https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&feed=atom&action=history 02TSFA:Kapitola8 - Historie editací 2024-03-28T17:35:18Z Historie editací této stránky MediaWiki 1.25.2 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=8556&oldid=prev Godalale v 7. 6. 2023, 20:04 2023-06-07T20:04:10Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 7. 6. 2023, 20:04</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L50" >Řádka 50:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 50:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &amp;&#160; Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &amp;&#160; Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$N = \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &amp;&#160; Střední počet částic \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$N = <ins class="diffchange diffchange-inline">- </ins>\pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &amp;&#160; Střední počet částic \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ &amp; Entropie \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ &amp; Entropie \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt;&#160; = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt;&#160; = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - &#160;</div></td></tr> </table> Godalale https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=8555&oldid=prev Godalale v 7. 6. 2023, 20:01 2023-06-07T20:01:30Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 7. 6. 2023, 20:01</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L50" >Řádka 50:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 50:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &amp;&#160; Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &amp;&#160; Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$N = <del class="diffchange diffchange-inline">- </del>\pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &amp;&#160; Střední počet částic \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$N = \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &amp;&#160; Střední počet částic \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ &amp; Entropie \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ &amp; Entropie \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt;&#160; = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt;&#160; = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - &#160;</div></td></tr> </table> Godalale https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=7617&oldid=prev Kubuondr: Oprava přehozených řádků v tabulce. 2017-03-11T08:04:33Z <p>Oprava přehozených řádků v tabulce.</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 11. 3. 2017, 08:04</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L58" >Řádka 58:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 58:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%&#160; &#160; \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%&#160; &#160; \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%&#160; &#160; &amp; Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%&#160; &#160; &amp; Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$\left&lt;(N - N_\gamma)^2\right&gt;&#160; = \pderivx{^2(\ln Z_G)}{\alpha^2}$&amp; Fluktuace stř. h. <del class="diffchange diffchange-inline">energie</del>\tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$\left&lt;(N - N_\gamma)^2\right&gt;&#160; = \pderivx{^2(\ln Z_G)}{\alpha^2}$&amp; <ins class="diffchange diffchange-inline"> </ins>Fluktuace stř. h. <ins class="diffchange diffchange-inline">částic</ins>\tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt;&#160; =\pderivx{^2(\ln Z_G)}{\beta^2}$ &amp; Fluktuace stř. h. <del class="diffchange diffchange-inline">částic</del>\tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt;&#160; =\pderivx{^2(\ln Z_G)}{\beta^2}$ &amp;Fluktuace stř. h. <ins class="diffchange diffchange-inline">energie</ins>\tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\hline</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\hline</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> </table> Kubuondr https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=5159&oldid=prev Maresj23 v 5. 1. 2014, 10:33 2014-01-05T10:33:30Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 5. 1. 2014, 10:33</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L28" >Řádka 28:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 28:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimo jiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimo jiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N = 0}{\infty}\suma{n}{}\exp(-\beta H_{nN})\exp(-\alpha N) = $$</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N = 0}{\infty}\suma{n}{<ins class="diffchange diffchange-inline">}g_{nN</ins>}\exp(-\beta H_{nN})\exp(-\alpha N) = $$</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1})&#160; +&#160; \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2})&#160; +&#160; \dots $$</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1})&#160; +&#160; \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2})&#160; +&#160; \dots $$</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $$ \dots&#160; +&#160; &#160; \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) = &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>% $$ \dots&#160; +&#160; &#160; \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) = &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; $$ =&#160; \suma{N}{}\left[\exp(-\alpha N)\suma{n}{}\exp(-\beta H_{nN})\right] =&#160; \suma{N}{}\exp(-\alpha N) Z_C( \beta, N)$$</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; $$ =&#160; \suma{N}{}\left[\exp(-\alpha N)\suma{n}{<ins class="diffchange diffchange-inline">}g_{nN</ins>}\exp(-\beta H_{nN})\right] =&#160; \suma{N}{}\exp(-\alpha N) Z_C( \beta, N)$$</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; \medskip</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; \medskip</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Kde $\gamma$ probíhá přes všechny stavy, $n$ přes energetické stavy a $N$ přes počty částic&#160; systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že &#160;</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Kde $\gamma$ probíhá přes všechny stavy, $n$ přes energetické stavy <ins class="diffchange diffchange-inline">($g_{nN}$ je opět případná degenerace dané energetické hladiny) </ins>a $N$ přes počty částic&#160; systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$Z_C$ tedy <del class="diffchange diffchange-inline">vystoupí </del>jako parametr počet částic $N$. &#160;</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$Z_C$ tedy <ins class="diffchange diffchange-inline">vystupuje </ins>jako parametr počet částic $N$. &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center} &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center} &#160;</div></td></tr> </table> Maresj23 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=4928&oldid=prev Tichaond: drobné opravy 2013-06-14T14:43:17Z <p>drobné opravy</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 14. 6. 2013, 14:43</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L6" >Řádka 6:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 6:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je více fázích a tak podobně. Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je <ins class="diffchange diffchange-inline">ve </ins>více fázích a tak podobně. Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L16" >Řádka 16:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 16:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ &amp; \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ &amp; \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$N_k = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_{k\gamma}$ &amp; \dots Střední počet částic k-té komponenty systému \tabularnewline[12pt]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$N_k = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_{k\gamma}$ &amp; \dots Střední počet částic <ins class="diffchange diffchange-inline">$</ins>k<ins class="diffchange diffchange-inline">$</ins>-té komponenty systému \tabularnewline[12pt]</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{tabular}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{tabular}</div></td></tr> </table> Tichaond https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=4927&oldid=prev Tichaond: chybějící mezera 2013-06-14T14:33:23Z <p>chybějící mezera</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 14. 6. 2013, 14:33</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L6" >Řádka 6:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 6:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je více fázích a tak podobně.Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je více fázích a tak podobně. Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> </table> Tichaond https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=3570&oldid=prev Tomas: drobné opravy, odstranění nepotřebného výpočtu 2010-09-07T11:28:40Z <p>drobné opravy, odstranění nepotřebného výpočtu</p> <a href="https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&amp;diff=3570&amp;oldid=3311">Ukázat změny</a> Tomas https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=3311&oldid=prev Admin: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Grandkanonický soubor} \index{soubor, grandkanonický} \label{gkansoub} Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Mole... 2010-08-01T09:44:49Z <p>Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Grandkanonický soubor} \index{soubor, grandkanonický} \label{gkansoub} Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Mole...</p> <p><b>Nová stránka</b></p><div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br /> \section{Grandkanonický soubor}<br /> \index{soubor, grandkanonický}<br /> <br /> \label{gkansoub}<br /> <br /> Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich<br /> odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš a tak podobně. Počet částic v grandkanonickém souboru se tedy s časem mění. Pohybují se vždy kolem nějaké střední <br /> hodnoty:<br /> <br /> \begin{center} <br /> \begin{tabular}[t]{ll}<br /> <br /> $U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ &amp; \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]<br /> $N = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_\gamma$ &amp; \dots Střední počet částic \tabularnewline[12pt]<br /> <br /> \end{tabular}<br /> \end{center}<br /> \bigskip<br /> <br /> Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimojiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}<br /> <br /> $$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma)\exp(-\alpha N_\gamma) = $$<br /> $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1}) + \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2}) + \dots $$<br /> $$ \dots + \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) = <br /> \suma{\delta}{}\left[\exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta \delta})\right] = $$<br /> $$ = \suma{\delta}{}\exp(-\alpha N_\delta) Z_C( \beta, N_\delta)$$<br /> <br /> <br /> Kde $\gamma$ probíhá přes všechny, $\eta$ přes energetické a $\delta$ přes částicové stavy systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že <br /> je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci<br /> $Z_C$ tedy vystoupí jako parametr počet částic $N_\delta$. <br /> <br /> \begin{center} <br /> \begin{tabular}[t]{|ll|}<br /> <br /> \hline<br /> <br /> Veličiny grandkanonického souboru &amp; \\ \hline<br /> <br /> $Z_G = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{\eta}{}\exp(-\alpha N_\eta)Z_C(\beta, N_\eta)$ &amp; <br /> Grandkanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]<br /> $w_\gamma = \frac{1}{Z_G}\exp( -\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma)$ &amp; Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]<br /> $S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ &amp; Entropie \tabularnewline[12pt]<br /> $U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &amp; Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]<br /> $N = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &amp; Střední počet částic \tabularnewline[12pt]<br /> $\left&lt;(U - H_\gamma)^2\right&gt; = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - <br /> \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ <br /> &amp; Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]<br /> $\left&lt;(N - N_\gamma)^2\right&gt; = -k_B\pderivxx{S}{U}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - <br /> \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ <br /> &amp; Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]<br /> \hline<br /> <br /> \end{tabular}<br /> \end{center}<br /> <br /> \begin{remark}<br /> <br /> K posledním dvěma vztahům, které jsou jen složitě napsané druhé derivace $\ln Z_G$ podle $\beta$, resp. $\alpha$, se dojde pomocí Legendreovy transformace. Protože $\frac{S}{k_B}$ je legendreovsky transformovaná<br /> k $\ln Z_G$, platí následující vztah (viz Matematický aparát):<br /> <br /> $$ \delta_{k\ell} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_\ell}{x_i} $$<br /> <br /> zde<br /> <br /> $$ f \equiv \frac{S}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z_G $$<br /> $$x_1 = U \qquad x_2 = N \qquad y_1 = \beta \qquad y_2 = \alpha \qquad i \in \{1,2\}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> nyní postupně dosazujme za $k, \ell$ čísla z množiny $ \{1,2\}$:<br /> <br /> \begin{itemize}<br /> <br /> \item $k = 1 \qquad \ell = 1$: \\<br /> <br /> $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}<br /> \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$<br /> \bigskip <br /> <br /> \item $k = 1 \qquad \ell = 2$: \\<br /> <br /> $$0 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}<br /> \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> \item $k = 2 \qquad \ell = 2$: \\<br /> <br /> $$1 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}<br /> \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> \item $k = 2 \qquad \ell = 1$: \\<br /> <br /> $$0 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}<br /> \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> \end{itemize}<br /> <br /> Zajímají nás hodnoty $\pderivxx{(\ln Z)}{\beta}$ a $\pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}$, neboť to jsou<br /> hledané rozptyly veličin. Vezměme tedy první dvě rovnice. Z druhé si vyjádříme<br /> <br /> $$\pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta} = - \frac<br /> { \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N} }$$<br /> \bigskip<br /> <br /> a dosadíme do první:<br /> <br /> $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} + \frac<br /> { \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N} }<br /> . \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> což s vědomím toho, že druhé derivace jsou záměnné, upravíme na<br /> <br /> $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -\left[\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2<br /> \frac{1}{ \pderivxx{S}{N} }\frac{1}{k_B}\right]^{-1}$$<br /> \bigskip<br /> a dostáváme<br /> <br /> $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -k_B \pderivxx{S}{N}\left[ \pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N}<br /> - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> což je hledaný vztah pro fluktuaci stř. h. energie. Druhý pro počet částic nalezneme<br /> ze zbylých dvou rovnic analogickým postupem.<br /> <br /> \end{remark}</div> Admin