02TSFsbirka:Kapitola7: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
 
%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Rozlišitelné a nerozlišitelné částice}
+
\chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny}
  
\section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení}
 
  
Uvažujme systém tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy
+
\bc
 +
Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
 +
\ec
 +
\vysl
 +
\begin{eqnarray}
 +
\nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\
 +
\nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right).
 +
\end{eqnarray}
 +
 
 +
\bc
 +
\label{spin}
 +
\textbf{Model paramagnetické soli}\\
 +
$N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu_B$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu_B B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu_B B$). Určete celkový magnetický moment látky $M$ a její magnetickou susceptibilitu $\chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0}$. Najděte kanonickou partiční sumu, vnitřní energii soustavy a její tepelnou kapacitu. Vyjádřete entropii jako funkci vnitřní energie, resp. jako funkci teploty a magnetické indukce. Jak se změní teplota soli při adiabatické změně magnetického pole?
 +
\ec
 +
\navod
 +
Celkový magnetický moment $M$ soustavy $N$ nezávislých spinů je úměrný střednímu magnetickému momentu jednoho spinu, tj.
 
$$
 
$$
Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N.
+
M = \left\langle\sum_i m_i \right\rangle = N\langle m\rangle = N(\mu_B p_+ - \mu_B p_-).
 
$$
 
$$
Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů
+
Pravděpodobnost, že je spin natočen ve směru nebo proti směru pole, je rovna
 
$$
 
$$
S = k\ln{Z_K} + k\beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}.
+
p_\pm = \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},
 
$$
 
$$
Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy
+
kde $z$ je jednočásticová partiční suma
 
$$
 
$$
Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right),
+
z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu_B B).
 
$$
 
$$
kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna
+
Magnetický moment látky je tedy roven
\begin{equation}
+
\label{chap6:S}
+
S = k\ln{Z_{\rm MB}} + k\beta U - k\alpha N,
+
\end{equation}
+
vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů
+
\begin{equation}
+
\label{chap6:UN}
+
U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
+
\end{equation}
+
Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí
+
 
$$
 
$$
N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle,
+
M = N \mu_B\tanh(\beta\mu_B B).
 
$$
 
$$
kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
+
Pro slabé magnetické pole $B\ll \frac{kT}{\mu_B}$ roste magnetizace látky lineárně s jeho intenzitou
 
$$
 
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},
+
M \approx N B \frac{\mu_B^2}{kT}.
 +
$$
 +
Naopak, v silném magnetickém poli $B\gg \frac{kT}{\mu_B}$ je většina spinů orientována ve stejném směru a magnetizace se blíží hodnotě
 +
$$
 +
M \longrightarrow N\mu_B.
 +
$$
 +
Průběh závislosti magnetizace látky na podílu $B/T$ se nazývá Brillouinova saturační křivka (viz. obr. \ref{fig:spin:M}). Magnetická susceptibilita je nepřímo úměrná absolutní teplotě (Curieho zákon)
 +
$$
 +
\chi =  \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0} = \frac{N\mu_B^2}{k T}.
 
$$
 
$$
což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení.
 
  
\section{Bose-Einsteinovo rozdělení}
+
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\begin{center}
 +
\begin{figure}[h]
 +
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_M.pdf}
 +
\caption{Brillouinova saturační křivka.}
 +
\label{fig:spin:M}
 +
\end{figure}
 +
\end{center}
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v souboru a jeho energie je potom
+
Kanonická partiční suma souboru $N$ spinů je rovna
 
$$
 
$$
N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i.
+
Z_K = \frac{1}{N!} z^N = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu_B B).
 
$$
 
$$
Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíšeme systém pomocí grandkanonické partiční sumy
+
Udtud dostaneme vnitřní energii
 
$$
 
$$
Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i=0}^{+\infty} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}.
+
U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu_B B\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right),
 
$$
 
$$
Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru
+
a tepelnou kapacitu paramagnetické soli
 
$$
 
$$
Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}.
+
C = \frac{\partial U}{\partial T} = N k \left(\frac{\mu_B B}{k T \cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)}\right)^2 = N k\frac{\Theta^2}{T^2\cosh^2\left(\frac{\Theta}{T}\right)},\quad \Theta = \frac{\mu_B B}{k}.
 
