Součásti dokumentu 02TSFA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa}
\index{plyn, fotonový}
\index{záření, absolutně černého tělesa}
Budiž naším sledovaným systémem dutina v nějakém neprůhledném materiálu (model absolutně
černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů,
které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy
bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou.
Střední počet fotonů s frekvencí v intervalu $\omega, \omega +d\omega$ je dán takto
$$dN_\omega = N_\omega d\Gamma_\omega$$
Rozdělení $N_\omega$ získáme dosazením za energii do BE statistiky
$$N_\omega = \frac{1}{\exp(\beta(\hbar\omega -\mu))-1}$$
Abychom určili $\mu$ potřebovali bychom znát střední počet fotonů. Ten je ale dán danými podmínkami, teplotou $T$ a objemem nádoby $V$. Proto určíme $\mu$ z podmínek rovnováhy
$$ 0 =(dF)_{T,V} = \mu dN $$
a proto je $\mu = 0$. Váhový faktor $d\Gamma_\omega$ určíme následujícím způsobem. Pro vlnový vektor $\bf k$ platí
$$k_x = \frac{2\pi n_1}{L_x}\qquad k_y = \frac{2\pi n_2}{L_y}\qquad k_z = \frac{2\pi n_3}{L_z}$$
kde $L_x,L_y,L_z$ jsou strany kvádru ve kterém je záření uzavřeno a $n_i$ jsou přirozená čísla.
Bude-li vlnová délka záření mnohem menší než rozměr kvádru, budou se blízké hodnoty $\bf k$ lišit jen nepatrně a můžeme nalézt počet $\Delta M$ těchto vektorů v intervalu $\Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z $. Jejich počet je
$$\Delta M = \Delta n_1 \Delta n_2\Delta n_3 $$
dosadíme ze $\Delta n_i$
$$\Delta M = \frac1{(2\pi)^3}L_xL_yL_z \Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z = \frac{V}{(2\pi)^3}d^3\bf k$$
Při daném vektoru $\bf k$ existují dvě polarizace, počet kvantových stavů (váhový faktor) $d\Gamma({\bf k}) = 2\Delta M$. Dále provedeme integraci přes úhly%a neměla by tam vyskočit 1/8? n_i jsou kladné
, dosadíme za $k = \frac{\omega}{c}$ a vyjde
$$d\Gamma_\omega = \frac{V\omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$
dosadíme do $dN_\omega$
$$dN_\omega = \frac{1}{\exp(\beta h\omega)-1} \frac{V \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$
Hustotu energie $u(\omega,T)$ ve frekvenčním intervalu získáme tak, že vezmeme střední počet fotonů v intervalu $d\omega$, vynásobíme je jejich energií $\hbar \omega$ a vydělíme objemem.
$$u(\omega,T)d\omega = \frac{ \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1} $$
To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé
výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci
$\omega= 2\pi c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\omega$ }.
$$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$
a vyřešíme rovnici
$$\derivx{u( \lambda )}{\lambda} = 0$$
\bigskip
Po zderivování dostaneme
$$ { \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$$
což jde zjednodušit na
$${hc\over\lambda kT }{e^{h c/\lambda kT}\over e^{h c/\lambda kT} -1}-5=0$$
když si navíc zadefinujeme
$$ x\equiv{hc\over\lambda kT } $$
pak se rovnice výše jednodušší na
$${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$
Tato transcendentní rovnice má numerické řešení rovno $x \,\dot{=}\, 4,9651 $.
Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$
$$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} \,\dot{=}\, {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$
To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření
absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším
vlnovým délkám (větším frekvencím). Pokud bychom na začátku neprovedli substituci a spočetli přímo $\nu_{max}$, dospěli bychom k hodnotě
$$\nu_{max} \,\dot{=}\, T\cdot 5,879\cdot 10^{10} \text{\,Hz $\cdot$ K$^{-1}$}$$
Stojí za povšimnutí, že $\nu_{max}\lambda_{max} \,\dot{=}\, 0.568c \neq c$. Tento fakt byl skutečně experimentálně potvrzen.
Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny:
$$u = \integral{0}{\infty}u( \omega) d \omega = \frac{ \hbar}{\pi^2c^3}\integral{0}{\infty}
\frac{\omega^3 d\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1}$$
\bigskip
Provedeme-li substituci, dostáváme
$$u = \frac{ \hbar}{\pi^2 c^3}\frac{(kT)^4}{\hbar^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$
\bigskip
kde všechno až na $T^4$ je konstantní a tedy
$$u(T) = \sigma T^4$$
\bigskip
což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův
zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je
$$\sigma = \frac{\pi^2k^4}{15\hbar^3c^3}\,\dot{=}\, 7,561 . 10^{-16} Jm^{-3} K^{-4}$$
\bigskip
Spočteme emisní intenzitu vyzařování temného tělesa. Je-li záření v rovnováze, potom je intenzita dopadajícího záření $I_i$ rovna intenzitě vyzařovaného záření $I_e$. Za jednotku času u prostorového úhlu $d\Omega$ pod úhlem $\theta$ k normále na jednotkovou plochu stěny dopadá energie
$$I_i(\omega, T, \Omega)d\omega d\Omega = \frac{c}{4\pi}u(\omega,T)\cos \theta d\omega d\Omega $$
$4\pi$ je tam proto, že záření v dutině je ve všech směrech stejné (izotropní) a $\cos\theta$ odpovídá tomu, že čím je větší odklon zdroje od kolmice, tím menší jednotkovou plošku stěny \uv{vidí}. Celkovou dopadající intenzitu $I_e$ získáme prostě tak že tento vztah vyintegrujeme přes horní polosféru (světlo může na objekt dopadat jen zvenku) a přes všechny frekvence
$$I_i = I_e = \integral{0}{\infty}d\omega\integral{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta\integral{0}{2\pi}\sin(\theta)d\phi \frac{c}{4\pi} u(\omega,T)\cos\theta = \frac14 c\sigma T^4$$
Stefanova konstanta se z praktických důvodů zavádí takto
$$\sigma' = \frac14 c\sigma = \frac{\pi^2k^4}{60\hbar^3c^2} = 5,67\cdot 10^{-8}\text{Wm$^{-2}$K$^{-4}$}$$
\bigskip
\begin{remark}
Pro tlak záření platí
$$p(T) = \frac{u(T)}{3}$$
\bigskip
na rozdíl od běžných plynů, jejichž tlak je $p = \frac{2}{3}\frac{U}{V}$. To je
dáno tím, že fotonový plyn je relativistický a neplatí pro něj vztah mezi kinetickou
energií a hybností $E_k = p^2/2m$.
\end{remark}
Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP, jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn.
Vyjdeme z předpokladu $u(T) = \frac{U(T)}{V} = \frac{C_{V}T}{V}$.
\begin{eqnarray*}
0 = \eth Q &=& dU + p dV\\
dU &=& -p dV\\
C_{V}dT &=& - \frac{1}{3} \frac{C_{V}T}{V} dV\\
-3\frac{dT}{T} &=& \frac{dV}{V}\\
\ln T^{-3} + \ln K &=& \ln V\\
VT^{3} &=& K
\end{eqnarray*}
Tímto modelem můžeme částečně zdůvodnit ochlazování vesmíru za několika předpokladů:
\begin{itemize}
\item Vesmír je adiabaticky izolovaný. To je téměr filozofický fundamentální předpoklad.
\item Většinu vesmíru můžeme aproximovat fotonovým plynem. Vzhledem k tomu, že ve vesmíru dohromady skoro nic není, to je celkem dobrá aproximace.
\item Vesmír se rozpíná (což je pozorováno i experimentálně).
\item Termalizace plynu probíhá mnohem rychleji než rozpínání (aby naše kvazistacké výpočty měly smysl), což nemusí být pravda v pozdějších fázích vývoje vesmíru.
\end{itemize}
