02TSFA:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Grandkanonický soubor} \index{soubor, grandkanonický} \label{gkansoub} Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Mole...)
 
(drobné opravy, odstranění nepotřebného výpočtu)
Řádka 6: Řádka 6:
 
   
 
   
 
Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich
 
Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich
odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš a tak podobně. Počet částic v grandkanonickém souboru se tedy s časem mění. Pohybují se vždy kolem nějaké střední  
+
odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je více fázích a tak podobně.Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }
 +
 
 +
 
 +
Počet částic v grandkanonickém souboru se tedy s časem mění. Pohybují se vždy kolem nějaké střední  
 
hodnoty:
 
hodnoty:
 
   
 
   
Řádka 13: Řádka 16:
 
   
 
   
 
$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ & \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]
 
$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ & \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]
$N = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_\gamma$ & \dots Střední počet částic \tabularnewline[12pt]
+
$N_k = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_{k\gamma}$ & \dots Střední počet částic k-té komponenty systému \tabularnewline[12pt]
 
   
 
   
 
\end{tabular}
 
\end{tabular}
 
\end{center}
 
\end{center}
\bigskip
+
\medskip
 
   
 
   
Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimojiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}
+
Naším cílem bude nalézt pravděpodobnost $w_{nN} = w(E_{nN})$, že náhodně vybraný systém bude mít $N\equiv (N_1,\ldots, N_k)$ částic a bude v $n$-tém energetické stavu. Normovací podmínka má tvar
 +
 
 +
$$\sum_{N = 0}^\infty\sum_n w_{nN} = 1$$ 
 +
Pro zjednodušení následujících úvah budeme pracovat pouze s jednokomponentovými systémy.
 +
Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimo jiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}
 
   
 
   
$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma)\exp(-\alpha N_\gamma) = $$
+
$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N = 0}{\infty}\suma{n}{}\exp(-\beta H_{nN})\exp(-\alpha N) = $$
$$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1})  +  \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2})  +  \dots $$
+
% $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1})  +  \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2})  +  \dots $$
$$ \dots  +    \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) =  
+
% $$ \dots  +    \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) =  
  \suma{\delta}{}\left[\exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta \delta})\right] = $$
+
$$ =  \suma{N}{}\left[\exp(-\alpha N)\suma{n}{}\exp(-\beta H_{nN})\right] = \suma{N}{}\exp(-\alpha N) Z_C( \beta, N)$$
$$ = \suma{\delta}{}\exp(-\alpha N_\delta) Z_C( \beta, N_\delta)$$
+
\medskip
 
   
 
   
+
Kde $\gamma$ probíhá přes všechny stavy, $n$ přes energetické stavy a $N$ přes počty částic  systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že  
Kde $\gamma$ probíhá přes všechny, $\eta$ přes energetické a $\delta$ přes částicové stavy systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že  
+
 
je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci
 
je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci
$Z_C$ tedy vystoupí jako parametr počet částic $N_\delta$.  
+
$Z_C$ tedy vystoupí jako parametr počet částic $N$.  
 
   
 
   
 
\begin{center}  
 
\begin{center}  
Řádka 39: Řádka 45:
 
Veličiny grandkanonického souboru & \\ \hline
 
Veličiny grandkanonického souboru & \\ \hline
 
   
 
   
$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{\eta}{}\exp(-\alpha N_\eta)Z_C(\beta, N_\eta)$ &  
+
$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N}{}\exp(-\alpha N)Z_C(\beta, N)$ &  
 
   Grandkanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]
 
   Grandkanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]
 
$w_\gamma = \frac{1}{Z_G}\exp( -\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]
 
$w_\gamma = \frac{1}{Z_G}\exp( -\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]
$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ & Entropie \tabularnewline[12pt]
+
 
 
$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &  Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]
 
$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &  Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]
 
$N = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &  Střední počet částic \tabularnewline[12pt]
 
$N = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &  Střední počet částic \tabularnewline[12pt]
$\left<(U - H_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} -  
+
$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ & Entropie \tabularnewline[12pt]
   \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$  
+
% $\left<(U - H_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} -  
   & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
+
%   \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$  
$\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{U}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} -  
+
%   & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
   \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$  
+
% $\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{U}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} -  
   & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
+
%   \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$  
 +
%   & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
 +
$\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = \pderivx{^2(\ln Z_G)}{\alpha^2}$& Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
 +
$\left<(U - H_\gamma)^2\right>  =\pderivx{^2(\ln Z_G)}{\beta^2}$ & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
 
\hline
 
\hline
 
   
 
   
Řádka 56: Řádka 65:
 
