02TSFA:Kapitola28

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:50, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž na...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}
\index{plyn, fotonový}
\index{záření, absolutně černého tělesa}
 
Budiž naším sledovaným systémem dutina v nějakém neprůhledném materiálu (model absolutně
černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, 
které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy
bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou. Zajímejme se nyní o rozdělení energie.
Rozdělovací funkce (z Bose-Einsteinovy statistiky) je
 
$$n(\nu, T) d \nu = \frac{8 \pi V}{c^3}\frac{\nu^2 d \nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right) - 1}$$
\bigskip
 
kde $\frac{8 \pi V \nu ^2}{c^3}$ je počet jakýchsi \uv{kmitavých stavů}. Ten souvisí s tím,
jaké kmity se \uv{vejdou do objemu V}. Chceme-li totiž mít v dutině záření, musí se jednat o stojaté vlny a u těch platí, že na stěnách jsou nulové (okrajové podmínky). 
\bigskip
 
Odpovídající spektrální hustota energie $u(\nu)$ (tj. energie v jednotkovém objemu
záření s kmitočtem mezi $\nu$ a $\nu + d\nu$) je
 
$$u(\nu, T) d\nu = \frac{h \nu n(\nu) d\nu}{V} = \frac{8 \pi h}{c^3}
   \frac{\nu ^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1}$$
\bigskip
 
To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé
výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci 
$\nu = c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\nu$ }.
$$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$
a vyřešíme rovnici
$$\derivx{u( \lambda )}{\lambda} = 0$$
\bigskip
 
Po zderivování dostaneme 
 $$       { \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$$
což jde zjednodušit na
$${hc\over\lambda kT }{e^{h c/\lambda kT}\over e^{h c/\lambda kT} -1}-5=0$$
když si navíc zadefinujeme 
$$        x\equiv{hc\over\lambda kT } $$
pak se rovnice výše zjednodušší na 
$${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$
Tato rovnice má numerické řešení rovno $x = 4,965114231744276\ldots $. 
 
Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$
$$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} = {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$
 
To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření 
absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším 
vlnovým délkám (větším frekvencím). 
 
Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny:
 
$$u = \integral{0}{\infty}u( \nu) d \nu = \frac{8 \pi h}{c^3}\integral{0}{\infty}
\frac{\nu^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right)-1}$$
\bigskip
 
Provedeme-li substituci, dostáváme
 
$$u = \frac{8 \pi h}{c^3}\frac{(kT)^4}{h^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$
\bigskip
 
kde všechno až na $T^4$ je konstantní a tedy
 
$$u(T) = \sigma T^4$$
\bigskip
 
což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův
  zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je asi
 
$$\sigma = 5,67 . 10^{-8} Wm^{-2} K^{-4}$$
 
 
\bigskip
 
 
\begin{remark}
 
Pro tlak záření platí
 
$$p(T) = \frac{u(T)}{3}$$
\bigskip
 
na rozdíl od běžných plynů, jejichž tlak je $p = \frac{2}{3}\frac{U}{V}$. To je
dáno tím, že fotonový plyn je relativistický a neplatí pro něj vztah mezi kinetickou
energií a hybností $E_k = p^2/2m$.
 
\end{remark}
 
Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn. Pokud budete počítat správně, tak vám vyjde 
 
$$TV^{1/3} = konst$$