$$
 
$$
Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar
+
Průběh tepelné kapacity je znázorněn v obr. \ref{fig:spin:C}. Pro $T\rightarrow 0$ a pro $T\gg \Theta$ se tepelná kapacita blíží nule. Maximum nabývá pro $T\approx 0.8\Theta$. Charakteristická teplota $\Theta$ je velmi nízká $(\Theta \sim 1 K)$ i pro silná magnetická pole $(B\sim 1$ Tesla)
 +
 
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\begin{center}
 +
\begin{figure}[h]
 +
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_C.pdf}
 +
\caption{Tepelná kapacita paramagnetické soli.}
 +
\label{fig:spin:C}
 +
\end{figure}
 +
\end{center}
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
 
 +
Entropie nejpravděpodobnějšího rozdělení je z definice rovna
 
$$
 
$$
Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}.
+
S = -Nkp_+\ln{p_+} - Nkp_-\ln{p_-}.
 
$$
 
$$
Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltz\-mannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
+
Pravděpodobnosti $p_\pm$ můžeme zapsat pomocí vnitřní energie; platí totiž vztahy
 
$$
 
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}.
+
U = -N\mu_B B (p_+ -p_-),\qquad p_+ + p_- = 1.
 
$$
 
$$
Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo.
+
Odtud snadno získáme
 
+
$$
 +
p_\pm = \frac{1}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B}\right).
 +
$$
 +
Entropie jako funkce vnitřní energie má následující tvar
 +
$$
 +
S = -\frac{Nk}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B}\right)\right) -\frac{Nk}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B}\right)\right)
 +
$$
 +
Průběh entropie je znázorněm v obr. \ref{fig:spin:S}). Nejnižší hodnotě vnitřní energie $U = -N\mu_B B$ (odpovídá teplotě $T\rightarrow 0^+$, resp. $\beta\l\rightarrow +\infty$) prísluší pouze jeden stav soustavy (všechny spiny jsou orientovány ve směru pole - $p_+=1$) a entropie je tak rovna nule. S rostoucí vnitřní energií (rostoucí teplotou, klesající $\beta$) roste i entropie, až do bodu $U=0$ ($T\rightarrow +\infty$, resp. $\beta\rightarrow 0^+$). V tomto bodě je $p_\pm=1/2$ a entropie nabývá maximální možné hodnoty. Při dalším růstu vnitřní energie začne entropie klesat. Ve stavu s kladnou vnitřní energií je víc spinů orientováno proti směru magnetického pole ($p_->p_+$) - dochází k populační inverzi, kdy je preferován stav s vyšší energií. Při kladné vnitřní energii má systém zápornou absolutní teplotu.
  
\section{Fermi-Diracovo rozdělení}
+
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\begin{center}
 +
\begin{figure}[h]
 +
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_S.pdf}
 +
\caption{Entropie jako funkce vnitřní energie.}
 +
\label{fig:spin:S}
 +
\end{figure}
 +
\end{center}
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna
+
Entropie jako funkce teploty a magnetické indukce je rovna
 
$$
 
$$
Z_{\rm FD} = \prod_i \left(\sum_{n_i=0}^{1} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i} \right)^{g_i} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i},
+
S = k\ln Z_K + k\beta U = Nk\left[\ln\left(2\cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right)-\frac{\mu_B B}{kT}\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right].
 
$$
 
$$
kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
+
Při adiabatické změně magnetické indukce z $B_1$ na $B_2$ se změní teplota z $T_1$ na
 
$$
 
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
+
T_2 = T_1 \frac{B_2}{B_1}.
 
$$
 
$$
  
\section{Příklady}
+
\bc \textbf{Model organického vlákna}\\
 
+
Vlákno je tvořeno $N$ molekulami, je napínáno silou $f$ a je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Ka\v zdá molekula se může nacházet ve dvou stavech - první s délkou $l-a$ a energií $E_- = -f(l-a)$, druhý s délkou $l+a$ a energií $E_+ = -f(l+a)$. Najděte střední délku vlákna $L$ v závislosti na teplotě $T$ a napínací síle $f$.
\bc
+
Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $ 0, \varepsilon, 2\varepsilon$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou
+
\begin{enumerate}
+
\item rozlišitelné
+
\item fermiony bez spinu
+
\item bosony se spinem nula
+
\end{enumerate}
+
 
