Verze z 9. 2. 2011, 16:12

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny}
 
 
\bc
Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\
\nonumber Z_K & = & \frac{1}{N!} \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right).
\end{eqnarray}
 
\bc
\label{spin}
$N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu_B$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu_B B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu_B B$). Určete kanonickou partiční sumu, vnitřní energii soustavy, celkový magnetický moment $M$ a magnetickou susceptibilitu $\chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0}$.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber w_\pm & = & \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm},\quad z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu_B B),\quad Z_K = \frac{2^N}{N!}\cosh^N(\beta \mu_B B),\\
\nonumber U & = & -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu_B B\tanh(\beta \mu_B B),\\
\nonumber M & = & N\langle m\rangle = N(\mu_B w_+ - \mu_B w_-) = N \mu_B\tanh(\beta\mu_B B),\quad \chi = \frac{N\mu_B^2}{k T}.
\end{eqnarray}
 
\bc
Vlákno je tvořeno $N$ molekulami, je napínáno silou $f$ a je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Ka\v zdá molekula se může nacházet ve dvou stavech - první s délkou $l-a$ a energií $E_- = -f(l-a)$, druhý s délkou $l+a$ a energií $E_+ = -f(l+a)$. Najděte střední délku vlákna $L$ v závislosti na teplotě $T$ a napínací síle $f$.
\ec
\navod
Viz. příklad \ref{spin}, výsledek $L = N l + N a \tanh\left(\beta a f\right)$.
 
\bc
Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$.
\ec
\navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je
$$
z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha.
$$
Pro $N$ aktivních míst dostaneme
$$
Z_G = \frac{1}{N!}\left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N.
$$
Střední počet obsazených aktivních míst je roven
$$
n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}.
$$
Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí
$$
e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}.
$$
Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme
$$
\Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},
$$
kde $P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}$.