02TSFA:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Mikrokanonický soubor} \index{soubor, mikrokanonický} Vezměme absolutně uzavřený systém částic dokonale izolovaný od okolí. Jak...)
 
(rozšíření kapitoly)
Řádka 1: Řádka 1:
 +
 
%\wikiskriptum{02TSFA}
 
%\wikiskriptum{02TSFA}
 
\section{Mikrokanonický soubor}
 
\section{Mikrokanonický soubor}
 
\index{soubor, mikrokanonický}
 
\index{soubor, mikrokanonický}
   
+
  V následujících třech kapitolách se pokusíme rozděleně pravděpodobnosti $w$ pro stacionární soubor $\pderivx{w}{t}$.
 +
 
 +
Z Liouvillova teorému (\ref{LiouTeorem}) pak plyne, že $w$ lze zapsat jako funkce  časově nezávislých integrálů pohybu. Obecně má uzavřený mechanický systém 10 integrálů pohybu, volbou souřadnic (vyloučením mechanického pohybu) zbude jediný a to je energie. To nás opravňuje předpokládat, že pro uzavřený systém platí
 +
 
 +
$$w = w(E)$$
 +
 
 +
 
 
Vezměme absolutně uzavřený systém částic dokonale izolovaný od okolí. Jako celek má  
 
Vezměme absolutně uzavřený systém částic dokonale izolovaný od okolí. Jako celek má  
konstantní hodnotu energie a všech ostatních myslitelných veličin, neboť k žádným výměnám  
+
konstantní hodnotu energie (reprezentativní body tohoto souboru se nachází na energetické nadploše) a všech ostatních myslitelných veličin, neboť k žádným výměnám  
 
s okolím nedochází. Potom ovšem nemáme kromě normování žádné dodatečné podmínky na střední
 
s okolím nedochází. Potom ovšem nemáme kromě normování žádné dodatečné podmínky na střední
 
hodnoty a bude platit, že
 
hodnoty a bude platit, že
 
   
 
   
$$Z = \suma{\gamma}{} \exp(0) = \suma{\gamma}{}1 = W$$
+
$$Z = \suma{\gamma}{} \exp(0) = \suma{\gamma}{}1 = \Gamma$$
 
   
 
   
kde $W$ je počet mikrostavů (resp. fázový objem ve spojitém případě), a potom
+
kde $\Gamma$ je počet mikrostavů, tzv. \emph{váhový faktor}\index{faktor, váhový}.
 +
a potom
 
   
 
   
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z} = \frac{1}{W}$$
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z} = \frac{1}{W}$$
 
   
 
   
tj. v nejpravděpodobnějším rozdělení mají všechny mikrostavy stejnou pravděpodobnost realizace.
+
tj. v nejpravděpodobnějším rozdělení mají všechny mikrostavy stejnou pravděpodobnost realizace, závisející pouze na celkové energii systému.  
 +
 
 +
 
 +
Ve spojitém případě se počet mikrostavů $\Gamma$ spočte pomocí kvaziklasické aproximace\footnote{Více v kapitole \ref{chap:StatRoz}}. Podle kvantové teorie jsou jednotlivé částice nerozlišitelné, libovolná jejich permutace výsledný stav nezmění, proto 
 +
$$\Phi_D = \frac{\Phi}{N!}$$
 +
kde $\Phi_D$ je fázové objem nerozlišitelných mikrostavů a $N$ je počet částic. Počet mikrostavů je potom dán vztahem
 +
$$\Gamma = \frac{\Phi_D}{{(2\pi\hbar)}^{3N}}$$
 +
kde $(2\pi\hbar)^3$ je přibližný objem jednoho stavu, vycházející u Heisenbergových relací neurčitosti. 
 +
 
 +
 
 
Entropie pak bude
 
Entropie pak bude
 
   
 
   
$$S = k_B \ln W$$
+
$$S = -k_B \sum_\gamma w_\gamma \ln w_\gamma =  k_B \ln \Gamma$$
 +
což se nazývá Boltzmannova rovnice \index{rovnice, Boltzmanova}

Verze z 7. 9. 2010, 13:26

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201710:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201013:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

 
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Mikrokanonický soubor}
\index{soubor, mikrokanonický}
 V následujících třech kapitolách se pokusíme rozděleně pravděpodobnosti $w$ pro stacionární soubor $\pderivx{w}{t}$. 
 
Z Liouvillova teorému (\ref{LiouTeorem}) pak plyne, že $w$ lze zapsat jako funkce  časově nezávislých integrálů pohybu. Obecně má uzavřený mechanický systém 10 integrálů pohybu, volbou souřadnic (vyloučením mechanického pohybu) zbude jediný a to je energie. To nás opravňuje předpokládat, že pro uzavřený systém platí 
 
$$w = w(E)$$ 
 
 
Vezměme absolutně uzavřený systém částic dokonale izolovaný od okolí. Jako celek má 
konstantní hodnotu energie (reprezentativní body tohoto souboru se nachází na energetické nadploše) a všech ostatních myslitelných veličin, neboť k žádným výměnám 
s okolím nedochází. Potom ovšem nemáme kromě normování žádné dodatečné podmínky na střední
hodnoty a bude platit, že
 
$$Z = \suma{\gamma}{} \exp(0) = \suma{\gamma}{}1 = \Gamma$$
 
kde $\Gamma$ je počet mikrostavů, tzv. \emph{váhový faktor}\index{faktor, váhový}. 
 a potom
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z} = \frac{1}{W}$$
 
tj. v nejpravděpodobnějším rozdělení mají všechny mikrostavy stejnou pravděpodobnost realizace, závisející pouze na celkové energii systému. 
 
 
Ve spojitém případě se počet mikrostavů $\Gamma$ spočte pomocí kvaziklasické aproximace\footnote{Více v kapitole \ref{chap:StatRoz}}. Podle kvantové teorie jsou jednotlivé částice nerozlišitelné, libovolná jejich permutace výsledný stav nezmění, proto  
$$\Phi_D = \frac{\Phi}{N!}$$
 kde $\Phi_D$ je fázové objem nerozlišitelných mikrostavů a $N$ je počet částic. Počet mikrostavů je potom dán vztahem 
$$\Gamma = \frac{\Phi_D}{{(2\pi\hbar)}^{3N}}$$
kde $(2\pi\hbar)^3$ je přibližný objem jednoho stavu, vycházející u Heisenbergových relací neurčitosti.  
 
 
Entropie pak bude
 
$$S = -k_B \sum_\gamma w_\gamma \ln w_\gamma =  k_B \ln \Gamma$$
 což se nazývá Boltzmannova rovnice \index{rovnice, Boltzmanova}