https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&feed=atom&action=history
02TSFA:Kapitola29 - Historie editací
2024-03-28T12:10:35Z
Historie editací této stránky
MediaWiki 1.25.2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=8308&oldid=prev
Chladjar: Korekce překlepu v indexech
2020-09-17T16:19:31Z
<p>Korekce překlepu v indexech</p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 17. 9. 2020, 16:19</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L156" >Řádka 156:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 156:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>kvantového systému je potom určena $3N$ čísly jako</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>kvantového systému je potom určena $3N$ čísly jako</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$U_{n_1, <del class="diffchange diffchange-inline">n_1</del>, \dots , n_{3N}} = \suma{i=1}{3N} \hbar \omega _i (n_i + \pul)$$</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$U_{n_1, <ins class="diffchange diffchange-inline">n_2</ins>, \dots , n_{3N}} = \suma{i=1}{3N} \hbar \omega _i (n_i + \pul)$$</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
</table>
Chladjar
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=3602&oldid=prev
Tomas v 7. 9. 2010, 13:24
2010-09-07T13:24:43Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 7. 9. 2010, 13:24</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L11" >Řádka 11:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 11:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">Krystal</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">krystal</ins>.pdf}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L25" >Řádka 25:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 25:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">Krystal2</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">krystal2</ins>.pdf}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
</table>
Tomas
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=3590&oldid=prev
Tomas v 7. 9. 2010, 11:52
2010-09-07T11:52:18Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 7. 9. 2010, 11:52</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L11" >Řádka 11:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 11:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">krystal</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">Krystal</ins>.pdf}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L25" >Řádka 25:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 25:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<del class="diffchange diffchange-inline">krystal2</del>.pdf}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\includegraphics{<ins class="diffchange diffchange-inline">Krystal2</ins>.pdf}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{center}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L42" >Řádka 42:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 42:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>oscilátorů. Každý z oscilátorů má energetické hladiny  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>oscilátorů. Každý z oscilátorů má energetické hladiny  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$E_n = \hbar \omega (n + \pul) = E_0 + n \hbar \omega$$</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$E_n = \hbar \omega <ins class="diffchange diffchange-inline">\left</ins>(n + \pul<ins class="diffchange diffchange-inline">\right</ins>) = E_0 + n \hbar \omega$$</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\bigskip</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>   </div></td></tr>
</table>
Tomas
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola29&diff=3332&oldid=prev
Admin: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Modely krystalů} \index{model, krystalu} Dlouhou dobu se fyzici domnívali, že pevné látky mají konstantní tepelnou kapacitu $c_V = ...
2010-08-01T09:51:11Z
<p>Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Modely krystalů} \index{model, krystalu} Dlouhou dobu se fyzici domnívali, že pevné látky mají konstantní tepelnou kapacitu $c_V = ...</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
\section{Modely krystalů}<br />
\index{model, krystalu}<br />
<br />
Dlouhou dobu se fyzici domnívali, že pevné látky mají konstantní<br />
tepelnou kapacitu $c_V = 3R$, nezávislou na teplotě.<br />
<br />
