Verze z 1. 8. 2010, 11:59

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Ideální a neidální plyny}
 
\bc
Určete entropii $n$ molů ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$.
\ec
\vysl $S(T,V,n) = nC_V \ln{T} + nR\ln{V} - nR\ln{n} + K n$.
 
\bc
Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický děj. Při něm si vyměňuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Určete rovnici polytropy v proměnných $T,V$, $P,V$, a $T,P$. Diskutujte speciální případy adiabaty, izobary, izochory a izotermy.
\ec
\navod Zavedeme stupeň polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru
$$
TV^{\alpha-1} = \mathrm{konst}., \quad PV^\alpha = \mathrm{konst}., \quad TP^{-\frac{\alpha-1}{\alpha}} = \mathrm{konst}.
$$
 
\bc
Nechť vnitřní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$.
\ec
\navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerův vztah
 
\bc
Nechť pro vnitřní energii plynu platí
$$
U = a \frac{S^3}{NV},\quad a>0.
$$
Určete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v proměnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$.
\ec
\vysl a) $ S = \sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, b) $P = \sqrt{\frac{NT^3}{27 aV}}$, c) $C_P - C_V = \frac{3}{2} S =\frac{3}{2}\sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, d) $\mu = -\frac{T^3}{27aP}$.
 
\bc
Stavová rovnice plynu a jeho tepelná kapacita mají tvar
\begin{eqnarray}
\nonumber P & = & \frac{RT}{V}\left[1 + \frac{1}{V} B(T)\right]\\
\nonumber C_V & = & \frac{3}{2} R - \frac{R}{V} \frac{d}{dT}\left(T^\alpha \frac{d}{dT}B(T)\right).
\end{eqnarray}
Určete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byly kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spočítejte entropii plynu $S(T,V)$.
\ec
\navod Pro určení hodnoty $\alpha$ použijte vztah
$$
\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_V.
$$
Entropie se určí integrací jejích parciálních derivací
$$
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{C_V}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V.
$$
 
\bc
Stavová rovnice plynu má tvar
$$
PV = A(T) + B(T) P + C(T) P^2 + \ldots .
$$
Určete tvar závislosti $C_P$ na teplotě a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn?
\ec
\navod $C_P$ až na funkci teploty dostaneme integrací vztahu
$$
\left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P.
$$
Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita při konstantním tlaku může být maximálně funkcí teploty.
 
\bc
Pro entropii plynu platí
$$
S(T,V) = R\frac{V}{V_0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha.
$$
Navíc víme, že plyn při izotermické expanzi při teplotě $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci
$$
W_T = RT_0\ln{\frac{V}{V_0}}.
$$
Určete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu.
\ec
\navod Volnou energii až na neurčenou funkci objemu získáme integrací entropie přes teplotu, protože platí
$$
\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S.
$$
Dodatečnou funkci objemu určíme z toho, že při izotermickém ději plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy
$$
dW_T = -dF\quad \Longrightarrow\quad W_T = F(T_0,V_0) - F(T_0,V).
$$
Výsledek je
$$
F(T,V) = -R\frac{V}{V_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha \frac{T}{\alpha+1} + RT_0\left(\frac{V}{V_0(\alpha+1)} - \ln {V}\right).
$$
Stavovou rovnici určíme ze vztahu
$$
P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{RT_0}{V_0}\left(\frac{V_0}{V} - \frac{1}{\alpha+1} + \frac{1}{\alpha+1}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\alpha+1}\right).
$$
 
\bc
Mějme dvě stejná množství plynu, jedno s teplotou $T_1$, druhé s teplotou $T_2<T_1$. Plyny smícháme. Jaká je maximální a minimální možná výsledná teplota plynu? Určete maximální práci, kterou můžeme smícháním plynů získat. Předpokládejte, že tepelná kapacita plynu je konstantní.
\ec
\navod Maximální výslednou teplotu získáme, pokud neodebereme žádné teplo ke konání práce, tedy
$$
Q_1 = C(T_1-T_{\rm max}) = Q_2 = C(T_{\rm max}-T_2).
$$
Pokud nějaké teplo odebereme ke konání práce, bude výsledná teplota nižší. Je-li teplota po smíchání $T_0$, pak můžeme získat práci
$$
W(T_0) = C(T_1 + T_2 - 2T_0).
$$
Maximální práce tak odpovídá minimální výsledné teplotě. Ta je omezena tím, že entropie soustavy se nemůže zmenšit,
$$
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \int\limits_{T_1}^{T_0} dS + \int\limits_{T_2}^{T_0} dS \geq 0.
$$
V našem případě je minimální teplota dána vztahem
$$
T_{\rm min} = \sqrt{T_1 T_2},
$$
maximální získaná práce je potom
$$
W_{\rm max} = C(T_1 + T_2 - 2\sqrt{T_1T_2}).
$$