Součásti dokumentu 02TSFA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Statistická rozdělení soustavy volných částic}
\label{chap:StatRoz}
Mějme soustavu částic. Podle jejich vlastností je lze rozdělit do tří
skupin:
\begin{enumerate}
\item Rozlišitelné částice s libovolným spinem
(resp. nekvantové částice). Toto jsou například molekuly ideálního plynu.
\item Nerozlišitelné částice s celočíselným spinem, které se neřídí \index{princip, Pauliho, vylučovací}Pauliho
vylučovacím principem (\index{boson}bosony). Například fotony.
\item Nerozlišitelné částice s poločíselným spinem, které se naopak
\index{princip, Pauliho, vylučovací}Pauliho vylučovacím principem řídí (\index{fermion}fermiony). Například elektrony.
\end{enumerate}
Podívejme se nyní, jakými rozděleními se jednotlivé částice řídí.
\subsection{Maxwell--Boltzmannovo rozdělení}
\index{rozdělení, Maxwell-Boltzmannovo}
Mějme systém částic typu (1), tj nějaký klasický plyn. Předpokládejme
nejprve, že má diskrétní energetické stavy, označené indexem $i$. Každý
stav je charakterizován energií $\varepsilon_i$. Počet částic, které se
nacházejí v daném energetickém stavu, tzv. \index{číslo, obsazovací}\emph{obsazovací číslo},
označme $n_i$. Nalezněme nyní partiční funkci takového plynu.
\bigskip
Partiční funkce je suma přes všechny stavy CELÉHO systému.
Jeden stav systému (označme jej indexem $\gamma$),
je dán rozložením jednotlivých částic po energetických stavech $i$.
Toto rozložení je popsáno čísly $n_i$. Tak třeba pro stav $i=1$
je $\varepsilon_1 = 0$ a je v něm 5 molekul, tj. $n_1 = 5$.
Pro $i = 2$ je $\varepsilon_2 = 1$ a $n_2 = 0$, není v něm žádná
molekula. Pro $i = 3$ je $\varepsilon_3 = 15$ a $n_3=154$ a tak dále.
Stav takto popsaný je potom charakterizován celkovou energií
$$E = \suma{i}{}n_i \varepsilon _i$$
Každá sada čísel $n_i$ popisuje nějaký velký stav $\gamma$,
označme si proto obsazovací čísla ještě horním indexem:
\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}[p]{rcl}
$n_i ^{(\gamma)}$ & ...... & počet molekul v jednočásticovém
energetickém stavu $i$, \\
& & nachází-li se systém ve velkém stavu $\gamma$ \\
$E_\gamma$ & ...... & energie jednoho velkého stavu \\
$g_\gamma$ & ...... & degenerace jednoho velkého stavu
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip
Číslo $g_\gamma$ udává, kolik různých konfigurací molekul
$n_i ^{(\gamma)}$ je určeno velkým stavem $\gamma$. Částice jsou rozlišitelné,
proto má smysl mluvit o tom, že dvě zaměníme. Ovšem uvážíme-li dvě částice,
které jsou na různých hladinách $\varepsilon_i$ a zaměníme je, stále máme
ten samý velký stav $\gamma$. A samozřejmě nemůže záležet na pořadí molekul,
které jsou na TÉ SAMÉ energetické hladině. To nám ovšem umožňuje jednoduchou
kombinatorickou úvahou určit $g_\gamma$:
$$g_\gamma = \frac{N!}{n_1^{(\gamma)}! \cdot n_2^{(\gamma)}! \cdot n_3^{(\gamma)}! \dots}$$
\bigskip
Nyní už můžeme psát partiční funkci:
$$Z = \suma{\gamma}{} g_\gamma \exp\left( -\frac{1}{kT}
\suma{i}{}n_i ^{(\gamma)} \varepsilon _i\right)$$
\bigskip
Označme si $x_i = \exp\left(-\frac{\varepsilon_i}{kT}\right)$. Potom
$$Z = \suma{\gamma}{} \frac{N!}{n_1^{(\gamma)}! \cdot n_2^{(\gamma)}! \cdot n_3^{(\gamma)}! \dots}
x_1^{n_1 ^{(\gamma)}} \cdot x_2^{n_2 ^{(\gamma)}} \cdot x_3^{n_3 ^{(\gamma)}} \dots$$
\bigskip
V tomto zápisu ovšem zkušené oko počtářovo rozezná binomický rozvoj (multinomické rozdělení\index{rozdělení, multinomické}), neboť
celkový počet částic systému lze napsat pro lib. $\gamma$ jako
$$N = \suma{i}{} n_i ^{(\gamma)}$$
% Méně zkušené oko počtářovo: (w)
Nezkušené oko nechť spočine na straně 77 v \emph{Čulík, Noga: Úvod do štatistickej fyziky a termodynamiky}, nebo do \cite{mast}:
$$\left( \suma{s=1}{p} x_s \right)^N = N! \suma{\{n_s\}}{}\prod_{s=1}^{r} \frac{\left(x_s\right)^{n_s}}{n_s !}$$
Sčítá se přes všechny kombinace celých nezáporných čísel splňujících podmínku \mbox{$\suma{s=1}{p} n_s = N$}.