Ekvipartiční teorém na každý stupeň volnosti přiřazuje $\pul kT$ energie. Představíme-li <br />
si krystalický materiál jako $N$ harmonických oscilátorů pravidelně uspořádaných, pak<br />
si každý z nich vezme $3\cdot 2\cdot \pul kT$ energie a celý systém pak $3NkT$ energie.<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{krystal.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Klasický harmonický oscilátor má totiž 2 stupně volnosti (poloha, hybnost)<br />
a krystalickou mřížku tvoří prostorové oscilátory, které mají $3 \cdot 2 = 6$ stupňů<br />
volnosti. To znamená, že<br />
<br />
$$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = 3 \frac{N}{N_A} k_B = 3 n R \qquad \Rightarrow \qquad c_V = 3R$$<br />
\bigskip<br />
<br />
S příchodem kvalitních lednic se ale zjistilo, že tomu tak není --- při teplotách blízkých <br />
absolutní nule $c_V$ rychle klesá:<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{krystal2.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Tento jev klasická fyzika neumí vysvětlit --- jako obyčejně to zbylo<br />
na kvantovku. Proberme si dva modely, které se snaží jev nějak<br />
přibližně osvětlit.<br />
<br />
\subsection{Einsteinův model}<br />
\index{model, krystalu, Einsteinův}<br />
<br />
Vezměme krystalickou mřížku pevné látky jako soustavu harmonických<br />
prostorových oscilátorů s danou frekvencí $\omega$, které se navzájem <br />
neovlivňují a jsou popsány kvantově. Pro takový systém neplatí ekvipartiční teorém, <br />
můžeme ale předpokládat, že energie se rozdělí rovnoměrně do všech tří prostorových os (stupňů <br />
volnosti) a máme-li v materiálu $N$ molekul, popíšeme jej pomocí $3N$<br />
oscilátorů. Každý z oscilátorů má energetické hladiny <br />
<br />
$$E_n = \hbar \omega (n + \pul) = E_0 + n \hbar \omega$$<br />
\bigskip<br />
<br />
V kapitole \ref{kvantosc} jsme si vyjádřili partiční funkci <br />
kvantověmechanického harmonického oscilátoru:<br />
<br />
$$\zeta = \frac{\exp(-\beta E_0)} {1 - \exp(-\osci)}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Jelikož jednotlivé oscilátory jsou nezávislé, celková partiční funkce bude<br />
<br />
$$Z = \zeta ^ {3N} = <br />
\left( \frac{\exp(-\beta E_0)}{1 - \exp(-\osci)} \right)^{3N}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Z partiční funkce systému pak odvodíme celou termodynamiku daného systému:<br />
<br />
$$F = - kT \ln Z = 3NkT\left[ \frac{E_0}{kT} + <br />
\ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) \right] = $$<br />
$$ = 3NE_0 + 3NkT\ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right)$$ <br />
\bigskip<br />
<br />
První člen je minimální energie, kterou systém může dosáhnout, a lze ji<br />
položit rovnu nule. Protože víme, že $S = - \termderiv{F}{T}{V}$, dostaneme<br />
<br />
$$S = - 3Nk\left[ \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) -<br />
\frac{\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}{1-\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}<br />
\frac{\hbar \omega}{kT}\right]$$<br />
\bigskip<br />
<br />
vnitřní energii se spočteme jako<br />
$$U = -\pderivx{\ln Z}{\beta} = 3N\left( E_0 + \frac{h\nu}{\exp{(\beta h \nu)} - 1}\right)$$<br />
\bigskip<br />
a z toho kapacitu $C_V$ určíme<br />
$C_V = \termderiv{U}{T}{V}$<br />
<br />
<br />
% Označme si $y = \frac{\hbar \omega}{kT}$ a zjednodušme si práci:<br />
% <br />
% $$S = 3Nk\left[<br />
% y \frac{ e^{-y} }{ 1-e^{-y} } - <br />
% \ln \left( 1 - e^{-y} \right) \right]$$<br />
% <br />
% $$\pderivx{y}{T} = -\frac{\hbar \omega}{kT^2} = -\frac{y}{T}$$<br />
% <br />
% $$\pderivx{( e^{-y})}{T} = e^{-y}\pderivx{(-y)}{T} = e^{-y}\frac{y}{T}$$<br />
% <br />
% $$\frac{1}{3Nk} \termderiv{S}{T}{V} = -\frac{y}{T}\frac{e^{-y}}{1-e^{-y}} \+ <br />
% y . \frac<br />
% {\frac{y}{T}e^{-y}\left( 1 - e^{-y} \right) - \left( - \frac{y}{T}e^{-y}\right)e^{-y} }<br />
% {\left( 1 - e^{-y} \right)^2} - <br />
% \frac{ - \frac{y}{T}e^{-y}}{1 - e^{-y}} = $$<br />
% <br />
% $$= \frac{y}{T}\frac{e^{-y} - e^{-y}}{1 - e^{-y}} + <br />
% \frac{y^2}{T}\frac{e^{-y} - e^{-2y} + e^{-2y}}{ \left( 1 - e^{-y} \right)^2 } = <br />
% \frac{y^2}{T} \frac{e^{-y}}{ \left( 1 - e^{-2} \right)^2 }$$<br />
% <br />
% $$\frac{1}{3Nk}C_V = T \termderiv{S}{T}{V} <br />
% = y^2 . \frac{ e^{-y} }{ \left( 1 - e^{-2} \right)^2 }= <br />
% \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br />
% \frac<br />
% {\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}<br />