\ec
 
\ec
\vysl
+
\navod
Označíme $x = e^{-\beta\varepsilon}$
+
Analogicky příkladu \ref{spin} ($f\leftrightarrow B $, $L \leftrightarrow M $ ) dostaneme
\begin{enumerate}
+
\item rozlišitelné
+
 
$$
 
$$
Z_R =\left(1 + x + x^2\right)^2,\quad U_R = 2 x \varepsilon \frac{1+2x}{1+x+x^2}
+
p_\pm = \frac{1}{z} e^{\beta f(l\pm a)},\quad z = 2 e^{\beta l f}\cosh(\beta a f).
 
$$
 
$$
\item fermiony
+
Střední délka vlákna je pak rovna
 
$$
 
$$
Z_F = x(1+x+x^2),\quad U_F = \varepsilon\left(1 + x \frac{1+2x}{1+x+x^2}\right)
+
L = N(p_+ (l+a) + p_-(l-a)) = N l + N a\tanh(\beta a f).
 
$$
 
$$
\item bosony
+
Pro malé napětí vlákna je $\tanh(\beta a f)\approx \beta a f$ a prodloužení vlákna je pak přímo úměrné napínací síle (Hookeův zákon)
 
$$
 
$$
Z_B =  1+x+2x^2+x^3+x^4,\quad U_B = x\varepsilon\frac{1+4x+3x^2+4x^3}{(1+x^2)(1+x+x^2)}
+
\Delta L \equiv L - Nl \approx Na^2\beta f.
 +
$$
 +
V tomto přiblížení je modul pružnosti přímo úměrný teplotě
 +
$$
 +
\frac{f}{\Delta L} \approx \frac{kT}{N a^2}.
 
$$
 
$$
\end{enumerate}
 
  
\bc
+
\bc \textbf{Adsorpce plynu na stěnách nádoby}\\
Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $E_n = n \hbar \omega, n=0,1,2,\ldots$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou
+
Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$.
\begin{enumerate}
+
\item rozlišitelné
+
\item fermiony bez spinu
+
\item bosony se spinem nula
+
\end{enumerate}
+
 
\ec
 
\ec
\vysl
+
\navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je
Označíme $x = e^{-\beta\hbar\omega}$
+
\begin{enumerate}
+
\item rozlišitelné
+
 
$$
 
$$
Z_R = \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_R = \hbar\omega \frac{2x}{1-x}
+
z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
 
$$
 
$$
\item fermiony
+
Pro $N$ aktivních míst dostaneme
 
$$
 
$$
Z_F = \frac{x}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_F = U_R + \hbar\omega\frac{1}{1+x} >U_R
+
Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
 
$$
 
$$
\item bosony
+
Střední počet obsazených aktivních míst je roven
 
$$
 
$$
Z_B = \frac{1}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_B = U_R - \hbar\omega\frac{x}{1+x}<U_R
+
n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
 
$$
 
$$
\end{enumerate}
+
Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
 
+
$$
\bc
+
e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
\label{chap6:ni}
+
$$
Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$.
+
Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme
\ec
+
$$
\vysl
+
\Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},\quad \mathrm{kde}\ P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}.
\begin{eqnarray}
+
$$
\nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},\\
+
Uvedený vztah se nazývá Langmuirova adsorpční izoterma. Pro danou teplotu udává počet adsorbovaných molekul plynu v závislosti na tlaku. Pro nízké teploty klesá hodnota $P_0$ k nule a koeficient adsorpce je blízký jedné - většina míst je obsazena. To vysvětluje např. kondenzaci vodních par na stěně studené nádoby. Naopak, pro vysoké teploty $T\gg \mu/k$ je $P_0\gg P$ a koeficient adsorpce klesá k nule; to je důvod proč se zahřívají stěny vakuové komory, pokud chceme vytvořit vysoké vakuum.
\nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1},\\
+
\nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
+
\end{eqnarray}
+

