02TFpriklady:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 20. 6. 2014, 22:59, kterou vytvořil Krasejak (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TFpriklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TFprikladyAdmin 4. 9. 201510:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborAdmin 21. 6. 201106:34 header.tex
Kapitola1 editovatNewtonova mechanikaKrasejak 20. 6. 201422:59 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatLagrangeův formalismusNemecfil 29. 1. 201718:59 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatZákladní úlohy mechanikyAdmin 1. 8. 201010:32 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZákladní principy mechanikyAdmin 1. 8. 201010:32 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatHamiltonův formalismusTichaond 12. 3. 201416:31 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAdmin 1. 8. 201010:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpeciální teorie relativity Krasejak 21. 6. 201400:27 kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TFpriklady}
\section{Kapitola 1: Newtonova mechanika}
 
\priklad{1.1}{Dokažte, že poloha hmotného středu, definovaného vztahem 
$$
\vec{{R}}{=}{\textstyle\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha }  }{\sum _{\alpha }m_{\alpha }  }}, 
$$ 
nezávisí na volbě počátku.
}{
Transformujme souřadnice vztahy $\vec{r}=\vec{r}'+\vec{a}$ a $\vec{R}=\vec{R}'+\vec{a}$ a po dosazení dostaneme
$$
\vec{R}=
\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha }  }{\sum _{\alpha }m_{\alpha }  } =
\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' +\vec{a}\sum _{\alpha }m_{\alpha }  }{\sum _{\alpha }m_{\alpha }  } =
\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha }  } +\vec{a}.
$$ 
Porovnáním s $\vec{R}=\vec{R}'+\vec{a}$ dostáváme
$$
\vec{R}'+\vec{a}=\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha }  } +\vec{a}
$$ 
a po odečtení $\vec{a}$ od obou stran dostaneme opět
$$
\vec{R}'=\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha }  }. 
$$ 
} %priklad 1.1
 
 
\priklad{1.2}{Pohybové rovnice bezsilového hmotného bodu v kartézkském systému $S'$, který 
se libovolně pohybuje vůči inerciálnímu systému $S$, má tvar 
$$
m\ddot{\vec{r}}=m\ddot{\vec{r}}'{\; }+m\dot{\vec{\omega }}\times \vec{r}'+2m\vec{\omega }\times \dot{\vec{r}}'+m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times\vec{r}')+m\ddot{\vec{r}}(0')=0,
$$
kde $\vec{\omega}$ je vektor okamžité úhlové rychlosti otáčení S', který se vzhledem k S otáčí kolem osy z konstantní úhlovou rychlostí $\omega _{0} $ ($\vec{r}(0')=0$), se tato pohybová rovnice zjednoduší na $\ddot{x}'-2\omega _{0} \dot{y}'-\omega _{0}^{2} x'=0$, $\ddot{y}'+2\omega _{0} \dot{x}'-\omega _{0}^{2} y'=0,$ $\ddot{z}'=0$.
}{
Vyjdeme z rovnosti
$$
m\ddot{\vec{r}}=m\ddot{\vec{r}}'{\; }+m\dot{\vec{\omega }}\times \vec{r}'+2m\vec{\omega }\times \dot{\vec{r}}'+m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}')+m
\ddot{\vec{r}}(0')=0,
$$ 
kde $\vec{\omega }=(0,0,\omega _{0})$ a $\dot{\vec{\omega }}=(0,0,0)$, takže rozepsáno po složkách dostaneme maticově
$$
\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}'{\; }+\left(\begin{array}{ccc} {0} & {-2\omega_{0} } & {0} \\ {2\omega _{0} } & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)
\dot{\vec{r}}'+\left(\begin{array}{ccc} {-\omega _{0}^{2} } & {0} & {0} \\ {0} & {-\omega _{0}^{2} } & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)\vec{r}'=0,
$$ 
což je hledaná soustava diferenciálních rovnic.
} %priklad 1.2
 