% EOC
Pak ovšem
$$Z = ( x_1 + x_2 + x_3 + \dots)^N =
\left( \suma{i}{} \exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right) \right)^N =
\zeta ^N$$
\bigskip
kde $\zeta$ je jednočásticová partiční funkce. Rozdělovací funkce je tedy potom
$$w_\gamma = \frac{ \exp\left(-\frac{1}{kT}\suma{i}{}n_i^{(\gamma)}\varepsilon _i\right) }
{\left( \suma{i}{} \exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right) \right)^N}
= \left[ \frac{ \exp\left( - \frac{E_\gamma}{NkT} \right) }
{ \suma{i}{}\exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right)} \right] ^N
= \frac{1}{Z} \exp\left(-\frac{E_\gamma}{kT}\right)$$
\bigskip
Což lze slušněji zapsat
$$w _\gamma = \text{konst} \cdot e^{-\frac{E_\gamma}{kT}},$$
\bigskip
kde $E_\gamma$ je energie stavů celého systému. Bohužel z takto odvozené rozdělovací
funkce získáme chybné výsledky. Spočítáme-li totiž entropii podle tohoto rozdělení,
dostaneme se ke Gibbsovu paradoxu -- entropie nebude aditivní.
\subsection{Korigované Maxwell--Boltzmannovo rozdělení}
\index{rozdělení, Maxwell-Boltzmannovo korigované}
Chyba tkvěla patrně v tom, že v reálném světě dost dobře nemůžeme částice rozlišit, a tedy
prohozením dvou částic nevznikne nový mikrostav s tou samou energií, nýbrž je to stále
ten samý. To by pak znamenalo, že $g_\gamma = 1$ pro libovolné $\gamma$. Takovou sumu
bychom ale neuměli vyčíslit. Uděláme to tedy jinak.
Předpokládejme, že máme řídký plyn a dostatečně vysoké teploty. Potom můžeme přibližně
říct, že na každé energetické hladině leží nejvýše jedna částice (resp. takové mikrostavy
budou nejpravděpodobnější). To znamená, že každé obsazovací číslo $n_i^{(\gamma)}$ je rovno
buď jedné nebo nule a jeho faktoriál je vždy roven jedné. Potom
$$g _\gamma = \frac{N!}{1! \cdot 0! \cdot 1! \dots} = N!.$$
\bigskip
To znamená, že v předchozím výpočtu jsme sumu nadhodnotili o $N!$, a kanonická partiční fce
tedy bude
$$Z_C = \frac{1}{N!}(\zeta)^N = \frac{1}{N!}\left( \suma{i}{}\exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right)\right)^N,$$
\bigskip
kde $\zeta$ značí jednočásticovou partiční funkci. Také je třeba vzít v úvahu, že počet částic
v plynu není konstantní. Popíšeme jej proto grandkanonickým souborem. (Děláme to hlavně proto, že kanonickou partiční sumu nejsme schopni sečíst. Vzhledem k termodynamické limitě viz \ref{chap:EkvivSouboru} se nedopustíme velké chyby) Zapišme grandkanonickou
partiční funkci:
$$Z_{G(MB)} = \suma{N_j=0}{\infty}\exp\left(\frac{\mu}{kT}N_j\right)Z_C( N_j ) =
\suma{N_j=0}{\infty}\frac{1}{N_j!}\left( \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)\zeta \right) ^{N_j}$$
\bigskip
To je ovšem Taylorův rozvoj pro exponenciálu a tedy
$$Z_{G(MB)} = \exp \left( e^{\frac{\mu}{kT}} \suma{i}{}e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}} \right)=
\produkt{i}{} \exp \left( e^{\frac{\mu - \varepsilon _i }{kT}} \right)$$
\bigskip
Sestavme si nyní termodynamiku systému. Začněme velkým potenciálem:
$$\Omega _{MB} = -pV = -kT \ln Z_{G(MB)} = -kT \suma{i}{}\exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)$$
\bigskip
$$N = - \termderiv{\Omega_{MB}}{\mu}{T,V} = \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)
\suma{i}{}\exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right) = \suma{i}{}\exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)$$
\bigskip
Index $i$ probíhá přes všechny energetické hladiny. Nejspíše jste si všimli, že zde má $\mu$ trochu jiný význam než v kapitolách s termodynamikou, kdy jsme derivací $\Omega$ podle $\mu$ získali mínus střední počet molů. Ve statistické fyzice se používá tato definice $\mu$ tak na to nezapomeňte. Celkový střední počet částic $N$ je ale
samozřejmě roven součtu všech částic na všech energetických hladinách a proto výraz za
sumou je vlastně rozdělovací funkce počtu částic na jednotlivých hladinách, tj. obsazovací čísla.
