Součásti dokumentu 02TSFA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie}
\index{teorie, kinetická}
Nalezněme rozdělení molekul ve fázovém prostoru (tj. podle poloh a hybností) ve tvaru
$$dN = \f d\Gamma = \f d\vec{r} d\vec{v}$$
\bigskip
kde $\f$ je \index{funkce, rozdělovací}\index{funkce, distribuční}\emph{distribuční (rozdělovací) funkce}.
Tj. chceme vědět, kolik částic se
právě nachází v objemovém elementu $d^3 r$ o souřadnici $\vec{r}$ s rychlostí
v $d^3 v$ o souřadnici $\vec{v}$. Podotkněme, že $\dr$, $\dv$ zde nejsou diferenciály
v matematickém slova smyslu, dokonce ani nemají infinitezimální velikost. Musí
obsahovat dostatečný počet částic, aby bylo možné aplikovat statistické zákonitosti
(řádově $10^8$). Jsou ale dostatečně malé vůči celému fázovému prostoru. Podotkněme,
že nyní má fázový prostor pouze šest rozměrů ($x,y,z, v_x, v_y, v_z$).
Rozdělovací funkce musí mít několik základních vlastností. Předně je normovaná a tedy
$$N = \integral{\Gamma}{} \f \dr \dv$$
\bigskip
Jestliže se molekuly nenacházejí ve vnějším poli, pak také rozdělovací funkce nebude závislá na
poloze a potom
$$\frac{N}{V} = n = \integral{\Gamma _{\vec{v}}}{} f( \vec{v}, t) \dv$$
\bigskip
Střední prostorové hodnoty veličin vyjádříme jako
$$\left<A( \vec{r}, t)\right> = \frac{\integral{}{} A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv}
{\integral{}{} \f \dv} $$
\bigskip
Takto se počítají veličiny jako difuze, vedení tepla, elektrický proud a podobně.
Chceme-li úplné střední hodnoty, musíme prointegrovat přes celý fázový prostor.
\subsection{Analytický tvar rozdělovací funkce}
Naším cílem nyní bude najít analytický tvar $\f$.
\bigskip
Zkoumejme, co se stane, posuneme-li se v čase o $\Delta t$. Souřadnice se změní následovně:
$$\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v}\Delta t$$
$$\vec{v}' = \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t$$
$$t' = t + \Delta t$$
\bigskip
kde $F$ představuje nějakou vnější sílu (pole). Potom platí
$$\f \dr \dv =
f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t, t + \Delta t) \dr ' \dv '$$
V případě rovnosti fázových objemů $\dr \dv$ a $\dr ' \dv '$ platí i rovnost funkcí.
Pokud pomineme to, že se molekuly mohou srážet a předávat si tak energie a hybnosti,
tvrdí Liouvillova věta, že fázový objem se nemění. Tedy
$$\f = f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{\vec{F}}{m}\Delta t, t + \Delta t)$$
Srážky ovšem úplně zanedbat nemůžeme, bez nějaké vnitřní interakce by systém nikdy
nemohl dojít do rovnovážného stavu. My však pozorujeme, že systém dojde z jakéhokoliv
počátečního stavu do rovnovážného, a za daných podmínek dokonce vždy do toho samého.
Existenci srážek zohledníme tak, že přidáme \uv{úplnou časovou změnu funkce $f$ kvůli
srážkám}, tzv. \index{člen, srážkový}\emph{srážkový člen}:
$$\f + \termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad
f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{\vec{F}}{m}\Delta t, t + \Delta t)$$
\bigskip
Rozvineme-li pravou stranu do Taylora, získáme
$$\termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f $$
\bigskip
kde $\bigtriangledown _{\vec{r}}$ a $\bigtriangledown _{\vec{v}}$ jsou gradienty
vůči poloze a rychlosti. Tento vztah vyjadřuje
změny počtu částic v okolí $\vec{r}$ s rychlostí $\vec{v}$.
\bigskip
\subsection{Boltzmannova transportní rovnice}
\index{rovnice, Boltzmannova transportní}
Uvažujme nyní binární srážky (pouze binární srážky). U zředěného plynu jsou srážky
tří a více částic jen málo pravděpodobné. Stejně tak neuvažujme, že se jedna a tatáž
molekula za čas $\Delta t$ stačí srazit vícekrát. Potom zbývají jen dva různé případy:
\begin{center}
\includegraphics{procesyr.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Proces $R$ --- vnitřní částice opouští fázový objem
\item Proces $\bar{R}$ --- vnější částice po srážce zůstává ve fázovém objemu
\end{itemize}
\bigskip
Vyjádříme-li počet srážek $\Delta S$ za dobu $\Delta t$ takových, že
jedna molekula opustila prostor a současně takových, kdy molekula zvenčí
v prostoru zůstala, bude
$$\Delta S = R \dr \dv dt \qquad \qquad \Delta \bar{S} = \bar{R} \dr \dv dt$$
\bigskip
odkud plyne (neboť $f$ vyjadřuje počet částic v jistém objemu)
$$\termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \left( \frac{\Delta \bar{S}}{\dr \dv dt} -
\frac{\Delta S}{\dr \dv dt}\right) = \bar{R} - R$$
\bigskip
Vyjádřeme nyní $\bar{R}$ a $R$ pomocí zákonů srážek. Je nutné učinit následující předpoklady:
\begin{enumerate}
\item Bereme pouze binární srážky (což už bylo řečeno).
