Součásti dokumentu 02TSFA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Statistický popis složitých soustav}
Pro soubor částic, který má $n$ stupňů volnosti, existuje hamiltonián a k němu $2n$
kanonických pohybových rovnic
$$
H=\sum_{i=1}^np_i\dot{q_i}-L, \qquad \dot{p_{i}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}},\
\dot{q_{i}}=\frac{\partial H}{\partial p_i}
$$
které v daném časovém okamžiku a po zahrnutí počátečních a okrajových podmínek jednoznačně určují
mechanický stav soustavy --- tzv. \index{mikrostav}\emph{mikrostav}. Při experimentech souvisejících s termodynamikou
pracujeme s počtem částic řádově $10^{23}$, což by znamenalo sestavit a řešit řádově $10^{24}$
pohybových rovnic a určit ještě jednou tolik okrajových podmínek. Naměření a zpracování takového
objemu dat je ale lidskými a technickými možnostmi neuskutečnitelné. Problémem jsou matematické
těžkosti při exaktním řešení pohybových rovnic a také fakt, že počáteční a okrajové podmínky nejsme
schopni stanovit úplně přesně. Ač by byly nepřesnosti v určení podmínek jakkoliv malé, výsledné
řešení by bylo zatížené obrovskou chybou. Je tedy třeba najít přístupnější popis, a to popis
statistický.
Ve statistické fyzice zavádíme pro ulehčení popisu souboru částic
pojem \index{prostor, fázový}\emph{fázový prostor}.
Fázový prostor, nazývaný také $\Phi$ prostor, je vlastně $2n$-rozměrným prostorem kanonických
souřadnic $q_1,...,q_n,p_1,...,p_n$. Každý bod $(q,p)$ tohoto prostoru jednoznačně určuje jeden
mikrostav a dráha tohoto bodu ve fázovém prostoru, nazývaná také
\index{trajektorie, fázová}\emph{fázová trajektorie},
určuje časový vývoj mikrostavů. Proto ve statistické fyzice mikrostav a jeho změny v čase
popisujeme jako pohyb reprezentativního bodu ve fázovém prostoru.
Když je řešení pohybových rovnic při daných počátečních podmínkách jednoznačné, a tedy každý
počáteční stav určuje jednu fázovou trajektorii, fázové trajektorie se neprotínají ani
nedotýkají (to by totiž znamenalo, že v nějakém okamžiku mají částice na výběr, kam mají letět
a jaké mají mít hybnosti).
Každý mikrostav systému lze znázornit právě jedním reprezentativním bodem ve fázovém prostoru.
Tyto body zaplní určitou část fázového prostoru o objemu $\Phi_0$. V~důsledku pohybu částic se
systém bude přesouvat z jednoho mikrostavu do druhého po nějaké fázové trajektorii. Tu lze
v klasické mechanice přesně určit, ovšem ve statistické fyzice ji neznáme a určit nemůžeme
(viz výše).
Ke popisu použijeme \textit{statistického souboru}\index{soubor, statistický}, to znamená že vezmeme $\nu$ nezávislých identických systémů s obecně různými počátečními podmínkami. Stav každého člena souboru v každém času je dán bodem ve fázovém prostoru, stav celého souboru je dám množinou bodů (oblakem) ve fázovém prostoru. Při limitním přechodu $\nu \rightarrow \infty$, můžeme mluvit o spojité hustotě mikrostavů.
