02TSFA:Kapitola28: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž na...)
 
(opravy, přidané odvození AČT)
Řádka 1: Řádka 1:
 +
 
%\wikiskriptum{02TSFA}
 
%\wikiskriptum{02TSFA}
 
\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}
 
\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}
Řádka 7: Řádka 8:
 
černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů,  
 
černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů,  
 
které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy
 
které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy
bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou. Zajímejme se nyní o rozdělení energie.
+
bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou.
Rozdělovací funkce (z Bose-Einsteinovy statistiky) je
+
 
+
Střední počet fotonů s frekvencí v intervalu $\omega, \omega +d\omega$ je dán takto
$$n(\nu, T) d \nu = \frac{8 \pi V}{c^3}\frac{\nu^2 d \nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right) - 1}$$
+
 
\bigskip
+
$$dN_\omega = N_\omega d\Gamma_\omega$$
+
 
kde $\frac{8 \pi V \nu ^2}{c^3}$ je počet jakýchsi \uv{kmitavých stavů}. Ten souvisí s tím,
+
Rozdělení $N_\omega$ získáme dosazením za energii do BE statistiky
jaké kmity se \uv{vejdou do objemu V}. Chceme-li totiž mít v dutině záření, musí se jednat o stojaté vlny a u těch platí, že na stěnách jsou nulové (okrajové podmínky).
+
 
\bigskip
+
$$N_\omega = \frac{1}{\exp(\beta(\hbar\omega -\mu))-1}$$
   
+
 
Odpovídající spektrální hustota energie $u(\nu)$ (tj. energie v jednotkovém objemu
+
Abychom určili $\mu$ potřebovali bychom znát střední počet fotonů. Ten je ale dán danými podmínkami, teplotou $T$ a objemem nádoby $V$. Proto určíme $\mu$ z podmínek rovnováhy
záření s kmitočtem mezi $\nu$ a $\nu + d\nu$) je
+
 
+
$$ 0 =(dF)_{T,V} = \mu dN $$
$$u(\nu, T) d\nu = \frac{h \nu n(\nu) d\nu}{V} = \frac{8 \pi h}{c^3}
+
 
  \frac{\nu ^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1}$$
+
a proto je $\mu = 0$. Váhový faktor $d\Gamma_\omega$ určíme následujícím způsobem. Pro vlnový vektor $\bf k$ platí
\bigskip
+
 
 +
$$k_x = \frac{2\pi n_1}{L_x}\qquad k_y = \frac{2\pi n_2}{L_y}\qquad k_z = \frac{2\pi n_3}{L_z}$$
 +
 
 +
kde $L_x,L_y,L_z$ jsou strany kvádru ve kterém je záření uzavřeno a $n_i$ jsou přirozená čísla.
 +
Bude-li vlnová délka záření mnohem menší než rozměr kvádru, budou se blízké hodnoty $\bf k$ lišit jen nepatrně a můžeme nalézt počet $\Delta M$ těchto vektorů v intervalu $\Delta k_x\Delta k_y  \Delta k_z $.  Jejich počet je
 +
 
 +
$$\Delta M = \Delta n_1 \Delta n_2\Delta n_3 $$
 +
 
 +
dosadíme ze $\Delta n_i$
 +
 
 +
$$\Delta M = \frac1{(2\pi)^3}L_xL_yL_z \Delta k_x\Delta k_y  \Delta k_z  = \frac{V}{(2\pi)^3}d^3\bf k$$
 +
 
 +
Při daném vektoru $\bf k$ existují dvě polarizace, počet kvantových stavů (váhový faktor) $d\Gamma({\bf k}) = 2\Delta M$. Dále provedeme integraci přes úhly%a neměla by tam vyskočit 1/8? n_i jsou kladné
 +
, dosadíme za $k = \frac{\omega}{c}$ a vyjde
 +
 
 +
$$d\Gamma_\omega = \frac{V\omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$
 +
 
 +
dosadíme do $dN_\omega$
 +
 
 +
$$dN_\omega = \frac{1}{\exp(\beta h\omega)-1} \frac{V \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$
 +
 
