https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&feed=atom&action=history 02TSFA:Kapitola29 - Historie editací 2024-03-28T12:10:35Z Historie editací této stránky MediaWiki 1.25.2 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=8308&oldid=prev Chladjar: Korekce překlepu v indexech 2020-09-17T16:19:31Z <p>Korekce překlepu v indexech</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 17. 9. 2020, 16:19</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L156" >Řádka 156:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 156:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>kvantového systému je potom určena $3N$ čísly jako</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>kvantového systému je potom určena $3N$ čísly jako</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$U_{n_1, <del class="diffchange diffchange-inline">n_1</del>, \dots , n_{3N}} = \suma{i=1}{3N} \hbar \omega _i (n_i + \pul)$$</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$U_{n_1, <ins class="diffchange diffchange-inline">n_2</ins>, \dots , n_{3N}} = \suma{i=1}{3N} \hbar \omega _i (n_i + \pul)$$</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> </table> Chladjar https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=3602&oldid=prev Tomas v 7. 9. 2010, 13:24 2010-09-07T13:24:43Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 7. 9. 2010, 13:24</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L11" >Řádka 11:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 11:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">Krystal</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">krystal</ins>.pdf}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L25" >Řádka 25:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 25:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">Krystal2</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">krystal2</ins>.pdf}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> </table> Tomas https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=3590&oldid=prev Tomas v 7. 9. 2010, 11:52 2010-09-07T11:52:18Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 7. 9. 2010, 11:52</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L11" >Řádka 11:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 11:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">krystal</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">Krystal</ins>.pdf}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L25" >Řádka 25:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 25:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">krystal2</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">Krystal2</ins>.pdf}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L42" >Řádka 42:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 42:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>oscilátorů. Každý z oscilátorů má energetické hladiny &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>oscilátorů. Každý z oscilátorů má energetické hladiny &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$E_n = \hbar \omega (n + \pul) = E_0 + n \hbar \omega$$</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$E_n = \hbar \omega <ins class="diffchange diffchange-inline">\left</ins>(n + \pul<ins class="diffchange diffchange-inline">\right</ins>) = E_0 + n \hbar \omega$$</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> </table> Tomas https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=3332&oldid=prev Admin: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Modely krystalů} \index{model, krystalu} Dlouhou dobu se fyzici domnívali, že pevné látky mají konstantní tepelnou kapacitu $c_V = ... 2010-08-01T09:51:11Z <p>Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Modely krystalů} \index{model, krystalu} Dlouhou dobu se fyzici domnívali, že pevné látky mají konstantní tepelnou kapacitu $c_V = ...</p> <p><b>Nová stránka</b></p><div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br /> \section{Modely krystalů}<br /> \index{model, krystalu}<br /> <br /> Dlouhou dobu se fyzici domnívali, že pevné látky mají konstantní<br /> tepelnou kapacitu $c_V = 3R$, nezávislou na teplotě.<br /> <br /> Ekvipartiční teorém na každý stupeň volnosti přiřazuje $\pul kT$ energie. Představíme-li <br /> si krystalický materiál jako $N$ harmonických oscilátorů pravidelně uspořádaných, pak<br /> si každý z nich vezme $3\cdot 2\cdot \pul kT$ energie a celý systém pak $3NkT$ energie.