Tedy
$$n_i = \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right) = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon _i - \mu}{kT}\right)}$$
\bigskip
Poslední výraz slouží ke srovnání s přesnými statistikami (Bose-Einstein, Fermi-Dirac). Nezapomeňte, že jsme předpokládali $n_i \ll 1$ pro všechny energetické hladiny. Proto musí být chemický potenciál záporný.
Střední energie systému je tedy
$$U = \suma{i}{}n_i \varepsilon _i = \suma{i}{}\varepsilon _i \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon_i}{kT}\right)$$
\bigskip
Dále si uvědomme, že součet všech $n_i$ musí dát celkový počet částic. Z toho plyne, že
$$N = \suma{i}{}n_i = \suma{i}{}\exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right) =
\exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)\suma{i}{}\exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right) = \zeta \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)$$
\bigskip
Zde tedy máme vztah mezi celkovým počtem částic, chemickým potenciálem a jednočásticovou partiční
funkcí:
$$N = \zeta \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)$$
\bigskip
Povšimněte si, že $\mu$ skutečně není konstantní a je funkcí $T$ a $N$.
Podívejme se nyní na klasický spojitý případ. Víme, že energie a hybnost klasické částice
je určena jako $\varepsilon = \frac{p^2}{2m}$. Položme tedy energetický stav částice
ekvivalentní tomu, že velikost její hybnosti leží v intervalu $(p, p + dp)$. Z diskrétního
rozdělení $n_i$ ale teď musíme udělat spojitou rozdělovací funkci! Zajímá nás pouze velikost
hybnosti, nikoliv poloha ani konkrétní směr hybnosti. To znamená, že musíme prointegrovat
přes $dx \: dy \: dz$ a přes všechny hybnosti stejných délek. Ty tvoří sféru o poloměru
$|p|$, užijeme tedy sférické transformace:
$$dp_x \: dp_y \: dp_z = 4\pi p^2 dp$$
\bigskip
\noindent kde konstanta $4 \pi$ vyšla z integrace rotačního a precesního úhlu (tj. po celé sféře).
Integrace přes prostorové souřadnice dává objem. Z toho plyne, že
$$n(p) dp = \frac{4 \pi V p^2 \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)\exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right)}{h^3} dp$$
\bigskip
Faktor $\frac{1}{h^3}$ souvisí s kvantovými principy neurčitosti a nyní jej prostě budeme
brát jako fakt. Zbavme se nyní výrazu $\exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)$. Užijeme normovací podmínku
$$N = \integral{0}{\infty}n(p) dp$$
\bigskip
a vyčísleme jej:
$$N = \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)\frac{4 \pi V}{h^3}\integral{0}{\infty}
p^2 \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right) dp = \exp\left(\frac{\mu}{kT}\right)\frac{V}{h^3}
(2 \pi m k T)^{\tripul}$$
\bigskip
Pro výpočet jsme použili vzorce z matematického aparátu (Gaussovy integrály). Dosadíme-li
zpět, máme
$$n(p) dp = 4 \pi N (2 \pi m k T)^{-\tripul}p^2 \exp\left(-\frac{p^2}{2mkT}\right)dp$$
\bigskip
což je ekvivalentní s
$$n(\varepsilon) d \varepsilon = \frac{2N}{\sqrt\pi(k T)^{\tripul}} \sqrt{\varepsilon}
\exp\left(-\frac{\varepsilon}{kT}\right) d \varepsilon $$
\bigskip
Vypočítáme střední energii:
$$U = \integral{0}{\infty}\varepsilon n(\varepsilon) d \varepsilon = \tripul N k T$$
\bigskip
Což je vnitřní energie ideálního plynu.
