně polarizované
monochromatické světlo vstupující do opticky aktivního prostředí se
dá zapsat ve tvaru superpozice pravotočivě a levotočivě kruhově
polarizovaného světla (obr. \ref{fig:7.14a}) s nulovou relativní
fází
\begin{eqnarray}
\vc{E}(0,t) & = & \vc{x_{0}}E_{0}\cos{\omega t}=
\vc{E^{+}}(0,t)+\vc{E^{-}}(0,t) \nonumber \\
& = & \frac{E_{0}}{2}(\vc{x_{0}}\cos{\omega t}-\vc{y_{0}}\sin{\omega
t})+\frac{E_{0}}{2}(\vc{x_{0}}\cos{\omega t}+\vc{y_{0}}\sin{\omega
t}). \nonumber
\end{eqnarray}
Předpokládáme-li, že se složky $\vc{E^{+}}$, $\vc{E^{-}}$ šíří s indexy
lomu $n^{+}\neq n^{-}$, v prostředí o délce $l$ dojde ke vzniku fázového
posunutí
\[\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n^{+}-n^{-})l.\]
Z obr. \ref{fig:7.14b} je patrné, že nový směr polarizace vznikne
půlením úhlu \(2\alpha+\Delta\varphi\) mezi \(\vc{E^{+}}\) a
\(\vc{E^{-}}\). Vidíme, že úhel \(\alpha +\varphi\) mezi
\(\vc{E^{+}}\) a \(\vc{E^{-}}\) je současně roven
\((2\alpha+\Delta\varphi)/2=\alpha+(\Delta\varphi/2)\) a tedy
stočení směru polarizace $\varphi$ činí přesně polovinu fázového
posunutí,
\[\varphi=\frac{\Delta\varphi}{2}.\]
{\bf Cvičení 5.}: Co se stane, když lineárně polarizované světlo projde
opticky aktivním prostředím, je odraženo zrcadlem a projde prostředím
zpět? Uvažte, že levotočivá složka $\vc{E^{-}}$ se po odrazu stane
pravotočivou $\vc{E^{+}}$, neboť smysl rotace se odrazem nezmění, ale
vlna se šíří opačným směrem !
% \begin{quote}
% {\it Obr. 7.14 Stočení $\varphi$ směru polarizace lineárně
% polarizovaného světla v opticky aktivním prostředí.}
% \end{quote}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7d14a}\\
\caption{Rozklad lineárně
polarizovaného světla na dvě kruhově polarizované složky.}
\label{fig:7.14a}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.36\textheight]{ob7d14b}\\
\caption{Stočení $\varphi$ směru polarizace lineárně
polarizovaného světla v opticky aktivním prostředí.}
\label{fig:7.14b}
\end{center}
\end{figure}
{\bf {\itshape Indukovaná optická
anizotropie}\/}\index{Indukovaná optická anizotropie}. V předchozím
příkladu jsme si uvedli dva hlavní projevy anizotropie optického
prostředí --- dvojlom a optickou aktivitu. Přirozená anizotropie látek
je dána buď anizotropií krystalů nebo asymetrií molekul. Indukovaná
optická anizotropie je způsobena působením vnějších sil na původně
izotropní prostředí. Příslušné optické efekty mají vesměs důležité
praktické aplikace. Podle druhu fyzikálního působení mluvíme o
fotoelastickém jevu a jevech elektrooptických a magnetooptických.
{\bf {\itshape Fotoelastický jev}\/}\index{Fotoelastický jev} je
vznik dvojlomu v původně izotropních látkách (sklo, plexisklo apod.)
vyvolaný mechanickým namáháním, s nímž je spojena vnitřní deformace
prostředí. Pro malá elastická napětí je rozdíl indexů lomu řádné a
mimořádné vlny uměrný tlaku $p$, tj.
\[\Delta n=|n_{e}-n_{o}|=kp.\]
Konstanta $k$ se nazývá Brewsterův součinitel; např. pro sklo \(k\approx
10^{-11} m^{2}N^{-1}\).
{\bf {\itshape Elektrooptické jevy}\/}\index{Elektrooptický jev} mají
velký praktický význam pro regulaci a modulaci svazku světla, rychlé
spínání obvodů a pod. Podle závislosti $\Delta n$ na vnějším elektrickém
poli $\vc{E}$ rozlišujeme lineární resp. kvadratický elektrooptický jev.