\medskip
Objemový element fázového prostoru
$$d\Phi = d^np \: d^nq$$
\bigskip
je invariantní vůči kanonickým transformacím. Kanoničnost transformace vyjadřuje tu skutečnost,
že pro nové proměnné $p_j'$ a $q_j '$ platí stejné kanonické rovnice jako pro původní
proměnné $p_i$, $q_i$. Na kanonické proměnné $p'$, $q'$ lze pohlížet jako na původní proměnné,
které ale systém má v čase $t' = t + \tau$. To znamená, že fázový objem se s časem nemění.
$$\frac{d}{dt}\int d\Phi = 0$$
Toto tvrzení je obsahem \index{věta, Liouvillova}\emph{Liouvillovy věty o invariantnosti fázového objemu}, jejíž
důkaz najdete například v \emph{Teoretická fyzika, str. 153; Noga, Čulík: Termodynamika
a štatistická fyzika, str.14}, resp. \emph{Kvasnica: Statistická fyzika, str.24}.
\bigskip
Dále věnujme pozornost tomu, že při daných podmínkách se nevyskytují všechny mikrostavy
stejně často, respektive pravděpodobnost realizace určitých mikrostavů nemusí být stejná.
Pravděpodobnost daného mikrostavu je pak určena hustotou pravděpodobnosti $w(q,p,t)$.
%%% Pro SF vlastně ergodický teorém vůbec nepotřebujeme: vždy pracujeme pouze se souborovnými středními hodnotami. - V.P.
%Při měření teploty, energie, tlaku soustavy nebo jiné makroskopické veličiny $G$ měříme
%vlastně její střední časovou hodnotu:
%
%$$\left< G(t) \right> =\frac{1}{\tau}\integral{t}{t+\tau} G(t')d t'$$
%
%Střední hodnotu veličiny můžeme vyjádřit také pomocí hustoty pravděpodobnosti vztahem
%\footnote{tzv. \index{problém, ergodický} ergodický problém, není dokázaný, ale předpokládá se, že v určité formě platí, Kvasnica, str. 30}
%
%$$\left< G(t) \right> =\integral{\Phi}{}G(q,p)w(q,p,t)d\Phi$$
Při měření teploty, energie, tlaku soustavy nebo jiné makroskopické veličiny $G$ měříme
vlastně její střední hodnotu:
$$\left< G(t) \right> =\integral{\Phi}{}G(q,p)w(q,p,t)d\Phi$$
Uvědomte si, že $p,q$ zde vystupují jako integrační proměnné, pro nalezení střední hodnoty proto nepotřebujeme znát řešení pohybových rovnic.
\bigskip
Pokud rozdělovací funkce nezávisí explicitně na čase a tedy $\pderivx{
w}{ t} = 0$, mluvíme o~\index{funkce, rozdělovací, rovnovážná}\emph{rovnovážné rozdělovací funkci} a příslušný soubor nazveme \emph{stacionární soubor}. \index{soubor, stacionární}
Zaveďme novou funkci, tzv. \index{hustota, mikrostavů}\emph{hustotu mikrostavů} $\rho$ (v některé literatuře hustota
fázových bodů) vztahem:
$$\varrho(q,p,t)=\frac{\Delta M}{\Delta \Phi}$$
kde $\Delta M$ je počet mikrostavů našeho statistického souboru, které se vyskytnou v malinké oblasti fázového prostoru
o objemu $\Delta \Phi$ v časovém intervalu $(t, t+dt)$. Funkce je normovaná, takže platí
$$\integral{\Phi}{}\varrho(q,p,t)dq\:dp = M$$
tedy hustota počtu mikrostavů přes celý objem fázového prostoru je rovna celkovému počtu
mikrostavů v libovolném čase (resp. fázovému objemu ve spojitém případě).
Hustota mikrostavů v dané oblasti přirozeně závisí na pravděpodobnosti realizace
mikrostavů v této oblasti a je rovna této pravděpodobnosti násobené počtem mikrostavů:
$$\varrho(q,p,t) = M\,w(q,p,t)$$
Zkoumejme, jak závisí hustota mikrostavů v dané oblasti na čase. Při vývoji statistického souboru
jednotlivé mikrostavy ani nevznikají ani nezanikají proto musí být časový úbytek mikrostavů z oblasti fázového prostoru roven počtu mikrostavů, které \uv{protečou} za jednotku času přes plochu
$S$ ohraničující tento objem, tj. platí:
$$-M\integral{\Delta \Phi}{} \pderivx{\varrho}{t}d\Phi = M\oint\limits_{\partial \Delta \Phi}{} \varrho v \: d S$$
kde součin hustoty mikrostavů a zobecněné rychlosti ${\bf v} (\dot q ,\dot p )$ vyjadřuje tzv. \emph{proudovou hustotu mikrostavů}.
