02TSFA:Kapitola15: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Kvantověmechanický harmonický oscilátor} \index{oscilátor, harmonický, kvantově-mechanický} \label{kvantosc} Mějme kvantový harm...)
 
(drobné opravy, zjednodušení)
Řádka 8: Řádka 8:
 
   
 
   
 
   
 
   
$$E_n = \hbar\omega( n + \pul) = E_0 + n\hbar\omega$$
+
$$E_n = E_0 + n\hbar\omega=\hbar\omega\left( n + \pul\right) $$
 
   
 
   
 
\begin{center}
 
\begin{center}
Řádka 37: Řádka 37:
 
V našem případě jsou mikrostavy indexovány kvantovým číslem $n$, tedy
 
V našem případě jsou mikrostavy indexovány kvantovým číslem $n$, tedy
 
   
 
   
$$Z_C = \suma{n=1}{\infty}\exp(-\beta E_n) = \suma{n=1}{\infty}\exp(-\beta E_0)\exp(-\beta n\hbar \omega ) =  $$
+
$$Z_C = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_n) = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_0)\exp(-\beta n\hbar \omega ) =  $$
 
$$ = \exp(-\beta E_0)\suma{n=1}{\infty}\left( \exp(-\beta \hbar \omega) \right) ^n $$
 
$$ = \exp(-\beta E_0)\suma{n=1}{\infty}\left( \exp(-\beta \hbar \omega) \right) ^n $$
 
   
 
   
Řádka 47: Řádka 47:
 
Odtud získáme střední hodnotu energie podle vzorce
 
Odtud získáme střední hodnotu energie podle vzorce
 
   
 
   
$$U = \left<E\right> = -\pderivx{\ln Z_C}{\beta} = -\frac{1}{Z_C} \pderivx{Z_C}{\beta} =$$
+
$$U = \left<E\right> = -\pderivx{\ln Z_C}{\beta} = E_0 +\frac{\exp(-\osci) \hbar \omega }{1 - \exp(-\osci)}$$
$$= \frac{1 - \exp{-\osci}}{\exp(-\beta E_0)} \cdot \frac{E_0 \exp(-\beta E_0) (1 - \exp(-\osci)) + \exp(-\beta E_0) . \hbar \omega \exp(-\osci)}{(1 - \exp(-\osci))^2} =$$
+
$$= \frac{E_0 (1 - \exp(-\osci)) + \hbar \omega \exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)} = E_0 + \hbar \omega \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)}$$
+
 
   
 
   
 
   
 
   
Řádka 58: Řádka 56:
 
U klasického harmonického oscilátoru, který má hamiltonián
 
U klasického harmonického oscilátoru, který má hamiltonián
 
   
 
   
$$H = \pul m \dot{x} ^2 + \pul m \omega x^2$$
+
$$H = \pul m \dot{x} ^2 + \pul m \omega^2 x^2$$
 
   
 
   
 
by tedy mělo být $U = kT$. Zde ale pracujeme s kvantovým harmonickým oscilátorem, který by měl přejít
 
by tedy mělo být $U = kT$. Zde ale pracujeme s kvantovým harmonickým oscilátorem, který by měl přejít
ke klasickému modelu při $\hbar \to 0$. Ovšem bude-li $\osci \ll 1$, pak se výraz zredukuje na
+
ke klasickému modelu při $\hbar \to 0$ (nebo pro $T \to \infty$). Ovšem bude-li $\osci \ll 1$, pak se výraz zredukuje na
 
   
 
   
 
$$U \quad = \quad E_0 \quad + \quad \hbar \omega  \frac{\exp(-\osci)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow \quad  
 
$$U \quad = \quad E_0 \quad + \quad \hbar \omega  \frac{\exp(-\osci)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow \quad  
Řádka 96: Řádka 94:
 
\bigskip
 
\bigskip
 
   
 
   
Podívejme se ještě na jeden podobný \index{příklad}příklad. Mějme částice s nenulovým spinem  
+
Podívejme se ještě na jeden podobný příklad. Mějme částice s nenulovým spinem  
 
(které můžeme považovat za elementární magnetky) uspořádané na přímce tak,  
 
(které můžeme považovat za elementární magnetky) uspořádané na přímce tak,  
 
aby se navzájem nemohly svými slabými magnetickými poli ovlivňovat. Celou  
 
aby se navzájem nemohly svými slabými magnetickými poli ovlivňovat. Celou  
Řádka 104: Řádka 102:
 
   
 
   
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics{spins.pdf}
+
\includegraphics{Spins.pdf}
 
\end{center}
 
\end{center}
 
   
 