 +
Hustotu energie $u(\omega,T)$ ve frekvenčním intervalu získáme tak, že vezmeme střední počet fotonů v intervalu $d\omega$, vynásobíme  je  jejich energií $\hbar \omega$ a vydělíme objemem.
 +
 
 +
$$u(\omega,T)d\omega = \frac{ \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1} $$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 
   
 
   
 
To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé
 
To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé
 
výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci  
 
výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci  
$\nu = c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\nu$ }.
+
$\omega= 2\pi c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\omega$ }.
 
$$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$
 
$$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$
 
a vyřešíme rovnici
 
a vyřešíme rovnici
Řádka 38: Řádka 68:
 
když si navíc zadefinujeme  
 
když si navíc zadefinujeme  
 
$$        x\equiv{hc\over\lambda kT } $$
 
$$        x\equiv{hc\over\lambda kT } $$
pak se rovnice výše zjednodušší na  
+
pak se rovnice výše jednodušší na  
 
$${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$
 
$${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$
Tato rovnice má numerické řešení rovno $x = 4,965114231744276\ldots $.  
+
Tato transcendentní rovnice má numerické řešení rovno $x \,\dot{=}\, 4,9651 $.
 
   
 
   
 
Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$
 
Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$
$$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} = {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$
+
$$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} \,\dot{=}\, {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$
 
   
 
   
 
To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření  
 
To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření  
 
absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším  
 
absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším  
vlnovým délkám (větším frekvencím).  
+
vlnovým délkám (větším frekvencím). Pokud bychom na začátku neprovedli substituci a spočetli přímo $\nu_{max}$, dospěli bychom k hodnotě
 +
$$\nu_{max} \,\dot{=}\, T\cdot 5,879\cdot 10^{10} \text{\,Hz $\cdot$ K$^{-1}$}$$
 +
 
 +
Stojí za povšimnutí, že $\nu_{max}\lambda_{max} \,\dot{=}\, 0.568c \neq c$. Tento fakt byl skutečně experimentálně potvrzen.  
 
   
 
   
 
Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny:
 
Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny:
 
   
 
   
$$u = \integral{0}{\infty}u( \nu) d \nu = \frac{8 \pi h}{c^3}\integral{0}{\infty}
+
$$u = \integral{0}{\infty}u( \omega) d \omega = \frac{ \hbar}{\pi^2c^3}\integral{0}{\infty}
\frac{\nu^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right)-1}$$
+
\frac{\omega^3 d\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1}$$
 
\bigskip
 
\bigskip
 
   
 
   
 
Provedeme-li substituci, dostáváme
 
Provedeme-li substituci, dostáváme
 
   
 
   
$$u = \frac{8 \pi h}{c^3}\frac{(kT)^4}{h^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$
+
$$u = \frac{ \hbar}{\pi^2 c^3}\frac{(kT)^4}{\hbar^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$
 
\bigskip
 
\bigskip
 
   
 
   
Řádka 66: Řádka 99:
 
   
 
   
 
což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův
 
což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův
   zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je asi
+
   zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je  
+
$$\sigma = 5,67 . 10^{-8} Wm^{-2} K^{-4}$$
+
+
 
   
 
   
 +
$$\sigma  = \frac{\pi^2k^4}{15\hbar^3c^3}\,\dot{=}\, 7,561 . 10^{-16} Jm^{-3} K^{-4}$$
 +
\bigskip
 +
 +
Spočteme emisní intenzitu vyzařování temného tělesa. Je-li záření v rovnováze, potom je intenzita dopadajícího záření $I_i$ rovna intenzitě vyzařovaného záření $I_e$. Za jednotku času u prostorového úhlu $d\Omega$ pod úhlem $\theta$ k normále na jednotkovou plochu stěny dopadá energie
 +
 +
$$I_i(\omega, T, \Omega)d\omega d\Omega = \frac{c}{4\pi}u(\omega,T)\cos \theta d\omega d\Omega $$
 +
 +
$4\pi$ je tam proto, že záření v dutině je ve všech směrech stejné (izotropní) a $\cos\theta$ odpovídá tomu, že čím je větší odklon zdroje od kolmice, tím menší jednotkovou plošku stěny \uv{vidí}. Celkovou dopadající intenzitu $I_e$ získáme prostě tak že tento vztah vyintegrujeme přes horní polosféru (světlo může na objekt dopadat jen zvenku) a přes všechny frekvence
 +
 +
$$I_i = I_e = \integral{0}{\infty}d\omega\integral{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta\integral{0}{2\pi}\sin(\theta)d\phi \frac{c}{4\pi} u(\omega,T)\cos\theta  = \frac14 c\sigma T^4$$
 +
 +
Stefanova konstanta se  z praktických důvodů zavádí takto
 +
 +
$$\sigma' = \frac14 c\sigma = \frac{\pi^2k^4}{60\hbar^3c^2} = 5,67\cdot 10^{-8}\text{Wm$^{-2}$K$^{-4}$}$$
 +
 
