02TSFA:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
(oprava – relativní fluktuace je odmocnina toho, co tam bylo napsané.)
Řádka 34: Řádka 34:
 
   \qquad \qquad \lambda = N\frac{V_1}{V} = pN$$
 
   \qquad \qquad \lambda = N\frac{V_1}{V} = pN$$
 
   
 
   
Nyní spočítáme relativní fluktuaci částic:
+
Nyní spočítáme kvadrát relativní fluktuace částic:
 
   
 
   
 
$$\frac{ \left< \left( n - \left<n\right>  \right)^2 \right> }{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right>  - \left<n\right> ^2}{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right> }{ \left<n\right> ^2} - 1 = \: ?$$
 
$$\frac{ \left< \left( n - \left<n\right>  \right)^2 \right> }{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right>  - \left<n\right> ^2}{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right> }{ \left<n\right> ^2} - 1 = \: ?$$
Řádka 50: Řádka 50:
 
Relativní fluktuace je tedy
 
Relativní fluktuace je tedy
 
   
 
   
$$\frac{\lambda + \lambda^2}{\lambda^2} - 1 = \frac{1}{\lambda} =  
+
$$\sqrt{\frac{\lambda + \lambda^2}{\lambda^2} - 1 }= \sqrt{\frac{1}{\lambda} }=  
\frac{V}{V_1} \frac{1}{N} \approx konst. \frac{1}{n}$$
+
\sqrt{\frac{V}{V_1} \frac{1}{N} }\approx \sqrt{konst. \frac{1}{n}}$$
 
   
 
   
 
S rostoucím počtem částic v objemu $V_1$ jde tedy fluktuace částic k nule a grandkanonický soubor se  
 
S rostoucím počtem částic v objemu $V_1$ jde tedy fluktuace částic k nule a grandkanonický soubor se  

Verze z 11. 3. 2017, 11:15

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Ekvivalence statistických souborů}
 
Předpovědi, které jsou činěny pomocí tří různých
souborů --- mikrokanonického ($\mu k$), kanonického ($k$)
a grandkanonického ($Gk$) --- se ve výsledku příliš neliší. V~limitě $N
\rightarrow \infty$ se rozdíly smazávají, fluktuace jdou k nule
a rozdíly jsou čistě jen ve způsobu výpočtů. Ukažme například, že je-li
grandkanonický soubor obklopen obrovským částicovým rezervoárem, jdou
fluktuace částic k nule.
 
\textsc{\index{příklad}Příklad.}   Mějme vzduchotěsnou místnost
velkého objemu $V$. V ní si označme nějaký jiný objem $V_1$ tak, že $
V \gg V_1$, a sledujme v něm fluktuace částic (je nasnadě, že objem
$V_1$ nám tvoří grandkanonický soubor a místnost onen částicový
rezervoár). Pravděpodobnost, že nějaká určitá částice z místnosti se
nachází v objemu $V_1$, je
 
$$p = \frac{V_1}{V}$$
 
Pravděpodobnost, že $n$ částic z celkových $N$ v místnosti je zrovna v objemu $V_1$, je 
 
$$ p_n(N) =  \kombcislo{N}{n} p^n (1 - p)^{N - n} \qquad \qquad \suma{n=0}{N}p_n (N) = 1$$ 
\bigskip
 
a tvoří normované binomické rozdělení. Využijme faktu, že $$p \rightarrow 0$$(velmi malý objem $V_1$) a převeďme jej na
Poissonovo rozdělení:
 
$$P_n(N) \approx \kombcislo{N}{n} p^n e^{-pN} = 
  \frac{N.(N - 1) . \dots . \overbrace{(N - n + 1)}^{\text{zanedbáme }n,~N \gg n}) }{n!} p^n e^{-pN} \approx $$
 
 
$$\approx \frac{N^n}{n!}p^n e^{-pN} = \frac{(pN)^n}{n!} e^{-pN} = \frac{\lambda ^n}{n!} e^{-\lambda} 
  \qquad \qquad \lambda = N\frac{V_1}{V} = pN$$
 
Nyní spočítáme kvadrát relativní fluktuace částic:
 
$$\frac{ \left< \left( n - \left<n\right>  \right)^2 \right> }{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right>  - \left<n\right> ^2}{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right> }{ \left<n\right> ^2} - 1 = \: ?$$
\bigskip
 
Budeme tedy potřebovat dosadit:
 
$$\left<n\right>  \: = \suma{n=0}{\infty} n \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = \suma{n=1}{\infty}  \frac{\lambda^n}{(n-1)!}e^{-\lambda} = \lambda \suma{n=0}{\infty}  \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = \lambda$$
 
 
$$ \left<n^2\right>  \: = \suma{n=0}{\infty} n^2 \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = \suma{n=0}{\infty} n \frac{\lambda^n}{ (n - 1)!}e^{-\lambda} = $$
$$ = e^{-\lambda}  \suma{}{\infty} \frac{\lambda^n}{ (n-1)!} \quad + \quad e^{-\lambda}  \suma{}{\infty} \frac{\lambda^n}{ (n-2)!} =
   \lambda + \lambda ^2 $$
 
Relativní fluktuace je tedy
 
$$\sqrt{\frac{\lambda + \lambda^2}{\lambda^2} - 1 }= \sqrt{\frac{1}{\lambda} }= 
\sqrt{\frac{V}{V_1} \frac{1}{N} }\approx \sqrt{konst. \frac{1}{n}}$$
 
S rostoucím počtem částic v objemu $V_1$ jde tedy fluktuace částic k nule a grandkanonický soubor se 
chová jako kanonický --- dává stejné předpovědi. Obdobně by bylo možné postupovat při výpočtu 
relativních fluktuací energie kanonického souboru. Na závěr ještě krátký přehled:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|l|c|c|c|}
\hline
& $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ & $\suma{\gamma}{}E_\gamma w_\gamma = U$ & $\suma{\gamma}{}N_\gamma w_\gamma = N$ \tabularnewline[12pt]
\hline
mikrokanonický soubor& ANO & NE, energie přesná & NE, počet částic přesný \tabularnewline
\hline
kanonický soubor & ANO & ANO, energie fluktuuje & NE, počet částic přesný \tabularnewline
\hline
grandkanonický soubor& ANO & ANO, energie fluktuuje & ANO, počet částic fluktuuje \tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\end{center}