Kvadratický {\bf {\itshape Kerrův jev}\/}\index{Kerrův jev} (J. Kerr,
1875) je dvojlom indukovaný příčným elektrickým polem $\vc{E}$ v
polárních kapalinách, např. v nitrobenzenu nebo sirouhlíku.
Tyto kapaliny získávají v důsledku orientace
polárních molekul vlastnosti jednoosých krystalů s optickou osou
$\vc{n}\parallel\vc{E}$. Vzhledem k tomu, že rozdíl indexů lomu
\[\Delta n=n_{e}-n_{o}=\lambda BE^{2},\]
dochází na délce $l$ k fázovému posuvu
\[\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta nl=2\pi BlE^{2}.\]
Největší Kerrovu konstantu \(B=2,4.10^{-12} m/V^{2}\) má nitrobenzen
(udaná hodnota je při $\lambda=550$ $nm$ a teplotě 20$^{o}$C).
Lineární {\bf {\itshape Pockelsův jev}\/}\index{Pockelsův jev} (F.
Pockels, 1894) našel široké uplatnění po objevu laserů. Je založen
na vlastnosti některých jednoosých krystalů, že se ve vnějším
elektrickém poli stanou dvojosými. Při podélně přiloženém
elektrickém poli je fázový rozdíl na délce $l$ dán vztahem
\[\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}n_{o}^{3}REl\]
a je tedy úměrný přiloženému napětí \(U=El\). Pro často užívaný
elektrooptický krystal ADP (dihydrogenfosfát amonia,
NH$_{4}$H$_{2}$PO$_{4}$ je při $\lambda=550$ $nm$ index lomu pro řádný
paprsek $n_{o}=1,53$. Místo konstanty $R$ se udává půlvlnové napětí
$U_{\lambda/2}=9,2$ $kV$, které způsobuje fázový posuv
$\Delta\varphi=\pi$. (Pro krystal KDP, KH$_{2}$PO$_{4}$, je $n_{o}=1,51$
a $U_{\lambda/2}=7,5$ $kV$).
{\bf {\itshape Magnetooptické jevy}}\index{Magnetooptický jev} jsou
rovněž lineární a kvadratické. Kvadratický {\bf {\itshape
Cottonův--Moutonův jev}\/}\index{Cottonův--Moutonův jev} se pozoruje
např. v nitrobenzenu nebo sirouhlíku, které v příčném magnetickém
poli $\vc{H}$ získají vlastnosti pozitivních jednoosých krystalů s
$\vc{n}\parallel\vc{H}$. Vzhledem k tomu, že ve vztahu
\[\Delta n=n_{e}-n_{o}=\lambda CH^{2}\]
je konstanta $C$ velmi malá, nenašel tento jev praktické uplatnění.
Lineární {\bf {\itshape Faradayův jev}\/}\index{Faradayův jev} (M.
Faraday, 1845) je stáčení směru lineární polarizace světla v původně
opticky neaktivní látce, je-li vložena do podélného magnetického
pole. Indexy lomu pro kruhově levotočivě a pravotočivě polarizované
světlo se stávají rozdílnými a úhel stočení směru polarizace
lineárně polarizovaného světla je dán vztahem
\[\varphi=\frac{\Delta\varphi}{2}=\frac{\pi}{\lambda}(n^{+}-n^{-})l=VlH,\]
kde Verdetova konstanta $V$ závisí na vlnové délce $\lambda$ ,
hustotě látky a teplotě. Zajímavé využití Faradayova jevu
představuje {\bf {\itshape optický izolátor}\/}\index{optický
izolátor}. Je uspořádán podle obr. \ref{fig:7.12}, kde $P$ je
solenoid, jehož skleněné jádro má velkou Verdetovu konstantu a
polarizační filtry $N_{1}, N_{2}$ jsou vzájemně otočeny o $\pm
45^{o}$. Proud v solenoidu budí takové magnetické pole, aby stočení
$\varphi=45^{o}$. Na rozdíl od přirozeně opticky aktivních látek
dochází v případě Faradayova jevu při zpětném průchodu odraženého
záření k dalšímu stočení směru polarizace ve stejném smyslu, v našem
případě o dalších $45^{o}$, celkem tedy $90^{o}$. Zpětný svazek
proto neprojde polarizátorem $N_{1}$ zpět. V laserové technice
optické izolátory chrání poslední stupně optických kvantových
zesilovačů před jejich případnou destrukcí zářením odraženým zpět od
terče.