   
Každá částice může mít energii $\pm m H$, kde m je její mg. moment. Protože jsou pro každou  
+
Každá částice může mít energii $\pm m H$, kde $m$ je její mg. moment. Protože jsou pro každou  
 
z nich možné jen dva stavy ($\uparrow$ a $\downarrow$ resp. $-$ a $+$, opačně než je energie),  
 
z nich možné jen dva stavy ($\uparrow$ a $\downarrow$ resp. $-$ a $+$, opačně než je energie),  
 
bude jednočásticová partiční funkce
 
bude jednočásticová partiční funkce
Řádka 119: Řádka 117:
 
Střední energie:
 
Střední energie:
 
   
 
   
$$U = N\suma{\gamma}{} w_\gamma E_\gamma = N \suma{n=1}{2}\frac{1}{Z}\exp(- \beta m_n H)m_n H  
+
$$U = N\suma{\gamma}{} w_\gamma E_\gamma = N \suma{n=1}{2}\frac{1}{Z}\exp( \beta m_n H)m_n H  
 
= - N m H \tanh(-\beta m H )$$
 
= - N m H \tanh(-\beta m H )$$
+
a nebo jsme mohli použít vzorec $U = \pderivx{}{\beta}\ln Z_N$ . Celkový moment magnetizace pak bude  
Celkový moment magnetizace pak bude  
+
 
   
 
   
 
$$M = N\left<m\right>  = N \suma{\gamma}{}w_\gamma m_\gamma  
 
$$M = N\left<m\right>  = N \suma{\gamma}{}w_\gamma m_\gamma  
 
   \underbrace{=}_{\gamma \in \{-1, +1\}}  
 
   \underbrace{=}_{\gamma \in \{-1, +1\}}  
 
   N\left( m \frac{\exp(-\beta m H)}{Z} - m\frac{\exp(\beta m H)}{Z} \right) =$$
 
   N\left( m \frac{\exp(-\beta m H)}{Z} - m\frac{\exp(\beta m H)}{Z} \right) =$$
$$ = - N m \tanh(-\beta mH ) $$
+
$$ = - N m \tanh(\beta mH ) $$
 
   
 
   
 
   
 
   
 
Pro $\beta \rightarrow 0$ jsou $w(\uparrow) = w (\downarrow) = \pul$  
 
Pro $\beta \rightarrow 0$ jsou $w(\uparrow) = w (\downarrow) = \pul$  
a pro $\beta \rightarrow \infty$  jsou $ w(\uparrow) = 0$, $w(\downarrow) = 1$.
+
a pro $\beta \rightarrow \infty$  jsou $ w(\uparrow) = 1$, $w(\downarrow) = 0$.
 
Kdybychom otočili polaritu $H$, $\beta$ se nahradí $-\beta$ a pravděpodobnosti
 
Kdybychom otočili polaritu $H$, $\beta$ se nahradí $-\beta$ a pravděpodobnosti
 
se prohodí.  
 
se prohodí.  
 
   
 
   
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics{spins2.pdf}
+
\includegraphics{Spins2.pdf}
 
\end{center}
 
\end{center}
 
   
 
   
Řádka 148: Řádka 145:
 
   
 
   
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics{spins3.pdf}
+
\includegraphics{Spins3.pdf}
 
\end{center}
 
\end{center}
 
   
 
   
 
Ještě entropie:
 
Ještě entropie:
 
   
 
   
$$F = - k T \ln Z \qquad \qquad S = - \termderiv{F}{T}{V,N}$$
+
 
\medskip
+
$$S = k(\ln Z_N +\beta U)=  kN\left[ \ln \zeta - \tanh (\beta mH) \beta m H \right]$$  
$$S = k T N \frac{1}{Z}\termderiv{\zeta}{T}{V,N} + k N \ln Z =
+
kN \left[ T \frac{1}{Z}\pderivx{Z}{T} + \ln Z \right] = $$
+
   
+
$$= kN\left[ -T \frac{1}{\cosh(\beta m H)}
+
    \sinh(\beta mH) \frac{mH}{kT^2}  + \ln Z \right]=
+
  kN\left[ \ln Z - \tanh (\beta mH) \beta m H \right]$$  
+
 
   
 
   
 
\bigskip
 
\bigskip
 
   
 
   
a tepelná kapacita
+
1.PT v tomto systému má tvar
+
$$\eth Q = dU +\eth W =dU +MdH$$
$$C_H = T\termderiv{S}{T}{H} = \dots
+
 
= kN \frac{ (\beta m H )^2}{ \cosh^2( \beta m H) }$$
+
tudíž můžeme jednoduše spočíst tepelnou kapacitu při konstantním $H$
 +
 
 +
$$C_H = \termderiv{U}{T}{H} = \termderiv{U}{\beta}{H}k\beta^2= kN \frac{ (\beta m H )^2}{ \cosh^2( \beta m H) }$$
 
\bigskip
 
\bigskip
 
   
 
   
Řádka 175: Řádka 168:
 