Verze z 12. 2. 2012, 12:02

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFsbirka

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFsbirkaSteffy 9. 2. 201115:06
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborSteffy 12. 2. 201212:21 header.tex
Kapitola1 editovatZáklady teorie pravděpodobnosti a matematické statistikyHoskoant 22. 2. 201716:57 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatNejpravděpodobnější rozděleníSteffy 12. 2. 201211:58 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTermodynamické potenciály a identitySteffy 12. 2. 201211:59 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatIdeální a neideální plynyKubuondr 10. 4. 201721:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatStatistické soubory - Hamiltonovské systémyHoskoant 4. 6. 201310:07 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFluktuaceSteffy 12. 2. 201212:01 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatStatistické soubory - diskrétní hladinySteffy 11. 2. 201315:05 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatPřesné statistikyKubuondr 28. 4. 201708:40 kapitola8.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:2part_U.pdf 2part_U.pdf
Image:binomial.pdf binomial.pdf
Image:blackbody2.pdf blackbody2.pdf
Image:gauss2.pdf gauss2.pdf
Image:maxwell.pdf maxwell.pdf
Image:poisson.pdf poisson.pdf
Image:spin_C.pdf spin_C.pdf
Image:spin_M.pdf spin_M.pdf
Image:spin_S.pdf spin_S.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny}
 
 
\bc
Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\
\nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right).
\end{eqnarray}
 
\bc
\label{spin}
\textbf{Model paramagnetické soli}\\
$N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu_B$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu_B B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu_B B$). Určete celkový magnetický moment látky $M$ a její magnetickou susceptibilitu $\chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0}$. Najděte kanonickou partiční sumu, vnitřní energii soustavy a její tepelnou kapacitu. Vyjádřete entropii jako funkci vnitřní energie, resp. jako funkci teploty a magnetické indukce. Jak se změní teplota soli při adiabatické změně magnetického pole?
\ec
\navod
Celkový magnetický moment $M$ soustavy $N$ nezávislých spinů je úměrný střednímu magnetickému momentu jednoho spinu, tj.
$$
M = \left\langle\sum_i m_i \right\rangle = N\langle m\rangle = N(\mu_B p_+ - \mu_B p_-).
$$
Pravděpodobnost, že je spin natočen ve směru nebo proti směru pole, je rovna
$$
p_\pm =  \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},
$$
kde $z$ je jednočásticová partiční suma 
$$
z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu_B B).
$$
Magnetický moment látky je tedy roven
$$
M = N \mu_B\tanh(\beta\mu_B B).
$$
Pro slabé magnetické pole $B\ll \frac{kT}{\mu_B}$ roste magnetizace látky lineárně s jeho intenzitou
$$
M \approx N B \frac{\mu_B^2}{kT}.
$$
Naopak, v silném magnetickém poli $B\gg \frac{kT}{\mu_B}$ je většina spinů orientována ve stejném směru a magnetizace se blíží hodnotě
$$
M \longrightarrow N\mu_B.
$$
Průběh závislosti magnetizace látky na podílu $B/T$ se nazývá Brillouinova saturační křivka (viz. obr. \ref{fig:spin:M}). Magnetická susceptibilita je nepřímo úměrná absolutní teplotě (Curieho zákon)
$$
\chi =  \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0} = \frac{N\mu_B^2}{k T}.
$$
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_M.pdf}
\caption{Brillouinova saturační křivka.}
\label{fig:spin:M}
\end{figure}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Kanonická partiční suma souboru $N$ spinů je rovna
$$
Z_K = \frac{1}{N!} z^N = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu_B B).
$$
Udtud dostaneme vnitřní energii
$$
U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu_B B\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right),
$$
a tepelnou kapacitu paramagnetické soli
$$
C = \frac{\partial U}{\partial T} = N k \left(\frac{\mu_B B}{k T \cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)}\right)^2 = N k\frac{\Theta^2}{T^2\cosh^2\left(\frac{\Theta}{T}\right)},\quad \Theta = \frac{\mu_B B}{k}.
$$
Průběh tepelné kapacity je znázorněn v obr. \ref{fig:spin:C}. Pro $T\rightarrow 0$ a pro $T\gg \Theta$ se tepelná kapacita blíží nule. Maximum nabývá pro $T\approx 0.8\Theta$. Charakteristická teplota $\Theta$ je velmi nízká $(\Theta \sim 1 K)$ i pro silná magnetická pole $(B\sim 1$ Tesla)
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_C.pdf}
\caption{Tepelná kapacita paramagnetické soli.}
\label{fig:spin:C}
\end{figure}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Entropie nejpravděpodobnějšího rozdělení je z definice rovna
$$
S = -Nkp_+\ln{p_+} - Nkp_-\ln{p_-}.
$$
Pravděpodobnosti $p_\pm$ můžeme zapsat pomocí vnitřní energie; platí totiž vztahy
$$
U = -N\mu_B B (p_+ -p_-),\qquad p_+ + p_- = 1.
$$
Odtud snadno získáme 
$$
p_\pm = \frac{1}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B}\right).
$$
Entropie jako funkce vnitřní energie má následující tvar 
$$
S = -\frac{Nk}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B}\right)\right) -\frac{Nk}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B}\right)\right)
$$
Průběh entropie je znázorněm v obr. \ref{fig:spin:S}). Nejnižší hodnotě vnitřní energie $U = -N\mu_B B$ (odpovídá teplotě $T\rightarrow 0^+$, resp. $\beta\l\rightarrow +\infty$) prísluší pouze jeden stav soustavy (všechny spiny jsou orientovány ve směru pole - $p_+=1$) a entropie je tak rovna nule. S rostoucí vnitřní energií (rostoucí teplotou, klesající $\beta$) roste i entropie, až do bodu $U=0$ ($T\rightarrow +\infty$, resp. $\beta\rightarrow 0^+$). V tomto bodě je $p_\pm=1/2$ a entropie nabývá maximální možné hodnoty. Při dalším růstu vnitřní energie začne entropie klesat. Ve stavu s kladnou vnitřní energií je víc spinů orientováno proti směru magnetického pole ($p_->p_+$) - dochází k populační inverzi, kdy je preferován stav s vyšší energií. Při kladné vnitřní energii má systém zápornou absolutní teplotu.
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_S.pdf}
\caption{Entropie jako funkce vnitřní energie.}
\label{fig:spin:S}
\end{figure}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Entropie jako funkce teploty a magnetické indukce je rovna
$$
S = k\ln Z_K + k\beta U = Nk\left[\ln\left(2\cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right)-\frac{\mu_B B}{kT}\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right].
$$
Při adiabatické změně magnetické indukce z $B_1$ na $B_2$ se změní teplota z $T_1$ na
$$
T_2 = T_1 \frac{B_2}{B_1}.
$$
 