\section{Časová koherence a polarizace}%7.4
\begin{quote}
{\it Kvazimonochromatické záření z tepelných zdrojů. Pojem časové
koherence: světlo dokonale koherentní a nekoherentní, koherenční čas.
Světlo dokonale polarizované, nepolarizované a částečně polarizované.
Stokesovy parametry.}
\end{quote}
Při výkladu polarizačních jevů jsme zatím vycházeli z předpokladu
oddílu 7.1, že elektromagnetické vlny jsou monochromatické. Viděli jsme,
ža každá taková vlna je polarizovaná. Jak se potom máme vyrovnat s
faktem, že se v praxi nejčastěji setkáváme se světlem nepolarizovaným?
K tomu si musíme na prvním místě uvědomit, že skutečné zdroje
elektromagne\-ti\-ckého záření nikdy nevyzařují přesně
monochromatické vlny. Monochromatičnost je idealizace, která se
nikdy v přírodě v dokonalé formě nevyskytuje. U {\it tepelných
světelných zdrojů} světlo je vysíláno mnoha nezávislými atomárními
zdroji a výsledné pole vzniká jejich složením.
Jako model tepelného zdroje můžeme uvažovat soubor velkého
počtu oscilátorů (Thomsonových atomů), z nichž každý
nezávisle a nahodile vysílá vlnový balík (\ref{3*.4}) exponenciálně
tlumený v čase s typickou časovou konstantou \(\tau \approx
10^{-8}s\). Výsledné záření tedy nebude monochromatické. Jestliže
všechny atomární oscilátory mají stejnou vlastní úhlovou frekvenci
\(\omega_0\), bude spektrum jejich záření soustředěno do jistého
intervalu šířky \(\Delta\omega\) okolo {\itshape {\bf střední
(dominantní) frekvence}\/}\index{dominantní frekvence} \(\omega_0\).
V případě \(\Delta\omega\ll\omega_0\) pak mluvíme o {\it zdroji
kvazimonochromatického záření}. Vzhledem ke vztahu (\ref{3*.9}) mezi
šířkou signálu a šířkou jeho spektra bude platit
\[\Delta\omega.\tau\approx 2\pi,\]
tj.
\(\Delta\nu\approx 10^8 \,Hz \ll\nu_0 \approx 10^{15}\,Hz.\)
Z uvedeného vyplývá, že tepelný signál vysílaný tepelným zdrojem je
{\itshape {\bf náhodným (stochastickým) procesem}\/}\index{stochastický
proces}. V daném místě v okamžiku \(t\) neumíme přesně určit vektor
\(\vc{E}(t)\), ale můžeme ho popsat jistým pravděpodobnostním rozložením.
Celkově pak lze náhodný proces charakterizovat souborem statistických
středních hodnot. Jsou-li tyto střední hodnoty konstantní v čase,
mluvíme o {\itshape {\bf stacionárním}\/}\index{stacionární náhodný
proces} náhodném procesu.
U kvazimonochromatického signálu \(\vc{E}(t)\) si můžeme
představit, že u složky
\begin{equation}
\label{07404}
E(t)=E_0(t)\cos{(\omega_0 t+\varphi (t))},
\end{equation}
amplituda \(E_0(t)\) a fáze \(\varphi (t)\) nezůstávají
konstantní, ale náhodně se mění s časovou konstantou
\(\tau\gg T_0\). Během jedné periody \(T_0\) nebo malého
počtu period můžeme \(E_0(t)\) a \(\varphi(t)\) ovšem
považovat za konstanty jako u monochromatického signálu.
Signál (\ref{07404}) můžeme posuzovat z hlediska
{\itshape {\bf časové koherence}\/}\index{časová koherence}. Nechť jsou dána náhodná pole \(E_1(t)\), \(E_2(t)\) v témže
bodě a časový interval \(\Delta t\). Lze-li pole
\(E_2(t+\Delta t)\) přesně určit ze znalosti \(E_1(t)\),
říkáme, že pole \(E_1(t)\) a \(E_2(t+\Delta t)\)
jsou {\itshape {\bf dokonale (úplně)
koherentní}\/}\index{dokonale koherentní}. Nelze-li pole
\(E_2(t+\Delta t)\) předpovědět na základě znalosti
\(E_1(t)\), říkáme, že tato pole jsou
{\itshape {\bf nekoherentní}\/}\index{nekoherentní}.