<br /> <br /> \begin{center}<br /> \includegraphics{krystal.pdf}<br /> \end{center}<br /> <br /> Klasický harmonický oscilátor má totiž 2 stupně volnosti (poloha, hybnost)<br /> a krystalickou mřížku tvoří prostorové oscilátory, které mají $3 \cdot 2 = 6$ stupňů<br /> volnosti. To znamená, že<br /> <br /> $$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = 3 \frac{N}{N_A} k_B = 3 n R \qquad \Rightarrow \qquad c_V = 3R$$<br /> \bigskip<br /> <br /> S příchodem kvalitních lednic se ale zjistilo, že tomu tak není --- při teplotách blízkých <br /> absolutní nule $c_V$ rychle klesá:<br /> <br /> \begin{center}<br /> \includegraphics{krystal2.pdf}<br /> \end{center}<br /> <br /> Tento jev klasická fyzika neumí vysvětlit --- jako obyčejně to zbylo<br /> na kvantovku. Proberme si dva modely, které se snaží jev nějak<br /> přibližně osvětlit.<br /> <br /> \subsection{Einsteinův model}<br /> \index{model, krystalu, Einsteinův}<br /> <br /> Vezměme krystalickou mřížku pevné látky jako soustavu harmonických<br /> prostorových oscilátorů s danou frekvencí $\omega$, které se navzájem <br /> neovlivňují a jsou popsány kvantově. Pro takový systém neplatí ekvipartiční teorém, <br /> můžeme ale předpokládat, že energie se rozdělí rovnoměrně do všech tří prostorových os (stupňů <br /> volnosti) a máme-li v materiálu $N$ molekul, popíšeme jej pomocí $3N$<br /> oscilátorů. Každý z oscilátorů má energetické hladiny <br /> <br /> $$E_n = \hbar \omega (n + \pul) = E_0 + n \hbar \omega$$<br /> \bigskip<br /> <br /> V kapitole \ref{kvantosc} jsme si vyjádřili partiční funkci <br /> kvantověmechanického harmonického oscilátoru:<br /> <br /> $$\zeta = \frac{\exp(-\beta E_0)} {1 - \exp(-\osci)}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Jelikož jednotlivé oscilátory jsou nezávislé, celková partiční funkce bude<br /> <br /> $$Z = \zeta ^ {3N} = <br /> \left( \frac{\exp(-\beta E_0)}{1 - \exp(-\osci)} \right)^{3N}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Z partiční funkce systému pak odvodíme celou termodynamiku daného systému:<br /> <br /> $$F = - kT \ln Z = 3NkT\left[ \frac{E_0}{kT} + <br /> \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) \right] = $$<br /> $$ = 3NE_0 + 3NkT\ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right)$$ <br /> \bigskip<br /> <br /> První člen je minimální energie, kterou systém může dosáhnout, a lze ji<br /> položit rovnu nule. Protože víme, že $S = - \termderiv{F}{T}{V}$, dostaneme<br /> <br /> $$S = - 3Nk\left[ \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) -<br /> \frac{\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}{1-\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}<br /> \frac{\hbar \omega}{kT}\right]$$<br /> \bigskip<br /> <br /> vnitřní energii se spočteme jako<br /> $$U = -\pderivx{\ln Z}{\beta} = 3N\left( E_0 + \frac{h\nu}{\exp{(\beta h \nu)} - 1}\right)$$<br /> \bigskip<br /> a z toho kapacitu $C_V$ určíme<br /> $C_V = \termderiv{U}{T}{V}$<br /> <br /> <br /> % Označme si $y = \frac{\hbar \omega}{kT}$ a zjednodušme si práci:<br /> % <br /> % $$S = 3Nk\left[<br /> % y \frac{ e^{-y} }{ 1-e^{-y} } - <br /> % \ln \left( 1 - e^{-y} \right) \right]$$<br /> % <br /> % $$\pderivx{y}{T} = -\frac{\hbar \omega}{kT^2} = -\frac{y}{T}$$<br /> % <br /> % $$\pderivx{( e^{-y})}{T} = e^{-y}\pderivx{(-y)}{T} = e^{-y}\frac{y}{T}$$<br /> % <br /> % $$\frac{1}{3Nk} \termderiv{S}{T}{V} = -\frac{y}{T}\frac{e^{-y}}{1-e^{-y}} \+ <br /> % y . \frac<br /> % {\frac{y}{T}e^{-y}\left( 1 - e^{-y} \right) - \left( - \frac{y}{T}e^{-y}\right)e^{-y} }<br /> % {\left( 1 - e^{-y} \right)^2} - <br /> % \frac{ - \frac{y}{T}e^{-y}}{1 - e^{-y}} = $$<br /> % <br /> % $$= \frac{y}{T}\frac{e^{-y} - e^{-y}}{1 - e^{-y}} + <br /> % \frac{y^2}{T}\frac{e^{-y} - e^{-2y} + e^{-2y}}{ \left( 1 - e^{-y} \right)^2 } = <br /> % \frac{y^2}{T} \frac{e^{-y}}{ \left( 1 - e^{-2} \right)^2 }$$<br /> % <br /> % $$\frac{1}{3Nk}C_V = T \termderiv{S}{T}{V} <br /> % = y^2 . \frac{ e^{-y} }{ \left( 1 - e^{-2} \right)^2 }= <br /> % \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br /> % \frac<br /> % {\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}<br /> % {\left(1-\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right)^2 } $$<br /> % \bigskip<br /> <br /> Dostáváme