Verze z 12. 2. 2012, 13:00

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Ideální a neidální plyny}
 
\bc
Určete entropii $n$ molů ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$.
\ec
\vysl $S(T,V,n) = nC_V \ln{T} + nR\ln{V} - nR\ln{n} + K n$.
 
\bc
Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický děj. Při něm si vyměňuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Určete rovnici polytropy v proměnných $(T,V)$, $(P,V)$, a $(T,P)$. Diskutujte speciální případy adiabaty, izobary, izochory a izotermy.
\ec
\navod 
Rovnici polytropy získáme integrací
$$
dQ = CdT = dU + dW  = C_VdT + pdV.
$$
S použitím stavové rovnice ideálního plynu ji převedeme do tvaru
$$
\frac{dT}{T} = -\frac{C_P-C}{C_V-C}\frac{dV}{V}.
$$
Zavedeme stupeň polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru
$$
TV^{\alpha-1} = \mathrm{konst}., \quad PV^\alpha = \mathrm{konst}., \quad TP^{-\frac{\alpha-1}{\alpha}} = \mathrm{konst}.
$$
 
\bc
Nechť vnitřní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$.
\ec
\navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerův vztah
 
\bc
Nechť pro vnitřní energii plynu platí
$$
U = a \frac{S^3}{NV},\quad a>0.
$$
Určete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v proměnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$.
\ec
\vysl a) $ S = \sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, b) $P = \sqrt{\frac{NT^3}{27 aV}}$, c) $C_P - C_V = \frac{3}{2} S =\frac{3}{2}\sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, d) $\mu = -\frac{T^3}{27aP}$.
 
\bc
Stavová rovnice plynu a jeho tepelná kapacita mají tvar
\begin{eqnarray}
\nonumber P & = & \frac{RT}{V}\left[1 + \frac{1}{V} B(T)\right]\\
\nonumber C_V & = & \frac{3}{2} R - \frac{R}{V} \frac{d}{dT}\left(T^\alpha \frac{d}{dT}B(T)\right).
\end{eqnarray}
Určete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byly kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spočítejte entropii plynu $S(T,V)$ a vnitřní energii $U(T,V)$.
\ec
\navod Pro určení hodnoty $\alpha$ použijte vztah
$$
\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_V,
$$
správná hodnota parametru je $\alpha =2$. Entropie se určí integrací jejích parciálních derivací
$$
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{C_V}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V,
$$
výsledek je
$$
 S(T,V) = \frac{3}{2} R\ln{T} + R\ln{V} -\frac{R}{V} B(T) -\frac{RT}{V} B'(T).
$$
Vnitřní energii určíme analogicky integrací vztahů
$$
\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = C_V,\qquad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P,
$$
výsledek je 
$$
U(T,V) = \frac{3}{2} RT - \frac{RT^2}{V} B'(T).
$$
 
 
\bc
Stavová rovnice plynu má tvar
$$
PV = A(T) + B(T) P + C(T) P^2 + \ldots .
$$
Určete tvar závislosti $C_P$ na teplotě a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn?
\ec
\navod $C_P$ až na funkci teploty dostaneme integrací vztahu
$$
\left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P.
$$
Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita při konstantním tlaku může být maximálně funkcí teploty.
 
\bc
Pro entropii plynu platí
$$
S(T,V) = R\frac{V T}{V_0 T_0}.
$$
Navíc víme, že plyn při izotermické expanzi při teplotě $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci
$$
W_T = RT_0\ln{\frac{V}{V_0}}.
$$
Určete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu.
\ec
\navod Volnou energii až na neurčenou funkci objemu získáme integrací entropie přes teplotu, protože platí
$$
\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S.
$$
Dodatečnou funkci objemu určíme z toho, že při izotermickém ději plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy
$$
dW_T = -dF\quad \Longrightarrow\quad W_T = F(T_0,V_0) - F(T_0,V).
$$
Výsledek je
$$
F(T,V) = \frac{1}{2}R T_0\frac{V}{V_0} - \frac{1}{2}RT\frac{V T}{V_0 T_0} - R T_0\ln {V}.
$$
Stavovou rovnici určíme ze vztahu
$$
P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{R T}{V}\left[\frac{1}{2}\frac{V}{V_0}\left(\frac{T}{T_0}-\frac{T_0}{T}\right)+\frac{T_0}{T}\right].
$$
 
\bc
\item Máme dvě stejná množství téhož ideálního plynu, jedno v objemu $V_1$, druhé v objemu $V_2$. Plyny mají stejnou teplotu $T_0$, ale různé tlaky $P_1\neq P_2$. Určete maximální práci, kterou lze získat při sloučení těchto dvou plynů na výsledný objem $V_1+V_2$.
\ec
 
\navod
Maximální práci získáme v případě, že smíchání proběhne jako vratný děj. Při něm se nezmění entropie plynu, takže platí
$$
S_1 + S_2 = S_3,
$$
kde
\begin{eqnarray}
\nonumber S_1 & = & n C_V\ln{T_0} + nR\ln{V_1} - nR\ln{n},\qquad  S_2 = n C_V\ln{T_0} + nR\ln{V_2} - nR\ln{n}, \\
\nonumber S_3 & = & 2n C_V\ln{T} + 2nR\ln{V_1+V_2} - 2nR\ln{2n}
\end{eqnarray}
Z podmínky na rovnost entropií před a po smíchání vyjádříme výslednou teplotu plynu
$$
T = T_0 \left(\frac{4V_1 V_2}{(V_1+V_2)^2}\right)^{\kappa-1}.
$$
Maximální práce je potom dána změnou vnitřní energie.