{\bf Příklad.} Nechť \(E_0(t)=E_0=konst.\)
(konstantní intenzita) a \(\varphi(t)\) se pomalu
náhodně mění s časovou konstantou \(\tau\gg T_0\). Potom
pole
\[E_1(t)\equiv E(t)=E_0\cos{(\omega_0 t+\varphi (t))},\]
a
\[E_2(t+\Delta t)\equiv E(t+\Delta t)=
E_0\cos{(\omega_0 t+\omega_0 \Delta t+
\varphi (t+\Delta t))}\]
jsou dokonale koherentní pro \(\Delta t\ll\tau\), protože
\(\varphi(t+\Delta t)=\varphi (t)\), a pro \(\Delta t\geq\tau\) nekoherentní, protože \(\varphi(t+\Delta t)\)
již nelze předpovědět ze znalosti \(\varphi(t)\).
Jako v tomto příkladě i obecně existuje tzv.
{\itshape {\bf koherenční čas}\/}\index{koherenční čas}
\(\tau_{koh}\), který odděluje situace
dokonalé koherence (\(\Delta t \ll\tau_{koh}\)) a
nekoherence (\(\Delta t\geq\tau_{koh}\)). Užívá se celá
řada konvencí, jak \(\tau_{koh}\) definovat. My se
přidržíme vlastnosti kvazimonochromatických tepelných
zdrojů, kde
\[\tau_{koh}\approx\tau\approx\frac{2\pi}{\Delta\omega}
\approx 10^{-8} \ s.\]
Jinou mírou časové koherence je bezrozměrný
{\itshape {\bf stupeň monochromatičnosti}\/}\index{stupeň
monochromatičnosti}
\(\Delta \nu/\nu_0\), který je nepřímo úměrný koherenčnímu
času,
\[\frac{\Delta\nu}{\nu_0}=\frac{\Delta\omega}{\omega_0}
\approx\frac{2\pi}{\omega_0\tau_{koh}}\approx\frac{10^{-15}}{10^{-8}}=10^{-7}.\]
Názornou mírou časové koherence je {\itshape {\bf koherenční
délka}\/}\index{koherenční délka}
\[l_{koh}=c\tau_{koh}\approx 3 \ m,\]
která představuje délku vlny vyslané za čas \(\tau_{koh}\).
{\bf Cvičení 6.} Vypočítejte vlastnosti časové koherence pro
výbojku, kde atomy vykonávají tepelný pohyb s nerelativistickou
střední rychlostí \(v\approx 10^2 \ m/s\). {\itshape {\bf Dopplerův
jev}\/}\index{Dopplerův jev} způsobuje maximální změny frekvence
registrované pozorovatelem při pohybu zdrojů ve směru k němu resp.
od něho podle vztahu
\[\nu'_{\pm}=\frac{c}{c\pm v}\nu_0.\]
Potom stupeň monochromatičnosti
\[\frac{\Delta\nu}{\nu_0}=\frac{|\nu'_+ -\nu'_-|}{\nu_0}=2\left|\frac{c}{c\pm
v}-1\right|=2\frac{v}{c}\approx 10^{-6}\] je o řád větší než hodnota
\(10^{-7}\). Odpovídající {\itshape {\bf dopplerovské rozšíření
spektrální čáry}\/}\index{dopplerovské rozšíření spektrální
čáry} proto vede na šířku spektra
\[\Delta\nu\approx 10^9 \ Hz,\]
tj. je desetkrát větší než tzv. {\itshape {\bf přirozená
šířka spektrální čáry}\/}\index{přirozená šířka spektrální
čáry}. Koherenční čas vychází
\(\tau_{koh}\approx 10^{-9} \ s\) a koherenční délka
\(l_{koh}\approx 0,3 \ m\).