\end{center}
 
\end{center}
 
   
 
   
\begin{remark}
+
% \begin{remark}
   
+
%  
K posledním dvěma vztahům, které jsou jen složitě napsané druhé derivace $\ln Z_G$ podle $\beta$, resp. $\alpha$, se dojde pomocí Legendreovy transformace. Protože $\frac{S}{k_B}$ je legendreovsky transformovaná
+
% K posledním dvěma vztahům, které jsou jen složitě napsané druhé derivace $\ln Z_G$ podle $\beta$, resp. $\alpha$, se dojde pomocí Legendreovy transformace. Protože $\frac{S}{k_B}$ je legendreovsky transformovaná
k $\ln Z_G$, platí následující vztah (viz Matematický aparát):
+
% k $\ln Z_G$, platí následující vztah (viz Matematický aparát):
   
+
%  
$$ \delta_{k\ell} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_\ell}{x_i} $$
+
% $$ \delta_{k\ell} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_\ell}{x_i} $$
   
+
%  
zde
+
% zde
   
+
%  
$$ f \equiv \frac{S}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z_G $$
+
% $$ f \equiv \frac{S}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z_G $$
$$x_1 = U \qquad x_2 = N \qquad y_1 = \beta \qquad y_2 = \alpha \qquad i \in \{1,2\}$$
+
% $$x_1 = U \qquad x_2 = N \qquad y_1 = \beta \qquad y_2 = \alpha \qquad i \in \{1,2\}$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
nyní postupně dosazujme za $k, \ell$ čísla z množiny $ \{1,2\}$:
+
% nyní postupně dosazujme za $k, \ell$ čísla z množiny $ \{1,2\}$:
   
+
%  
\begin{itemize}
+
% \begin{itemize}
   
+
%  
\item $k = 1 \qquad \ell = 1$: \\
+
% \item $k = 1 \qquad \ell = 1$: \\
   
+
%  
$$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
+
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
+
%   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
\bigskip   
+
% \bigskip   
   
+
%  
\item $k = 1 \qquad \ell = 2$: \\
+
% \item $k = 1 \qquad \ell = 2$: \\
   
+
%  
$$0 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
+
% $$0 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
+
%   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
\item $k = 2 \qquad \ell = 2$: \\
+
% \item $k = 2 \qquad \ell = 2$: \\
   
+
%  
$$1 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
+
% $$1 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
+
%   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
\item $k = 2 \qquad \ell = 1$: \\
+
% \item $k = 2 \qquad \ell = 1$: \\
   
+
%  
$$0 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
+
% $$0 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
+
%   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
\end{itemize}
+
% \end{itemize}
   
+
%  
Zajímají nás hodnoty $\pderivxx{(\ln Z)}{\beta}$ a $\pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}$, neboť to jsou
+
% Zajímají nás hodnoty $\pderivxx{(\ln Z)}{\beta}$ a $\pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}$, neboť to jsou
hledané rozptyly veličin. Vezměme tedy první dvě rovnice. Z druhé si vyjádříme
+
% hledané rozptyly veličin. Vezměme tedy první dvě rovnice. Z druhé si vyjádříme
   
+
%  
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta} = - \frac
+
% $$\pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta} = - \frac
   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}  }{ \pderivxx{S}{N} }$$
+
%   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}  }{ \pderivxx{S}{N} }$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
a dosadíme do první:
+
% a dosadíme do první:
   
+
%  
$$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} + \frac
+
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} + \frac
   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N}  }
+
%   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N}  }
   . \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
+
%   . \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
což s vědomím toho, že druhé derivace jsou záměnné, upravíme na
+
% což s vědomím toho, že druhé derivace jsou záměnné, upravíme na
   
+
%  
$$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -\left[\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2
+
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -\left[\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2
\frac{1}{ \pderivxx{S}{N} }\frac{1}{k_B}\right]^{-1}$$
+
% \frac{1}{ \pderivxx{S}{N} }\frac{1}{k_B}\right]^{-1}$$
\bigskip
+
% \bigskip
a dostáváme
+
% a dostáváme
   
+
%  
$$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -k_B \pderivxx{S}{N}\left[ \pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N}
+
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -k_B \pderivxx{S}{N}\left[ \pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N}
- \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$$
+
% - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$$
\bigskip
+
% \bigskip
   
+
%  
což je hledaný vztah pro fluktuaci stř. h. energie. Druhý pro počet částic nalezneme
+
% což je hledaný vztah pro fluktuaci stř. h. energie. Druhý pro počet částic nalezneme
ze zbylých dvou rovnic analogickým postupem.
+
% ze zbylých dvou rovnic analogickým postupem.
   