tedy vzorec pro výpočet $c_V$:<br /> <br /> $$c_V = \frac{C_V}{N} = 3k\left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br /> \frac<br /> {\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}<br /> {\left(\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right) - 1 \right)^2 } $$<br /> \bigskip<br /> <br /> V limitě pro $T \rightarrow \infty$ je pak (použijeme-li na jmenovatel <br /> Taylorův rozvoj do prvního řádu)<br /> <br /> $$c_V \approx 3R \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br /> \frac{1}{\left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2} = 3R$$<br /> \bigskip<br /> <br /> To by sedělo. Teď opačná limita ($T \rightarrow 0$):<br /> <br /> $$c_V \approx 3R \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2 <br /> \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)\rightarrow 0$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Výsledek atraktivní, leč chybný. Křivka klesá v rozporu s experimentem<br /> příliš rychle. <br /> <br /> <br /> \subsection{Debyeův model}<br /> \index{model, krystalu, Debyeův}<br /> <br /> Podle Debyeovy teorie je krystal modelován rovněž soustavou harmonických<br /> kvantových oscilátorů, neplatí ale, že jednomu atomu je přiřazen právě <br /> jeden na ostatních nezávislý oscilátor. Debyeův model<br /> počítá s kolektivními vibracemi celé mřížky (neboť molekuly jsou k sobě <br /> elektricky vázány). Sestavme nejprve Hamiltonián celého krystalu.<br /> Máme $N$ atomů, každý tři vibrační stupně volnosti, tedy $3N$ souřadnic.<br /> Potom:<br /> <br /> $$H = \suma{i = 1}{3N}\frac{p_i^2}{2m} + \pul\suma{i,j = 1}{3N}A_{ij}q_i q_j$$<br /> <br /> První část Hamiltoniánu představuje normální kinetickou energii translačního<br /> pohybu, druhá pak vazbu každé z molekul na ostatní. Jednoduchou transformací <br /> převedeme funkci do jiných, zobecněných souřadnic na tvar<br /> <br /> $$H = \suma{i = 1}{3N}\left( \frac{p_i^2}{2m} + \pul m \omega_i^2 Q_i^2 \right)$$<br /> <br /> To, jak na první pohled vidíme, je (podobně jako u předchozího modelu) <br /> Hamiltonián soustavy $3N$ nezávislých harmonických oscilátoru. Tyto<br /> však nemají stejnou frekvenci, nýbrž každý jinou. Energie stavů takovéhoto<br /> kvantového systému je potom určena $3N$ čísly jako<br /> <br /> $$U_{n_1, n_1, \dots , n_{3N}} = \suma{i=1}{3N} \hbar \omega _i (n_i + \pul)$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Partiční funkce jednoho oscilátoru je<br /> <br /> $$\zeta _i = \frac{\exp\left(-\frac{E_{0i}}{kT}\right)} <br /> {1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> a celého systému teď už nezávislých oscilátorů pak<br /> <br /> $$Z = \produkt{i=1}{3N} \zeta_i = \produkt{i=1}{3N}\frac{\exp\left(-\frac{E_{0i}}{kT}\right)} <br /> {1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Zjednodušme na<br /> <br /> $$Z = \produkt{i=1}{3N}\exp\left(-\frac{E_{0i}}{kT}\right)\produkt {i=1}{3N}\frac{1}{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)} = <br /> \exp\left(-\frac{1}{kT}\suma{i=1}{3N}E_{0i}\right)\produkt {i=1}{3N}\frac{1}{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$<br /> $$Z = \exp\left(-\frac{E_0}{kT}\right)\produkt {i=1}{3N}\frac{1}{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$ <br /> \bigskip<br /> <br /> kde $E_0$ je součet \index{energie, nulových kmitů} energií nulových kmitů jednotlivých oscilátorů. Dále <br /> platí<br /> <br /> <br /> $$F = -k T \ln Z = E_0 + kT \suma{i=1}{3N} \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right) \right)$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Tento výraz má v podstatě stejný tvar, jako v předchozím modelu, nebudeme<br /> proto všechny výpočty provádět znovu. Tedy rovnou<br /> <br /> $$S = -\termderiv{F}{T}{V} = -k \suma{i=1}{3N}<br /> \left[ \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right) \right) -<br /> \frac{\exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right)}{1-\exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right)}<br /> .