Verze z 7. 9. 2010, 13:25

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Partiční funkce systému a jeho podsystémů}
 
 
Předpokládejme, že máme systém $\mathcal{A}$, který je možné direktně rozložit na několik podsystémů:
 
$$\mathcal{A} = \bigoplus _q \mathcal{A}(q)$$
 
kde $\bigoplus _q$ značí direktní součet všech podsystémů $q$. Předpokládejme, že systém je 
popsán $k$ veličinami a dále že podsystémy jsou na sobě nezávislé. Existuje pouze slabá vazba, 
která umožní nastolení rovnováhy, ale jinak se neprojevuje. Každý mikrostav $\gamma$ složeného
systému je pak určen jako kombinace mikrostavů $\gamma_q$ jednotlivých podsystémů, $\gamma = (\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$. Potom také
 $$A_{\ell\gamma} =  \sum_q A_{\ell\gamma_q}$$
 
 
kde $A_\gamma$ je veličina celkového systému a $A_{\gamma_q}$ odpovídající veličiny jednotlivých podsystémů. Výpočtem nejpravděpodobnějšího rozdělení celého systému a využitím statistické nezávislosti podsystémů  dospějeme ke vztahu 
$$\suma{\ell=1}{k}\lambda_{\ell}  A_{\ell  \gamma}   = \sum_q \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell \gamma_q} $$
 
 
 
Lagrangeovy
multiplikátory jsou společné pro všechny podsystémy --- to umožňuje právě ona slabá vazba. Bez ní by bylo třeba počítat s tím, že
mohou být obecně různé. %Za uvedených předpokladů platí, že:
 
 
% $$Z = \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}\exp\left( \suma{q}{}
%      \left(-\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma}(q)\right) \right) = $$
% $$=\suma{(\gamma_q)}{}\produkt{q}{}\exp\left( -\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma}(q) \right) 
%   =\produkt{q}{}\suma{\gamma_q}{}\exp\left( -\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma_q}(q) \right) = \produkt{q}{}Z_q$$
%  
 
Pro pravděpodobnosti z nezávislosti platí
 
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z}\exp\left(\suma{\ell=1}{k}\lambda_{\ell}  A_{\ell  \gamma}\right) =\prod_q w_{\gamma_q} = \prod_q   \frac{1}{Z_q}\exp\left( \sum_q \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell \gamma_q}\right) $$
 
Z čehož dostáváme, že
$$Z = \prod_q   {Z_q}$$
 
% 
% Platnost předposledního kroku je zaručena nezávislostí jednotlivých podsystémů, tedy skutečností, že hodnota
% $A_{\ell\gamma}(q)$ závisí vlastně jen na mikrostavu podsystému $q$. Můžeme ji tedy přeznačit $A_{\ell\gamma_q}(q)$
% a rozdělit členy produktu $\produkt{q}{}$ k jednotlivým sumám tvořícím $\suma{(\gamma_q)}{}$.
 
Toto tedy znamená, že celková partiční funkce je násobkem partičních funkcí jednotlivých
podsystémů. Typickým příkladem je ideální plyn. Jeho částice jsou na sobě nezávislé a tvoří tedy obrovské
množství podsystémů.  Celková energie plynu je součtem energií jednotlivých částic a partiční funkci lze pak
nalézt jako
 
$$Z = (\zeta)^N$$
 
kde $\zeta$ je jednočásticová partiční funkce. Dále platí, že
 
$$ S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\left< A_\ell \right> \right) = k_B\left(\ln\produkt{q}{}Z_q 
   + \suma{\ell=1}{k}\suma{q}{}\lambda _\ell\left<A_\ell(q)\right> \right) = $$
$$ = k_B\left(\suma{q}{}\ln Z_q + \suma{q}{}\suma{\ell=1}{k}\lambda _l\left<A_\ell(q)\right> \right) = 
    \suma{q}{}k_B\left(\ln Z_q + \suma{\ell=1}{k}\left<A_\ell(q)\right> \right) = \suma{q}{}S_q$$
 
To ovšem znamená, že entropie je extenzivní veličina, tj. že je aditivní vůči nezávislým podsystémům:
 
$$S = \suma{q}{}S_q$$
 
 
\begin{remark}
 
Střední hodnoty veličin jsou aditivní vůči rozkladu na podsystémy:
 
$$ \left< A_\ell \right>  = -\pderivx{ (\ln Z)}{\lambda_\ell} = -\pderivx{\ln \prod Z_q}{\lambda_\ell}=
    -\suma{q}{}\pderivx{( \ln Z_q)}{\lambda_\ell} = \suma{q}{}\left<A_\ell(q)\right> $$
 
\end{remark}