\subsection{Bose-Einsteinovo rozdělení}
\index{rozdělení, Bose-Einsteinovo}
Kvantová přesná statistika. Obsazovací čísla $n_i^{(\gamma)}$ nemají žádná omezení.
Protože kvantové částice (zde například fotony) jsou nerozlišitelné, je $g_\gamma = 1$.
Partiční sumu vyjádříme jako
$$Z_{G(BE)} = \suma{\gamma}{}\exp\left(\suma{i}{}n_i^{(\gamma)} \frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)$$
\bigskip
Označíme-li si $x_i = \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)$, pak
$$Z_{G(BE)} = \suma{\gamma}{}x_1 ^{n_1^{(\gamma)}} \cdot x_2 ^{n_2^{(\gamma)}}\cdot x_3 ^{n_3^{(\gamma)}} \dots =
\produkt{i}{}\suma{n=1}{\infty}x_i^n = \produkt{i}{}Z_{C_i}$$
\bigskip
kde $Z_{C_i}$ je grandkanoická partiční funkce částic na $i$-té energetické hladině, ale zároveň je to geometrická řada a
$$Z_{G(BE)} = \produkt{i}{}\frac{1}{1 - \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)}$$
\bigskip
Podmínka konvergence této řady, ale i záměny sumy a součinu v předchozím vzorci je, že $x_i<1$ pro všechna $i$ a proto je $\mu <0$. Dále spočteme grandkanonický potenciál
$$\Omega _{BE} = - kT \ln Z_{G(BE)} =
kT \suma{i}{} \ln \left(1 - \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)\right)$$
a střední počet částic
$$N = \suma{i}{}n_i = - \termderiv{\Omega _{BE}}{\mu}{V,T}=
\suma{i}{}\frac{\exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)}{1 - \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)}$$
\bigskip
což je opět rovnice pro určení $\mu(N,T)$, po úpravě
$$n_i = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon _i - \mu}{kT}\right) - 1}$$
\bigskip
Oproti Maxwell--Boltzmanovu korigovanému rozdělení je zde navíc $-1$ ve jmenovateli.
\subsection{Fermi--Diracovo rozdělení}
\index{rozdělení, Fermi-Diracovo}
Fermi--Diracovým rozdělením se řídí částice, které podléhají Pauliho vylučovacímu principu.
Charakteristikou tohoto rozdělení je, že každé obsazovací číslo $n_i$ je buď jedna, nebo nula.
$$Z_{G(FD)} = \produkt{i}{}\left( \suma{n=0}{1} \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}n\right)\right)=
\produkt{i}{}\left(1 + \exp\left(\frac{ \mu - \varepsilon _i}{kT}\right)\right)$$
$$\Omega _{FD} = -kT \suma{i}{}\ln\left(1 + \exp\left(\frac{\mu - \varepsilon _i}{kT}\right)\right)$$
$$n_i = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon _i-\mu}{kT}\right) + 1}.$$
\bigskip
Na chemický potenciál $\mu$ nejsou žádná omezení. Oproti Maxwell--Boltzmannovu korigovanému rozdělení je zde navíc $+1$ ve jmenovateli. Je zřejmé, že pro dostatečně vysoké $x = \exp\left(\frac{\varepsilon_i - \mu}{kT}\right)$ všechny tři
statistiky splývají ($+1$ či $-1$ ve jmenovateli ztrácí význam). Tím je myšleno,
že \emph{zafixujeme-li teplotu}, pak se rozdělení chovají stejně pro stavy s~velmi vysokou energií.
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.4]{FD_e_mu.jpg}
% FD_e_mu.jpg: 600x600 pixel, 72dpi, 21.17x21.17 cm, bb=0 0 600 600
\end{center}
\subsection{Degenerovaný plyn}
U Fermi--Diracova rozdělení je důležité, že ani při absolutní nule nejsou všechny částice na
nejnižší energetické hladině. Nemohou tam sedět dvě
identické částice (musí se lišit alespoň spinem), ostatní obsazují nejbližší možné.
