02TSFsbirka:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:59, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny} \section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení} Uvažujme systém tvořený klasickými č...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFsbirka

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFsbirkaSteffy 9. 2. 201115:06
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborSteffy 12. 2. 201212:21 header.tex
Kapitola1 editovatZáklady teorie pravděpodobnosti a matematické statistikyHoskoant 22. 2. 201716:57 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatNejpravděpodobnější rozděleníSteffy 12. 2. 201211:58 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTermodynamické potenciály a identitySteffy 12. 2. 201211:59 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatIdeální a neideální plynyKubuondr 10. 4. 201721:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatStatistické soubory - Hamiltonovské systémyHoskoant 4. 6. 201310:07 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFluktuaceSteffy 12. 2. 201212:01 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatStatistické soubory - diskrétní hladinySteffy 11. 2. 201315:05 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatPřesné statistikyKubuondr 28. 4. 201708:40 kapitola8.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:2part_U.pdf 2part_U.pdf
Image:binomial.pdf binomial.pdf
Image:blackbody2.pdf blackbody2.pdf
Image:gauss2.pdf gauss2.pdf
Image:maxwell.pdf maxwell.pdf
Image:poisson.pdf poisson.pdf
Image:spin_C.pdf spin_C.pdf
Image:spin_M.pdf spin_M.pdf
Image:spin_S.pdf spin_S.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny}
 
\section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení}
 
Uvažujme systém tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy
$$
Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N.
$$
Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů
$$
S = k\ln{Z_K} + k\beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}.
$$
Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy
$$
Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right),
$$
kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna
\begin{equation}
\label{chap6:S}
S = k\ln{Z_{\rm MB}} + k\beta U - k\alpha N,
\end{equation}
vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů
\begin{equation}
\label{chap6:UN}
U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
\end{equation}
Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí
$$
N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle,
$$
kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},
$$
což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení.
 
\section{Bose-Einsteinovo rozdělení}
 
Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v souboru a jeho energie je potom
$$
N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i.
$$
Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíšeme systém pomocí grandkanonické partiční sumy
$$
Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i=0}^{+\infty} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}.
$$
Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru
$$
Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}.
$$
Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar
$$
Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}.
$$
Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltz\-mannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}.
$$
Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo.
 
 
\section{Fermi-Diracovo rozdělení}
 
Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna
$$
Z_{\rm FD} = \prod_i \left(\sum_{n_i=0}^{1} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i} \right)^{g_i} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i},
$$
kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz Příklad~\ref{chap6:ni})
$$
\langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
$$
 
\section{Příklady}
 
\bc
Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\
\nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right).
\end{eqnarray}
 
\bc
$N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu B$). Určete kanonickou partiční sumu, celkový magnetický moment a vnitřní energii soustavy v závisloti na teplotě.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber w_\pm & = & \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},\quad z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu B),\quad Z_K = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu B)\\
\nonumber U & = & -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu B\tanh(\beta \mu B),\quad M = N\langle m\rangle = N(\mu w_+ - \mu w_-) = N \mu\tanh(\beta\mu B).
\end{eqnarray}
 
\bc
Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$.
\ec
\navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je
$$
z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
$$
Pro $N$ aktivních míst dostaneme
$$
Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
$$
Střední počet obsazených aktivních míst je roven
$$
n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
$$
Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
$$
e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
$$
Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme
$$
\Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},
$$
kde $P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}$.
 
\bc
\label{chap6:ni}
Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},\\
\nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1},\\
\nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}.
\end{eqnarray}