Při popisu polarizace kvazimonochromatického světla
vznikajícího ve výbojce předpokládáme, že ve vztahu pro
elektrické pole rovinné vlny pro \(z=0\)
\begin{equation}
\label{07407}
\vc{E}(0,t)=\vc{x_0}E_1(t)\cos{(\omega_0
t+\varphi_1(t))}+\vc{y_0}E_2(t)\cos{(\omega_0 t+\varphi_2(t))}
\end{equation}
veličiny \(E_1(t),E_2(t),\varphi_1(t),\varphi_2(t)\) již
nejsou konstanty jako ve vztahu (\ref{eq:7.2}), ale
pomalu se náhodně mění s koherenční dobou
\(\tau_{koh}\gg T_0\). Vypočteme-li čtyři intenzity
(\ref{eqv07201}), které nám slouží k určení polarizačního
stavu, se středováním přes jednu periodu délky \(T_0\),
\begin{eqnarray}
\label{07408}
<E_x^2>_{T_0} & = & \frac{1}{2}E_1(t)^2, \\ \nonumber
<E_y^2>_{T_0} & = & \frac{1}{2}E_2(t)^2, \\ \nonumber
<2E_xE_y>_{T_0} & = & E_1(t)E_2(t)\cos{(\varphi_1(t)-\varphi_2(t))}, \\
<2E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega
t)>_{T_0} & = & E_1(t)E_2(t)\sin{(\varphi_1(t)-\varphi_2(t))}, \nonumber
\end{eqnarray}
vidíme, že získané střední hodnoty se budou pomalu měnit.
Kdybychom měli rychlý přistroj s {\itshape {\bf rozlišovací
dobou}\/}\index{rozlišovací doba} \(t_r\ll\tau_{koh}\),
mohli bychom pomalé změny středních hodnot zachytit.
Každé takové měření by poskytlo soubor okamžitých hodnot
\(E_1(t),E_2(t),\varphi_1(t)-\varphi_2(t)\), které určují
polarizované světlo. Jeho polarizace by se ovšem s časem
měnila v časových intervalech délky řádu
\(\tau_{koh}\approx 10^{-9} \ s\), tj. nanosekund.
Obvyklé detektory intenzity světla mají rozlišovací dobu
delší než \(\tau_{koh}\), zvláště pak klasický
detektor --- {\it lidské oko} --- s rozlišovací dobou
\(t_r\approx 0,1 \ s\). Intenzity (\ref{eqv07201}) se
středováním přes rozlišovací dobu přístroje \(t_r\gg\tau_{koh}\),
\[<E_x^2>_r,\, <E_y^2>_r, \, <2E_xE_y>_r, \,
<2E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega t)>_r,\]
by se daly získat dodatečným středováním pomalu se měnících
intenzit (\ref{07408}), avšak výsledek bude záviset na
konkrétní souhře náhodných změn veličin $E_1(t)$,
$E_2(t)$ , $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$.
{\itshape {\bf Nepolarizované
světlo.}\/}\index{nepolarizované světlo}
Uvažujme obvyklý případ zcela náhodných změn
$E_1(t)$, $E_2(t)$, $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ během
rozlišovací doby \(t_r\gg\tau_{koh}\), kdy se fáze mění
navzájem nezávisle a amplitudy nabývají náhodně hodnot
v~intervalu \(0\leq E_{1,2}(t)\leq E_0\) při
konstantní celkové intenzitě \(E_1(t)^2+E_2(t)^2=E_0^2\).
Středováním posledního vztahu dostaneme
\[<E_x^2>_r=<E_y^2>_r=\frac{1}{2}E_0^2.\]
Středování intenzit (\ref{07408}) úměrných
\(\cos{(\varphi_1(t)-\varphi_2(t))}\) a
\(\sin{(\varphi_1(t)-\varphi_2(t))}\) dává v tomto případě
nulové hodnoty
\[<2E_xE_y>_r=0=<2E_x(\omega t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega t)>_r,\]
neboť za dobu \(t_r\gg\tau_{koh}\) rozdíl fází
\(\varphi_1(t)-\varphi_2(t)\) projde se stejnou
pravděpodobností všemi hodnotami v intervalu \(<0,2\pi>\).
Světlo těchto vlastností registrované pomalým přístrojem
nazýváme {\bf nepolarizované.} Všimněte si, že dané
výsledky měření středních hodnot
\begin{enumerate}
\item nezávisí na konkrétní volbě os \(x, y\),
\item nelze vyjádřit pomocí konstant
$E_1$, $E_2$, $\varphi_1-\varphi_2$ (neboť
\(\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}\) a
\(\sin{(\varphi_1-\varphi_2)}\)
nikdy nemohou být současně rovny nule).