\item Zanedbáme účinek stěn nádob.
\item Zanedbáme účinek vnějších sil na diferenciální účinný průřez.
\item Předpokládejme, že rychlost molekuly nijak nesouvisí s její polohou.
Tento předpoklad se nazývá \emph{předpoklad molekulárního chaosu}.
\end{enumerate}
\bigskip
Nejprve soustřeďme pozornost na jednu molekulu, která má před srážkou rychlost $v_1$
z intervalu $d \vec{v_1} = dv_{x1} dv_{y1}dv_{z1}$ a nachází se v místě $\vec{r}$,
to znamená, že je ve fázovém objemu $\dr \dv$. V tomtéž bodě soustavy se nacházejí
i částice s různými libovolnými rychlostmi $\vec{v_2}$. Na ty se můžeme dívat jako
na svazek částic dopadající na sledovanou molekulu. Počet srážek za jednotku času
je pak dán ( typ srážky $\vec{v_1},\vec{v_2} \quad \rightarrow \quad \vec{v_1}',\vec{v_2}'$)
vzorcem
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)
d \vec{v_1} d\Omega$$
\bigskip
kde $\sigma$ je diferenciální účinný průřez, který je obecně závislý na prostorovém úhlu
$\Omega = \Omega( \theta, \phi)$ a $\Delta\vec{v}= \vec{v_1} - \vec{v_2}$. V uvažovaném objemu ovšem není jen jedna molekula o rychlosti $\vec{v_1}$, je jich tam $dN_1 = \fa \dr \dv$ a tedy
$$R = \frac{\Delta S}{\dr d\vec{v_1} dt} =
\fa\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)d
\vec{v_1}d\Omega$$
\bigskip
a označíme-li si $f_i = f( \vec{r}, \vec{v_i}, t)$, pak máme
$$R = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1 f_2 |\Delta \vec{v}| \sigma( \Omega )
d \Omega d \vec{v_1}$$
\bigskip
Analogickým způsobem vypočítáme $\bar{R}$ s tím, že srážka probíhá obráceně, ovšem její účinný diferenciální
průřez je stejný a $|\Delta \vec{v}| = |\Delta \vec{v}'|$. Získáme tak
$$\bar{R} = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1' f_2' |\Delta \vec{v}'| \sigma( \Omega )
d \Omega d \vec{v_2}$$
\bigskip
kde $f_i' = f( \vec{r}, \vec{v_i}', t)$. Dostáváme tak srážkový člen pro pevné $\vec{v_1}$:
$$\termderiv{\fa}{t}{Srazky} = \quad \bar{R} - R \quad =
\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
\sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2}$$
\bigskip
Použijeme-li již dříve zjištěného vztahu pro srážkový člen, dostáváme
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
\sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2} =
\left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}}
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) \fa$$
\bigskip
což je nelineární parciální integrodiferenciální rovnice pro výpočet $\fa$, zvaná
\index{rovnice, Boltzmannova transportní}\emph{Boltzmannova transportní rovnice} (BTR).
\subsection{Stacionární BTR a Boltzmanův H-teorém}
\index{rovnice, Boltzmannova transportní, stacionární}
Protože předchozí rovnice je našimi silami v podstatě neřešitelná, zjednodušme si, co můžeme.
\begin{enumerate}
\item Nemáme vnější pole a $\vec{F} = 0$
\item $\Rightarrow \quad$ systém lokálně nezávisí na prostorových souřadnicích.
\item Zajímá nás jen stacionární řešení $\pderivx{f}{y}=0 \:$.