\frac{\hbar \omega _i }{kT} \right]$$<br /> <br /> $$C_V = k \suma{i=1}{3N}\left( \frac{\hbar \omega _i}{kT} \right)^2<br /> \frac{\exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right)}<br /> { \left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right) \right)^2 }$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Až posud je tedy vše stejné. Problémem ale zůstává, jak zjistit frekvence<br /> $\omega _i$. To je samozřejmě neřešitelný problém --- je možné pouze nějaké <br /> přiblížení. Předpokládejme tedy, že existuje nějaká nejvyšší frekvence<br /> (\index{frekvence, Debyeova}Debyeova frekvence)<br /> <br /> $$\omega _D = 2 \pi \left( \frac{3N}{4 \pi V} \right)^{\frac{1}{3}} . v_z$$<br /> \bigskip<br /> <br /> kde $v_z$ je rychlost šíření mechanických kmitů v materiálu. Od sumy přejděme k integrálu. <br /> Ovšem ne ve vzorci pro $C_V$, to bychom sešli z uma. Vyjděme přímo ze vzorce pro partiční <br /> funkci. Integrovat lze za předpokladu, že frekvence jsou dostatečně blízko u sebe, aby tvořily<br /> \uv{skoro} spojitou funkci. Dá se ukázat, že počet stavů a frekvencí v intervalu<br /> $(\omega, \omega + d\omega)$ je pro velmi nízké $\omega$<br /> <br /> $$g(\omega)d\omega = \frac{9N}{\omega _D ^3} \omega^2 d\omega$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Pan Debye učinil předpoklad (či spíše přiblížení), že tato závislost platí pro<br /> všechna $\omega$ až po $\omega _D$ (i když ve skutečnosti to nemusí být pravda).<br /> Výraz pro $\ln Z$ upravíme na<br /> <br /> $$\ln Z = -\frac{E_0}{kT} - \integral{0}{\omega _D} <br /> \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) g( \omega ) d\omega =$$<br /> <br /> $$= -\frac{E_0}{kT} - \frac{9N}{\omega _D ^3}<br /> \integral{0}{\omega _D} <br /> \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right)\omega^2 d\omega =$$<br /> $$ = -\frac{E_0}{kT} - 9N\left( \frac{kT}{\hbar \omega_D} \right)^3<br /> \integral{0}{\omega _D} \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br /> \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) \frac{\hbar d\omega}{kT}$$ <br /> \bigskip<br /> <br /> a zavedeme-li si substituci $x = \frac{\hbar \omega}{kT} \quad<br /> dx = \frac{\hbar d\omega}{kT}$ a označíme-li $T_D = \frac{\hbar \omega_D}{k}$<br /> (\index{teplota, Debyeova}Debyeova teplota), máme <br /> <br /> $$\ln Z = -\frac{E_0}{kT} - 9N\left(\frac{T}{T_D}\right)^3<br /> \integral{0}{T_D/T} x^2 \ln\left( 1 - e^{-x} \right) dx$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Tento integrál analyticky vyjádřit nelze, nicméně pro velmi nízké nebo naopak<br /> velmi vysoké teploty jej umíme vyjádřit přibližně, a o to nám nyní jde.<br /> \bigskip<br /> <br /> Nejprve si vezměme případ $T \gg T_D$. Rozložíme-li část integrandu do Taylora,<br /> získáme<br /> <br /> $$\ln\left( 1 - e^{-x}\right) \approx \ln x$$<br /> \bigskip<br /> <br /> a odtud dostáváme <br /> <br /> $$\integral{0}{T_D/T}x^2 \ln x = \frac{1}{3}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3<br /> \ln \frac{T_D}{T} - \frac{1}{9}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3$$<br /> \bigskip<br /> <br /> To znamená, že<br /> <br /> $$\ln Z = - \frac{E_0}{kT} - 9N \left( \frac{T}{T_D} \right)^3<br /> \left[ \frac{1}{3}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3<br /> \ln \frac{T_D}{T} - \frac{1}{9}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3 \right] = $$<br /> $$= - \frac{E_0}{kT} - 3N \ln \left( \frac{T_D}{T} \right) + N$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Potom použijeme vzorec $U = k T^2 \pderivx{ (\ln Z )}{T}$ a získáme<br /> vnitřní energii:<br /> <br /> $$U = kT^2\pderivx{(\ln Z)}{T} = kT^2\left[ \frac{E_0}{kT^2} + \frac{3N}{T}\right] =<br /> E_0 + 3NkT$$<br /> \bigskip<br /> <br /> a nakonec <br /> <br /> $$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = 3Nk \quad \Rightarrow \quad c_v = 3R$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Nyní si proberme případ, kdy $T \ll T_D$. Integrál pak má řešení<br /> <br /> $$\integral{0}{\infty} x^2 \ln\left( 1 - e^{-x} \right) dx = -\frac{\pi ^4}{45}$$<br /> <br /> $$\ln Z = -\frac{E_0}{kT} + 9N \left( \frac{T}{T_D} \right)^3 \frac{\pi ^4}{45}$$<br /> $$ U = kT^2\pderivx{(\ln Z)}{T} = E_0 + kT^2 \frac{\pi^4}{5}\frac{N}{T_D^3}3T^2 =<br /> E_0 + \frac{3}{5}\frac{\pi^4 k N}{T_D^3}T^4$$<br /> $$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = \frac{12}{5}\frac{\pi^4 k N}{T_D^3}T^3 = konst . T^3$$ <br /> \bigskip<br /> <br /> To tedy znamená, že za vysokých teplot je $c_V$ opravdu rovno $3R$ a při <br /> nízkých teplotách klesá s třetí mocninou $T$ (konstanta úměrnosti je<br /> závislá na materiálu). Tento výsledek souhlasí kvalitativně jak s pozorováním, tak s dalšími závěry fenomenologické termodynamiky.</div> Admin