\priklad{1.3}{Určtete:
	(a) Obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic z příkladu 1.2;
	(b) Parametrické rovnice trajektorie bezsilového bodu vypuštěného v čase t = 0 s nulovou počáteční rychlostí z bodu $x'=a,{\; }y'=z'=0$.
}{
(a) Řešení diferenciální rovnice z příkladu 1.2 zjednodušené vynecháním z-ové složky
$$
\ddot{\vec{\eta }}{\; }+2\omega _{0} \left(\begin{array}{cc} {0} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)\dot{\vec{\eta }}-\omega _{0}^{2} \vec{\eta }=0
$$ 
budeme hledat ve tvaru 
$$
\vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {X} \\ {Y} \end{array}\right)e^{\lambda t}.
$$ 
Dosaďme toto řešení do diferenciální rovnice
$$
\left(\begin{array}{cc} {\lambda^{2} -\omega _{0}^{2} } & {-2\omega _{0} \lambda } \\ {2\omega _{0} \lambda } & {\lambda^{2} -\omega _{0} ^{2} } \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {X} \\ {Y} \end{array}\right)e^{\lambda t} =0.
$$ 
Dostáváme podmínku, že 
$$
\left|\begin{array}{cc} {\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} } & {-2\omega _{0} \lambda } \\ {2\omega _{0} \lambda } & {\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} } \end{array}\right|=0,
$$ 
tj.
$$
\left(\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} \right)^{2} +4\omega _{0} ^{2} \lambda ^{2} =\left(\lambda ^{2} +\omega _{0} ^{2} \right)^{2} =0,
$$ 
s řešením $\lambda =\pm i\omega _{0},$  které nám odhalí obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic
$$
\vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {X_{1} } \\ {Y_{1} } \end{array}\right)e^{i\omega _{0} t} +\left(\begin{array}{c} {X_{2} } \\ {Y_{2} } \end{array}\right)e^{-i\omega _{0} t} 
$$ 
nebo též
$$
\vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {(X_{1} +X_{2} )\cos \omega _{0} t+i(X_{2} -X_{1} )\sin \omega _{0} t} \\ {(Y_{1} +Y_{2} )\cos \omega _{0} t+i(Y_{2} -Y_{1} )\sin \omega _{0} t} \end{array}\right).
$$ 
 
(b) Počáteční podmínky jsou
$$
\vec{\eta }(0)=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {0} \end{array}\right), \quad \dot{\vec{\eta }}(0)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right)
$$ 
tj.
$$
\vec{\eta }(0)=\left(\begin{array}{c} {X_{1} +X_{2} } \\ {Y_{1} +Y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {0} \end{array}\right),
$$ 
$$
\dot{\vec{\eta }}(0)=\left(\begin{array}{c} {i\omega _{0} (X_{2} -X_{1} )} \\ {i\omega _{0} (Y_{2} -Y_{1} )} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right),
$$ 
které splňují 
$$
\begin{array}{l} {X_{1} =X_{2} =\frac{a}{2}, } \\ {Y_{1} =Y_{2} =0}. \end{array}
$$ 
Řešení je tedy tvaru 
$$
\begin{array}{l} {x'(t)=a\cos \omega _{0} t} \\ {y'(t)=0} \\ {z'(t)=0} \end{array}
$$ 
} % priklad  1.3
 
\priklad{1.4}{
Vypočtěte celkový moment hybnosti $\vec{{L}}^{{Q}} $ soustavy hmotných bodů v systému $S$, ale vzhledem k bodu $Q\not \equiv 0$, který má 
v S pevnou polohu (tj. $\dot{\vec{r}}(Q)=0$). Udejte, pro které body Q je $\vec{{L}}^{{Q}} =\vec{L}$. Ukažte, že $\vec{{L}}^{{Q}} =\vec{L}'$, 
kde $\vec{L}'$ je moment hybnosti v soustavě $S'$ vzhledem k počátku $O'\equiv Q$, jestliže se $S'$ neotáčí vůči $S$.
}{
Použijme vztah
$$
	\vec{L}=\vec{L}^{Q} +\vec{r}(Q)\times \vec{P}+\vec{r}(Q)\times M\dot{\vec{r}}(Q)+t\dot{\vec{r}}(Q)\times \vec{P}-\dot{\vec{r}}(Q)\times M\vec{R},
$$ 
do kterého dosadíme předpoklady a vyjádříme z něj
$$\vec{L}^{Q} =\vec{L}-\vec{r}(Q)\times \vec{P}.$$ 
Rovnost $\vec{L}=\vec{L}^{Q} $ nastává právě když jsou vektory $\vec{P}$ a $\vec{r}(Q)$ kolineární.
} % priklad 1.4