Pomocí Gaussovy věty a díky invariantnosti objemu fázového prostoru můžeme upravit vztah na:
$$-M\integral{\Delta \Phi}{}\pderivx{\varrho}{t}d\Phi = M \integral {\Delta \Phi}{} \mathop{\rm div}( \varrho {\bf v}) d\Phi$$
a dále na
$$\integral{\Delta\Phi}{}\left[ \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \mathop{\rm div}(\varrho {\bf v})\right]d\Phi=0$$
Integrál se rovná nule pro libovolnou oblast, proto musí být i integrand roven nule:
$$\frac{\partial \varrho}{\partial t} + \mathop{\rm div}(\rho {\bf v})=0$$
Získali jsme rovnici kontinuity pro hustotu mikrostavů. Divergence $\rho {\bf v}$ je rovna ${\bf v} \cdot \nabla \varrho + \varrho \cdot \nabla {\bf v}$:
$$\frac{\partial \varrho}{\partial t} + \suma{i}{}\left[\frac{\partial \varrho}{\partial q_i}
\dot{q_{i}}+\frac{\partial \varrho}{\partial p_i}\dot{p_{i}}\right] + \varrho \underbrace{\suma{i}{}
\left[\frac{\partial \dot{q_{i}}}{\partial q_i}+
\frac{\partial \dot{p_{i}}}{\partial p_i}\right]}_{ = 0}= 0$$
což plyne z pohybových rovnic a záměnnosti druhých derivací $H$. Tedy
$$
\pderivx{\varrho}{t} + \mathop{\rm div}(\varrho v) = \pderivx{\varrho}{t} +
\suma{i}{}\left[ \pderivx{\varrho}{q_i}\dot{q_i} + \pderivx{\varrho}{p_i}\dot{p_i} \right] =
\derivx{\varrho}{t} = 0
\label{LiouTeorem}
$$
Poslední rovnost se jmenuje \index{teorém, Liouville}\emph{Liouvilleův teorém} a říká, že úplná časová derivace hustoty mikrostavů je rovna nule. $\rho$ je tedy invariantem pohybových rovnic.
Následkem je značné omezení možnosti závislosti $\rho$ na proměnných $p,q,t$. Může na těchto proměnných záviset jen prostřednictvím funkcí $y_k = F_k(p,q,t)$, které jsou také integrály pohybu
$$\derivx{\rho}{t} = \sum_i \pderivx{\rho}{y_i}\derivx{F_i}{t} = 0$$
% Protože hustota pravděpodobnosti souvisí s $\varrho$ vztahem $\varrho(q,p,t) = M\,w(q,p,t)$,
% je možné vložit střední hodnoty veličin do funkce $w$
%
% $$w = w(\widehat{G_1}(p,q),\widehat{G_2}(p,q),...)$$
%
% a jelikož střední hodnota makroskopické veličiny je definovaná vztahem
%
% $$\left< G \right> (t)=\integral{\Phi}{}G(q,p) w(q,p,t)d\Phi \: ; \quad \frac{d w}{d t}=0$$
% \bigskip
%
% bude platit, že
%
% $$\frac{d\left< G \right> (t)}{d t}= \frac{d}{d t}\int G(q,p)w(q,p,t)d\Phi =
% \int G(q,p)\frac{d w(q,p,t)}{d t}d\Phi = 0$$
%
% a také střední hodnota této veličiny bude v čase neměnná.