https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola28&feed=atom&action=history 02TSFA:Kapitola28 - Historie editací 2024-03-29T11:01:36Z Historie editací této stránky MediaWiki 1.25.2 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola28&diff=5407&oldid=prev Groveond: rozvedení předpokladů ochlazování vesmíru 2014-07-01T19:35:42Z <p>rozvedení předpokladů ochlazování vesmíru</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 1. 7. 2014, 19:35</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L146" >Řádka 146:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 146:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tímto modelem můžeme částečně zdůvodnit ochlazování vesmíru za několika předpokladů:</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tímto modelem můžeme částečně zdůvodnit ochlazování vesmíru za několika předpokladů:</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{itemize}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\begin{itemize}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item Většinu vesmíru můžeme aproximovat fotonovým plynem.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\item Vesmír je adiabaticky izolovaný. To je téměr filozofický fundamentální předpoklad.</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item Většinu vesmíru můžeme aproximovat fotonovým plynem<ins class="diffchange diffchange-inline">. Vzhledem k tomu, že ve vesmíru dohromady skoro nic není, to je celkem dobrá aproximace</ins>.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item Vesmír se rozpíná (což je pozorováno i experimentálně).</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item Vesmír se rozpíná (což je pozorováno i experimentálně).</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item Termalizace plynu probíhá mnohem rychleji než rozpínání (aby naše kvazistacké výpočty měly smysl), což nemusí být pravda v pozdějších fázích vývoje vesmíru.</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\item Termalizace plynu probíhá mnohem rychleji než rozpínání (aby naše kvazistacké výpočty měly smysl), což nemusí být pravda v pozdějších fázích vývoje vesmíru.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{itemize}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{itemize}</div></td></tr> </table> Groveond https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola28&diff=5406&oldid=prev Groveond: přidáno vysvětlení chladnutí vesmíru pomocí adiabaty fotonového plynu 2014-07-01T18:57:49Z <p>přidáno vysvětlení chladnutí vesmíru pomocí adiabaty fotonového plynu</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 1. 7. 2014, 18:57</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L1" >Řádka 1:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 1:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2">&#160;</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%\wikiskriptum{02TSFA}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>%\wikiskriptum{02TSFA}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L132" >Řádka 132:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 131:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{remark}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{remark}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn. <del class="diffchange diffchange-inline">Pokud budete počítat správně, tak vám vyjde </del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP<ins class="diffchange diffchange-inline">, </ins>jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; &#160;</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>$$<del class="diffchange diffchange-inline">TV^</del>{1<del class="diffchange diffchange-inline">/</del>3} = <del class="diffchange diffchange-inline">konst$$</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Vyjdeme z předpokladu </ins>$<ins class="diffchange diffchange-inline">u(T) = \frac{U(T)}{V} = \frac{C_{V}T}{V}</ins>$<ins class="diffchange diffchange-inline">.</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160;</div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\begin{eqnarray*}</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">&#160; 0 = \eth Q &amp;=&amp; dU + p dV\\</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">&#160; dU &amp;=&amp; -p dV\\</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">&#160; C_{V}dT &amp;=&amp; - \frac</ins>{1<ins class="diffchange diffchange-inline">}{</ins>3} <ins class="diffchange diffchange-inline">\frac{C_{V}T}{V} dV\\</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">&#160; -3\frac{dT}{T} &amp;</ins>=<ins class="diffchange diffchange-inline">&amp; \frac{dV}{V}\\</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">&#160; \ln T^{-3} + \ln K &amp;=&amp; \ln V\\</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">&#160; VT^{3} &amp;=&amp; K</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\end{eqnarray*}</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160;</div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Tímto modelem můžeme částečně zdůvodnit ochlazování vesmíru za několika předpokladů:</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\begin{itemize}</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\item Většinu vesmíru můžeme aproximovat fotonovým plynem.