\end{enumerate}
Pokud u kvazimonochromatického světla intenzity
(\ref{07408}) naměřené pomalým přístrojem lze
vyjádřit vztahy (\ref{eqv07201}) s konstantami
$E_1$, $E_2$, $\varphi_1-\varphi_2$, říkáme, že
světlo je {\itshape {\bf dokonale (úplně)
polarizované}\/}\index{dokonale (úplně) polarizované
světlo}. Takové světlo získáme např. po průchodu
nepolarizovaného světla polarizačním filtrem.
Mezi dokonale polarizovaným a nepolarizovaným světlem se
nacházejí stavy {\itshape {\bf částečné
polarizace}\/}\index{částečná polarizace}, u nichž náhodné
změny veličin \(E_1(t),E_2(t),\varphi_1(t),\varphi_2(t)\)
mohou být nějak vzájemně závislé. Pro jejich popis se
používají
{\itshape {\bf Stokesovy parametry}\/}\index{Stokesovy
parametry}
\begin{eqnarray}
\label{07409}
P_1 & = & \frac{<E_x^2>_r-<E_y^2>_r}{<E_x^2>_r+<E_y^2>_r}, \\ \nonumber
P_2 & = & \frac{<2E_xE_y>_r}{<E_x^2>_r+<E_y^2>_r}, \\
P_3 & = & \frac{<2E_x(\omega
t-\frac{\pi}{2})E_y>_r}{<E_x^2>_r+<E_y^2>_r}, \nonumber
\end{eqnarray}
které nezávisí na celkové intenzitě a tedy popisují pouze
polarizační stav.
{\bf Cvičení 7.} Ověřte, že pro dokonale polarizované světlo
platí $P_1^2+P_2^2+P_3^2=1,$ kdežto pro nepolarizované
světlo máme $P_1=P_2=P_3=0.$
Jaké Stokesovy parametry má kruhově polarizované světlo?
Obecně lze dokázat nerovnost
\begin{equation}
\label{07410}
\fbox{$\displaystyle P_1^2+P_2^2+P_3^2\leq 1.$}
\end{equation}
Mezi extrémními stavy úplně polarizovaného světla
(rovnost v (\ref{07410})) a nepolarizovaného světla
\((P_1=P_2=P_3=0)\) jsou tedy stavy částečné polarizace.
Geometricky se dají možné polarizační stavy znázornit body
\((P_1,P_2,P_3)\) v kouli jednotkového poloměru: stavy
úplně polarizovaného světla odpovídají bodům na povrchu
koule, nepolarizované světlo odpovídá středu a ostatní
vnitřní body odpovídají částečně polarizovanému světlu.
Mírou polarizace světla je {\itshape {\bf stupeň
polarizace}\/}\index{stupeň polarizace} definovaný jako délka
vektoru \(\vc{P}=(P_1,P_2,P_3)\). Nabývá hodnot:
\begin{description}
\item \(|\vc{P}|=0\) pro nepolarizované světlo,
\item \(0<|\vc{P}|<1\) pro částečně polarizované světlo,
\item \(|\vc{P}|=1\) pro úplně polarizované světlo.
\end{description}
{\footnotesize Nerovnost (\ref{07410}) se snadno dokáže
v~komplexním vyjádření kvazimonochromatické vlny
\[\vc{E}(0,t)=\mbox{Re}\left\{\vc{x_0}E_1(t)e^{i(\omega_0
t+\varphi_1(t))}+\vc{y_0}E_2(t)e^{i(\omega_0t+\varphi_2(t))}\right\}\]
kde \(E_1(t),E_2(t),\varphi_1(t),\varphi_2(t)\) jsou pomalé
náhodné funkce času (s koherenčním časem \(\tau_{koh}\)).
Podobně jako v oddíle 7.1 má komplexní vektor
$\widehat{\vc{E_0}}$
% \(\stackrel{\wedge}{\vc{E_0}}\)
složky
\begin{equation}
\label{07411}
E_{0x}(t)=E_1(t)e^{i\varphi_1(t)},\quad
E_{0y}(t)=E_2(t)e^{i\varphi_2(t)}.