+
%  
\end{remark}
+
% \end{remark}
 +
%

Verze z 7. 9. 2010, 13:28

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201710:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201013:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Grandkanonický soubor}
\index{soubor, grandkanonický}
 
\label{gkansoub}
 
Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich
odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je více fázích a tak podobně.Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }
 
 
 Počet částic v grandkanonickém souboru se tedy s časem mění. Pohybují se vždy kolem nějaké střední 
hodnoty:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{ll}
 
$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ & \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]
$N_k = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_{k\gamma}$ & \dots Střední počet částic k-té komponenty systému \tabularnewline[12pt]
 
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
 
Naším cílem bude nalézt pravděpodobnost $w_{nN} = w(E_{nN})$, že náhodně vybraný systém bude mít $N\equiv (N_1,\ldots, N_k)$ částic a bude v $n$-tém energetické stavu. Normovací podmínka má tvar 
 
$$\sum_{N = 0}^\infty\sum_n w_{nN} = 1$$  
Pro zjednodušení následujících úvah budeme pracovat pouze s jednokomponentovými systémy. 
Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimo jiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}
 
$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N = 0}{\infty}\suma{n}{}\exp(-\beta H_{nN})\exp(-\alpha N) = $$
% $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1})  +  \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2})  +  \dots $$
% $$ \dots   +    \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) = 
 $$ =  \suma{N}{}\left[\exp(-\alpha N)\suma{n}{}\exp(-\beta H_{nN})\right] =  \suma{N}{}\exp(-\alpha N) Z_C( \beta, N)$$
 \medskip
 
Kde $\gamma$ probíhá přes všechny stavy, $n$ přes energetické stavy a $N$ přes počty částic  systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že 
je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci
$Z_C$ tedy vystoupí jako parametr počet částic $N$. 
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|ll|}
 
\hline
 
Veličiny grandkanonického souboru & \\ \hline
 
$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N}{}\exp(-\alpha N)Z_C(\beta, N)$ & 
   Grandkanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]
$w_\gamma = \frac{1}{Z_G}\exp( -\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]
 
$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &  Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]
$N = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &  Střední počet částic \tabularnewline[12pt]
$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ & Entropie \tabularnewline[12pt]
% $\left<(U - H_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - 
%    \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ 
%    & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
% $\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{U}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - 
%    \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ 
%    & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
$\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = \pderivx{^2(\ln Z_G)}{\alpha^2}$& Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
 $\left<(U - H_\gamma)^2\right>  =\pderivx{^2(\ln Z_G)}{\beta^2}$ & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
\hline
 
\end{tabular}
\end{center}
 
% \begin{remark}
%  
% K posledním dvěma vztahům, které jsou jen složitě napsané druhé derivace $\ln Z_G$ podle $\beta$, resp. $\alpha$, se dojde pomocí Legendreovy transformace. Protože $\frac{S}{k_B}$ je legendreovsky transformovaná
% k $\ln Z_G$, platí následující vztah (viz Matematický aparát):
%  
% $$ \delta_{k\ell} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_\ell}{x_i} $$
%  
% zde
%  
% $$ f \equiv \frac{S}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z_G $$
% $$x_1 = U \qquad x_2 = N \qquad y_1 = \beta \qquad y_2 = \alpha \qquad i \in \{1,2\}$$
% \bigskip
%  
% nyní postupně dosazujme za $k, \ell$ čísla z množiny $ \{1,2\}$:
%  
% \begin{itemize}
%  
% \item $k = 1 \qquad \ell = 1$: \\
%  
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
%   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip  
%  
% \item $k = 1 \qquad \ell = 2$: \\
%  
% $$0 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
%   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% \item $k = 2 \qquad \ell = 2$: \\
%  
% $$1 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
%   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% \item $k = 2 \qquad \ell = 1$: \\
%  
% $$0 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
%   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% \end{itemize}
%  
% Zajímají nás hodnoty $\pderivxx{(\ln Z)}{\beta}$ a $\pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}$, neboť to jsou
% hledané rozptyly veličin. Vezměme tedy první dvě rovnice. Z druhé si vyjádříme
%  
% $$\pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta} = - \frac
%   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}  }{ \pderivxx{S}{N} }$$
% \bigskip
%  
% a dosadíme do první:
%  
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} + \frac
%   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N}  }
%    . \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% což s vědomím toho, že druhé derivace jsou záměnné, upravíme na
%  
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -\left[\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2
% \frac{1}{ \pderivxx{S}{N} }\frac{1}{k_B}\right]^{-1}$$
% \bigskip
% a dostáváme
%  
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -k_B \pderivxx{S}{N}\left[ \pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N}
% - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$$
% \bigskip
%  
% což je hledaný vztah pro fluktuaci stř. h. energie. Druhý pro počet částic nalezneme
% ze zbylých dvou rovnic analogickým postupem.
%  
% \end{remark}
%