</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\item Vesmír se rozpíná (což je pozorováno i experimentálně).</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\item Termalizace plynu probíhá mnohem rychleji než rozpínání (aby naše kvazistacké výpočty měly smysl), což nemusí být pravda v pozdějších fázích vývoje vesmíru.</ins></div></td></tr> <tr><td colspan="2">&#160;</td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">\end{itemize}</ins></div></td></tr> </table> Groveond https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola28&diff=3589&oldid=prev Tomas: opravy, přidané odvození AČT 2010-09-07T11:50:01Z <p>opravy, přidané odvození AČT</p> <a href="https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola28&amp;diff=3589&amp;oldid=3331">Ukázat změny</a> Tomas https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola28&diff=3331&oldid=prev Admin: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž na... 2010-08-01T09:50:58Z <p>Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž na...</p> <p><b>Nová stránka</b></p><div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br /> \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}<br /> \index{plyn, fotonový}<br /> \index{záření, absolutně černého tělesa}<br /> <br /> Budiž naším sledovaným systémem dutina v nějakém neprůhledném materiálu (model absolutně<br /> černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, <br /> které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy<br /> bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou. Zajímejme se nyní o rozdělení energie.<br /> Rozdělovací funkce (z Bose-Einsteinovy statistiky) je<br /> <br /> $$n(\nu, T) d \nu = \frac{8 \pi V}{c^3}\frac{\nu^2 d \nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right) - 1}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> kde $\frac{8 \pi V \nu ^2}{c^3}$ je počet jakýchsi \uv{kmitavých stavů}. Ten souvisí s tím,<br /> jaké kmity se \uv{vejdou do objemu V}. Chceme-li totiž mít v dutině záření, musí se jednat o stojaté vlny a u těch platí, že na stěnách jsou nulové (okrajové podmínky). <br /> \bigskip<br /> <br /> Odpovídající spektrální hustota energie $u(\nu)$ (tj. energie v jednotkovém objemu<br /> záření s kmitočtem mezi $\nu$ a $\nu + d\nu$) je<br /> <br /> $$u(\nu, T) d\nu = \frac{h \nu n(\nu) d\nu}{V} = \frac{8 \pi h}{c^3}<br /> \frac{\nu ^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé<br /> výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci <br /> $\nu = c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\nu$ }.<br /> $$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$<br /> a vyřešíme rovnici<br /> $$\derivx{u( \lambda )}{\lambda} = 0$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Po zderivování dostaneme <br /> $$ { \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$$<br /> což jde zjednodušit na<br /> $${hc\over\lambda kT }{e^{h c/\lambda kT}\over e^{h c/\lambda kT} -1}-5=0$$<br /> když si navíc zadefinujeme <br /> $$ x\equiv{hc\over\lambda kT } $$<br /> pak se rovnice výše zjednodušší na <br /> $${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$<br /> Tato rovnice má numerické řešení rovno $x = 4,965114231744276\ldots $. <br /> <br /> Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$<br /> $$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} = {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$<br /> <br /> To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření <br /> absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším <br /> vlnovým délkám (větším frekvencím). <br /> <br /> Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny:<br /> <br /> $$u = \integral{0}{\infty}u( \nu) d \nu = \frac{8 \pi h}{c^3}\integral{0}{\infty}<br /> \frac{\nu^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right)-1}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> Provedeme-li substituci, dostáváme<br /> <br /> $$u = \frac{8 \pi h}{c^3}\frac{(kT)^4}{h^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> kde všechno až na $T^4$ je konstantní a tedy<br /> <br /> $$u(T) = \sigma T^4$$<br /> \bigskip<br /> <br /> což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův<br /> zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je asi<br /> <br /> $$\sigma = 5,67 . 10^{-8} Wm^{-2} K^{-4}$$<br /> <br /> <br /> \bigskip<br /> <br /> <br /> \begin{remark}<br /> <br /> Pro tlak záření platí<br /> <br /> $$p(T) = \frac{u(T)}{3}$$<br /> \bigskip<br /> <br /> na rozdíl od běžných plynů, jejichž tlak je $p = \frac{2}{3}\frac{U}{V}$. To je<br /> dáno tím, že fotonový plyn je relativistický a neplatí pro něj vztah mezi kinetickou<br /> energií a hybností $E_k = p^2/2m$.<br /> <br /> \end{remark}<br /> <br /> Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn. Pokud budete počítat správně, tak vám vyjde <br /> <br /> $$TV^{1/3} = konst$$</div> Admin