% {\left(1-\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right)^2 } $$<br />
% \bigskip<br />
<br />
Dostáváme tedy vzorec pro výpočet $c_V$:<br />
<br />
$$c_V = \frac{C_V}{N} = 3k\left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br />
\frac<br />
{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)}<br />
{\left(\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right) - 1 \right)^2 } $$<br />
\bigskip<br />
<br />
V limitě pro $T \rightarrow \infty$ je pak (použijeme-li na jmenovatel <br />
Taylorův rozvoj do prvního řádu)<br />
<br />
$$c_V \approx 3R \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br />
\frac{1}{\left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2} = 3R$$<br />
\bigskip<br />
<br />
To by sedělo. Teď opačná limita ($T \rightarrow 0$):<br />
<br />
$$c_V \approx 3R \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2 <br />
\exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right)\rightarrow 0$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Výsledek atraktivní, leč chybný. Křivka klesá v rozporu s experimentem<br />
příliš rychle. <br />
<br />
<br />
\subsection{Debyeův model}<br />
\index{model, krystalu, Debyeův}<br />
<br />
Podle Debyeovy teorie je krystal modelován rovněž soustavou harmonických<br />
kvantových oscilátorů, neplatí ale, že jednomu atomu je přiřazen právě <br />
jeden na ostatních nezávislý oscilátor. Debyeův model<br />
počítá s kolektivními vibracemi celé mřížky (neboť molekuly jsou k sobě <br />
elektricky vázány). Sestavme nejprve Hamiltonián celého krystalu.<br />
Máme $N$ atomů, každý tři vibrační stupně volnosti, tedy $3N$ souřadnic.<br />
Potom:<br />
<br />
$$H = \suma{i = 1}{3N}\frac{p_i^2}{2m} + \pul\suma{i,j = 1}{3N}A_{ij}q_i q_j$$<br />
<br />
První část Hamiltoniánu představuje normální kinetickou energii translačního<br />
pohybu, druhá pak vazbu každé z molekul na ostatní. Jednoduchou transformací <br />
převedeme funkci do jiných, zobecněných souřadnic na tvar<br />
<br />
$$H = \suma{i = 1}{3N}\left( \frac{p_i^2}{2m} + \pul m \omega_i^2 Q_i^2 \right)$$<br />
<br />
To, jak na první pohled vidíme, je (podobně jako u předchozího modelu) <br />
Hamiltonián soustavy $3N$ nezávislých harmonických oscilátoru. Tyto<br />
však nemají stejnou frekvenci, nýbrž každý jinou. Energie stavů takovéhoto<br />
kvantového systému je potom určena $3N$ čísly jako<br />
<br />
$$U_{n_1, n_1, \dots , n_{3N}} = \suma{i=1}{3N} \hbar \omega _i (n_i + \pul)$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Partiční funkce jednoho oscilátoru je<br />
<br />
$$\zeta _i = \frac{\exp\left(-\frac{E_{0i}}{kT}\right)} <br />
{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
a celého systému teď už nezávislých oscilátorů pak<br />
<br />
$$Z = \produkt{i=1}{3N} \zeta_i = \produkt{i=1}{3N}\frac{\exp\left(-\frac{E_{0i}}{kT}\right)} <br />
{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Zjednodušme na<br />
<br />
$$Z = \produkt{i=1}{3N}\exp\left(-\frac{E_{0i}}{kT}\right)\produkt {i=1}{3N}\frac{1}{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)} = <br />
\exp\left(-\frac{1}{kT}\suma{i=1}{3N}E_{0i}\right)\produkt {i=1}{3N}\frac{1}{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$<br />
$$Z = \exp\left(-\frac{E_0}{kT}\right)\produkt {i=1}{3N}\frac{1}{1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega_i}{kT}\right)}$$ <br />
\bigskip<br />
<br />
kde $E_0$ je součet \index{energie, nulových kmitů} energií nulových kmitů jednotlivých oscilátorů. Dále <br />
platí<br />
<br />
<br />
$$F = -k T \ln Z = E_0 + kT \suma{i=1}{3N} \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right) \right)$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tento výraz má v podstatě stejný tvar, jako v předchozím modelu, nebudeme<br />
proto všechny výpočty provádět znovu. Tedy rovnou<br />
<br />
$$S = -\termderiv{F}{T}{V} = -k \suma{i=1}{3N}<br />
\left[ \ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right) \right) -<br />
\frac{\exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right)}{1-\exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right)}<br />
.\frac{\hbar \omega _i }{kT} \right]$$<br />
<br />
$$C_V = k \suma{i=1}{3N}\left( \frac{\hbar \omega _i}{kT} \right)^2<br />
\frac{\exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right)}<br />
