Verze z 9. 2. 2011, 16:11

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Rozlišitelné a nerozlišitelné částice}
 
\section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení}
 
Uvažujme systém tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy
$$
Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N.
$$
Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů
$$
S = k\ln{Z_K} + k\beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}.
$$
Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy
$$
Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right),
$$
kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna
\begin{equation}
\label{chap6:S}
S = k\ln{Z_{\rm MB}} + k\beta U - k\alpha N,
\end{equation}
vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů
\begin{equation}
\label{chap6:UN}
U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
\end{equation}
Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí
$$
N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle,
$$
kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},
$$
což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení.
 
\section{Bose-Einsteinovo rozdělení}
 
Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v souboru a jeho energie je potom
$$
N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i.
$$
Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíšeme systém pomocí grandkanonické partiční sumy
$$
Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i=0}^{+\infty} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}.
$$
Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru
$$
Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}.
$$
Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar
$$
Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}.
$$
Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltz\-mannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}.
$$
Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo.
 
 
\section{Fermi-Diracovo rozdělení}
 
Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna
$$
Z_{\rm FD} = \prod_i \left(\sum_{n_i=0}^{1} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i} \right)^{g_i} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i},
$$
kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
$$
 
\section{Příklady}
 
\bc
Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $ 0, \varepsilon, 2\varepsilon$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou
\begin{enumerate}
\item rozlišitelné
\item fermiony bez spinu
\item bosony se spinem nula
\end{enumerate}
\ec
\vysl
Označíme $x = e^{-\beta\varepsilon}$
\begin{enumerate}
\item rozlišitelné 
$$
Z_R =\left(1 + x + x^2\right)^2,\quad U_R = 2 x \varepsilon \frac{1+2x}{1+x+x^2}
$$
\item fermiony 
$$
Z_F = x(1+x+x^2),\quad U_F = \varepsilon\left(1 + x \frac{1+2x}{1+x+x^2}\right)
$$
\item bosony
$$
Z_B =  1+x+2x^2+x^3+x^4,\quad U_B = x\varepsilon\frac{1+4x+3x^2+4x^3}{(1+x^2)(1+x+x^2)}
$$
\end{enumerate}
 
\bc
Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $E_n = n \hbar \omega, n=0,1,2,\ldots$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou
\begin{enumerate}
\item rozlišitelné
\item fermiony bez spinu
\item bosony se spinem nula
\end{enumerate}
\ec
\vysl
Označíme $x = e^{-\beta\hbar\omega}$
\begin{enumerate}
\item rozlišitelné 
$$
Z_R = \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_R = \hbar\omega \frac{2x}{1-x}
$$
\item fermiony 
$$
Z_F = \frac{x}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_F = U_R + \hbar\omega\frac{1}{1+x} >U_R
$$
\item bosony
$$
Z_B =  \frac{1}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_B = U_R - \hbar\omega\frac{x}{1+x}<U_R
$$
\end{enumerate}
 
\bc
\label{chap6:ni}
Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},\\
\nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1},\\
\nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
\end{eqnarray}