02TSFsbirka:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
 
%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny}
+
\chapter{Fluktuace}
 
+
  
 
\bc
 
\bc
Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
+
Dokažte, že v kanonickém souboru platí vztah
 +
$$
 +
\left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C.
 +
$$
 
\ec
 
\ec
\vysl
 
\begin{eqnarray}
 
\nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\
 
\nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right).
 
\end{eqnarray}
 
  
 
\bc
 
\bc
\label{spin}
+
V rámci izotermicko-izobarického souboru dokažte platnost vztahu
$N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu_B$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu_B B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu_B B$). Určete kanonickou partiční sumu, vnitřní energii soustavy, celkový magnetický moment $M$ a magnetickou susceptibilitu $\chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0}$.
+
$$
 +
\left(\Delta U\Delta V\right) = kT\left[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\right].
 +
$$
 
\ec
 
\ec
\vysl
 
\begin{eqnarray}
 
\nonumber w_\pm & = & \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},\quad z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu_B B),\quad Z_K = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu_B B),\\
 
\nonumber U & = & -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu_B B\tanh(\beta \mu_B B),\\
 
\nonumber M & = & N\langle m\rangle = N(\mu_B w_+ - \mu_B w_-) = N \mu_B\tanh(\beta\mu_B B),\quad \chi = \frac{N\mu_B^2}{k T}.
 
\end{eqnarray}
 
  
 
\bc
 
\bc
Vlákno je tvořeno $N$ molekulami, je napínáno silou $f$ a je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Ka\v zdá molekula se může nacházet ve dvou stavech - první s délkou $l-a$ a energií $E_- = -f(l-a)$, druhý s délkou $l+a$ a energií $E_+ = -f(l+a)$. Najděte střední délku vlákna $L$ v závislosti na teplotě $T$ a napínací síle $f$.
+
Dokažte, že pro fluktuace počtu částic v grandkanonickém souboru platí vztah
 +
$$
 +
\left(\Delta N\right)^2 = \frac{NkT}{V}\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)_{T,V}.
 +
$$
 +
Použijte Gibbs-Duhemův vztah.
 
\ec
 
\ec
\navod
 
Viz. příklad \ref{spin}, výsledek $L = N l + N a \tanh\left(\beta a f\right)$.
 
  
 
\bc
 
\bc
Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$.
+
Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitřní energie souboru $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$, platí vztah
\ec
+
\navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je
+
 
$$
 
$$
z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
+
\frac{\Delta U}{U} = \frac{1}{\sqrt{N}}.
 
$$
 
$$
Pro $N$ aktivních míst dostaneme
+
\ec
$$
+
Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
+
$$
+
Střední počet obsazených aktivních míst je roven
+
$$
+
n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
+
$$
+
Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
+
$$
+
e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
+
$$
+
Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme
+
$$
+
\Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},
+
$$
+
kde $P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}$.
+

Aktuální verze z 12. 2. 2012, 12:01

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFsbirka

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFsbirkaSteffy 9. 2. 201115:06
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborSteffy 12. 2. 201212:21 header.tex
Kapitola1 editovatZáklady teorie pravděpodobnosti a matematické statistikyHoskoant 22. 2. 201716:57 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatNejpravděpodobnější rozděleníSteffy 12. 2. 201211:58 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTermodynamické potenciály a identitySteffy 12. 2. 201211:59 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatIdeální a neideální plynyKubuondr 10. 4. 201721:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatStatistické soubory - Hamiltonovské systémyHoskoant 4. 6. 201310:07 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFluktuaceSteffy 12. 2. 201212:01 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatStatistické soubory - diskrétní hladinySteffy 11. 2. 201315:05 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatPřesné statistikyKubuondr 28. 4. 201708:40 kapitola8.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:2part_U.pdf 2part_U.pdf
Image:binomial.pdf binomial.pdf
Image:blackbody2.pdf blackbody2.pdf
Image:gauss2.pdf gauss2.pdf
Image:maxwell.pdf maxwell.pdf
Image:poisson.pdf poisson.pdf
Image:spin_C.pdf spin_C.pdf
Image:spin_M.pdf spin_M.pdf
Image:spin_S.pdf spin_S.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Fluktuace}
 
\bc
Dokažte, že v kanonickém souboru platí vztah
$$
\left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C.
$$
\ec
 
\bc
V rámci izotermicko-izobarického souboru dokažte platnost vztahu
$$
\left(\Delta U\Delta V\right) = kT\left[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P + P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\right].
$$
\ec
 
\bc
Dokažte, že pro fluktuace počtu částic v grandkanonickém souboru platí vztah
$$
\left(\Delta N\right)^2 = \frac{NkT}{V}\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)_{T,V}.
$$
Použijte Gibbs-Duhemův vztah.
\ec
 
\bc
Dokažte, že pro relativní fluktuace vnitřní energie souboru $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů, které jsou v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$, platí vztah
$$
\frac{\Delta U}{U} = \frac{1}{\sqrt{N}}.
$$
\ec