\bc \textbf{Model organického vlákna}\\
Vlákno je tvořeno $N$ molekulami, je napínáno silou $f$ a je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Ka\v zdá molekula se může nacházet ve dvou stavech - první s délkou $l-a$ a energií $E_- = -f(l-a)$, druhý s délkou $l+a$ a energií $E_+ = -f(l+a)$. Najděte střední délku vlákna $L$ v závislosti na teplotě $T$ a napínací síle $f$.
\ec
\navod
Analogicky příkladu \ref{spin} ($f\leftrightarrow B $, $L \leftrightarrow M $ ) dostaneme
$$
p_\pm = \frac{1}{z} e^{\beta f(l\pm a)},\quad z = 2 e^{\beta l f}\cosh(\beta a f).
$$
Střední délka vlákna je pak rovna
$$
L = N(p_+ (l+a) + p_-(l-a)) = N l + N a\tanh(\beta a f).
$$
Pro malé napětí vlákna je $\tanh(\beta a f)\approx \beta a f$ a prodloužení vlákna je pak přímo úměrné napínací síle (Hookeův zákon)
$$
\Delta L \equiv L - Nl \approx Na^2\beta f.
$$
V tomto přiblížení je modul pružnosti přímo úměrný teplotě
$$
\frac{f}{\Delta L} \approx \frac{kT}{N a^2}.
$$
 
\bc \textbf{Adsorpce plynu na stěnách nádoby}\\
Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$.
\ec
\navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je
$$
z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
$$
Pro $N$ aktivních míst dostaneme
$$
Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
$$
Střední počet obsazených aktivních míst je roven
$$
n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
$$
Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
$$
e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
$$
Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme
$$
\Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},\quad \mathrm{kde}\  P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}.
$$
Uvedený vztah se nazývá Langmuirova adsorpční izoterma. Pro danou teplotu udává počet adsorbovaných molekul plynu v závislosti na tlaku. Pro nízké teploty klesá hodnota $P_0$ k nule a koeficient adsorpce je blízký jedné - většina míst je obsazena. To vysvětluje např. kondenzaci vodních par na stěně studené nádoby. Naopak, pro vysoké teploty $T\gg \mu/k$ je $P_0\gg P$ a koeficient adsorpce klesá k nule; to je důvod proč se zahřívají stěny vakuové komory, pokud chceme vytvořit vysoké vakuum.