   
 
   
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics{spins4.pdf}
+
\includegraphics{Spins4.pdf}
 
\end{center}
 
\end{center}
 
\bigskip
 
\bigskip

Verze z 7. 9. 2010, 13:37

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKunzmart 12. 7. 202101:40 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályKunzmart 12. 7. 202104:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Kvantověmechanický harmonický oscilátor}
\index{oscilátor, harmonický, kvantově-mechanický}
\label{kvantosc}
 
Mějme kvantový harmonický oscilátor s frekvencí $\omega$. Jeho energetické 
stavy jsou určeny kvantovým číslem, a to následujícím způsobem:
 
 
$$E_n = E_0 + n\hbar\omega=\hbar\omega\left( n + \pul\right) $$
 
\begin{center}
\includegraphics{Oscpot.pdf}
\end{center}
 
Nechme oscilátor v rovnováze s okolím a spočítejme partiční funkci, 
vnitřní energii (tj. střední energii), entropii a partiční funkci
pro $N$ nezávislých oscilátorů.
 
\bigskip
 
Platí:
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z_C} \exp( -\beta E_\gamma) \qquad Z_C = \suma{\gamma}{} \exp( -\beta E_\gamma)$$
 
%%% WTF? - V.P.
%Harmonický oscilátor (je-li v rovnováze s okolím) není ustálen na konstantní energetické 
%hladině, ale různě je střídá. To, jak dlouho na které setrvá, nám pak dává střední časovou 
%hodnotu jeho vnitřní energie. Chceme-li se vyhnout práci s časem, můžeme si představit, 
%že každý energetický stav je jakýsi \uv{šuplík}, do kterého vkládáme myšlené částice. Jejich 
%počet je  úměrný tomu, jak dlouho se oscilátor na této energetické hladině zdrží (v nějaké 
%časové jednotce). Tento systém tedy můžeme popsat i grandkanonickým souborem, ale protože 
%by stejně vyšel chemický potenciál nulový ($\mu = 0$) a protože energetické hladiny jsou 
%ekvidistantní a vztah mezi počtem našich myšlených částic a energií oscilátoru je jednoznačný, 
%vystačíme si i s kanonickým souborem.
 
V našem případě jsou mikrostavy indexovány kvantovým číslem $n$, tedy
 
$$Z_C = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_n) = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_0)\exp(-\beta n\hbar \omega ) =  $$
$$ = \exp(-\beta E_0)\suma{n=1}{\infty}\left( \exp(-\beta \hbar \omega) \right) ^n $$
 
Poslední člen je zjevně geometrická řada s kvocientem $\exp(-\osci) < 1 $ a lze ji snadno sečíst:
 
$$Z_C = \exp(-\beta E_0)\frac{1}{1 - \exp(-\osci)} = \frac{\exp(-\beta E_0)}
 {1 - \exp(-\osci)}$$
 
Odtud získáme střední hodnotu energie podle vzorce
 
$$U = \left<E\right> = -\pderivx{\ln Z_C}{\beta} = E_0 +\frac{\exp(-\osci) \hbar \omega }{1 - \exp(-\osci)}$$
 
 
\bigskip
 
Náš výsledek je ale poněkud podezřelý --- ekvipartiční teorém přeci říká, že na každý stupeň volnosti
zastoupený v hamiltoniánu ve druhé mocnině připadne $\pul kT$ energie.
U klasického harmonického oscilátoru, který má hamiltonián
 
$$H = \pul m \dot{x} ^2 + \pul m \omega^2 x^2$$
 
by tedy mělo být $U = kT$. Zde ale pracujeme s kvantovým harmonickým oscilátorem, který by měl přejít
ke klasickému modelu při $\hbar \to 0$  (nebo pro $T \to \infty$). Ovšem bude-li $\osci \ll 1$, pak se výraz zredukuje na
 
$$U \quad = \quad E_0 \quad + \quad \hbar \omega   \frac{\exp(-\osci)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow \quad 
 E_0 \quad + \quad \hbar \omega  \frac{e^0}{1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow $$
$$ \longrightarrow \quad E_0 \quad + \quad \frac{\hbar \omega  }{1 - 1 + \osci} \quad = \quad  E_0 + \frac{1}{\beta} \quad = 
   \quad E_0 \quad +\quad  kT $$
 
\bigskip
 
Takže to vlastně sedí. V běžném pozorování jednoho oscilátoru zjistíme energetické hladiny jako kontinuum, neboť
konstanta $\hbar$ je nesmírně malá a tedy $\osci \rightarrow 0$.
 