\bigskip
 
\bigskip
 
   
 
   

Verze z 7. 9. 2010, 13:50

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201710:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201013:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

 
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}
\index{plyn, fotonový}
\index{záření, absolutně černého tělesa}
 
Budiž naším sledovaným systémem dutina v nějakém neprůhledném materiálu (model absolutně
černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, 
které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy
bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou.
 
Střední počet fotonů s frekvencí v intervalu $\omega, \omega +d\omega$ je dán takto
 
$$dN_\omega = N_\omega d\Gamma_\omega$$
 
Rozdělení $N_\omega$ získáme dosazením za energii do BE statistiky
 
$$N_\omega = \frac{1}{\exp(\beta(\hbar\omega -\mu))-1}$$
 
Abychom určili $\mu$ potřebovali bychom znát střední počet fotonů. Ten je ale dán danými podmínkami, teplotou $T$ a objemem nádoby $V$. Proto určíme $\mu$ z podmínek rovnováhy
 
$$ 0 =(dF)_{T,V} = \mu dN $$
 
a proto je $\mu = 0$. Váhový faktor $d\Gamma_\omega$ určíme následujícím způsobem. Pro vlnový vektor $\bf k$ platí
 
$$k_x = \frac{2\pi n_1}{L_x}\qquad k_y = \frac{2\pi n_2}{L_y}\qquad k_z = \frac{2\pi n_3}{L_z}$$
 
kde $L_x,L_y,L_z$ jsou strany kvádru ve kterém je záření uzavřeno a $n_i$ jsou přirozená čísla. 
Bude-li vlnová délka záření mnohem menší než rozměr kvádru, budou se blízké hodnoty $\bf k$ lišit jen nepatrně a můžeme nalézt počet $\Delta M$ těchto vektorů v intervalu $\Delta k_x\Delta k_y  \Delta k_z $.  Jejich počet je 
 
$$\Delta M = \Delta n_1 \Delta n_2\Delta n_3 $$ 
 
dosadíme ze $\Delta n_i$
 
$$\Delta M = \frac1{(2\pi)^3}L_xL_yL_z \Delta k_x\Delta k_y  \Delta k_z  = \frac{V}{(2\pi)^3}d^3\bf k$$
 
Při daném vektoru $\bf k$ existují dvě polarizace, počet kvantových stavů (váhový faktor) $d\Gamma({\bf k}) = 2\Delta M$.  Dále provedeme integraci přes úhly%a neměla by tam vyskočit 1/8? n_i jsou kladné
, dosadíme za $k = \frac{\omega}{c}$ a vyjde
 
$$d\Gamma_\omega = \frac{V\omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$
 
dosadíme do $dN_\omega$
 
$$dN_\omega =  \frac{1}{\exp(\beta h\omega)-1} \frac{V \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$
 
Hustotu energie $u(\omega,T)$ ve frekvenčním intervalu získáme tak, že vezmeme střední počet fotonů v intervalu $d\omega$, vynásobíme  je  jejich energií $\hbar \omega$ a vydělíme objemem. 
 
$$u(\omega,T)d\omega = \frac{ \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1} $$
 
 
 
 
 
 
 
To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé
výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci 
$\omega= 2\pi c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\omega$ }.
$$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$
a vyřešíme rovnici
$$\derivx{u( \lambda )}{\lambda} = 0$$
\bigskip
 
Po zderivování dostaneme 
 $$       { \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$$
což jde zjednodušit na
$${hc\over\lambda kT }{e^{h c/\lambda kT}\over e^{h c/\lambda kT} -1}-5=0$$
když si navíc zadefinujeme 
$$        x\equiv{hc\over\lambda kT } $$
pak se rovnice výše jednodušší na 
$${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$
Tato transcendentní rovnice má numerické řešení rovno $x \,\dot{=}\, 4,9651 $.
 
Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$
$$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} \,\dot{=}\, {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$
 
To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření 
absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším 
vlnovým délkám (větším frekvencím). Pokud bychom na začátku neprovedli substituci a spočetli přímo $\nu_{max}$, dospěli bychom k hodnotě
$$\nu_{max} \,\dot{=}\, T\cdot 5,879\cdot 10^{10} \text{\,Hz $\cdot$ K$^{-1}$}$$
 
Stojí za povšimnutí, že $\nu_{max}\lambda_{max} \,\dot{=}\, 0.568c \neq c$. Tento fakt byl skutečně experimentálně potvrzen. 
 
Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny:
 
$$u = \integral{0}{\infty}u( \omega) d \omega = \frac{ \hbar}{\pi^2c^3}\integral{0}{\infty}
\frac{\omega^3 d\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1}$$
\bigskip
 
Provedeme-li substituci, dostáváme
 
$$u = \frac{ \hbar}{\pi^2 c^3}\frac{(kT)^4}{\hbar^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$
\bigskip
 
kde všechno až na $T^4$ je konstantní a tedy
 
$$u(T) = \sigma T^4$$
\bigskip
 
což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův
  zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je 
 
$$\sigma  = \frac{\pi^2k^4}{15\hbar^3c^3}\,\dot{=}\, 7,561 . 10^{-16} Jm^{-3} K^{-4}$$
 \bigskip
 
Spočteme emisní intenzitu vyzařování temného tělesa. Je-li záření v rovnováze, potom je intenzita dopadajícího záření $I_i$ rovna intenzitě vyzařovaného záření $I_e$. Za jednotku času u prostorového úhlu $d\Omega$ pod úhlem $\theta$ k normále na jednotkovou plochu stěny dopadá energie
 
$$I_i(\omega, T, \Omega)d\omega d\Omega = \frac{c}{4\pi}u(\omega,T)\cos \theta d\omega d\Omega $$ 
 
$4\pi$ je tam proto, že záření v dutině je ve všech směrech stejné (izotropní) a $\cos\theta$ odpovídá tomu, že čím je větší odklon zdroje od kolmice, tím menší jednotkovou plošku stěny \uv{vidí}. Celkovou dopadající intenzitu $I_e$ získáme prostě tak že tento vztah vyintegrujeme přes horní polosféru (světlo může na objekt dopadat jen zvenku) a přes všechny frekvence
 
$$I_i = I_e = \integral{0}{\infty}d\omega\integral{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta\integral{0}{2\pi}\sin(\theta)d\phi \frac{c}{4\pi} u(\omega,T)\cos\theta  = \frac14 c\sigma T^4$$ 
 
Stefanova konstanta se  z praktických důvodů zavádí takto
 
$$\sigma' = \frac14 c\sigma = \frac{\pi^2k^4}{60\hbar^3c^2} = 5,67\cdot 10^{-8}\text{Wm$^{-2}$K$^{-4}$}$$
 
\bigskip
 
 
\begin{remark}
 
Pro tlak záření platí
 
$$p(T) = \frac{u(T)}{3}$$
\bigskip
 
na rozdíl od běžných plynů, jejichž tlak je $p = \frac{2}{3}\frac{U}{V}$. To je
dáno tím, že fotonový plyn je relativistický a neplatí pro něj vztah mezi kinetickou
energií a hybností $E_k = p^2/2m$.
 
\end{remark}
 
Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn. Pokud budete počítat správně, tak vám vyjde 
 
$$TV^{1/3} = konst$$