{ \left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega _i}{kT}\right) \right)^2 }$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Až posud je tedy vše stejné. Problémem ale zůstává, jak zjistit frekvence<br />
$\omega _i$. To je samozřejmě neřešitelný problém --- je možné pouze nějaké <br />
přiblížení. Předpokládejme tedy, že existuje nějaká nejvyšší frekvence<br />
(\index{frekvence, Debyeova}Debyeova frekvence)<br />
<br />
$$\omega _D = 2 \pi \left( \frac{3N}{4 \pi V} \right)^{\frac{1}{3}} . v_z$$<br />
\bigskip<br />
<br />
kde $v_z$ je rychlost šíření mechanických kmitů v materiálu. Od sumy přejděme k integrálu. <br />
Ovšem ne ve vzorci pro $C_V$, to bychom sešli z uma. Vyjděme přímo ze vzorce pro partiční <br />
funkci. Integrovat lze za předpokladu, že frekvence jsou dostatečně blízko u sebe, aby tvořily<br />
\uv{skoro} spojitou funkci. Dá se ukázat, že počet stavů a frekvencí v intervalu<br />
$(\omega, \omega + d\omega)$ je pro velmi nízké $\omega$<br />
<br />
$$g(\omega)d\omega = \frac{9N}{\omega _D ^3} \omega^2 d\omega$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Pan Debye učinil předpoklad (či spíše přiblížení), že tato závislost platí pro<br />
všechna $\omega$ až po $\omega _D$ (i když ve skutečnosti to nemusí být pravda).<br />
Výraz pro $\ln Z$ upravíme na<br />
<br />
$$\ln Z = -\frac{E_0}{kT} - \integral{0}{\omega _D} <br />
\ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) g( \omega ) d\omega =$$<br />
<br />
$$= -\frac{E_0}{kT} - \frac{9N}{\omega _D ^3}<br />
\integral{0}{\omega _D} <br />
\ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right)\omega^2 d\omega =$$<br />
$$ = -\frac{E_0}{kT} - 9N\left( \frac{kT}{\hbar \omega_D} \right)^3<br />
\integral{0}{\omega _D} \left( \frac{\hbar \omega}{kT} \right)^2<br />
\ln\left( 1 - \exp\left(-\frac{\hbar \omega}{kT}\right) \right) \frac{\hbar d\omega}{kT}$$ <br />
\bigskip<br />
<br />
a zavedeme-li si substituci $x = \frac{\hbar \omega}{kT} \quad<br />
dx = \frac{\hbar d\omega}{kT}$ a označíme-li $T_D = \frac{\hbar \omega_D}{k}$<br />
(\index{teplota, Debyeova}Debyeova teplota), máme <br />
<br />
$$\ln Z = -\frac{E_0}{kT} - 9N\left(\frac{T}{T_D}\right)^3<br />
\integral{0}{T_D/T} x^2 \ln\left( 1 - e^{-x} \right) dx$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tento integrál analyticky vyjádřit nelze, nicméně pro velmi nízké nebo naopak<br />
velmi vysoké teploty jej umíme vyjádřit přibližně, a o to nám nyní jde.<br />
\bigskip<br />
<br />
Nejprve si vezměme případ $T \gg T_D$. Rozložíme-li část integrandu do Taylora,<br />
získáme<br />
<br />
$$\ln\left( 1 - e^{-x}\right) \approx \ln x$$<br />
\bigskip<br />
<br />
a odtud dostáváme <br />
<br />
$$\integral{0}{T_D/T}x^2 \ln x = \frac{1}{3}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3<br />
\ln \frac{T_D}{T} - \frac{1}{9}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3$$<br />
\bigskip<br />
<br />
To znamená, že<br />
<br />
$$\ln Z = - \frac{E_0}{kT} - 9N \left( \frac{T}{T_D} \right)^3<br />
\left[ \frac{1}{3}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3<br />
\ln \frac{T_D}{T} - \frac{1}{9}\left(\frac{T_D}{T}\right)^3 \right] = $$<br />
$$= - \frac{E_0}{kT} - 3N \ln \left( \frac{T_D}{T} \right) + N$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Potom použijeme vzorec $U = k T^2 \pderivx{ (\ln Z )}{T}$ a získáme<br />
vnitřní energii:<br />
<br />
$$U = kT^2\pderivx{(\ln Z)}{T} = kT^2\left[ \frac{E_0}{kT^2} + \frac{3N}{T}\right] =<br />
E_0 + 3NkT$$<br />
\bigskip<br />
<br />
a nakonec <br />
<br />
$$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = 3Nk \quad \Rightarrow \quad c_v = 3R$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Nyní si proberme případ, kdy $T \ll T_D$. Integrál pak má řešení<br />
<br />
$$\integral{0}{\infty} x^2 \ln\left( 1 - e^{-x} \right) dx = -\frac{\pi ^4}{45}$$<br />
<br />
$$\ln Z = -\frac{E_0}{kT} + 9N \left( \frac{T}{T_D} \right)^3 \frac{\pi ^4}{45}$$<br />
$$ U = kT^2\pderivx{(\ln Z)}{T} = E_0 + kT^2 \frac{\pi^4}{5}\frac{N}{T_D^3}3T^2 =<br />
E_0 + \frac{3}{5}\frac{\pi^4 k N}{T_D^3}T^4$$<br />
$$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = \frac{12}{5}\frac{\pi^4 k N}{T_D^3}T^3 = konst . T^3$$ <br />
\bigskip<br />
<br />
To tedy znamená, že za vysokých teplot je $c_V$ opravdu rovno $3R$ a při <br />
nízkých teplotách klesá s třetí mocninou $T$ (konstanta úměrnosti je<br />
závislá na materiálu). Tento výsledek souhlasí kvalitativně jak s pozorováním, tak s dalšími závěry fenomenologické termodynamiky.</div>
Admin