Jak je z grafu vidět, při nízkých teplotách jsou všechny stavy s energií
menší než $\mu_0$ zaplněné a naopak ve stavech s vyšší energií se částice téměř nevyskytují. $\mu_0(T = 0)$ se v tomto případě nazývá Fermiho energií $\varepsilon_F$ a plyn jehož kinetická energie $\varepsilon \le \varepsilon_f$ se nazývá degenerovaný plyn\index{plyn, degenerovaný}. Degenerovaným plynem jsou například valenční elektrony ve vodiči. Dále je tato skutečnost původcem tlaku, který například zabraňuje zhroucení neutronových hvězd
(ve kterých už neprobíhají termonukleární reakce a proti gravitaci tedy nepůsobí tlak záření). Fermi--Diracovo rozdělení se také používá jako jeden z modelů atomového jádra.
Pokud chceme určit počet částic daném objemu fázového prostoru, tak ho můžeme odhadnout na základě Heisenbergova principu neurčitosti.
Z Pauliho vylučovací principu plyne, že se dvě identické částice nemohou vyskytovat ve
stejném elementu fázového prostoru. Fázový objem ($\Delta V_f = \Delta^3 p \cdot \Delta^3 x$),
který zaujímá jedna částice se odhadne z Heisenbergova principu neurčitosti \footnote{jiné zdůvodnění je v \cite{kvasstat} str. 47} pomocí tzv. \emph{kvaziklasické přiblížení} jako
$$\Delta p_x \Delta x \approx h \quad \Delta p_y \Delta y \approx h \quad \Delta p_z \Delta z \approx h$$
%% má tam být ≥ ħ/2 ale pak z toho nevyjdou ty další vztahy
díky tomuto nám vyjde konstanta $\Delta V_f \approx h^3$. Navíc je potřeba do počtu částic započíst oba spinové stavy.
Vezměme celkový počet částic a odhadněme je pomocí integrálu přes fázový prostor:
$$N = 2\integral{0}{\pmax} \frac{d^3 \hat{p}\: d^3 q}{h^3},$$
\bigskip
kde $N$ je počet částic, $\pmax$ maximální hybnost, která odpovídá maximálnímu fázovému objemu zabraného mikrostavy, a $h$ je Planckova konstanta (všimněte si, že toto je jediné místo ve skriptech, kde se normování pomocí $h$ skutečně projeví).
Aby se nám nepletl tlak s hybností, značme všechny hybnosti jako $\hat{p}$. Nyní integrál vyjádřeme:
$$N = \frac{2V}{h^3}\integral{0}{\pmax} d^3 \hat {p} = \frac{2V}{h^3}
\integral{0}{\pmax} 4 \pi \hat{p}^2 d \hat{p}.$$
\bigskip
Poslední krok je sférická transformace. Odsud pak snadno spočítáme, že
$$N = \frac{8 \pi V}{3 h^3}\pmax ^3,$$
$$\hat{p}_{max} = \left(\frac{3h^3N}{8 \pi V}\right)^{\frac{1}{3}}.$$
\bigskip
Odsud pak vyjádříme další veličiny. \index{energie, Fermiho} Fermiho energie:
$$\varepsilon _F := \varepsilon_{\pmax}= \frac{\pmax^2}{2m} = \frac{1}{2m}
\left(\frac{3h^3N}{8 \pi V}\right)^{\frac{2}{3}}$$
\bigskip
\index{teplota, Fermiho} Fermiho teplota:
$$T_F := \frac{\varepsilon_F(T=0; \frac{N}{V})} {k}= \frac{1}{2mk}\left(\frac{3Nh^3}{8 \pi V}\right)^{\frac{2}{3}}$$
Zde si můžete dosazením snadno ověřit, že elektronový plyn v kovech je opravdu degenerovaný. Fermiho teplota pro kovy je přibližně 10$^4$\,K.
\bigskip
Energie při absolutní nule:
$$U_0 (T = 0) = \suma{i}{}n_i \varepsilon _i = \int \varepsilon d\Gamma_\varepsilon= \frac{8 \pi V}{h^3}\integral{0}{\pmax}
\frac{\hat{p}^2}{2m} . \hat{p}^2 dp = \frac{8 \pi V}{5 h^3}(2m)^{\frac{3}{2}}\varepsilon _F ^{\frac{5}{2}} = \frac{3}{5}N \varepsilon_F$$
\bigskip
Tlak při absolutní nule:
$$p_0 = \frac{2}{3}\frac{U_0}{V} = \frac{2N}{5V}\varepsilon _F = \frac{h^2}{5m}
\left(\frac{3}{8 \pi}\right)^{\frac{2}{3}}\left(\frac{N}{V}\right)^{\frac{5}{3}}$$
% \begin{center} % úplně blbě, \mu není konstantní!!!