\end{equation}
V oddíle 7.2 jsme viděli, že polarizační stav
monochromatického světla lze určit měřením
čtyř intenzit (\ref{eqv07201}). U kvazimonochromatického
světla je doba, přes kterou středujeme, dána dlouhou
rozlišovací dobou měřícího přístroje \(t_r\gg\tau_{koh}\).
Ukážeme si nejprve, že čtyři intenzity
(\ref{eqv07201}) získané středováním přes \(t_r,\)
lze kompaktně zapsat ve formě komplexní hermitovské matice
\[J=\left(
\begin{array}{cc}
J_{xx} & J_{xy} \\
J_{yx} & J_{yy}
\end{array}
\right),\]
jejíž prvky jsou střední hodnoty
\[J_{ab}=<E_{0a}(t)\overline{E_{0b}(t)}>_r.\]
Dosazením (\ref{07411}) do \(J_{ab}\) dostaneme
\begin{eqnarray*}
J_{xx} & = & <E_{0x}\overline{E_{0x}}>_r=<E_1(t)^2>_r=2<E_x^2>_r \\
J_{yy} & = & 2<E_y^2>_r \\
J_{xy} & = &
<E_{0x}\overline{E_{0y}}>_r=<E_1(t)E_2(t)e^{i(\varphi_1(t)-\varphi_2(t))}>_r
\\
& = & <2E_xE_y>_r+i<2E_x(\omega_0 t-\frac{\pi}{2})E_y(\omega_0
t)>_r=\overline{J_{yx}}.
\end{eqnarray*}
Celkovou intenzitu a Stokesovy parametry lze tedy zapsat pomocí prvků
matice \(J\):
\[I=\frac{1}{2}(J_{xx}+J_{yy}),P_1=\frac{J_{xx}-J_{yy}}{J_{xx}+J_{yy}},
P_2=\frac{J_{xy}+J_{yx}}{J_{xx}+J_{yy}},
P_3=\frac{J_{xy}-J_{yx}}{i(J_{xx}+J_{yy})}.\]
Obráceně se komplexní hermitovská matice \(J\) dá vyjádřit pomocí čtyř
nezávislých reálných parametrů \(I,P_1,P_2,P_3\):
\[J=I\left(
\begin{array}{cc}
1+P_1 & P_2+iP_3 \\
P_2-iP_3 & 1-P_1
\end{array}
\right).\]
V dalším budeme potřebovat její determinant
\[detJ=I^2(1-P_1^2-P_2^2-P_3^2).\]
Při středování přes {\it statistický soubor} velkého počtu \(N\)
realizací náhodných veličin
\(E_{0a}^{(n)},n\in\stackrel{\wedge}{N},a\in\{x,y\}\), jsou střední
hodnoty \(J_{ab}\) rovny
\[J_{ab}=<E_{0a}\overline{E_{0b}}>_N=
\frac{1}{N}\sum_{n=1}^NE_{0a}^{(n)}\overline{E_{0b}^{(n)}}.\]
Potom pro determinant
\[detJ=J_{xx}J_{yy}-\left|J_{xy}\right|^2=
\frac{1}{N^2}\sum_m\left|E_{0x}^{(m)}\right|^2\sum_n\left|E_{0y}^{(n)}\right|^2-
\frac{1}{N^2}\left|\sum_nE_{0x}^{(n)}\overline{E_{0y}^{(n)}}\right|^2\]
vzhledem ke Schwartzově nerovnosti v \(C^N\)
\[\left|\sum_nx_n\overline{y_n}\right|^2\leq
\sum_n\left|x_n\right|^2\sum_n\left|y_n\right|^2\]
platí nerovnost
\[detJ=I^2(1-P_1^2-P_2^2-P_3^2)\geq 0.\]}
Na závěr je třeba poznamenat, že intenzity jsou správně
definovány jako střední hodnoty přes statistický soubor.
Jejich vyjádření pomocí časových středních hodnot je
založeno na obvykle splněném předpokladu o
{\itshape {\bf ergodičnosti}\/}\index{ergodičnost
stochastického procesu} stochastického procesu, což zhruba
znamená, že během dostatečně dlouhé doby systém projde
v~blízkosti všech možných stavů realizovaných
ve statistickém souboru.
