Verze z 1. 8. 2010, 12:00

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Fluktuace}
 
\bc
Dokažte, ze v kanonickém souboru platí vztah
$$
\left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C.
$$
\ec
\navod
$$
\left(\Delta U\right)^2 = \frac{\partial^2\ln{Z_K}}{\partial\beta^2} = -\frac{\partial U}{\partial\beta} = -\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} \left(\frac{\partial T}{\partial \beta}\right) = kT^2 C.
$$
 
\bc
V rámci izotermicko-izobarického souboru dokažte platnost vztahu
$$
\left(\Delta U\Delta V\right) = kT\left[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\right].
$$
\ec
\navod
\begin{eqnarray}
\nonumber \left(\Delta U\Delta V\right) & = & \frac{\partial^2\ln\widetilde{Z}}{\partial\beta\partial \gamma} = -\left(\frac{\partial V}{\partial \beta}\right)_\gamma = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\frac{\partial T}{\partial \beta}\right)_\gamma - \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\left(\frac{\partial P}{\partial \beta}\right)_\gamma \\
\nonumber & = & kT^2 \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + PkT\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
\end{eqnarray}
 
\bc
Dokažte, že pro fluktuace počtu částic v grandkanonickém souboru platí vztah
$$
\left(\Delta N\right)^2 = \frac{NkT}{V}\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)_{T,V}.
$$
Použijte Gibbs-Duhemův vztah.
\ec
\navod
$$
\left(\Delta N\right)^2 = \left(\frac{\partial^2\ln{Z_G}}{\partial\alpha^2}\right)_\beta = \left(\frac{\partial N }{\partial\alpha}\right)_\beta = kT \left(\frac{\partial N }{\partial\mu}\right)_{T,V} = kT \left(\frac{\partial N }{\partial P}\right)_{T,V}\left(\frac{\partial P}{\partial\mu}\right)_{T,V}
$$
Gibbs-Duhem $\Longrightarrow$ $\frac{N}{V} = \left(\frac{\partial P}{\partial\mu}\right)_{T}.$
 
\bc
Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitřní energie souboru $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$, platí vztah
$$
\frac{\Delta U}{U} = \frac{1}{\sqrt{N}}.
$$
\ec
\navod
$$
Z_K = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi}{\beta\omega}\right)^N,\quad U = \frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = \frac{N}{\beta},\quad \left(\Delta U\right)^2 = -\frac{\partial U}{\partial\beta} = \frac{N}{\beta^2}.
$$