Jaká je entropie? Dle vzorce z kapitoly \ref{kansoub} ji spočteme takto:
 
$$S = k_B\left( \ln Z_C + \beta U \right) = k_B\left( \ln \frac{\exp(-\beta E_0)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad +\beta E_0+ \quad 
    \osci \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)} \right) \quad =$$
$$= k_B\left( - \ln\left( 1 - \exp(-\osci) \right) + \osci \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)}\right)$$
 
\bigskip
 
Je ale možné vycházet i z termodynamického vzorce
 
$$F = - k T \ln Z_C = U - TS$$
 
\bigskip
 
Jelikož $U$ již máme vypočtenu, stačí prostě dosadit. Je hodné pozornosti,
že entropie již nezávisí na $E_0$ \index{energie, nulových kmitů}(energii nulových kmitů).
 
Partiční funkci $N$ nezávislých oscilátorů již samozřejmě spočítáme snadno:
 
$$Z_N = (Z)^N$$
 
\bigskip
 
Podívejme se ještě na jeden podobný příklad. Mějme částice s nenulovým spinem 
(které můžeme považovat za elementární magnetky) uspořádané na přímce tak, 
aby se navzájem nemohly svými slabými magnetickými poli ovlivňovat. Celou 
přímku pak umístěme do silného vnějšího pole $H$. Určeme partiční funkci,
střední hodnotu energie systému, celkovou magnetizaci, entropii a tepelnou 
kapacitu za konstantního vnějšího pole $C_H$.
 
\begin{center}
\includegraphics{Spins.pdf}
\end{center}
 
Každá částice může mít energii $\pm m H$, kde $m$ je její mg. moment. Protože jsou pro každou 
z nich možné jen dva stavy ($\uparrow$ a $\downarrow$ resp. $-$ a $+$, opačně než je energie), 
bude jednočásticová partiční funkce
 
$$\zeta = \exp(\beta m H) + \exp(- \beta m H) = 2 \cosh (\beta m H)$$
 
Částice jsou nezávislé, celková partiční funkce je tedy
 
$$Z_N = \zeta^{N} = 2^{N} \cosh ^{N} (\beta m H)$$
 
Střední energie:
 
$$U = N\suma{\gamma}{} w_\gamma E_\gamma = N \suma{n=1}{2}\frac{1}{Z}\exp( \beta m_n H)m_n H 
= - N m H \tanh(-\beta m H )$$
a nebo jsme mohli použít vzorec $U = \pderivx{}{\beta}\ln Z_N$ . Celkový moment magnetizace pak bude 
 
$$M = N\left<m\right>  = N \suma{\gamma}{}w_\gamma m_\gamma 
  \underbrace{=}_{\gamma \in \{-1, +1\}} 
  N\left( m \frac{\exp(-\beta m H)}{Z} - m\frac{\exp(\beta m H)}{Z} \right) =$$
$$ = - N m \tanh(\beta mH ) $$
 
 
Pro $\beta \rightarrow 0$ jsou $w(\uparrow) = w (\downarrow) = \pul$ 
a pro $\beta \rightarrow \infty$  jsou $ w(\uparrow) = 1$, $w(\downarrow) = 0$.
Kdybychom otočili polaritu $H$, $\beta$ se nahradí $-\beta$ a pravděpodobnosti
se prohodí. 
 
\begin{center}
\includegraphics{Spins2.pdf}
\end{center}
 
Je-li parametr $\beta$ definován jako $\beta = 1/kT$, pak tento 
systém může mít zavedenu zápornou teplotu. Je tomu tak proto, že
jde-li teplota k nule ($T \rightarrow 0_+$), sedá si systém do stavů s nižšími energiemi. Extrém je takový, že všechny částice mají energii
$-mH$ a minimální energie celého systému je tedy $-NmH$. Pro 
$T \rightarrow \infty$ se ovšem $U$ blíží k nule. Jak tedy dosáhnout toho,
aby systém měl energie kladné, v~extrémním případě $+NmH$? Zavedením
záporné teploty:
 
\begin{center}
\includegraphics{Spins3.pdf}
\end{center}
 
Ještě entropie:
 
 
$$S = k(\ln Z_N +\beta U)=  kN\left[ \ln \zeta - \tanh (\beta mH) \beta m H \right]$$ 
 
\bigskip
 
1.PT v tomto systému má tvar
$$\eth Q = dU +\eth W =dU +MdH$$
 
tudíž můžeme jednoduše spočíst tepelnou kapacitu při konstantním $H$ 
 
$$C_H = \termderiv{U}{T}{H} = \termderiv{U}{\beta}{H}k\beta^2=  kN \frac{ (\beta m H )^2}{ \cosh^2( \beta m H) }$$
\bigskip
 
Povšimněme si, že pro jednu zvolenou hodnotu entropie máme dvě přípustné
hodnoty vnitřní energie --- závisí to na tom, v jaké teplotě (kladné či
záporné) se systém nachází:
 
\begin{center}
\includegraphics{Spins4.pdf}
\end{center}
\bigskip