\end{enumerate}
\bigskip
Z těchto předpokladů plyne, že
$$\left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}}
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) f = \pderivx{f}{t} =
\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
\sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2} = 0$$
\bigskip
To je funkcionální závislost a musí platit pro každou funkci $f$ vyhovující
předpokladům (označme ji $f_0$). Postačující podmínka pro platnost této rovnosti je
nulovost integrandu. Protože zároveň $f_0$ nezávisí na prostorových
souřadnicích a čase, dostáváme rovnost
$$f_0(\vec{v_1}')f_0
(\vec{v_1}') - f_0(\vec{v_1})f_0(\vec{v_1}) = 0$$
\bigskip
Je ale zároveň nutná? Podívejme se na následující výraz:
$$H(t) = \integral{}{} f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v}$$
\bigskip
který nezávisí na poloze, pouze na čase. Povšimněme si jeho podoby a vyjádřením pro
statistickou entropii ($S_{stat} = - \suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma$) a zjistěme,
jak se v čase chová:
$$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} \pderivx{}{t}f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v} =
\integral{}{} \pderivx{f}{t} ( 1 + \ln f ) \quad d\vec{v}$$
\bigskip
Sem postupně dosaďme $f_1$ a $f_2$, přičemž za derivaci $f$ podle času dosaďme z první
velké rovnosti v této kapitolce:
$$\derivx{H(t)}{t}
= \integral{}{} ( 1 + \ln f_1)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega =
\integral{}{} ( 1 + \ln f_2)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega $$
\bigskip
a z toho plyne, že
$$\derivx{H(t)}{t} = \pul \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( 2 + \ln f_1 f_2 )$$
\bigskip
Diferenciály jsme pro přehlednost už vynechali. Jelikož zcela analogicky lze sestavit
$$\derivx{H(t)}{t} = \pul \integral{}{}( f_1 f_2 - f_1' f_2')( 2 + \ln f_1' f_2' )$$
\bigskip
a diferenciály se díky našim zjednodušením, předpokladům a výpočtům rovnají, je
$$\derivx{H(t)}{t} = \ctvrt \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( \ln f_1 f _2 - \ln f_1' f_2' )$$
\bigskip
Znaménko výrazu
$$( f_1' f_2' - f_1 f_2) \ln \frac{f_1 f _2}{f_1' f_2'}$$
\bigskip
je ale vždy záporné, jak je snadné se přesvědčit. Z toho plyne, že veličina $H$ s časem
vždy klesá, a to k nějakému reálnému číslu, neboť integrál je omezený. To ale znamená,
že v čase $t \rightarrow \infty$ nabývá $H$ stacionární hodnoty a odsud plyne
nutnost podmínky
$$f_1' f_2' = f_1 f_2$$
\bigskip
Nutnost i postačujícnost této podmínky je obsahem \index{teorém,
Boltzmannův H-teorém}\emph{Boltzmanova H-teorému}.
Chování veličiny H je znázorněno na grafu:
\begin{center}
\includegraphics{hgraf.pdf}
\end{center}
V mnohém připomíná entropii --- jednak vyjádřením, jednak chováním. Entropie s časem
samovolně roste (s nějakými fluktuacemi), $H$ s časem klesá (také s fluktuacemi).
\subsection{Analytické vyjádření $f_0$}
Máme tedy rovnici
$$f_0( \vec{v_1} )f_0( \vec{v_2} ) = f_0( \vec{v_1}' )f_0( \vec{v_2}' )$$
\bigskip
Zlogaritmujme ji:
$$\ln f_0( \vec{v_1} ) + \ln f_0( \vec{v_2} ) = \ln f_0( \vec{v_1}' ) + \ln f_0( \vec{v_2}' )$$
\bigskip
Na levé straně jsou logaritmy funkce $f_0$ před srážkou, na pravé po srážce. Rovnice má tedy
podobu zákona zachování jisté veličiny, označme ji $\Psi$, závislé na rychlosti. Tato funkce
se ovšem může skládat z více částí. Obecně
$$\ln f_0( \vec{v} ) = \suma{i}{}\Psi _i (\vec{v})$$
\bigskip
Víme, že pro molekulu plynu jsou takové fce tři:
\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}[p]{rcl}
$\Psi_1(\vec{v}) = m \vec{v}$ & ..... & Hybnost \tabularnewline[12pt]
$\Psi_2(\vec{v}) = \pul m \vec{v}^2$ & ..... & Energie \tabularnewline[12pt]
$\Psi_3(\vec{v}) = C$ & ..... & Libovolná konstanta \tabularnewline[12pt]
\tabularnewline[12pt]
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip
To znamená, že $\ln f$ bude lineární kombinací tří složek rychlosti $\vec{v}$, kvadrátu
rychlosti $\vec{v}^2$ a konstanty $C$:
$$\ln f( \vec{v} ) = -a( \vec{v} - \vec{v_0} )^2 + \ln C$$
\medskip
$$f_0(\vec{v}) = C e^{-a(\vec{v}-\vec{v_0})^2}$$
\bigskip
Protože $\vec{v_0}$ má význam unášivé rychlosti celého systému, můžeme přejít k takové
vztažné soustavě, kde je nulová. Konstanty $C$ a $a$ získáme z normalizace a máme
$$f_0(\vec{v}) = n\left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\tripul} \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)$$
\bigskip
již známé Maxwell-Boltzmannovo rozdělení rychlostí. Celé toto odvozování jsme provedli
bez přítomnosti vnějšího pole. Bude-li se ale soustava v nějakém nacházet, dostaneme
$$f^*( \vec{r}, \vec{v}) = f_0( \vec{v} ) . e^{ -\frac{\phi(\vec{r})}{kT}}$$
\subsection{Transportní jevy}
Uděláme-li rozdělovací funkci časově závislou, lze počítat hustoty toků veličin
v prostoru a čase:
$$g( \vec{r}, t) = \integral{}{}A(\vec{r},\vec{v}) . \vec{v} . \f \dv$$
\bigskip
Veličina může být buď identicky rovna jedné(pak počítáme transport částic), může to být
hybnost (transport tlaku), energie (transport tepla), náboj (el. proud) a další.