% \includegraphics{Trirozd.pdf}
% \end{center}
\subsection{\index{příklad}Demonstrace statistik pro systém tří částic}
Mějme tři energetické hladiny s hodnotami energie $0$, $E$, $4E$ a do nich rozmisťujme
tři částice. Celkový počet myslitelných mikrostavů je $3^3 = 27$. Podívejme se, co s takovýmto triviálním systémem udělají všechny čtyři statistiky:
\bigskip
\begin{enumerate}
\item Maxwell--Boltzmannova nekorigovaná (např. rozlišitelné částice)
\item Maxwell--Boltzmannova korigovaná (např. ideální plyn)
\item Bose--Einsteinova (spin 0)
\item Fermi--Diracova (neuvažujeme spin)
\end{enumerate}
\bigskip
Utvořme si tabulku, do které budeme zapisovat pro každý mikrostav $\gamma$
obsazovací čísla, stupeň degenerace $g_\gamma$ a celkovou energii.
\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}[p]{|c|c|c|c|c|c|c|c|r|}
\hline
$\gamma$ & $n_1^{(\gamma)} \:(0)$ & $n_2^{(\gamma)} \: (E)$ & $n_3^{(\gamma)} \: (4E)$ &
$g_\gamma^{(1)}$ & $g_\gamma^{(2)}$ & $g_\gamma^{(3)}$ & $g_\gamma^{(4)}$ & $E_\gamma$ \\
\hline
1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\hline
2 & 0 & 3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3E\\
\hline
3 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 12E\\
\hline
4 & 2 & 1 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & E\\
\hline
5 & 2 & 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 4E\\
\hline
6 & 0 & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6E\\
\hline
7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 9E\\
\hline
8 & 1 & 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 8E\\
\hline
9 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 2E\\
\hline
10 & 1 & 1 & 1 & 6 & 1 & 1 & 1 & 5E\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Partiční funkce je
$$Z = \suma{\gamma}{}g_\gamma \exp\left(-\frac{\varepsilon _\gamma}{kT}\right) = $$
$$= 1x^0 + 1x^3 +1x^{12} + 3x^1 + 3x^4 + 3x^6 + 3x^2 + 3x^8 + 3x^9 + 6x^5$$
\bigskip
označíme-li $x = \exp\left(-\frac{E}{kT}\right)$. Tento vzorec je ale roven
$$Z = \left( 1 + x + x^4 \right)^3$$
\bigskip
kde $1 + x + x^4$ je jednočásticová partiční funkce. Entropii pak spočítáme jako
$$S = -\pderivx{F}{T} = \pderivx{kT \ln Z}{T} = 3k \ln(1 + x + x^4) +
3kT \frac{E}{kT^2}\frac{x + 4x^4}{1 + x + x^4}= $$
$$= 3k\left( \ln Z + \frac{E}{kT}\frac{x + 4x^4}{Z} \right)$$
\bigskip
\item $$Z = \frac{1}{3!}(1 + x + x^4)^3 \quad \Rightarrow \quad
S = 3k\left( \ln Z + \frac{E}{kT}\frac{x + 4x^4}{Z} \right) - k \ln 6$$
\item $$Z = x^0 + x^3 +x^{12} + x^1 + x^4 + x^6 + x^2 + x^8 + x^9 + x^5,$$
s čímž se samozřejmě nedá rozumně pracovat.
\item Máme-li pouze jeden povolený stav, není v systému žádná neurčitost a entropie
musí být nulová:
$$Z = x^5 \quad \Rightarrow \quad S = 0.$$
\end{enumerate}
\bigskip
Tento příklad je samozřejmě nesmyslný -- soustavu o třech částicích nepotřebujeme zpracovávat statisticky, nicméně dobře ukazuje, co vlastně jednotlivé statistiky
se systémem dělají.
\begin{remark}
Výklad v této kapitole (a stejně tak i příklad) zanedbával možnost degenerace některých stavů nebo jejich závislost na spinu. Jak fermiony, tak bosony mohou nabývat hodnoty spinu z množiny $\{-l,-l+1,\ldots, l-1, l\}$, kde $l$ je maximální spin. Fermiony na stejné hladině se musí lišit spinem, bosony ho mohou mít libovolný. Na základě těchto pravidel je nutné napočítat koeficienty degenerace $g_\gamma$, přičemž se jedná o nerozlišitelné částice, počítají se tedy kombinace s opakováním. (Na pořadí částic nezáleží.)
\end{remark}
